Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптика. Теоретическая механика. Основы атомной и ядерной физики. Учебно-методическое пособие к практическим занятиям по физике
.pdf
71
x
h
pф
hpx
x
.
(5.11)
hpz
hpy
hpx
z
y
x
.
(5.12)
htE
,
(5.13)
электрона, наблюдается дифракция. При этом точность в определении
координаты электрона не может быть больше длины волны излучения:
В этот же момент вследствие дифракции электроны отклоняются от
первоначального направления, следовательно, появляется неопределенность в
значении составляющей импульса Δpx вдоль оси X порядка импульса фотона:
, что и составит погрешность в определении его импульса.
Следовательно,
Это соотношение носит название: «соотношения неопределенностей
Гейзенберга».
То же место имеет и для других координат, так что
.
Формулы (5.12) также являются соотношениями неопределенности,
показывающие, что координаты x, y, z и проекций px, py, pz ее импульса на
соответствующие оси не имеют одновременно значения, равных x и px, y и py, z
и pz. Их значения определены лишь с некоторой степенью точностью.
В квантовой теории рассматривается также соотношение
неопределенностей для энергии E и времени t, т.е. неопределенности этих
величин удовлетворяют условию
где ΔE – неопределенность энергии некоторого состояния системы, Δt –
промежуток времени, в течение которого оно существует. Следовательно,
система, имеющая среднее время жизни Δt, не может быть охарактеризована
определенным значением энергии.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
5.1. Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые
свойства частиц.
5.2. Длина волны де Бройля.
5.3. Длина волны для частицы с массой m, движущейся со скоростью υ.
5.4.Связь между энергией W свободной частицы и частотой ν волн де Бройля.
5.5. Определение свободной частицы.
5.6. Фазовая скорость волн де Бройля υ << c.
5.7. Фазовая скорость волн де Бройля υ >> c.
72
Дано:
Т=10 эВ
Решение:
Согласно уравнению (5.11), соотношение
неопределенностей для координаты и импульса имеет вид:
hpx
x
. (1)
l
min
- ?
Из соотношения неопределенностей следует, что чем
точнее определяется положение частицы в пространстве,
тем более неопределенным становится импульс, а
следовательно, и энергия частицы.
2
l
x
.
(
2)
hp
l
x
2
,
x
p
h
l
2
.
(
3)
xx
pp
5.8. Групповая скорость волн де Бройля.
5.9. Волновая функция простейшей монохроматической волны.
5.10. Волновой пакет.
5.11. Соотношения неопределенностей Гейзенберга для координат.
5.12. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ЭЛЕМЕНТЫ
КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ. ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
ГЕЙЗЕНБЕРГА».
1. Записать соотношения неопределенностей Гейзенберга для
координат.
2. Записать дополнительные уравнения, позволяющие
определить неизвестные величины.
3. Решить полученную систему уравнений.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
ФИЗИКИ. ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ГЕЙЗЕНБЕРГА».
Задача 5.1. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет
величину порядка 10 эВ. Используя соотношения неопределенностей, оценить
минимальные линейные размеры атома.
Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет
находится где – то в пределах области с неопределенностью
Тогда соотношение неопределенностей с учетом (23) примет вид:
откуда
Неопределенность импульса Δpx не должна превышать значения самого
импульса px , т.е
.
73
Tmpp
xx
2
.
(
4)
Tm
h
l
2
2
min
.
ммl 12410124
10106,1101,92
1005,12
10
1931
34
min
мкм7,0
Дано:
τ =10 -8 с
λ = 7 ·10-7 м
Решение:
Согласно соотношению неопределенности
Гейзенберга для энергии
2
h
tE
.
(
1)
Δλ - ?
При переходе электрона из одного стационарного
состояния в другое излучается (или поглощается)
энергия, равная
mn
EE
ch
E
(2)
mn
EиE
mn
EEch
2
.
(
3)
2
min
h
E
.
(
4)
kn
c
11
2
2
min
.
(
5)
Импульс px связан с кинетической энергией Т соотношением
Подставляя уравнение (4) в (3), получим
Вычисления:
.
Ответ: l
= 124 нм.
min
Задача 5.2. Среднее время жизни возбужденных состояний атома составляет 10
нс. Вычислить естественную ширину спектральной линии
соответствующую переходу между возбужденными уровнями атома.
,
Из (2) следует, что неопределенность длины волны
с неопределенностью энергии уровней
Поскольку Δt не превышает среднее время жизни τ возбужденного
состояния атома, минимальная неопределенность энергии возбужденных
уровней, согласно(1), равна
Из (3) с учетом (4) найдем минимальную неопределенность длины волны
излучения, которая называется естественной шириной спектральной линии
излучения связана
атома соотношением
74
n
c
2
2
min
,
(
6)
kn
c
2
min
,
14
88
2
7
min
102,5
1010314,3
107
14
102,5
13
1062,1T
18
min
1043,2T
3
104,48
11
1071,1
12
10148
p
p
16,0
pp
Если одно из состояний, между которыми совершается переход, является
основным, то
поскольку для основного состояния τ = ∞. Для возбужденного состояний
с одинаковым временем жизни
Вычисления:
имеем
( м )
Ответ:
м.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
5.1. При каких значениях кинетической энергии Т электрона ошибка в
определении дебройлевской длины волны по релятивистской формуле не
превышает 10%?
(Ответ:
Дж)
5.2. Оцените с помощью соотношения неопределенностей минимальную
кинетическую энергию электрона, движущегося внутри сферы радиусом
R=0,05 нм.
(Ответ:
Дж)
5.3. Параллельный пучок моноэнергетических электронов падает нормально на
диафрагму в виде узкой прямоугольной щели, ширина которой a=0,06 мкм.
Определите скорость этих электронов, если, известно, что на экране, отстоящем
от щели на расстоянии l=40 мм, ширина центрального дифракционного
максимума b=10 мкм.
(Ответ:
Дж)
5.4. Вычислить наиболее вероятную дебройлевскую длину волны молекул
азота, содержащихся в воздухе при комнатной температуре.
(Ответ:
м)
5.5. Определите длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со средней
квадратичной скоростью при Т=290 К.
(Ответ:
5.6. Оценить относительную неопределенность
м)
импульса движущейся
частицы, если допустить, что неопределенность ее координаты равна длине
волны де Бройля.
(Ответ:
)
5.7. α – частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном
потенциальном ящике. Используя соотношение неопределенностей, оценить
75
8
min
E
15
106,1l
810
t
600
14
1091,1
310
r
20U
1,0
rx
10
1014,3,2 kn
ширину l ящика, если известно, что минимальная энергия α - частицы
MэВ.
(Ответ:
м)
5.8. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет
с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя
длина волны которого равна
нм. Оценить ширину излучаемой
спектральной линии, если не происходит ее уширения за счет других
процессов.
(Ответ:
м)
5.9. Моноэнергетический пучок электронов высвечивает в центре экрана
электронно-лучевой трубки пятно, радиусом
см. Пользуясь
соотношением неопределенностей, найти, во сколько раз неопределенность Δx
координаты электрона на экране в направлении, перпендикулярном оси трубки,
меньше размера r пятна. Длину L электронно-лучевой трубки принять равной
0,50 м, а ускоряющее электрон напряжение
(Ответ:
)
кВ.
5.10. Электрон находится в прямоугольном потенциальном ящике с
непроницаемыми стенками. Ширина ящика l=0,2 нм, энергия электрона в
ящике Е=37,8 эВ. Определите номер n энергетического уровня и модуль
волнового вектора k.
(Ответ:
м-1)
76
dVrr
2
,
(6.1)
2
2
dV
dw
w
,
(6.2)
2
dxdydzdVdw
22
.
(6.3)
2
1
2
dxdydz
,
(6.4)
6. КВАНТОВЫЕ СОСТОЯНИЯ. УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА.
Краткая теория
Для описания состояния микрообъекта в квантовой механике вводят
функцию (x, y, z, t), называемую волновой функцией (или пси-функцией). С
помощью волновой функции (x, y, z, t) в квантовой механике могут быть
вычислены средние значения физических величин, который характеризует
данный объект, находящийся в состоянии, описываемом волновой функцией .
Например, среднее расстояние ‹ r › электрона от ядра вычисляется по
формуле
где интегрирование производится по всему бесконечному пространству, т.е. по
координатам x,y,z от -∞ до +∞.
Физический смысл имеет не сама функция , а квадрат ее модуля.
Величина
имеет смысл плотности вероятности:
где dw - вероятность обнаружения частицы в момент времени t в элементарном
объеме dV.
Вероятность dw того, что частица находится в элементе объема dV,
равняется произведению
и элемента объема dV:
Величина
определяет интенсивность волн де Бройля. Волновая
функция должна удовлетворять условию нормировки вероятностей:
где тройной интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству, т.е.
по координатам x, y, z от - до . Это означает, что пребывание частицы гделибо в пространстве есть достоверное событие и его вероятность должна быть
равна единице.
Основное уравнение квантовой механики было получено Э.
Шредингером. Справедливость уравнения Шредингера доказывается тем, что
выводы квантовой механики, полученные с помощью этого уравнения в
77
tzyxU
mti
,,,
2
2
,
(6.5)
2
2
2
2
2
2
zyx
1i
c
tzyx
,,,
2
dxdydz
2
(6.6)
0)(
2
2
UЕ
m
,
(6.7)
атомной и ядерной физике, находятся в согласии с экспериментом. Уравнение
Шредингера имеет вид:
где m – масса частицы; U(x,y,z,t) – потенциальная энергия частицы в силовом
поле, где частица движется;
= (x, y, z, t) – искомая волновая функция частицы;
- оператор Лапласа;
- мнимая
единица.
Уравнение (6.5) справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью
. Уравнение Шредингера дополняется важными условиями, которые
накладываются на функцию = (x, y, z, t) – условия регулярности:
1) функция должна быть конечной, непрерывной и однозначной;
2) производные
3) функции
должна быть интегрируема, т.е. интеграл
должны быть непрерывны;
должен быть конечным. В простейших случаях третье условие сводится к
условию нормировки вероятности (6.4).
Уравнение (6.5) часто называют временным уравнением Шредингера, так
как оно содержит производную от функции по времени. Однако для
большего числа физических явлений, происходящих в микромире, например
для описания поведения электрона в атоме, важно уметь находить
стационарные решения уравнения Шредингера, не содержащие времени. Для
решения этой задачи нужно получить уравнение Шредингера, в котором
исключена зависимость от времени. Оно имеет смысл для тех задач, в
которых потенциальная энергия U не зависит от времени: U(x, y, z), т.е.
где Е – полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается
постоянной. Уравнение (6.7) называют стационарным уравнением
Шредингера. Функции , удовлетворяющие уравнению Шредингера при
данном значении U, называют собственными функциями. Значения Е, при
которых существуют решения уравнения Шредингера (6.7), называются
собственными значениями энергии.
78
,...,...,,
,...,...,,
21
21
n
n
EEE
.
(6.8)
lx 0
0)(
2
22
2
UЕ
m
dx
d
.
(6.9)
U
x
U
0
l U a)
n=4
E
2
n=3
n=2
n=1
E
1
E3 E4 0
б)
Рис.6.1.
а) Потенциальная энергия частицы, находящейся в бесконечно глубокой
одномерной потенциальной яме; б) Схема энергетических уровней частицы в
потенциальной яме.
Совокупность собственных значений энергии называется спектром
величины. Если совокупность образует дискретную последовательность, спектр
называется дискретным. Если собственные значения энергии образуют
непрерывную последовательность, спектр называют непрерывным или
сплошным. В случае дискретного спектра собственные значения и собственные
функции можно пронумеровать:
Таким образом, квантование энергии получается из основных положений
квантовой механики без каких-либо дополнительных предположений.
1) Рассмотрим пример нахождения собственных значений энергии и
соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в
бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме (рис.6.1).
Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси ОХ. Пусть
движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: х
Потенциальная энергия U имеет в этом случае следующий вид (рис.6.1, а): она
равна нулю при
и обращается в бесконечность при x<0 и x>l.
Поскольку пси-функция зависит только от координаты x, уравнение
Шредингера будет иметь следующий вид:
За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому
вероятность обнаружения частицы вне ямы равна нулю. Соответственно и
=0 и x
min
max
=l.
79
0)()0( l
,
(6.10)
0
2
22
2
Е
m
dx
d
.
(6.11)
kxax sin
,
(6.12)
E
m
k
2
2
,0sin)(
0sin)0(
al
a
(6.13)
nkl
(n=1,2,3,…),
(6.14)
2
2
22
2nml
E
n
, (n=1,2,3,…)
(6.15)
n
ml
EEE
nnn
2
22
1
.
(6.16)
l
nx
l
x
n
sin
2
,
(6.17)
функция за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует,
что должна быть равна нулю и на границах ямы, т.е.
В области, где не равна тождественно нулю, уравнение Шредингера
имеет вид:
Решение этого уравнения имеет вид:
где
- волновое число волны де Бройля для электрона,
находящегося внутри потенциальной ямы.
Из условия (0)=0 получаем, что
что возможно лишь в случае, если
где n – главное квантовое число.
Тогда собственные значения энергии частицы, находящейся в
потенциальной яме:
т.е. спектр энергии является дискретным. На рис.(6.1.,б) представлена
схема энергетических уровней.
Разность энергий двух соседних уровней равна
Собственные функции имеют вид:
80
^
Qf
,
(
6.18)
Q
^
2
^
M
^^^
,,
zy
x
MMM
Рис.6.2
Графики собственных функций (а) и плотности вероятности обнаружения
частицы на различных расстояниях от стенок ямы.
Графики собственных функций изображены на рис. 6.2 а). На рис. 6.2 б)
дана плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях
от стенок ямы. Из графиков следует, что в состоянии с n=2 частица не может
быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в
левой, так и в правой половине ямы.
В квантовой механике большую роль играет понятие оператора. Под
оператором подразумевают правило, посредством которого одной функции
сопоставляется другая функция f:
где
- символическое обозначение оператора. Под символом оператора
скрывается совокупность действий, с помощью которых одному множеству
чисел сопоставляется другое множество чисел.
В квантовой механике другим динамическим переменным также
сопоставляются операторы. Соответственно рассматривают операторы
координат, импульса, момента импульса и т.д.
Применительно к моменту импульса в квантовой механике вводятся
четыре оператора: оператор квадрата момента
момента на оси координат:
. Одновременно могут иметь
определенные значения только квадрат момента и одна из проекций момента на
координатные оси. Две другие проекции оказываются неопределенными, т.е. не
имеют определенного направления и, следовательно, не могут быть
и три оператора проекции
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]