Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ОДУРУОФА. Ч.2. Линейные уравнения. Учебное пособие
.pdf
][Y
L
,'
yy
21
.'
yy
12
имеет общее решение
211
212
,cossin
xCxCy
.sincos
xCxCy
Будем искать частное решение неоднородной системы в виде
211
212
,cos)(sin)(
xxCxxCy
.sin)(cos)(
xxCxxCy
Подставляем в исходную систему
Получили систему
,0cos)('sin)('
21
21
Решая эту систему, получим
Отсюда xCxC cosln,
21
xxCxxC
1
sin)('cos)('
xxCxxC
cos
.
x
.
21
xCC tg',1'
.
Таким образом, частное решение системы
212211
,sin)(cos)(sin)(cos)('cos)(sin)('
xxCxxCxxCxxCxxCxxC
1
cos)(sin)(cos)(sin)('sin)(cos)('
212211
xxCxxCxxCxxCxxCxxC
cos
.
x
1
2
,coscoslnsin
xxxxy
.sincoslncos
xxxxy
Общее решение системы:
211
212
,coscoslnsincossin
xxxxxCxCy
.sincoslncossincos
xxxxxCxCy
Теорема 6. (о суперпозиции решений).
Если
21
то их сумма
– частные решения линейных неоднородных систем
YYY ,...,,
m
miBAYY
i
является решением неоднородной системы
YYY
...
21
m
,...,1 '
...'
21
,
BBBAYY
m
.
Доказательство, очевидно, следует из линейности дифференциального
оператора
.
Переходя к разностным уравнениям, мы снова заметим, что теория их
линейных систем практически полностью повторяет вышеописанную теорию
линейных систем дифференциальных уравнений.
81
Отметим, что для систем разностных уравнений будет использоваться
)()()()1(kfkYkAkY
немного другая запись. Ранее мы записывали неизвестную и заданные функции
– последовательности как ...,,
afy , но теперь из-за того, что в системах и так
ikkk
будет много нижних индексов, мы будем записывать k как аргумент функций,
как если бы мы записывали )...(),(),( kakfky
i
.
Нормальная линейная система разностных уравнений имеет следующий
вид:
nn
nn
......
11
где )(),...,(
1
(последовательности), )(ka
коэффициентами системы, )(kf
функции.
kyky
– неизвестные функции натурального аргумента
n
– заданные функции, называемые
ij
– свободные члены системы, также заданные
i
Введем обозначения
)(
ky
)(
kY
...
1
)(
ky
2
n
,
)(
ky
)(
kA
21
Тогда система (5.7) записывается в матричном виде:
11211
n
22221
n
............
nnnn
)()()(...)()()1(
kfkykakykaky
111111
)()()(...)()()1(
kfkykakykaky
221212
, (5.7)
)()()(...)()()1(
kfkykakykaky
nnnnnn
)(
)(...)()(
kakaka
)(...)()(
kakaka
,
)(...)()(
kakaka
)(
kf
kf
...
1
)(
kf
2
n
.
)(
kf
. (5.8)
Матрица А – невырожденная матрица при любом k.
Разностная задача Коши для системы:
0
)(
yky
11
0
)(
yky
22
.
...
0
)(
yky
nn
И в матричном виде:
)0( YY
.
0
Как мы уже знаем, решение разностной задачи Коши существует и
единственно.
82
Отметим, что, как и в случае с дифференциальными уравнениями, любое
)()()1(kYkAkY
линейное уравнение n-го порядка можно свести к линейной системе.
Пусть задано линейное разностное уравнение
)()()()1()(...)1()()(
11
nn
kfkykakykankykanky
Серией замен мы приведем это уравнение к системе
)()(
1
kyky
...
1
)()1(
kyky
21
)()1(
kyky
32
)()1(
kyky
nn
nnn
111
)()()(...)()()1(
kfkykakykaky
Кроме того, из курса дифференциальных уравнений мы знаем, что с
помощью метода исключений мы можем любую нормальную систему привести
к одному линейному уравнению того же порядка, что и у системы.
Это означает, что как для дифференциальных, так и для разностных
уравнений верно, что линейное уравнение n-го порядка эквивалентно
некоторой нормальной системе n-го порядка.
Ниже снова изложим все основные теоремы сначала для однородных
систем разностных уравнений, а затем для неоднородных.
Рассмотрим однородную систему линейных разностных уравнений с
невырожденной матрицей A
. (5.9)
Теорема 7. Решения системы (5.9) образуют линейное пространство.
Пусть )(),...,(),(
21
kYkYkY
– вектор функции, имеющие n компонент.
n
Введем в рассмотрение определитель
11211
n
22221
21
21
– определитель Казоратти для линейных систем
)(),...,(),(
kYkYkYD
n
)(),...,(),(
kYkYkYD
n
21
n
............
nnnn
разностных уравнений.
Теорема 8. Если вектор функции )(),...,(),(
N , то
0
21
kYkYkYD
n
0)(),...,(),(
при всех
21
Nk
.
0
kYkYkY
линейно зависимы на
n
83
)(...)()(
kykyky
)(...)()(
kykyky
.
)(...)()(
kykyky
И вновь обратное неверно!
)(k
Теорема 9. Если )(),...,(),(
21
kYkYkYD
n
линейно зависимы на
21
при всех
0)(),...,(),(
N , либо определитель не обращается в ноль ни при
0
kYkYkY
– решения системы (5.9), то либо
n
Nk
и вектор-функции )(),...,(),(
0
21
kYkYkY
n
каком k и тогда вектор-функции линейно независимы.
Теорема 10. Система (5.9) имеет ровно n линейно независимых решений.
Система вектор-функций )(),...,(),(
21
kYkYkY
, состоящая из n линейно
n
независимых решений линейной однородной системы n разностных уравнений,
называется фундаментальной системой решений (ФСР). ФСР является
базисом линейного пространства решений системы (5.9).
Следовательно, общее решение системы (5.9) можно записать в следующем
виде:
n
.
)()(
1
i
kYCkY
ii
В подробном покомпонентном виде:
...
2211
),(...)()()(
kyCkyCkyCky
11221111
nn
),(...)()()(
kyCkyCkyCky
22222112
nn
).(...)()()(
kyCkyCkyCky
nnnnnn
И вновь для того, чтобы найти общее решение системы (5.9), нам
достаточно найти n линейно независимых её решений.
Так же, как и для уравнений n-го порядка, не существует прямого метода их
поиска в общем случае.
Для линейной неоднородной системы (5.8) также справедливо
1) что сумма некоторого её частного решения и общего решения
соответствующей однородной системы есть общее решение системы
(5.8);
2) если в системе (5.8) )()()(
частными решениями систем при )()(
соответственно, то )()(
21
kfkfkf , и )(),(
1
kfkf и )()(
21
kYkY является решением исходной
21
kYkY являются
2
kfkf
системы.
Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа).
Предположим, что мы нашли фундаментальную систему решений
однородной системы (5.9) )(),...,(),(
21
kYkYkY
. Матрицу
n
, столбцами
84
которой являются вектор-функции )(),...,(),(
CkkY)()
(
)()()(kCkkY
)()()()()1()1(kfkCkkAkC
k
)(k
)()()1()1()1(kfkCkkCk
)0(
C
)(),...,
1(nCC
21
kYkYkY
назовем
n
фундаментальной матрицей. Тогда общее решение однородной системы
(5.9) можно записать в виде
,
C
1
C
где
C
2
– вектор, состоящий из произвольных постоянных.
...
C
n
Будем искать частное решение неоднородной системы (5.8) в виде
.
Подставим его в систему (5.8):
.
Учитывая, что
– фундаментальная матрица системы (5.9), получим
,
откуда
1
)()1()()1(
kfkkCkC
.
Мы получили выражение, аналогичное изученному ранее в главе 3 для
разностного уравнения первого порядка.
– произвольный числовой вектор, который мы выбираем таким, каким
нам удобнее, а далее последовательно находим
.
Таким образом, получим
1
k
1
j
0
)()1()()0()()(
jfjkCkkY . (5.10)
К сожалению, данная задача является задачей вычисления n сумм
последовательностей, что в общем случае является сложной задачей.
Пример.
)(6)(5)1(
kykxkx
1
,
)2)(1(
kk
kxkxky
1)(9)(8)1(
1
kk
.
)2)(1(
Пока мы не умеем решать однородную систему, но можно проверить, что
матрица
k
k
)(
331
k
341
является фундаментальной матрицей.
Общее решение однородной системы:
85
k
)(
kx
ky
)(
341
C
331
k
1
C
2
Обратная матрица к ней:
34
1
k
)(
.
kk
33
Будем искать частное решение исходной системы в виде
)(
kx
ky
)(
k
331
k
341
Подставляя в исходную систему, принимая
)(
kC
1
.
)(
kC
2
и используя
CC
21
0)0()0(
выражение (5.10), получим
1
k
kC
1
4)(
0
j
1
)2)(1(
1
k
13
0
j
1
jjjj
3
)2)(1(
1
k
k
0
j
1
)2)(1(
jj
1
k
3
k
j
1
0
)1(
jj
1
3
k
)2(
k
,
1
k
k
1
1
1
kC
)(
2
j
3
3
j
0
k
3
.
Таким образом, подставляя полученные коэффициенты в частное решение и
складывая его с общим решением однородного уравнения, мы получим общее
решение исходного уравнения
k
kx
)(
ky
)(
k
331
1
k
341
C
kC
3
k
3
2
.
k
1
Нетрудно заметить, что, несмотря на кажущуюся простоту разностных
уравнений по сравнению с дифференциальными, применение метода Лагранжа
для разностных уравнений и систем приводит к существенным трудностям. В
вышеописанном примере правая часть подобрана таким образом, чтобы мы
могли вычислить сумму ряда и получить в конечном итоге элементарную
функцию. В дифференциальных же уравнениях мы приходим к
интегрированию, с которым студенты умеют работать гораздо серьезнее.
Следует отметить, что в случае линейных систем с постоянными
коэффициентом и свободными членами в виде квазиполиномов мы избегаем
при решении разностных систем процесса суммирования, так же, как и в случае
систем ДУ избегаем интегрирования и гарантированно получаем решение в
конечном виде.
86
5.2. Линейные системы с постоянными коэффициентами
AYY
'
DAeD
e
e
ADD
)()1(kAYkY
ADD
Рассмотрим однородную систему линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
dy
dt
n
i
1
j
jij
),..,1(
niya
.
В матричном виде:
, (5.11)
где A – числовая матрица.
Будем искать решение системы (5.11) в виде
x
1
2
n
ed
...
x
ed
x
ed
De
x
, где
D
d
1
d
2
. (5.12)
...
d
n
Y
– неизвестные числа, которые мы найдем после подстановки
ddd ,...,,,
21
n
этого вектора в систему.
Подставляя Y в систему (5,11), получим
xx
.
Сокращая на
x
, получим
.
Это означает, что
– собственное число матрицы A, а D –
соответствующий ему собственный вектор.
Следовательно, наша задача сводится к так называемой спектральной
задаче линейной алгебры, то есть к решению задачи о собственных значениях и
собственных векторах матрицы A.
Теперь рассмотрим однородную разностную систему линейных уравнений
. (5.13)
A – невырожденная числовая матрица.
Решение системы (5.12) будем искать в виде
k
kY
)(
Подставляя его в систему (5.13) и сокращая на
d
1
k
d
2
...
k
d
n
k
D
, где
D
d
1
d
2
. (5.14)
...
d
n
k
, получим
.
Снова мы пришли к той же самой спектральной задаче.
Для решения этой задачи следует вспомнить всё изложенное в параграфах
1.3 и 1.4.
87
1. Рассмотрим сначала случай, когда все собственные числа матрицы
вещественные.
1.1 Может оказаться, что матрица A имеет ровно n линейно
независимых собственных векторов. Это возможно:
– во-первых, в том случае, когда все собственные числа различные, а
следовательно, и собственные векторы линейно независимы;
– во-вторых, когда кратным числам соответствует столько линейно
независимых собственных векторов, какова их кратность.
Тогда фундаментальная система решений просто составляется из
соответствующих вектор-функций вида (5.12) и (5.14).
Пусть собственным числам
.
DD ,...
n
1
1
соответствуют собственные векторы
,...
n
Тогда общее решение системы ДУ (5.11):
1
11
...)(
n
eDCeDCkY
,
nn
а общее решение системы РУ (5.13):
k
111
...)(
k
DCDCkY
.
nnn
Примеры
1.
ДУ РУ
)(2)()1(
,2'
yyy
211
.34'
yyy
212
kykxkx
)(3)(4)1(
kykxky
Характеристический многочлен:
21
EA
34
Собственные значения матрицы A:
Собственный вектор для
)(
DEA
D
1
Для
)(
DEA
D
2
2
x
24
1
1
2
2
22
44
1
x
24
2
:
1
x
1
x
2
1
054
.
1,5
21
:
5
1
0
.
0
0
.
0
Общее решение:
88
1
AYY
'
)()1(kAYkY
,
,
5
1
2
2
1
xx
eCeCY
1
1
5)(
2
2.
ДУ РУ
352
321
12153
С матрицей
A
Характеристический многочлен:
352
321
EA
12153
2
1
CCkY
21
kk
)1(
1
0)189)(3(
Собственные значения матрицы A: 3,6
Собственный вектор для
354
)(
DEA
1
D
1
3
– собственное число кратности 2.
3,2
1
)(
DEA
381
6153
3
351
351
9153
6
1
x
x
x
x
x
x
1
2
3
1
2
3
:
0
0
.
0
0
0
.
0
.
3,21
Как видим, ранг матрицы равен 1, а следовательно, существует 2
линейно независимых решения.
5
,
1
DD
0
32
3
.
0
1
Общее решение:
1
6
1
1
2
3
5
3
1
0
eCeCeCY
3
3
3
xxx
0
1
1
1
6)(
3
3
5
1
0
3
CCCkY
321
3
kkk
0
1
89
1.2 Есть кратные собственные числа матрицы A, для которых найдется
собственных векторов меньше, чем кратность этих чисел. Вспоминая
параграф 1.4., мы знаем, что в этом случае жорданова клетка этого
собственного числа недиагональная, то есть нам нужно искать
присоединенные вектора.
Напомним теорему из параграфа 1.4.
Теорема. Пусть – собственное значение матрицы A кратности l. Тогда
существует l линейно независимых векторов-столбцов
j
i
i
,
),...1;,...1(
qjkiD
ii
соответствующих и удовлетворяющих соотношениям:
i
12
,)(
DDEA
ii
1
,0)(
DEA
...
1
q
ii
k
,)(
DDEA
i
.
)...(
lqq
Здесь ),...1(
1
1
q
i
kiDi – собственные векторы, а остальные называют
присоединенными.
Суть данной теоремы в том, что если кратному собственному значению
«не хватает» собственных векторов, то существуют вышеуказанные
цепочки векторов, основаниями которых служат собственные векторы, к
которым строятся присоединённые, и их общее количество равно
алгебраической кратности собственного значения.
Отметим, что не к каждому собственному вектору можно построить
присоединённые. Теорема лишь гласит, что это возможно, то есть среди
собственных векторов есть такие, к которым можно построить
присоединённые.
Если мы найдем все такие цепочки, то собственному значению матрицы
A кратности l соответствуют l фундаментальных решений системы ДУ
(5.11) вида:
11
x
,
eDY
ii
122
x
,)(
exDDY
iii
(5.15)
1
q
2
x
1
q
xDDY
i
2
D
2
q
iiii
...
i
i
x
q
i
1
x
,)
eD
i
)!1(
...
q
i
q
(
i
.,...,1
ki
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]