Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы квантовой механики и ЯМР-спектроскопии. Учебное пособие
.pdf
Волна, имеющая такую длину волны, никаким опытом не может быть
обнаружена.
2. Определим длину волны де Бройля для электрона (m =
= 9,1 · 10
−31
кг), ускоренного в электрическом поле с разностью потенциалов ∆φ вольт. В электрическом поле электрон приобретает
энергию
E=
=e∙∆φ, (1.14)
где е – заряд электрона (е =1,6 · 10
-19
Кл).
По формуле де Бройля (1.13) получим
=
=
∙
=
∆∙∙,∙
,∙
Дж·с
кг∙,∙
Кл
=
=
,
∆
∙10
м =
,
Å. Å (ангстрем) = 10
∆
−10
м.
Таким образом, электрону, ускоренному в электрическом поле
с разностью потенциалов ∆ φ, соответствует волна де Бройля длиной
,
λ=
Å, (1.15)
∆
где ∆φ – число, выражающее разность потенциалов в вольтах.
Например, электроны, ускоренные полем в 50 В, имеют длину
волны де Бройля 1,73 Å, т.е. того же порядка, что и волны рентгеновских лучей, используемых при исследовании структуры кристаллов.
1.4. Статистический смысл волн де Бройля
Волны де Бройля, связанные с движущимися частицами вещества, имеют специфическую природу, не имеющую аналогии. Например,
11
предположение об электромагнитной природе волн де Бройля опровергается экспериментами. Это предположение основано на том, что
заряженные частицы (электрон, протон, ион и др.), двигаясь с ускорением, излучают электромагнитные волны. Экспериментально установлено, что волновые свойства заряженных частиц проявляются и в случае их равномерного движения. Кроме того, волновые свойства проявляют и незаряженные частицы вещества (например, нейтроны).
Однако в истолковании взаимоотношения между корпускулярными и волновыми свойствами частиц вещества много общего с изложенным в разд. 1.2 для электромагнитного излучения.
Действительно, волновые свойства движущейся частицы вещества, как и кванта электромагнитного излучения, проявляются в том,
что нельзя точно указать, в какую именно точку пространства он попадает. Можно говорить лишь о вероятностях попадания каждой частицы вещества в различные точки пространства. Мерой вероятности
нахождения частицы вещества в данной точке пространства является
квадрат амплитуды волны де Бройля в этой точке.
Таким образом, волны де Бройля имеют статистический (вероятностный) смысл и вопрос об их природе сводится к вопросу о физическом смысле квадрата амплитуды.
1.5. Соотношения неопределенностей Гейзенберга
В классической механике (механике макромира) под частицей
(корпускулой) подразумевается объект, состояние которого однозначно определяется заданием трех координат x, y, z и трех составляющих
вектора импульса (количества движения) px, py, pz. Вместо составляющих вектора импульса частицы можно задать составляющие вектора
скорости ее движения υx, υy, υz, так как
p
=mυ
,
где m – масса частицы;
=++
– вектор импульса частицы;
12
=++
– вектор скорости ее движения (рис. 1.2).
Z
Pz
P
y
Y
P
x
X
Рис. 1.2
Считается, что в каждый момент времени как координаты, так и
составляющие вектора импульса (px, py, pz) имеют строго определенные
значения и могут быть измерены с какой угодно степенью точности.
Совокупность последовательных положений движущейся частицы
в пространстве определяет траекторию ее движения. Выясним, в какой
мере классический способ описания состояния частицы посредством
задания ее координат и составляющих вектора импульса (или составляющих вектора скорости) применим к микрочастице (объекту микромира), сочетающей в себе корпускулярные и волновые свойства.
Постановка этого вопроса очевидна. По отношению к волновому
процессу нельзя ставить вопрос о месте, где он находится. Волна охватывает все пространство, где она распространяется, т.е. является объектом протяженным.
Предположим, что микрочастица движется в направлении оси
абсцисс и, следовательно, обладает импульсом p = px (py = pz = 0). Такая частица ведет себя как волна (волна де Бройля) длиной λ = h / px и
протяженностью вдоль оси абсцисс от − до + . Это означает, что
13
интервал ∆ х, в котором может быть обнаружена микрочастица с импульсом p
равен бесконечности. Иначе говоря, микрочастица, обла-
x,
дающая определенным значением импульсов px, не имеет определенной координаты х. Результаты экспериментов с макрочастицами позволяют утверждать следующее: у макрочастицы с определенной координатой Х импульс px совершенно не определен. Подобные рассуждения справедливы как по отношению к координате у и соответствующему ей импульсу pу, так и по отношению к координате z и соответствующему ей импульсу pz.
Таким образом, в отличие от классической частицы микрочастицы вследствие своей корпускулярно-волновой природы не имеют одновременно определенных координат и составляющих импульса,
вследствие чего их состояние не может быть охарактеризовано одновременным заданием этих параметров как состояние классической
частицы. Если, тем не менее, мы хотим выразить состояние микрочастицы посредством одновременного задания этих параметров, то сделать это можно лишь с известным приложением, допускающим неопределенность ∆ х, ∆ у, ∆ z в значениях координат частицы и неопределенность Δpx, Δpy, Δpz в значениях составляющих ее импульса.
Количественная связь между этими неопределенностями установлена
Гейзенбергом в 1927 году и имеет следующий вид:
∆∙∆≥ℏ;∆∙∆≥ℏ;∆∙∆≥ℏ. (1.16)
Это означает, что произведение неопределенности в координате
и неопределенности в соответствующем ей импульсе не может быть
меньше (всегда больше или равно) постоянной Планка ћ (ћ = h / 2π =
= 1,05 · 10
−34
Дж·с).
Выражения (1.16) называются соотношениями неопределенности Гейзенберга и могут употребляться в такой форме записи:
∆·∆≥
;∆·∆≥
где m – масса частицы; а ∆υx, ∆υy, ∆υ
;∆·∆≥
– неопределенности в состав-
z
, (1.17)
ляющих вектора скорости ее движения, Из соотношений
неопределенностей Гейзенберга следует, что чем точнее определяются
14
координаты (положение) микрочастицы, тем неопределеннее
становятся составляющие вектора импульса (или вектора скорости) и,
наоборот, чем точнее определены составляющие вектора импульса
(или вектора скорости), тем неопределеннее становятся ее координаты
(положение). Вследствие этого утрачивает смысл такое понятие, как
траектория движения частицы.
Ограничения, налагаемые соотношениями неопределенностей
Гейзенберга на наше знание (одновременно) положения и вектора импульса микрочастицы, обусловлены не грубостью приборов, а двойственной корпускулярно-волновой природой микрочастиц.
Соотношения неопределенностей Гейзенберга имеют универсальный характер, но сказываются, как видим, только в микромире.
Для объектов макромира отношение
ℏ
→0 и, следовательно, стре-
мится к нулю произведение неопределенности в координате и неопределенности в скорости движения, т.е. положение и скорость движения
макрообъекта определяются точно.
В связи с соотношениями неопределенностей возникает вопрос:
нужно ли вообще описывать поведение микрообъектов с помощью
классических понятий, таких как координата, импульс и др., если применение их ограничено? Всякий эксперимент, дающий некоторую информацию о поведении и свойствах микрообъектов, является макроскопическим (отклонение стрелки приборов, положение пятна на экране осциллографа, фотография «следа» частицы в камере Вильсона
и т.д.). Действия любых приборов, с помощью которых изучается поведение микрочастиц в пространстве и времени, подчиняются классической механике и электродинамике, и даваемая ими информация носит макроскопический характер, т.е. она должна истолковываться
в классических понятиях. Таким образом, применение классических
понятий к микрообъектам неизбежно. Соотношения неопределенностей Гейзенберга неоднократно являлись предметом философских
дискуссий. Это вызвано тем, что ряд философов и физиков буржуазных стран делает соотношения неопределенностей отправным пунктом идеалистических утверждений. В основном эти утверждения сводятся к следующему:
– поскольку соотношения неопределенностей не дают возможности точного определения координат и скорости частиц, то существует граница нашего познания природы. Следовательно, согласно утверждениям идеалистов, мир непознаваем;
15
– поскольку координаты и скорости частицы одновременно могут быть определены лишь в рамках соотношений неопределенностей,
то невозможно на основании известного в некоторый момент времени
состояния частицы точно предсказать ее состояние в любой следующий момент времени, т.е. нарушается принцип причинности.
Научное содержание соотношений неопределенностей Гейзенберга не дает основания для таких утверждений. Соотношения неопределенностей не ограничивают возможности познания природы и не
ставят этому познанию никакого предела. Они служат лишь мерой того, до какой степени пригодно для микрочастиц модельное представление о них как о классических частицах (корпускулах), характеризуемых определенными размерами, координатами, скоростью. К микрочастицам нельзя применять принцип причинности в форме, заимствованной из классической механики и основанной на применении
классических понятий (координат и скорости), поскольку особая (корпускулярно-волновая) природа микрочастиц этого не допускает.
1.6. Примеры, иллюстрирующие соотношения
неопределенностей Гейзенберга
1. Представим, что вдоль оси абсцисс движутся электроны с
одинаковым импульсом р. На пути электронов (рис. 1.3)
находится экран АВ с щелью шириной d. Электроны,
прошедшие через щель, попадают на экран CD.
При прохождении через щель электроны (волны де Бройля бу-
дут дифрагировать. Это значит, что электроны будут попадать не только на место экрана, расположенное непосредственно против цели, но и
распределяться по всему экрану в соответствии с закономерностями,
характеризующими явление дифракции волн. Пунктирная кривая, изображенная около экрана CD, показывает, что первый минимум плотности электронов на экране будет наблюдаться при угле φ1. По закону
дифракции волн от одной щели этот угол удовлетворяет следующему
условию:
16
sinφ=
, (1.18)
где d – ширина щели; λ – длина волны.
Y C
A
d
0 X
B D
Рис. 1.3
В нашем случае =
– длина волны де Бройля, соответствую-
щая электрону с импульсом р, поэтому
sinφ=
·p. (1.19)
Поскольку каждый из электронов проходит через щель, то мож-
но определить его координату у (в момент прохождения через щель)
как координату щели. Но в таком определении координаты содержится неопределенность, обусловленная размерами щели. Следовательно,
17
если ∆ y – неопределенность в координате у для электронов в момент
прохождения их через щель, то ∆y = d. Благодаря дифракции, импульс
электронов, проходящих через щель, меняется. Если составляющая
вектора импульса ру до щели была равна нулю, то после щели она будет отлична от нуля. У различных электронов она будет различна. Это
означает, что величина ру у электронов, проходящих через щель, не
может быть определена точно. А может быть установлена с некоторым
допуском, в некотором интервале, с неопределенностью ∆ру.
Для электронов, движущихся в пределах угла 2 φ1, эта неопреде-
ленность (ее максимальное значение) будет равна
∆p=p·sinφ=p·
·
=
, (1.20)
откуда следует, что чем меньше ширина щели d, тем больше неопределенность в импульсе для электронов, проходящих через эту щель.
Другими словами, чем меньше ширина щели, тем заметнее дифракция
электронов. Величина d есть неопределенность в координате у для
электронов. Проходящих через щель, поэтому
∆p=
или ∆p·∆y=h. (1.21)
∆
Таким образом, неопределенности в координате и импульсе для
электронов, проходящих через узкую щель, взаимосвязаны с соотношением неопределенностей Гейзенберга.
2. Электрон в атоме, согласно классическим представлениям,
движется по замкнутой орбите со скоростью порядка 106 м/с. Факт
принадлежности электрона к атому требует, чтобы координата его была определена с точностью, не превышающей размеры атома, которые
имеют порядок 10
−10
м. Оценим неопределенность в скорости движе-
ния электрона в атоме. По соотношению неопределенностей Гейзен-
берга (∆·∆≥
∆=
ℏ
·∆
) получим
=1,05·10
Дж·с:9,1·10
18
кг·10
м≈10м/с,
т.е. неопределенность скорости равна самой скорости.
Следовательно. Для электрона в атоме не имеет смысла орбита,
проходимая с определенной скоростью. Электрон в атоме нельзя рассматривать как классическую частицу.
1.7. Уравнение Шредингера. Волновая функция
микрочастицы
Основным уравнением классической механики, как известно,
является уравнение второго закона Ньютона:
;
; (1.22)
.
F=m
F=m
или F=m
=m
Именно это уравнение позволяет решать основную задачу клас-
сической механики: по данной силе, действующей на тело, и определенным начальным условиям (начальным значениям координат и скорости тела) найти для любого момента времени координаты тела и его
скорость.
Аналогичная задача квантовой механикой не решается. Качест-
венное своеобразие микрочастиц (сочетание в них корпускулярных и
волновых свойств) требует качественно нового подхода к описанию их
движения.
Вероятностное (статистическое) истолкование волн де Бройля и
соотношения неопределенностей Гейзенберга показывают, что уравнение движения микрочастицы должно быть волновым уравнением,
т.е. уравнением, подобным тем, которые описывают распространение
электромагнитных или механических волн. Для плоской механической
19
волны, распространяющейся в среде со скоростью v, волновое уравнение представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка:
+
+
=
·
, (1.23)
где ξ (x, y, z, t) – функция, дающая смещение колеблющейся точки
с координатами x, y, z в момент времени t. Для волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, уравнение (1.23) запишется так:
=
·
. (1.24)
Если колебания точки носят гармонический характер, то функ-
ция ξ (x, t), удовлетворяющая этому уравнению, имеет следующий вид:
ξ(x,t)=·cosωt−
·x, (1.25)
где а, w и λ – соответственно амплитуда, частота колебаний и длина
волны. Выражение (1.25) известно как уравнение плоской волны, «бегущей» в направлении оси ОХ.
Волновое уравнение для микрочастицы, движущейся со скоро-
стью v<<c (с – скорость света в вакууме), найдено Шредингером (1926 г.)
и носит его имя. Для микрочастицы, движущейся в силовом поле и
обладающей потенциальной энергией, уравнение Шредингера записывается в виде
ℏ
−
где U – потенциальная энергия частицы; =√−1 – мнимая единица;
ћ = 1,05 · 10
−34
·
+
Дж·с – постоянная Планка, деленная на 2π (приведен-
+
+·Ψ=ℏ·
, (1.26)
ная постоянная Планка); m – масса частицы.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]