Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ОДУРУОФА. Ч.2. Линейные уравнения. Учебное пособие
.pdf
Для соответствующей системы (5.13) разностных уравнений этому
2
2
будут соответствовать фундаментальные решения
11
k
,)(
DkY
ii
11122
k
i
k
),()(
DCDkY
ki
i
...
q
i
.,...,1
ki
q
k
i
k
111
k
ki
qkq
iiii
Здесь
2
C
k
l
C -биноминальные коэффициенты (в частности, kCk
k
)1(
kk
Примеры
1.
ДУ РУ
,'
yyy
211
.3'
yyy
212
Характеристический многочлен:
11
EA
31
2
044
(5.16)
11
1
),...()(
DCDCDkY
i
1
,
)()()1(
kykxkx
)(3)()1(
kykxky
Собственные значения матрицы A: 2
Собственный вектор для 2
x
11
11
1
1
x
2
)(
DEA
D
1
1
:
2,1
0
.
0
.
2,1
Поскольку собственный вектор единственный, к нему ищем
присоединенный
x
11
)(
DEA
1
D
1
1
x
11
2
2
1
1
.
1
Общее решение:
k
1
x
1
2
1
2
1
2
xx
2
eCeCY
x
1
2)(
CCkY
1
2
kk
2
21
1
2
k
91
2.
ДУ РУ
,33'
yyyy
3211
),(3)(3)()1(
kykykyky
3211
,1362'
yyyy
3212
.84'
yyyy
3213
3213
Характеристический многочлен:
331
1362
841
EA
Собственное значение матрицы A:
1
кратности 3.
3,2,1
23
0133
Собственный вектор для:
0
0
.
0
330
x
)(
DEA
3
D
1
1
1
1
1372
x
2
741
x
3
Больше собственных векторов нет. Поэтому построим к нему два
присоединённых.
)( DDEA
.
1
330
x
1
1372
x
2
741
x
3
3
1
.
1
),(13)(6)(2)1(
kykykyky
3212
).(8)(4)()1(
kykykyky
3
1
1
0
D – первый присоединенный.
1
)( DDEA
1
.
1
Решение данной системы –
Общее решение:
330
x
1
1372
x
2
2
D – второй присоединённый.
1
741
x
3
4
1
0
3
1
.
0
92
i
)(E
A
i
i
3
1
1
34
x
x
eC
3
1
xx
eCeCY
21
3
x
2
x
x
2
2
x
2
33
x
x
2
2
1
x
C
3
1
CCY
1
21
34
k
3
1
k
kk
2
33
k
k
1
k
)1(3
kk
2
kk
)1(
)1(
2
2. Осталось разобрать случай, когда характеристический многочлен имеет
комплексный корень. Напомним, что многочлен с вещественными
коэффициентами всегда имеет пару комплексно-сопряженных корней.
Поскольку
– комплексное число, матрица
также
является комплексной. Следовательно, и собственный вектор D,
соответствующий комплексному собственному значению, также будет
комплексным.
Это означает, что решением системы дифференциальных уравнений
(5.11) будет комплексная вектор функция
xx
1
.
)sin(cos
xixDeDeZ
Если комплексная функция является решением системы линейных
уравнений с вещественными коэффициентами, то, в силу линейности
соответствующего оператора, вещественная и мнимая часть этой
функции также являются вещественными решениями данной системы.
Причём они линейно независимы.
Таким образом,
x
)sin(cosRe xixDe
и
x
)sin(cosIm xixDe
являются фундаментальными решениями системы (5.11),
соответствующими паре корней
.
Для решения системы разностных уравнений (5.13) представим
собственное число
в тригонометрической форме
i
)sin(cos
.
Тогда соответствующим ему комплексным решением будет векторфункция
1
k
k
.
)sin(cos
kikDDDZ
Паре комплексно-сопряженных характеристических корней тогда
соответствуют две вещественные вектор-функции
Re
D
k
и
Im
D
k
.
93
Примеры.
2.
ДУ РУ
,'
yyyy
3211
,'
yyy
212
yyy
313
.3'
Характеристический многочлен:
111
EA
011
103
2
),()()1(
kykyky
212
).()(3)1(
kykyky
313
)52)(1(
),()()()1(
kykykyky
3211
Собственные числа:
1
)(
DEA
Собственный вектор
3,2
i
)(
DEA
или
:
1
ii
ixx
ixx
3,21
110
x
1
001
003
D .
1
i
xxix
21
31
x
2
x
3
0
1
1
112
x
021
x
203
321
02
x
i
02
.
023
i21,1
.
0
arctg2)(, )sin(cos521
1
2
:
0
3
2i
Собственный вектор
D
1
3
Общее решение:
2
i
)21(
eZ
1
3
xxi
2
i
1
)2sin2(cos
xixe
3
k
2
2
i
1
)sin(cos5
kikZ
3
94
x
arctg2)
(
,
e
2sin2
e
x
2cos
x
2cos3
xx
ie
x
2cos2
x
2sin
=
x
2sin3
5
cos
cos3
k
sin2
k
k
kk
22
i
sin
5
k
cos2
k
=
k
sin3
0
x
1
1
CCeY
x
2sin2
x
2cos
x
2cos3
C
321
x
2cos2
x
2sin
x
2sin3
0
CCY
1
1
5
21
k
sin2
2
cos
cos3
k
k
kk
2
C
5
3
cos2
sin
sin3
k
k
k
Есть ещё один случай – когда система имеет кратные комплексные корни.
Мы здесь подробно этот случай не рассматриваем, так как для этого мы
должны иметь систему как минимум из 4 уравнений. Но если такая ситуация
возникает, то алгоритм действий не меняется. Нужно искать для такого числа
собственные вектора, а если нужно, то и присоединенные, которые будут
комплексными. Далее строятся комплексные линейно независимые решения,
которые разделяются на вещественную и мнимую часть.
Таким образом, мы полностью разобрали, как решается однородная система
линейных уравнений с постоянным коэффициентами.
Для решения неоднородных систем в этом случае мы имеем универсальный
метод – метод вариации произвольной постоянной. Но для систем с
постоянными коэффициентами с правой частью (свободным членом) в виде
квазиполиномов, как и ранее для уравнений n-го порядка, мы можем применять
метод неопределенных коэффициентов. Суть его точно такая же, как в
уравнениях высших порядков, с отличием лишь в том, что у нас не одна
функция, а вектор-функция с неопределенными коэффициентами. Поэтому
здесь надо понимать, что трудоемкость сильно возрастает и чаще применение
этого метода не оправдано по сравнению с методом Лагранжа.
Пример
'
x
eyyy
211
yyy
.3'
212
Ранее мы уже находили общее решение однородной системы
2
1
Поскольку свободный член
x
2
2
x
x
есть лишь в первом уравнении и 1 не
)),2((
21
21
xCCey
)).1((
xCCey
является характеристическим корнем, будем искать частное решение в виде
95
1
,0)0(
y
,1)0(
y
2
.
x
Bey
x
Aey
Подставим его в исходную систему
BeAeBe
xxxx
eBeAeAe
xxx
.3
Получим систему линейных алгебраических уравнений
BAA
,31BAB
Решив которую, получим частное решение
1
2
x
.
eyey
x
2
Общее решение системы:
2
1
2
2
21
21
xx
,2))2((
exCCey
xx
.))1((
exCCey
Контрольные вопросы и упражнения
В чем основное отличие в структуре общего решения линейных
однородных систем дифференциальных и разностных уравнений с
постоянными коэффициентами?
Найти общее решение системы и решение задачи Коши там, где это нужно.
,'
5.1.
5.1.
5.3.
5.5.
5.7.
zyy
,'
zyy
z
,42'
zyz
5.2.
.1)0(
5.2.
.44'
zyz
,32'
zyy
5.4
.23'
zyz
,3
zyxx
,5
zyxy
5.6. ,
.3
zyxz
,
zyxx
,
zyxy
5.8.
.
zyxz
,3'
zyy
z
,410'
zyz
,2'
zyy
.5)0(
.36'
zyz
,54
yxx
.44
yxy
,
zyx
zyxy
.
zyz
,4
yxx
,3
zyxy
.
zxz
5.9.
t
,5
eyxx
5.10.
2t
.3
eyxy
,1
yx
1
xy
sin
.
t
96
5.11.
5.13.
5.15.
5.17.
5.19.
5.20.
,cos42
tyxx
5.12.
.sin2
tyxy
),()()1(
kykxkx
5.14.
).(3)(5)1(
kykxky
),(4)(5)1(
kykxkx
5.16.
).(7)(9)1(
kykxky
),(4)(2)()1(
kzkykxkx
),(2)(3)(8)1(
kzkykxky
).(6)(4)(2)1(
kzkykxkz
),(6)(3)(3)1(
kzkykxkx
5.18.
,0
zyx
,
tyxy
.
tzxz
),(4)(5)1(
kykxkx
).(7)(9)1(
kykxky
),()(3)1(
kykxkx
).(3)()1(
kykxky
),(4)()1(
kykxkx
).()(3)1(
kzkykz
),()()()1(
kzkykxky
),(4)()1(
kzkyky
).(3)()1(
kzkykz
),(3)(2)(4)1(
kzkykxkx
),()(2)1(
kzkyky
).()()1(
kykxkz
5.15.
5.16.
5.17.
5.18.
,)(8)(6)1(
kykxkx
kykxky
kkykxkx
.2)(6)(4)1(
kkykxky
k
,2)(4)()1(
k
.25)(5)(2)1(
k
kzkykxkx
,)1()(4)(2)()1(
kykxkx
),(2)(3)(8)1(
kzkykxky
k
kzkykxkz
.)1()(6)(4)(2)1(
,2)(4)()1(
kzkykz
kzkykxky
).()(3)1(
,1)()()()1(
97
)()1(kAYkY
),0()1(AY
Y
A
TJT
A
TTJTJT
TJT
A
TTJTTJTJT
A
TTJTTJTJT
A
В дополнение к сказанному о системах разностных уравнений напомним,
что ранее мы упоминали, что тема жордановой формы матрицы тесно связана с
решением систем дифференциальных и разностных уравнений. На самом деле,
спектральная задача и представление матрицы в наиболее простом виде как раз
и возникли при решении систем дифференциальных уравнений.
Рассмотрим ещё раз однородную систему разностных уравнений с
постоянными коэффициентами
с начальными данными
)0( YY
0
Заметим, что, действуя так же, как с уравнениями первого порядка, мы
получим
2
),0()1()2(
YAAYY
…..
k
).0()1()( YAkAYkY
Отсюда следует, что мы легко можем найти решение задачи Коши, если
найдём общее выражение матрицы
k
.
Тут как раз на помощь к нам и приходит жорданова форма матрицы.
Действительно, пусть J – жорданова форма матрицы A.
То есть
1
, значит
12112
131213
…
.
1111
kkk
То есть возведение в степень произвольной матрицы можно свести к
возведению в степень её жордановой формы. Но последняя – почти
диагональная матрица и её степень можно легко посчитать.
Рассмотрим жорданову клетку размера m
0...1
1.........
0...0
.
)(
J
m
...00
Найдём её вторую степень. Можно это сделать непосредственным
умножением, но мы представим её в виде
,
)(
m
ENJ
Где
98
0...10
N
N
0...00
.
1.........
0...00
Тогда
2
m
2)()(
222
.
ENNENJ
При этом
0...100
2
N .
...............
1...000
0...000
0...000
Следовательно,
2
2
J
m
)(
...000
0...12
...............
.
1...000
2...000
2
Учитывая, что матрица N, начиная со степени m, обращается в нулевую
матрицу по формуле бинома Ньютона мы можем посчитать k-ю степень
матрицы
Здесь
J
.
)(
m
mk
i
)1,min(
i
k
0
iik
NCENJ
.
k
m
i
– матрица, у которой только на второй наддиагональю стоят
k
)()(
единицы.
Из этой формулы становится понятно, откуда появились формулы (5.16)
для вычисления ФСР системы разностных уравнений.
Следует отметить, что знание того, что решение системы линейных
разностных уравнений есть возведение матрицы в степень, а возведение
матрицы в степень есть возведение в степень её жордановой формы, даёт
понимание условий устойчивости решений разностных уравнений, а также
понимание условий сходимости итерационных методов решения СЛАУ, к
которым приводятся масса задач прикладной математики. И к тому же, вообще
говоря, всё это есть частные случаи теоремы о сжимающем отображении, но
всё это мы будем изучать далее, в следующей части….
99
1. Матвеев Н. М. Дифференциальные уравнения. – Л.: Изд-во Ленингр.
ун-та, 1965.
2. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным
дифференциальным уравнениям. – Мн.: Высшая школа, 1987.
3. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. –
Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.
4. Романко В. К. Курс разностных уравнений. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2012.
5.Утюпин Ю. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Разностные уравнения. Основы функционального анализа. –
Новосибирск : СибГУТИ, 2020.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]