Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптика. Теоретическая механика. Основы атомной и ядерной физики. Учебно-методическое пособие к практическим занятиям по физике
.pdf
41
1
d
2
d
исследуемый спектр регистрируется с помощью фотопластинки, и
дифракционными спектроскопами, если спектр наблюдается визуально.
Гораздо шире распространен случай, когда коэффициент пропускания
пластинки, располагаемой в световом пучке, меняется не вдоль одного
направления, а по всей поверхности нашей пластинки. Примером может
служить пластинка беспорядочно запыленного стекла или окно, покрытое
узорами мороза. Ясно, что такое изменение коэффициента пропускания можно
охарактеризовать как изменение по двум координатам нашей поверхности, так
что рассматриваема структура будет двумерной. В простейшем случае это
будет двумерная периодическая структура (двумерная решетка), в общем –
совокупность многих двумерных решеток.
Рассмотрим двумерную решетку, представляющую собой скрещенные
перпендикулярные решетки с периодами
и
. Подобный случай легко
осуществить, поставив непосредственно одну за другой две обыкновенные
нарезанные на стеклянных пластинах дифракционные решетки, штрихи
которых направлены перпендикулярно друг к другу.
Узкий пучок монохроматического света, пройдя через первую решетку с
вертикальными штрихами, должен дать совокупность максимумов (нулевой и
максимумы высших порядков) вдоль горизонтальной линии.
Световой пучок, соответствующий каждому максимуму, проходя через
вторую решетку, распадается на новую совокупность световых пучков, дающих
максимумы вдоль вертикальной линии. Полная картина спектра подобна,
изображенной на рис. 3.11. Цифры 0,0; 0,1; 1,1; 1,2 и так далее около пятнышек
показывают порядок спектра в первой и второй решетках.
Рис. 3.11.
Схематическое изображение распределения интенсивности при дифракции на двумерной
решетки
Отклонение дифрагировавшего луча вдоль Х приведет к образованию
минимумов и максимумов света в зависимости от величины угла дифракции.
Применяя теорию одномерной решетки (см. уравнения 3.6 - 3.8), найдем, что
положение главных максимумов должны удовлетворять условиям:
42
.,,3,2,cos
11
md
(3.10)
.,,3,2,cos
22
md
(3.11)
1
m
2
m
1
d
2
d
3
d
1
р
2
р
3
р
Аналогично дифракция в направлении оси Y дает главные максимумы в
направлениях, определяемых условиями:
Таким образом, главные максимумы возможны только в направлениях,
удовлетворяющих двум из написанных выше совокупностей условий, причем
каждой паре значений целых чисел
и
соответствует максимум того или
иного порядка.
Наибольший интерес и практическое значение имеет дифракция на
пространственных неоднородностях. В этом случае волна распространяется не
в однородной среде, а в среде, в которую включены участки, где скорость
волны отличается от скорости в остальных частях среды, то есть участки с
иным показателем преломления.
Рассмотрение дифракции на пространственных неоднородностях любой
формы представляет собой очень сложную задачу. Ограничимся простейшим
случаем, когда неоднородности имеют правильный периодический характер, то
есть представляют собой решетку. Однако в этом случае периодическая
структура среды имеет пространственный характер, то есть решетка тянется по
всем направлениям в среде. Представим ее как совокупность периодических
структур по трем координатным направлениям и рассмотрим дифракцию
плоских волн на такой пространственной трехмерной решетке.
Допустим, что наша среда вдоль оси Х представляет собой
периодическую структуру с периодом
, вдоль оси Y – решетку с периодом
и вдоль оси Z – решетку с периодом
. Результат дифракции на трехмерной
структуре показан на рис. 3.12., где OZ – направление падающей волны; AM,
BN, CQ , DS,… - направления волн, дифрагировавших на отдельных слоях,
схематически изображенных маленькими площадками
,
,
, …;
направления AM, BN, … составляют угол с направлением ОZ.
43
1
d
2
d
3
d
)(
)cos1(
,cos
,cos
33
22
11
условияныедифракцион
md
md
md
(
3.12)
321
,, mmm
Рис. 3.12.
Схема дифракции на трехмерной структуре
В случае дифракции на пространственной структуре с периодами
,
получим максимумы света только в направлениях, удовлетворяющих
следующим условиям:
где
- целые числа.
Рассмотренный случай дифракции на трехмерной решетке имеет
исключительно важное значение. Он осуществляется практически при
дифракции рентгеновских луче на естественных кристаллах.
Русский физик Г. В. Вульф и английский У. Л. Брэгг независимо друг от
друга предложили (1913) простой метод расчета дифракции рентгеновского
излучения в кристаллах. Они исходили из предположения о том, что
дифракцию рентгеновского излучения можно рассматривать как результат его
отражения от системы параллельных сетчатых плоскостей кристалла, т. е.
плоскостей, в которых лежат узлы кристаллической решетки. Это отражение, в
отличие от обычного, осуществляется лишь при таких условиях падения лучей
на кристалл, которые соответствуют интерференционным максимумам для
лучей, отраженных от разных плоскостей. На рис. 3.13 показаны две соседние
сетчатые плоскости кристалла АА' и ВВ'.
,
44
sin2 dDFDE
,sin2
nd
(3.13)
Рис. 3.13.
Схематическое изображение дифракции рентгеновского излучения:
(АА' и ВВ' – сетчатые плоскости кристалла, 1 и 2 – падающие лучи, 1' и 2' -
отраженные лучи, d – межплоскостное расстояние, - угол скольжения)
Абсолютный показатель преломления всех сред для рентгеновского
излучения близок к единице. Поэтому оптически разность хода между двумя
лучами 1' и 2', отражающимися от плоскостей АА' и ВВ' равна =
, угол - между падающими и отраженными лучами и
плоскостью АА' (угол скольжения). Если длина волны рентгеновского
излучения равна
, то интерференционные максимумы отражения
удовлетворяют следующему условию, называемому условием Брэгга -
Вульфа:
где n = 1,2, …- порядок дифракционного максимума.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ:
3.1. Что представляет собой свет.
3.2. Явление проявления волновых свойств света.
3.3. Определение интерференции света.
3.4. Необходимое условие интерференции волн.
3.5. Условия наблюдения интерференционной картины.
3.6. Метод зеркал Френеля.
3.7. Условие интерференционного максимума.
3.8. Условие интерференционного минимума.
3.9. Определение ширины интерференционной полосы.
3.10. Определение длины интерференционной полосы.
3.11. Бипризма Френеля.
3.12. Кольца Ньютона.
3.13. Радиусы темных колец Ньютона.
3.14. Радиусы светлых колец Ньютона.
3.15. Определение оптической длины пути.
3.16. Оптическая разность хода интерферирующих волн.
3.17. Билинза.
45
1n
2
n
3.18. Определение дифракции света.
3.19. Условия наблюдения дифракционного минимума.
3.20. Условие наблюдения дифракционного максимума.
3.21. Одномерная дифракционная решетка.
3.22. Двухмерная дифракционная решетка.
3.23. Трехмерная дифракционная решетка.
3.24. Период дифракционной решетки.
3.25. Условие главного максимума одномерной дифракционной решетки.
3.26. Условие главного минимума одномерной дифракционной решетки.
3.27. Условие главного максимума двухмерной дифракционной решетки.
3.28. Условие главного максимума трехмерной дифракционной решетки.
3.29. Определение дифракционных спектров.
3.30. Приборы, используемые для спектрального состава света.
3.31. Метод Юнга.
3.32. Разрешающая способность дифракционной решетки.
3.33. Формула Брэгга – Вульфа.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: “ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА”
1. Определить явление.
2. Если это явление дифракции, то сделать чертеж.
3. Записать условие максимума или минимума интерференции, если
это явление интерференции, для явления дифракции, записать уравнения
дифракционного максимума или дифракционного минимума.
4. Решить полученную систему уравнений.
5. Проверить единицы физических величин измерений справа и слева
от знака равенства.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: “ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА”
Задача 3.1. На поверхность стеклянного объектива (
1,5) нанесена
тонкая пленка, показатель преломления которой
= 1,2 (“просветляющая”
пленка). При какой наименьшей толщине d этой пленки произойдет
максимальное ослабление отраженного света в средней части видимого
спектра.
46
Дано:
1n
1,5
2
n
= 1,2
Стеклянная пластинка
21
nn
Рисунок к задаче 3.1.
Найти:
d - ?
1
AS
2
BCS
n
1
AS
2
BCS
)
2
)(12( k
.)(
121122
nADnBCABnlnl
).2()12()(
12
knADnBCAB
)2()12(2
2
knd
.
4
)12(nk
d
Решение:
2. Из световой волны, падающей на пленку, выделим узкий пучок SA. В
точках А и В, падающий пучок частично отражается и частично преломляется.
Отраженные пучки света
и
падают на собирающую линзу,
пересекаются в ее фокусе и интерферируют между собой. Т.к. показатель
преломления воздуха (
l) меньше показателя преломления вещества пленки,
который, в свою очередь, меньше показателя преломления стекла, то в обоих
случаях отражение происходит от среды оптически более плотной, чем та
среда, в которой идет падающая волна. Поэтому фаза колебания пучка света
при отражении в точке А изменяется на π рад и точно так же на π рад
изменяется фаза колебаний пучка света
при отражении в точке В.
Следовательно, результат интерференции этих пучков света при пересечении в
фокусе линзы будет такой же, как если бы никакого изменения фазы колебаний
ни у того ни у другого пучка не было.
Согласно уравнениям (3.1) и (3.4), имеем:
(1)
Оптическая разность хода:
(2)
С учетом уравнений (1) и (2) условие минимума интенсивности имеет
вид:
(3)
3. В пределе при α = 0, имеем
полученное уравнение относительно искомой величины, можно получить:
(4)
. Решая
47
.10115
2,14
10550)102(
9
9
мd
1
S
2
S
min
d
Дано:
= 0,8 мкм
n = 1,33
Решение:
Рисунок к задаче 3.2.
Найти:
min
d
- ?
2
)12(
12
к
1
2
min
d
.
2
12
Минимальное значение d соответствует значению k = 0.
Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:
Ответ: d = 115 нм.
Задача 3.2. От двух когерентных источников
и
( = 0,8 мкм) лучи
попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда
на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (n =
1,33), интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой
наименьшей толщине
пленки это возможно?
1. Изменение интерференционной картины на противоположную
означает, что на тех участках экрана, где наблюдались интерференционные
максимумы, стали наблюдаться интерференционные минимумы. Такой сдвиг
интерференционной картины возможен при изменении оптической разности
хода пучков световых волн на нечетное число половин длин волн.
2. Согласно уравнениям (3.1) и (3.2), имеем:
(1)
где
пленки;
0, 1, 2,…
этого, имеем:
Наименьшей толщине
- оптическая разность хода пучков световых волн до внесения
- оптическая разность хода тех же пучков после внесения пленки; k =
пленки соответствует k = 0, с учетом
(2)
48
.)(,
2minmin12211
lnddlll
.)(
,
,
2
2minmin12
211
12
lnddl
ll
.
)1(2
min
n
d
.1021,1
)133,1(2
108,0
6
6
min
мd
.
2
tglА
(1)
.sin
tg
(2)
Дано:
= 500 нм =
=
9
10500
м
а = 20 мкм =
=
6
1020
м
l = 1 м
Найти:
А - ?
Из рисунка следует:
3. Решая совместно систему уравнений:
(3)
получаем:
Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:
Ответ: 1,21 мкм.
Задача 3.3. На щель шириной а = 20 мкм падает нормально
параллельный пучок монохроматического света ( = 500 нм). Найти ширину А
изображения щели на экране, удаленном от щели на расстоянии l = 1 м.
Шириной изображения считать расстояние между первыми дифракционными
минимумами, расположенными по обе стороны от главного максимума
освещенности.
Решение:
1.
Рисунок к задаче 3.3.
2. Из рисунка видно, что
Поскольку угол мал то можно принять, что
49
.sin2 lА
(3)
,sin
kа
.
2
sin
(4)
.
2al
A
(5)
05,0
1020
1050012
6
9
A
1
2
1
l
2
l
2
l
3
r
1
2
1
2
уу
Подставляя (2) в (1), имеем:
3. Согласно уравнению (3.8)
откуда при k =1, имеем:
Подставляя (4) в (3), имеем:
4. Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:
м.
Ответ: А = 0,05 м.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:
3.1. Какова должна быть постоянная d дифракционной решетки, чтобы в
первом порядке были разрешены линия спектра калия
= 404,4 нм и
= 404,
7 нм. Ширина решетки а = 3 см.
(Ответ: d = 22 мкм)
3.2. Установка для получения колец Ньютона освещается
монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки.
Наблюдение идет в отраженном свете. Расстояние между вторым и двадцатым
темными кольцами
= 4,8 мм. Найти расстояние
между третьим и
шестнадцатым темными кольцами Ньютона.
(Ответ:
= 3,6 мм)
3.3. Установка для получения колец Ньютона освещается светом с
длиной волны = 589 нм, падающим по нормали к поверхности пластинки.
Радиус кривизны линзы R = 10 м. Пространство между линзой и стеклянной
пластиной заполнено жидкостью. Найти показатель преломления n жидкости;
если радиус светлого кольца в проходящем свете
= 3,65 мм.
(Ответ: n = 1,33)
3.4. Во сколько раз увеличится расстояние между соседними
интерференционными полосами на экране в опыте Юнга, если зеленый
светофильтр (
(Ответ:
= 500 нм) заменить красным (
= 1,3)
= 650 нм).
50
11
0
30
0
А
0
А
810
b
i
.
cos2
,
b
b
d
m
1
С
3.5. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует клин
вследствие стекания жидкости. При наблюдении интерференционных полос в
отраженном свете ртутной дуги ( = 546, 1 нм) оказалось, что расстояние
между пятью полосами l = 2 см. Найти угол клина. Свет, падая
перпендикулярно к поверхности пленки. Показатель преломления мыльной
воды n = 1,33.
(Ответ: =
)
3.6. На щель шириной а = 6λ падает нормально параллельный пучок
монохроматического света с длиной волны . Под каким углом φ будет
наблюдаться третий дифракционный минимум света?
(Ответ:
)
3.7. По прямой дороге идет обычная автомашина с включенными фарами
(рассматриваемыми как точечные источники). Расстояние между фарами
автомобиля 120 см. На каком расстоянии от наблюдателя должна находиться
машина, чтобы он был уверен, что видит два источника света, а не один?
Примите диаметр зрачка глаза равным 0,5 см, а эффективную длину света,
испускаемого фарами, равной 5500
(1
=
см). Как вы думаете, тот
факт, что свет «белый» (то есть смесь лучей с разными длинами волн),
облегчает или затрудняет разрешение двух источников света?
(Ответ: R = 9 км)
3.8. Когда желобки дифракционной решетки располагаются так, что они
отражают большую часть падающего излучения только в определенном
направлении, то говорят, что решетка блестит в этом направлении.
Предположим, что желобки можно нанести так, чтобы сечение решетки
представляло собой пилообразную функцию, показанную на рисунке, причем
поверхность каждого желобка лежит под определенным углом
.
а) Используя понятие о дифрагированном пучке света как об излучении,
испускаемом в веществе осцилляторами, которые колеблются в одной фазе с
падающим излучением, определите, в каком направлении дифрагированный
пучок будет иметь наибольшую интенсивность, если
= 0.
б) Приблизительно оцените тот угловой интервал, внутри которой
решетка «блестит».
(Ответ:
)
Рисунок к задаче 3.8.
3.9. На рисунке показан общий вид спектрографической решетки. Свет от
источника L проходит через узкую щель S, затем через коллиматорную линзу
(или зеркало)
, которая превращает его в параллельный пучок лучей (так что
на решетку падает как бы плоская волна, приходящая из бесконечности). Далее
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]