Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ОДУРУОФА. Ч.2. Линейные уравнения. Учебное пособие
.pdf
),(0)(baxxf
)(x
f
),(ba
x
4.1. Общая теория линейных однородных уравнений высших порядков
Дифференциальные уравнения.
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется
уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят
линейно, т.е. в первой степени:
)2(
nnn
)2(
nnn
(4.1)
1
1
nn
nn
yxpyxpyxpyxpy
).()()()()(
xfyxpyxpyxpyxpy
,0)()()()(
(4.2)
Если
)(
1
)1(
2
, то уравнение называется линейным однородным,
)(
1
)1(
2
иначе линейным неоднородным.
Задача Коши для уравнения (4.1) ставится следующим образом:
,)(
yxy
00
,)(
yxy
10
,)(
yxy
20
)1(
n
Если функция
непрерывными
из этого интервала, существует единственное решение задачи Коши для
x
0
и все коэффициенты
, то для любых начальных данных, заданных в точке
,)(
yxy
10
n
уравнения (4.1) являются
)(xp
i
уравнения (4.1).
Далее всюду будем предполагать, что условия непрерывности правой
части уравнения и его коэффициентов выполняются.
Так же, как и ранее, сначала мы изучим однородное уравнение, а затем уже
перейдем к решению неоднородного.
Обозначим левую часть уравнения (4.1) за
nnn
)(
n
1
)1(
2
)2(
:
yL
n
yxpyxpyxpyxpyyL
1
)()()()(
nn
.
Учитывая, что в данный оператор производная функции y входит линейно,
а дифференцирование также есть линейный оператор, верна:
Теорема 1. Дифференциальный оператор
является линейным
yL
n
оператором, определенным на пространстве n раз дифференцируемых функций
(которое является линейным), и областью значений этого оператора является
пространство непрерывных функций.
Как мы показали в главе 2, множество решений любого линейного
однородного уравнения является линейным пространством. Напомним, что это
51
означает, что любая линейная комбинация решений уравнения (4.2) также
является решением уравнения (4.2).
То есть для решения линейного уравнения (4.2) нам необходимо найти
базис этого линейного пространства, то есть фундаментальную систему
решений этого уравнения.
Поскольку здесь речь идёт о пространстве функций, подробно остановимся
на вопросе о линейной независимости функций.
Система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется линейно зависимой на
интервале (a,b), если существует набор постоянных коэффициентов
,...,
n
21
среди которых есть не равные нулю, таких, что
. (4.3)
),( 0)()()(
2211
nn
baxxyxyxy
Если же тождество (4.3) возможно только в том случае, когда все
коэффициенты равны нулю, то система функций называется линейно
независимой.
Другими словами, функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависимы на
интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная
линейная комбинация.
Примеры
1. Функции
Их линейная комбинация
32
линейно независимы на любом интервале.
,, xxx
2
210
3
xxx
является многочленом
3
третьей степени, а следовательно имеет не более трех вещественных
корней, поэтому тождество
2
210
возможно лишь тогда, когда
3
3
),( на 0
baxxx
. Отсюда и следует
0
3210
линейная независимость.
2. Аналогично доказывается, что система функций
2
m
является
xxx ,...,,,1
,
линейно независимой.
xkxk
3. Функции
Действительно, предположим, что равенство
ee21,
при
являются линейно независимы.
kk
21
ee
21
выполняется во всех точках некоторого интервала и допустим, что
Но тогда из этого равенства следует, что
1
x
ln
kk
21
1
- единственное
2
решение данного уравнения. Следовательно, линейная комбинация может
обращаться в ноль только при нулевых коэффициентах.
4. Система функций
если все
попарно различны.
k
i
21
n
eee ,,,
также является линейно независимой,
xkxkxk
52
xkxk
21
0
.
0
2
Составим линейную комбинацию
e
x
x
2,1
xk
Разделим это равенство на
xkk
12
21
ee
n
1
. Получим
)()(
xkk
1
n
0...
.
xkxk
21
21
n
eee
n
Далее воспользуемся тем, что производная функции, тождественно равной
нулю на интервале, также равна нулю на этом интервале. Поэтому
продифференцируем тождество.
)(
xkk
122
12
Учитывая, что все
тождество на
попарно различны, мы можем разделить это
k
i
xkk
)(
12
ekk
)(
12
.
1
nn
Проделав эту операцию n-1 раз мы получим, что
)(
xkk
1
n
ekkekk
0)(...)(
.
0
n
следовательно, и все остальные коэффициенты также равны нулю. Что
доказывает линейную независимость.
5. Система функций
является линейно независимой.
Составим линейную комбинацию.
21
xx
.0)2()1(
Как мы уже сказали, многочлен тождественно равен нулю только тогда,
когда все его коэффициенты равны нулю. Получим систему
xk
, а
0...
.
,02
21
21
.0
Из курса линейной алгебры известно, что однородная система имеет
ненулевое решение лишь в том случае, когда определитель матрицы
системы равен нулю.
21
3
.
11
Следовательно, единственным решением системы является нулевое.
Следовательно, функции линейно независимы.
Система функций
22
является линейно зависимой.
42,2,1 xxxx
Для данной системы функций, как в прошлом примере, сразу составим
определитель
101
0
012
.
420
Поскольку определитель равен нулю, значит, существует ненулевое
решение соответствующей системы, а значит, система функций является
линейно зависимой.
Для определения линейной зависимости функций в общем случае есть
эффективный инструмент, называемый определителем Вронского.
53
Определителем Вронского (вронскианом) системы n – 1 раз
0)(x
W
0)(x
W
дифференцируемых функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется определитель
)(...)()()(
321
321
)(
xW
321
xyxyxyxy
n
)(...)()()(
xyxyxyxy
n
)(...)()()(
xyxyxyxy
n
...............
)1(
1
)1(
2
nnn
3
)1()1(
n
)(...)()()(
n
xyxyxyxy
Далее без доказательства напомним изученные нами в курсе ДУ основные
теоремы о вронскиане.
Теорема 2.
Если система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима на интервале
(a, b), то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.
Отметим, что обратное неверно!
Из того, что определитель Вронского равен нулю (даже на всём интервале)
не следует, что произвольная система функций линейно зависима.
Но! Если эта система функций составлена из решений уравнений (4.2), то:
Теорема 3.
Если W(x) – определитель Вронского системы
21
)(,),(),(
xyxyxy
n
частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то
либо на интервале (a, b)
(что означает линейную зависимость этих
решений на (a, b)), либо
во всех точках этого интервала (что означает
линейную независимость этих решений на (a, b)).
Фундаментальной системой решений линейного однородного
дифференциального уравнения n-го порядка называется любая линейно
независимая система
21
его n частных решений.
)(,),(),(
xyxyxy
n
Теорема 4.
Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка
с непрерывными на (a, b) коэффициентами имеет фундаментальную систему
решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.
Суть этой теоремы в том, что пространство решений линейного ДУ n-го
порядка имеет размерность n.
Доказательство этой теоремы основывается на предыдущих теоремах о
вронскиане. Для того, чтобы доказать существование именно n-мерной ФСР,
мы просто её построим. Для этого в произвольной точке
поставим n
),(0bax
различных задач Коши для уравнения (4.2):
54
xyxyxy
y
y
'
'
y
y'
'
00201
n
xyxyxy
00201
n
xyxyxy
00201
n
,0)(...,0)(,1)(
,0)(...,1)(,0)(
,0)(...,0)(,0)(
............
)1(
1
)1(
nn
20
0
)1(
n
n
xyxyxy
.1)(....0)(.0)(
0
Каждая из этих задач имеет единственное решение.
Вронскиан этих решений
21
в точке
)(,),(),(
xyxyxy
n
равен 1, а,
x
0
следовательно, по теореме 3, система этих функций линейно независима.
Следовательно, мы построили фундаментальную систему решений. Что
доказывает теорему.
То есть, для того, чтобы полностью решить однородное уравнение (4.2),
нам необходимо и достаточно найти n линейно независимых решений этого
уравнения.
Как мы ранее показали в главе 2, из определения ФСР следует:
Теорема 5.
Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального
уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы
решений этого уравнения:
,
)()()()(
xyCxyCxyCxy
nn
где
2211
- произвольные постоянные.
CCC ,...,,
21
n
Примеры
1. Уравнение
имеет два очевидных линейно независимых
решения
2. Уравнение
x
ey
1
и
1
2
и
xy sin
xCxCy cossin
21
2
.
. Следовательно, его общее решение:
xy cos
имеет два очевидных линейно независимых решения
xey
. Следовательно, его общее решение:
xx
eCeCy
.
21
Разностные уравнения.
Линейным разностным уравнением n-го порядка называется уравнение
относительно неизвестной последовательности (функции целочисленного
аргумента)
Здесь
целочисленного аргумента), при этом
, Nky
k
1
вида:
0
. (4.4)
...
11
- заданные последовательности (функции
faa ,,...,
knkk
ни при каком k (если
a
0
nk
fyayay
kknknkknk
a
0
nk
, то
55
это вырожденное уравнение, так как реальный порядок его будет на единицу
меньше).
Функции
1
называются коэффициентами уравнения, а функция
aa ,...,
nkk
f
k
– правой частью уравнения (4.4).
Если
f
при всех k, то линейное уравнение называется однородным, а
0
k
иначе неоднородным.
Решением уравнения (4.4) называется такая последовательность
k
которая обращает это уравнение в тождество при всех k.
Задача нахождения решения уравнения (4.4), удовлетворяющего
начальным условиям
,
uy
10
,
uy
21
...
.
uy
1
nn
называется разностной задачей Коши.
Как мы уже показали ранее, решение линейной разностной задачи Коши
существует и единственно (в силу самого уравнения).
И снова мы сначала изучим структуру решений линейного однородного
уравнения, а затем уже перейдем к решению неоднородного.
Итак, рассмотрим линейное разностное однородное уравнение n-го
порядка:
11
knknkknk
yayay
. (4.5)
0...
Поскольку в главе 1 мы уже показали, что в левой части данного
уравнения стоит линейный оператор относительно последовательности
y
k
верна теорема:
Теорема 6. Если
21
m
yyy ,...,,
(здесь верхний индекс – номер
kkk
последовательности, а не степень) – решения уравнения (4.5), то их линейная
комбинация также является решением этого уравнения. То есть множество
решений уравнения (4.5) – линейное пространство.
Таким образом, нам снова необходимо найти базис этого линейного
пространства.
Определение. Последовательности
21
m
yyy ,...,,
, как функции дискретного
kkk
аргумента k, называются линейно зависимыми, если существует набор
постоянных коэффициентов
,...,
21
, среди которых есть не равные нулю,
m
таких, что
1
1
2
2
. (4.6)
m
0 Nkyyy
knkk
0
,
,
56
Если же это равенство верно лишь тогда, когда все коэффициенты
ak
cos
ak
sin
,...,
21
равны нулю, последовательности
m
21
m
yyy ,...,,
называются линейно
kkk
независимыми.
Примеры
k
1. Функции
2. Функции
k
1
, где
и
2
и
являются линейно независимыми.
21
являются линейно независимыми.
Доказать линейную независимость можно так же, как выше, считая эти
функции функциями непрерывной переменной.
3. Функции
22
являются линейно зависимыми, так как
1,sin,cos
akak
нетрудно найти связывающую их ненулевую линейную комбинацию
(основное тригонометрическое тождество).
Для произвольных систем функций (последовательностей) существует
такой же инструмент, как определитель Вронского для функций непрерывного
аргумента:
Определителем Казоратти системы функций дискретного аргумента
21
m
yyy ,...,,
называется определитель
kkk
21
m
yyyD
,...,,
kkk
21
...
1
.
1
2
...
1
m
yyy
kkk
m
yyy
kkk
1
...........
1
2
1
...
1
m
yyy
mkmkmk
1
Для функций дискретной переменной и для решений линейного
разностного однородного уравнения (4.5) справедливы теоремы, аналогичные
приведенным выше теоремам о функциях непрерывного аргумента и решениях
дифференциального уравнения.
Теорема 7. Если функции
при всех
.
Nk
0
21
m
yyy ,...,,
– линейно зависимы, то
kkk
21
m
0,...,,
yyyD
kkk
Теорема 8. Решения
21
m
yyy ,...,,
линейного однородного уравнения (4.5)
kkk
линейно независимы тогда и только тогда, когда
при всех
21
.
Nk
0
m
0,...,,
yyyD
kkk
Теорема 9. Для линейного однородного уравнения (4.5) существует
фундаментальная система решений, состоящая из n функций
21
n
yyy ,...,,
.
kkk
57
Эта теорема доказывается аналогично теореме 4 с помощью построения n
разностных задач Коши для уравнения (4.5):
1
0
1
1
2
0
1
1
n
0...01
yyy
0
1
0...10
yyy
1
.
...........
1
1
Решения этих задач Коши
1
1
21
n
yyy ,...,,
по теореме 8 линейно независимы,
kkk
1
1...00
yyy
1
nnn
так как их определитель Казоратти равен 1 при k=0.
Следовательно, они образуют ФСР.
Теорема 10. Общее решение
линейного однородного разностного
y
k
уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы
решений этого уравнения:
n
yCyCyCy ...
,
knkkk
где
1
1
- произвольные постоянные.
CCC ,...,,
21
n
2
2
Таким образом, и для линейного однородного разностного уравнения мы
показали: для того чтобы найти общее решений этого уравнения, необходимо
найти n линейно независимых частных решений этого уравнения.
Как нетрудно заметить, теоремы 2-5 для дифференциального уравнения
практически идентичны теоремам 7-10 для разностного уравнения, что легко
объясняется, как мы уже знаем, тем, что в обоих случаях мы имеем дело с
линейными операторными уравнениям немного разных типов.
Замечание 1. Существует бесконечное множество фундаментальных
систем решений как для дифференциального уравнения (4.2), так и для
разностного уравнения (4.5).
Действительно, мы можем таким же способом построить сколь угодно
систем решений, беря n других задач Коши с отличным от нуля определителем.
Замечание 2. На самом деле, в теоремах 4 и 8 мы показали, что
существует не менее, чем n линейно независимых решений однородного
уравнения n-го порядка. Формально это не означает, что они являются базисом
пространства решений. Для этого необходимо показать, что их не более, чем n,
то есть что ФСР состоит именно из n решений.
Этот факт как раз и отражен в теоремах 5 и 10. На примере теоремы 5
покажем это.
Пусть
21
– n линейного независимых решений
)(,),(),(
xyxyxy
n
однородного дифференциального уравнения (4.2). Требуется доказать, что
любое частное решение y*(x) этого уравнения содержится в формуле
)()()()(
2211
xyCxyCxyCxy
nn
58
при некотором наборе постоянных
21
.
CCC ,...,,
n
Здесь нам снова поможет линейная алгебра, а точнее, следствие из
теоремы Кронеккера – Капелли для систем с квадратной матрицей.
Возьмём любую точку
.
),(0bax
Тогда система линейных алгебраических уравнений относительно
CCC ,...,,
21
n
*
),()()()(
xyxyCxyCxyC
nn
nn
0022011
0
),()()()(
xyxyCxyCxyC
00022011
)1(
n
)1(
11
)1(
nn
220
0
)1(
n
nn
0
*
).()()()(
xyxyCxyCxyC
0
имеет единственное решение, поскольку её определитель – вронскиан
фундаментальной системы решений, а значит, не равен нулю. Следовательно,
удовлетворяет тем же начальным
)()()()(
2211
xyCxyCxyCxy
nn
условиям, что и y*(x), а значит, совпадает с ней по теореме о существовании и
единственности.
Значит, )()()()(
2211
для любого x. А это и
xyCxyCxyCxy
nn
доказывает теорему.
К сожалению, как в случае с дифференциальными уравнениями высших
порядков, так и для разностных уравнений, в общем случае линейного
уравнения с переменными коэффициентами не существует алгоритмов
построения фундаментальной системы решений.
Далее мы разберем тип уравнений, для которых есть эффективный метод
решения этой задачи – уравнения с постоянными коэффициентами.
4.2. Решение неоднородных уравнений. Метод Лагранжа
Сначала поговорим о дифференциальных уравнениях
)(
1
)1(
2
)2(
nnn
(4.1)
1
nn
).()()()()(
xfyxpyxpyxpyxpy
В главе 2 мы изучили вопрос о структуре решения произвольного
линейного неоднородного операторного уравнения. Следовательно, верны
теоремы:
Теорема 11. Общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения (4.1) с непрерывными на интервале (a, b)
коэффициентами и правой частью является суммой общего решения
соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения
уравнения (4.1)
yyy
.
чодоб
Теорема 12. (о суперпозиции решений неоднородного уравнения).
59
Если уравнения
.''xy
y
0''
y
y
x
sin
x
cos
x
y
xyy
'
'
x
y
n
n
имеют частные решения
y
и
1
является частным решением уравнения
n
Пример 1.
Как мы уже знаем, решением соответствующего однородного уравнения
)(1xfyL
)(2xfyL
соответственно, то функция
y
2
.
)()(
xfxfyL
21
yy
21
являются функции
и
. Их линейная комбинация – общее
решение однородного уравнения.
Очевидно также, что функция
является частным решением
исходного неоднородного уравнения.
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
.cossin
xxCxCyyy
21чодоб
Пример 2.
x
exyy 2''
Мы уже знаем, что частным решением уравнения
является функция
.
При этом, очевидным решением уравнения
x
eyy 2''
x
является функция
ey
.
Значит общим решением исходного уравнения является
x
.
21ч2ч1одоб
exxCxCyyyy cossin
Таким образом, мы снова получили, что для того, чтобы найти общее
решение линейного неоднородного уравнения, необходимо найти общее
решение соответствующего однородного уравнения и какое-нибудь частное
решение исходного уравнения.
Снова предположим, что мы уже имеем фундаментальную систему
решений однородного уравнения. Тогда, как и для линейных уравнений
первого порядка, для нахождения частного решения соответствующего
неоднородного уравнения мы можем воспользоваться методом вариации
произвольной постоянной.
Пусть
)(),...,(),(
21
xyxyxy
n
– ФСР линейного однородного
дифференциального уравнения (4.2). Тогда общее решение однородного
уравнения:
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]