Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптика. Теоретическая механика. Основы атомной и ядерной физики. Учебно-методическое пособие к практическим занятиям по физике
.pdf
81
,)1(
22
llL
(l=0,1,2,….)
(6.19)
)1( llL
, (l=0,1,2,….)
(6.20)
mL
, (m=0,1,2,….)
(6.21)
)1( llL
,
(6.22)
,,....1,
212121
lllllll
(6.23)
,
//////
сс
(6.24)
n
nn
с
,
(6.25)
изображены, как в классической механике, с помощью направленного отрезка
прямой.
Собственные значения оператора квадрата момента импульса равны
где l-квантовое число, называемое азимутальным.
Модуль момента импульса может иметь лишь дискретные значения,
определяемые формулой
Оператор проекции момента импульса на ось z
где m – магнитное квантовое число.
Момент импульса системы, состоящей из нескольких микрочастиц, равен
сумме моментов отдельных частиц. Суммарный момент, как и всякий момент,
определяется
где l – азимутальное квантовое число результирующего момента. В случае
системы, состоящей из двух частиц, число l может иметь значения:
Одним из основных положений квантовой механики является принцип
суперпозиции состояний. Суть этого принципа заключается в следующем.
Пусть некоторая квантомеханическая система может находиться как в
состоянии /, так и в состоянии //. Тогда существует состояние системы,
описываемое функцией
где с/ и с// - произвольные комплексные числа. Таким образом, согласно
принципу суперпозиции состояний пси-функцию любого состояния можно
разложить по собственным функциям этой величины, т.е. представить в виде
где cn – не зависящие от координат, в общем, комплексные числа.
82
lx 0
IIобластидляUE
m
dx
d
IIIиIобластейдляE
m
dx
d
,0
2
,0
2
0
22
2
22
2
(6.26)
IIIобластидляeBeA
IIобластидляeBeA
IобластидляeBeA
xixi
xixi
xixi
333
222
111
(6.27)
EUmmE
0
2
1
,2
1
x
U0
E
I
II
III
0
l
U(x)
Рис. 6.3.
Движение частицы в потенциальном барьере.
2) Пусть частица, движущая слева направо, встречает на своем пути
потенциальный барьер высотой U0 и шириной l (рис. 6.3).
Если энергия частицы больше высоты барьера (E > U0), то частица
беспрепятственно проходит над барьером (на участке
лишь
уменьшается скорость частицы, но затем при x>1 снова принимает
первоначальное значение). Если E меньше U0 (рис.6.3), то частица должна
отражаться от барьера и полететь в обратную сторону; сквозь барьер частица
проникнуть не может. Но согласно квантовой механике при E < U0 имеется
отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и
окажется в области x>l. В этом случае уравнение Шредингера будет иметь вид
Общее решение уравнений для частицы, движущейся в потенциальном
барьере, имеет следующий вид
где
Явление прохождения («просачивания») частиц сквозь потенциальные
барьеры называется туннельным эффектом. Для описания туннельного эффекта
вводится понятие прозрачности D потенциального барьера. Прозрачностью
(коэффициентом прозрачности) потенциального барьера называется величина
.
83
пад
прох
I
I
D
.
(6.28)
DR 1
.
(6.29)
EUm
L
DeDD
a
000
2.
2
exp
,
(6.30)
EUm
L
a
0
2
2
EUm
x
0
2
.
(6.31)
kxF
,
(6.32)
0
2
0
mk
равная отношению интенсивности I
интенсивности I
падающей на барьер волны
пад
волны, прошедшей сквозь барьер и
прох
Эту величину можно рассматривать как вероятность прохождения волн де
Бройля сквозь потенциальный барьер, или, что то же самое, как вероятность
просачивания частицы, описываемой волнами де Бройля, сквозь
потенциальный барьер.
Коэффициент отражения R частицы от барьера:
В случае прямоугольного потенциального барьера с высотой U0 и
шириной L прозрачность D выражается формулой
где D0 – постоянный коэффициент, близкий к единице, m – масса частицы, Е –
ее полная энергия, L – ширина прямоугольного потенциального барьера, U0 –
высота потенциального барьера. Для прямоугольного барьера величину
параметра
. С параметром a связана эффективная глубина
Δx, на которую частица может проникнуть в запрещенную область внутри
барьера:
3) Линейным осциллятором называется частица с массой m, которая
движется вдоль некоторой оси под действием квазиупругой силы F,
пропорциональной отклонению x частицы от положения равновесия:
где k – коэффициент квазиупругой силы, связанной с массой m частицы и
собственной циклической частоты
ее колебаний формулой
.
84
2
2
kx
xU
ах
0)
2
(
2
2
2
0
22
2
x
m
W
m
dx
d
(6.33)
0
2
1
nE
n
(n = 0,1,2,…).
(6.34)
X
U
0
E
0
E1
E2
E3
E
4
E5
Рис. 6.5
Схема энергетических уровней гармонического
осциллятора.
X U 0
Рис. 6.4
Потенциальная энергия гармонического осциллятора.
А
В
а
- a
Потенциальная энергия гармонического осциллятора
изображена на рис. 6.4. В точках А и В кинетическая энергия осциллятора
равна нулю и вся энергия переходит в потенциальную энергию осциллятора.
Эти точки соответствуют значениям координат
, где а – амплитуда
колебаний осциллятора. В квантовой механике задача о колебаниях линейного
гармонического осциллятора решается с помощью стационарного уравнения
Шредингера. Для линейного гармонического осциллятора оно имеет вид
Данное уравнение имеет конечные, однозначные и непрерывные решения
при значениях параметра E, равных
85
00
2
1
E
1n
.
(6.35)
E
На рис. 6.5. дана схема энергетических уровней гармонического
осциллятора. Уровни энергии гармонического осциллятора являются
эквидистантными, т.е. отстоящими друг от друга на одинаковое расстояние.
Наименьшее возможное значение энергии равно
называется нулевой
энергией. Существование нулевой энергии подтверждается экспериментами по
изучению рассеяния света кристаллами при низких температурах.
Квантовая механика позволяет вычислить вероятность различных
переходов квантовой системы из одного состояния в другое. Для
гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними
уровнями. При таких переходах квантовое число n изменяется на единицу:
Условия (6.35), накладываемые на изменения квантовых чисел при переходах
системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
6.1. Определение волновой функции.
6.2. Определение плотности вероятности.
6.3. Условие нормировки вероятностей.
6.4. Общее уравнение Шредингера.
6.5. Стационарное уравнение Шредингера.
6.6. Условия регулярности - функции.
6.7. Оператор Лапласа.
6.8. Собственная функция.
6.9. Собственные значения энергии.
6.10. Спектр величины
6.11. Дискретный спектр величины.
6.12. Непрерывный спектр величины.
6.13. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в бесконечно глубокой
одномерной потенциальной яме.
6.14. Собственные функции частицы, находящейся в бесконечно глубокой
одномерной потенциальной яме.
6.15. Собственные значения энергии частицы, находящейся в бесконечно
глубокой одномерной потенциальной яме.
6.16. Разность энергий
для частицы, находящейся в бесконечно глубокой
одномерной потенциальной яме.
6.17. Определение оператора.
6.18. Собственные значения оператора квадрата момента импульса.
6.19. Суммарный момент импульса.
6.20. Принцип суперпозиции состояний.
6.21. Коэффициент прозрачности потенциального барьера.
6.22. Коэффициент отражения потенциального барьера.
6.23. Эффективная глубина.
6.24. Определение линейного осциллятора.
86
x
l
l
x
sin
2
lx 0
2222
ll
x
ll
Дано:
x
l
l
x
sin
2
Δl=0,01l
1)
lx 0
;
2)
2222
ll
x
ll
Решение:
1. Запишем уравнение волновой функции
x
l
l
x
sin
2
(1)
2. Согласно уравнению (6.3), вероятность того,
что частица будет обнаружена в интервале dx
(от x до x+dx),
dxxwd
2
(2)
?
?
2
1
w
w
3. Подставляя уравнение (1) в (2) получим, что
вероятность нахождения частицы вблизи стенок
ящика
l
xdx
ll
w
dxx
l
l
wd
01,0
0
2
2
sin
2
sin
2
(3)
lx 01,00
1
l
x
22
sin
2
2
sin
x
l
x
l
.
(4)
6.25. Уравнение Шредингера для линейного осциллятора.
6.26. Правило отбора.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ:
«КВАНТОВЫЕ СОСТОЯНИЯ. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА»
1. Записать уравнение Шредингера в стационарном состоянии (или
уравнение волновой функции).
2. Записать дополнительные уравнения, необходимые для нахождения
неизвестной величины.
3. Решить полученную систему уравнений относительно неизвестной
величины.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ:
«КВАНТОВЫЕ СОСТОЯНИЯ. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА»
Задача 6.1. Волновая функция
описывает основное состояние
частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной l. Вычислить
вероятность нахождения частицы в малом интервале Δl=0,01l в двух случаях: 1)
вблизи стенки
; 2) в средней части ящика
.
Так как x изменяется в интервале
справедливо приближенное равенство
С учетом (4) уравнение (3) примет вид:
и, следовательно,
, т.е.
,
87
l l
dxx
l
dxx
ll
w
01,0
0
01,0
0
2
3
2
2
1
22
l
l
l
l
w
2
2
2
2
sin
2
2
02,001,0
22
2
sin
2
106,610
3
2
3
22
2
2
66
2
01,0
0
3
2
01,0
0
2
3
2
1
3
l
l
l
l
l
l
w
l
dxx
l
w
x
l
l
Дано:
0≤x≤l, U=0
x<0, U→∞
x>l, U→∞
Решение:
Запишем уравнение Шредингера в стационарном состоянии,
согласно уравнению (6.7):
0)(
2
22
2
UЕ
m
dx
d
(1)
Ψ(x)-?
По условию задачи 0 ≤x ≤l и U=0, тогда уравнение
Шредингера будет иметь следующий вид:
0
2
22
2
Е
m
dx
d
E
m
k
2
2
2
0
2
2
2
k
dx
d
(3)
kxBkxAx cossin
(4)
0 l U=0
U
U
x
Так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном
малом интервале (Δl=0,01l) практически не изменяется, во втором случае
интегрированием можно пренебречь. Поэтому искомая вероятность во втором
случае определяется выражением
Вычисления:
Ответ: w1=6,6·10-6, w2=0,02.
Задача 6.2. Частица находится в одномерной
прямоугольной «потенциальной яме»
шириной l с бесконечно высокими
«стенками». Найти решение уравнения
Шредингера в пределах «ямы» (0 ≤x ≤l).
, (2)
т.к.
Решая уравнение (3) получим, что
, то уравнение Шредингера примет вид:
88
0sinsin
00)0(
klAlkxAx
B
(5)
l
n
knlk
(6)
x
l
n
Ax
sin
.
x
l
n
Ax
sin
w
Дано:
E<U
0
А1=1
00
00
/
2
/
1
21
Решение:
Согласно уравнению (6.2) плотность вероятности
нахождения частицы в данной точке пространства
определяется соотношением
2
2
)0()0(
dV
dw
w
(1)
w
(0) - ?
IIобластидляeA
IобластидляeBe
xi
xixi
22
11
,
(2)
EUmmE
0
2
1
,2
1
E<U0
x
U0
I
II
U(x)
С учетом начальных условий получаем, что
Из системы уравнений (5) следует, что
Тогда уравнение волновой функции будет иметь следующий вид:
Ответ:
.
Задача 6.3. Частица с энергией E
движется в положительном
направлении оси ОХ (рис. к задаче) и
встречает на своем пути бесконечно
широкий прямоугольный барьер
высотой U0, причем E<U0. Используя
условия непрерывности волновой
функции и ее первой производной на
границе областей 1 и 2 (нормировочный
коэффициент А1=1), определите
плотность вероятности
обнаружения
частицы в точке x=0 области 2.
Общее решение Шредингера для частицы, движущейся в потенциальном
барьере, согласно уравнению (6.24), имеет вид
где
.
89
xi
xixixixi
eAi
xd
d
х
eiBeieiBei
dx
d
х
2
2
/
2
11
1
/
1
)(
)(
(2)
00,00
/
2
/
121
2
/
21
/
1
2211
)0(,)0(
)0(,1)0(
AiBii
AB
21
21
1
AiBii
AB
(3)
2
2
А
.
(4)
0
2
0
2
0
2
2
2
2
2
4222
)0()0(
U
E
EUiE
E
UEE
E
A
w
0
4
)0(
U
E
w
2
xa
exAx
2
kma
Дано:
2
xa
exAx
2
kma
Решение:
Согласно уравнению (6.33) уравнение Шредингера
для гармонического осциллятора имеет вид
0)
2
(
2
2
2
0
22
2
x
m
E
m
dx
d
.
(1)
Е - ?
22
22
32
2
2
2
46
2
xaxa
xaxa
exAaexAa
dx
d
exAaeA
dx
d
(2)
22
32
46
xaxa
exAaexAa
0)
2
(
2
2
2
2
0
2
xa
exAx
m
E
m
(3)
Найдем производные волновой функции для областей 1 и 2 с учетом начальных
условий
Учитывая, что
получим
Из системы уравнений (3) найдем нормировочный коэффициент А
2
Подставляя уравнение (4) в (1) получим
Ответ:
.
Задача 6.4. Определите собственное значение полной энергии гармонического
осциллятора, волновая функция которого задана уравнением
, где
.
Найдем первую и вторую производные данной волновой функции
Подставляя уравнения (2) в (1) получим
90
m
k
E
2
3
.
m
k
0
0
2
3
E
.
0
2
3
E
22
2areA
323
1
a
A
ar2
x
l
n
l
x
n
sin
2
)(
x
2
l
x
1
3
2
3
)(
r
r
erarR
10
1
10528,0
r
10
1017,3r
2
21
21
kk
kk
R
E
U0
0
x
U(x)
Из уравнения (3) найдем собственные значение энергии осциллятора
Учитывая, что собственная циклическая частота осциллятора
Ответ:
.
, получим
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
6.1. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид
, где r – расстояние этой частицы до силового центра; а – некоторая
постоянная;
- нормировочный коэффициент волновой функции.
Определите среднее расстояние частицы до силового центра.
(Ответ:
).
6.2. Волновая функция, описывающая состояние электрона в одномерной
прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, имеет
вид
, l – ширина ямы. Определите среднее значение
координаты электрона.
(Ответ:
).
6.3. Радиальная часть волновой функции для электрона в состоянии 3d имеет
вид
, где
м – первый боровский радиус.
Вычислить расстояние, на котором радиальная составляющая вероятности
местонахождения имеет максимум в этом случае.
(Ответ:
м)
6.4. Частица с массой m и энергией E
движутся в потенциальном поле U(x),
показанном на рисунке, в положительном
направлении оси ОХ. Найти коэффициент
отражения R этого потенциального барьера
для случая E>U0
(Ответ:
)
6.5. Электрон находится в бесконечно
глубоком одномерном, прямоугольном
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]