Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ОДУРУОФА. Ч.2. Линейные уравнения. Учебное пособие
.pdf
Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций
Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»
(СибГУТИ)
Ю. В. Утюпин
ОДУРУОФА
Часть 2.
Линейные уравнения
Учебное пособие
Новосибирск
2023
УДК 517.9(075.8)
ББК 22.161.6
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ
Рецензенты: старший научный сотрудник Института гидродинамики СО
РАН, д.ф.-м.н, доцент Д.А. Прокудин; заведующий кафедрой ПМиК СибГУТИ
д.т.н., доцент И.В. Нечта
Утюпин, Ю. В. ОДУРУОФА. Часть 2. Линейные уравнения : учебное
пособие / Ю. В. Утюпин ; Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, кафедра высшей математики. –
Новосибирск, 2023. – 101 с.
Учебное пособие предназначено для студентов направления 02.03.02
ФИВТ СибГУТИ. Рекомендовано кафедрой ВМ СибГУТИ для использования в
учебном процессе. Учебное пособие содержит теоретический материал к
разделу «Разностные уравнения», входящему в дисциплину
«Дифференциальные уравнения. Разностные уравнения. Основы
функционального анализа», читаемому на втором курсе по данной
специальности. Для более глубокого понимания студенту предлагается на
основе уже знакомого материала из курсов линейной алгебры и
дифференциальных уравнений изучить методы решения разностных уравнений,
которые имеют много общего с теми, что изучались в указанных курсах.
© Утюпин Ю.В., 2023
© Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, 2023
2
Оглавление
Введение ................................................................................................................. 4
1. Общие вопросы ............................................................................................... 5
1.1.Линейное пространство ...................................................................................... 5
1.2.Линейные операторы .......................................................................................... 8
1.3.Собственные числа линейных операторов. Собственные векторы матриц.
................................................................................................................................. 11
1.4. Жорданова форма матрицы ............................................................................. 14
1.5. Связь между дифференциальными и разностными уравнениями и
изучаемыми ими объектами. ................................................................................ 26
2. Общие вопросы теории линейных уравнений ............................................. 31
2.1.Теоремы о существовании и единственности ................................................ 31
2.2. Однородные и неоднородные уравнения. Структура решений.
Фундаментальная система решений. ................................................................... 38
3. Линейные уравнения первого порядка ......................................................... 43
3.1. Дифференциальные уравнения ....................................................................... 43
3.2. Разностные уравнения ..................................................................................... 46
4. Линейные уравнения высших порядков ....................................................... 51
4.1. Общая теория линейных однородных уравнений высших порядков ......... 51
4.2. Решение неоднородных уравнений. Метод Лагранжа. ................................ 59
4.3. Уравнения с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных
коэффициентов. ..................................................................................................... 64
5. Системы линейных дифференциальных и разностных уравнений ........... 75
5.1. Теория однородных систем. Метод Лагранжа. ............................................. 75
5.2. Линейные системы с постоянными коэффициентами ................................. 87
Заключение .......................................................................................................... 98
Список литературы ........................................................................................... 100
3
Данное пособие посвящено продолжению изучения дисциплины
«Дифференциальные уравнения, разностные уравнения и основы
функционального анализа», читаемой на втором курсе по специальности
02.03.02. «Фундаментальная информатика и информационные технологии».
Основным объектом изучения будут линейные уравнения и системы. При
этом изложение строится таким образом, что будет показано общее между
алгебраическими, дифференциальными и разностными уравнениями. Такая
форма изложения выбрана автором для того, чтобы на основе уже имеющихся у
студентов знаний, полученных в курсе «Линейная алгебра», показать, что
структура и методы решений разных типов линейных уравнений и систем
имеют много общего. На взгляд автора, это должно способствовать лучшему
усвоению и запоминанию непростого материала. При этом часть материала,
касающаяся дифференциальных уравнений, будет пересекаться с ранее
изложенным в учебном пособии «ОДУРУОФА. Часть 1. ОДУ».
Некоторые разделы, например Линейные пространства и Линейные
операторы, являются также вводными для раздела «Основы функционального
анализа».
Основной идеей данного пособия является способ изложения,
отличающийся от классического. Обычно принято, что студенты сначала
изучают теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, основной
частью которой являются методы решения линейных уравнений 1-го порядка,
высших порядков и системы линейных уравнений. При этом несколько раз
повторяются с разными вариациями метод Лагранжа, метод неопределенных
коэффициентов, метод Эйлера для систем ОДУ.
После изучения теории дифференциальных уравнений уже дается теория
разностных уравнений. Но методы решения линейных разностных уравнений
по своей сути аналогичны методам решения соответствующих дифф.
уравнений. Поэтому мы предлагаем читателю практически параллельное
изучение дифференциальных и разностных уравнений. Тем более, что уже в
первой части обосновывается общность этих типов уравнений, которые, кстати,
объединяются в общую теорию, называемую теорией «динамических систем».
В данном учебном пособии не затрагиваются вопросы решения
нелинейных уравнений и систем и качественного изучения дифференциальных
и разностных уравнений, то есть вопросы устойчивости и исследования особых
точек. Эти вопросы частично изложены в первой части и частично будут
вынесены в отдельное учебное пособие.
Кроме того, как указано выше, будут затронуты некоторые аспекты из
линейной алгебры. Так как уже в этом курсе вводятся понятия однородной и
неоднородной системы, структура общего решения неоднородной СЛАУ,
фундаментальной системы решений – базиса линейного пространства решений.
Поэтому уже в первой части предлагается их общее изложение с некоторыми
основами функционального анализа.
4
bkxy
0
cbyax
0
dczby
ax
R
1.1. Линейное пространство
На самом деле, с линейным пространством мы сталкиваемся уже в средней
школе, когда изучаем прямые и плоскости на уроках геометрии. Слово
«линейное» как раз и означает линейность изучаемого множества.
Уравнение прямой на плоскости
или
дает нам, по сути, уравнение, в которое переменные x и y входят линейно.
То же самое с уравнением плоскости в пространстве:
.
В это уравнение переменные x, y и z также входят линейно.
Эти объекты являются линейными пространствами, правда, при некотором
условии.
Сформулируем строгое определение линейного пространства. Для того
чтобы некоторое множество назвать линейным пространством, необходимо, вопервых, чтобы над объектами этого множества были определены операции
сложения и умножения на вещественное число. То есть мы, как минимум,
должны уметь умножать элементы этого множества на произвольное число
и складывать между собой. При этом должны выполняться основные
законы сложения и умножения на число. Но для того, чтобы множество
называлось линейным пространством, недостаточно просто уметь складывать
элементы и умножать на число. Необходимо, чтобы произведение любого
элемента множества на любое вещественное число также принадлежало этому
множеству, и сумма любых двух элементов тоже была элементом этого
множества. При этом, вообще говоря, мы можем рассматривать умножение не
обязательно на вещественное число, а на любое числовое поле, например,
комплексное. Но в наших задачах мы ограничиваемся полем R.
Таким образом, мы можем ввести строгое определение линейного
пространства.
Множество элементов E произвольной природы, для которых определены
операция сложения и операция умножения на число, такие, что сумма
элементов этого множества и произведение элемента множества на скаляр
также принадлежат этому множеству, и удовлетворяющие следующим
аксиомам:
5
),()(,,.2
,,.
1
xyyxEyx
R
R
R
R
0
by
ax
0
czbyax
czbya
zyxzyxEzyx
,00,.3
xxEEx
,)()(,,.4
xxREx
xxxREx
yxyxREyx
.1,00.7
xxxEx
,)(,,.5
,)(,,.6
называется линейным пространством (над некоторым числовым полем, из
которого берется скаляр ).
В курсе линейной алгебры и аналитической геометрии линейное
пространство также называют векторным пространством. А его элементы
называют векторами.
Самые простые примеры линейных пространств – евклидова плоскость
и евклидово пространство
3
. При этом точка пространства отождествляется с
2
радиус-вектором, и, таким образом, операции сложения и умножения на скаляр
определены как операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр.
Сумма векторов, лежащих на плоскости и произведения вектора на число – это
также вектора, лежащие на плоскости. То же и с трехмерным пространством.
Возникает вопрос, почему же не любая плоскость в
2
в
являются линейными пространствами. В силу вышеуказанных свойств
3
и не любая прямая
линейного пространства в нем всегда должен быть нулевой элемент.
Произвольная прямая такового не содержит.
Примерами линейных пространств также являются: на плоскости прямые
вида
, а в трехмерном пространстве плоскости
, и
прямые
x
. Эти множества удовлетворяют всем условиям линейного
пространства, в том числе и наличию нуля.
Вышеуказанные примеры – хорошо знакомые нам множества со школы и
из курса линейной алгебры и аналитической геометрии. Но с линейными
пространствами других типов мы также встречались много раз.
Например, мы знаем, что сумма двух непрерывных функций является
непрерывной функцией, а также, что умножение на число не влияет на
непрерывность функции. Поэтому множество всех функций, непрерывных на
замкнутом интервале
ba,
, – линейное пространство. Роль нуля играет
функция, тождественно равная нулю.
Далее, в курсе алгебры мы узнали понятие матрицы и ввели операции
сложения матриц одинакового размера и произведение матрицы на число. Мы
знаем, что в результате этих операций мы получаем матрицы исходного
размера. Следовательно, множество всех матриц mxn – линейное пространство.
6
Также из курса алгебры мы знаем, что если однородная система линейных
0AX
)(x
f
1)1
(f
R
0AX
алгебраических уравнений
имеет решение
, то для любого числа C
XX
1
также является
CXX
1
решением этой системы. Кроме того, сумма любых двух решений этой системы
также является решением этой системы. Следовательно, множество решений
однородной системы является линейным пространством.
Подобная ситуация складывается также при изучении линейных
однородных дифференциальных и разностных уравнений и систем.
Примеры множеств, не являющихся линейным пространством:
Как мы уже сказали выше, прямые, не проходящие через начало
координат.
Непрерывные функции
, удовлетворяющие условию
.
Квадратные обратимые матрицы.
Бесконечно возрастающие последовательности.
Доказательство нелинейности этих множеств предлагается в качестве
упражнения.
Для векторных пространств из курса векторной алгебры мы помним
понятия линейной независимости векторов и базиса пространства, которые без
особых изменений распространяются на произвольное линейное пространство:
Набор элементов линейного пространства
зависимым, если существуют числа
21
, не все равные нулю, что
...,
m
21
0...
2211
xxx
nn
называется линейно
xxx ...,
m
.
В противном случае, набор элементов называется линейно независимым.
Базисом линейного пространства называется набор линейно независимых
элементов
21
этого пространства такой, что любой элемент этого
eee ,...,
n
пространства представим в виде линейной комбинации базисных. То есть
. (1.1)
... x
2211
eeeLx
nn
В этом случае n – размерность пространства. Размерность пространства L
обозначается как dim L.
Пространство называется конечномерным, если оно имеет конечный
базис.
Равенство (1.1) называется разложением элемента (вектора) по базису, а
– координатами вектора в заданном базисе.
21 n
),...,,(
Например, базисом на плоскости являются любые два линейно
независимых вектора. В
3
таковых уже будет три.
Если мы рассмотрим пространство решений системы
,
7
то количество её линейно независимых решений равно n-r, где n – количество
x
0)(x
f
kx
y
неизвестных системы, а r – её ранг. Напомним, что любой набор из n-r линейно
независимых решений данной системы называется фундаментальной
системой решений, и они образуют базис линейного пространства решений. И
размерность этого пространства равна n-r. С ФСР мы также столкнемся при
изучении дифференциальных и разностных уравнений.
Заметим, что выше было дано определение конечномерного пространства.
Это означает, что есть линейные пространства, размерность которых мы не
можем выразить конечным числом.
Действительно, рассмотрим линейное пространство функций,
непрерывных на отрезке [0,1], которое имеет обозначение C[0,1].
Любая степенная функция
n
является непрерывной на любом отрезке, а
следовательно, принадлежит указанному пространству. Нулём этого
пространства является функция, тождественно равная нулю на заданном
отрезке
. При этом никакая нетривиальная линейная комбинация
2
21
...
m
xxax
m
при любом конечном m не может быть тождественно равной нулю ни на каком
отрезке, поскольку это есть многочлен, который не может обращаться в ноль
более, чем в m точках. Следовательно, любой конечный набор функций из
бесконечной последовательности
,2 m
....,...,,,1
xxx
является линейно независимым, а следовательно, размерность пространства
C[0,1] не может быть задана конечным числом. Такие пространства называются
бесконечномерными. С ними мы ближе познакомимся в разделе «основы
функционального анализа».
Отметим, что поскольку пространства бесконечномерные, то и базис их
будет состоять из бесконечного числа элементов. Например, что касается
данного примера, то из курса мат. анализа известна теорема о приближении:
любая непрерывная на отрезке функция может быть сколь угодно приближена
многочленом на этом отрезке.
Отсюда следует, что базисом пространства C[0,1] является, например,
бесконечная последовательность
,2 m
. И таких базисов бесконечно
....,...,,,1
xxx
много.
1.2. Линейные операторы
В этом параграфе мы введем важное понятие – понятие линейного
преобразования (данное название чаще используется в аналитической
геометрии), или линейного оператора, с которым мы уже также встречались в
курсе линейной алгебры. Да и в школе мы уже работали с простейшими типами
линейных операторов.
Например, функция
– простейший линейный оператор.
8
02
)(xAy
A(x)
x)A(RLx
и
YXA:
Из курса аналитической геометрии мы также знаем, что матрицы
sincos
и
cossin
– линейные преобразования плоскости: растяжение в 2 раза
10
по оси OX и поворот вокруг начала координат на угол соответственно.
Вообще, понятие оператора – это расширение понятия функции. Оператор
– отображение между множествами. Любыми множествами! Без какой-либо
конкретики.
Понятие оператора используется в различных разделах математики для
отличия от другого рода отображений (главным образом, числовых функций,
изучаемых в школе и в курсе математического анализа).
В алгебре и аналитической геометрии оператор – преобразование
пространства в себя (проекторы, повороты координат, гомотетии, умножения
вектора на матрицу).
В контексте функционального анализа под операторами понимают
отображения, ставящие в соответствие функции другую функцию («оператор
на пространстве функций» вместо «функции от функции»), например,
дифференцирование и интегрирование.
Напомним определение из курса линейной алгебры и аналитической
геометрии:
Пусть L – линейное пространство над полем вещественных чисел.
Правило A, которое каждому элементу x из L ставит в соответствие
единственный элемент y из L, называется преобразованием пространства L.
Обозначается, как
.
Вектор y в данном случае называется образом вектора x. А вектор x –
прообраз вектора y.
Преобразование A называется линейным, если выполняются следующие
условия:
1.
2.
,
)A(x)A(x)xA(xLxx
212121
Общее определение линейного оператора:
Пусть X и Y – линейные пространства.
Оператор
называется линейным, если
R, и , xAxAxxAXxx
221122112121
.
Эти определения практически идентичны. За исключением лишь того, что
в геометрии линейные преобразования переводят пространство X само в себя.
Суть определения очень проста. Образом элемента пространства,
умноженного на некоторое число, при действии линейного оператора является
образ самого этого элемента, умноженный на то же число (число выносится за
9
знак оператора) и оператор от суммы прообразов есть сумма образов. Или,
kx
y
другими словами, линейный оператор переводит линейную комбинацию
элементов пространства в ту же самую линейную комбинацию операторов от
исходных элементов.
Например, функция
удовлетворяет этому условию:
.
)()()()(
xbyxaybkxakxbxaxkbxaxy
21212121
Для любых матриц также верно:
)( и AXAXXXAAXXA
.
2121
Здесь следует напомнить теорему из курса Алгебры и геометрии:
Теорема. В конечномерном линейном пространстве размерности n любому
линейному преобразованию можно поставить в соответствие квадратную
матрицу порядка n, единственную в заданном базисе. (Вид матрицы зависит от
базиса пространства).
Эта теорема верна не только для линейных преобразований векторных
пространств, но и вообще для линейных операторов, действующих в любых
конечномерных пространствах. Любой линейный оператор, отображающий nмерное пространство в m-мерное, записывается в заданном базисе
единственным образом с помощью некоторой матрицы размера mxn.
Другими, уже более сложными примерами линейных операторов являются
производные от функций. Именно они нужны нам для дальнейшего изучения
линейных дифференциальных уравнений.
Действительно, мы знаем, что производная от суммы есть сумма
производных и коэффициент выносится за знак производной:
.
)(')('))'()((
xbfxafxbfxaf
2121
Кроме того, последнее верно и для второй производной, и для третьей, и для
производной любого порядка:
)(
21
n
)(
1
)(
nn
)()())()((
xbfxafxbfxaf
2
.
Если пойти дальше, то это будет верно и для суммы первой и второй
производной:
))('')('())('')('('))'()(())'()((
xfxfbxfxfaxbfxafxbfxaf
22112121
и для любой линейной комбинации производной первого и второго порядка
, да и вообще для любой линейной комбинации любых
)('')('
xfxf
21
производных любого порядка.
Таким образом, далее при изучении линейных дифференциальных
уравнений мы введем понятие линейного дифференциального оператора n-го
порядка:
nnn
n
)(
1
)1(
2
Заметим, что то, что коэффициенты при производных )(xp
)2(
1
yxpyxpyxpyxpyyL
)()()()(
nn
.
являются
i
функциями от x, никак не влияет на линейность этого оператора.
При изучении разностных уравнений мы также столкнемся с линейными
операторами. В отличие от дифференциальных уравнений, где основной объект
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]