Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ОДУРУОФА. Ч.2. Линейные уравнения. Учебное пособие
.pdf
2.1. Теоремы о существовании и единственности
Одним из часто слышимых вопросов, который задают студенты на лекциях
по дифференциальным уравнениям, является вопрос о том, зачем нужны эти
многочисленные теоремы о существовании.
Для ответа на этот вопрос начнем со школьной математики. В школе все
изучали такое понятие, как ОДЗ – область допустимых значений переменных в
уравнении и неравенстве, которая формируется из областей определения
функций, используемых в этом уравнении или неравенстве. Причем, как
правило, требуется эту самую ОДЗ определить заранее, то есть до начала
решения уравнения или неравенства. А ведь это уже и есть вопрос о
существовании решения. Мы заранее решаем вопрос о том, какие значения
переменной мы можем рассматривать в уравнении.
В курсе линейной алгебры мы также уже сталкиваемся с вопросом о
существовании и единственности решения системы линейных алгебраических
уравнений. Теорема Кронеккера – Капелли есть не что иное, как теорема о
существовании и единственности. Она дает нам ответ на вопрос, при каких
условиях СЛАУ совместна, то есть решение существует, и при каких условиях
она определена, то есть решение единственно. Конечно, при исследовании
«вручную» систем небольшой размерности на практических занятиях мы в
любом случае приходим к тому, что вопрос о существовании и единственности
решается сам собой, и мы просто получаем либо отсутствие решения, либо
находим его. Решая же практические задачи в жизни, мы часто приходим к
системам огромной размерности, которые теоретически решить невозможно. В
этом случае мы прибегаем к использованию численных методов решения. Но
прежде, чем искать приближенное решение численными методами, мы должны
быть уверены, что решение вообще существует. Да и единственность решения
нужна в большинстве задач. Ведь существование и единственность – первое,
что требуется для корректности постановки любой математической задачи.
В ещё большей степени этот вопрос важен именно при решении
дифференциальных уравнений. Ведь надо понимать, что класс уравнений,
которые мы можем решить теоретически, пренебрежимо мал по сравнению с
теми, которые решить теоретически невозможно. По сути, мы умеем решать
лишь несколько типов нелинейных уравнений первого порядка, линейные
уравнения высших порядков и системы линейных уравнений. Причем
последние с постоянными коэффициентами либо приводящиеся к ним. Другие
уравнения и системы, а именно они чаще всего возникают в реальных задачах,
мы можем решать лишь при помощи численных методов, то есть приближенно,
с использованием компьютера. Естественно, здесь возникает та же ситуация,
что описана выше. Прежде, чем приступать к вычислениям, необходимо быть
уверенным, что задача поставлена корректно, то есть решение существует и
единственно.
31
Ниже приведем наглядный пример, что может получиться, если мы будем
пренебрегать этим правилом.
Рассмотрим одну задачу Коши, для которой построим численное решение
методом Эйлера.
y
'
y
x
,
2
)03.2(
.1)0(
y
Построим разностную схему с шагом h=0.1 и нарисуем численную
интегральную кривую.
y
1
(1.0
yy
1
kk
k
x
1
k
).
2
)03.2(
Рис. 2.1 – Приближенное решение уравнения с шагом h=0.1
На рисунке 2.1 изображено предполагаемое численное решение заданной
задачи Коши методом Эйлера с шагом 0.1. Как видим, решение не уходит на
бесконечность, а стремится к нулю, что придаёт нам некоторую уверенность в
небольшой погрешности.
Теперь построим решение той же задачи Коши с шагом h=0.01.
Соответствующая разностная схема
y
1
(01.0
yy .
1
kk
k
x
1
k
)
2
)03.2(
32
Рис. 2.2 – Приближенное решение уравнения с шагом h=0.01
На рисунке 2.2 мы уже видим совершенно другую интегральную кривую.
Что даёт нам повод усомниться в правильности какого-то из двух решений.
Естественно, стоит предположить, что решение с меньшим шагом
аппроксимации даёт нам решение, больше похожее на правду.
Для того чтобы понять, что происходит на самом деле, следует решить
задачу Коши. Заданное уравнение – уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными.
dy
y
dx
.
2
x
)03.2(
Его общее решение:
Cey .
)03.2/(1 x
Начальному условию удовлетворяет решение
x
ey
)03.2(03.2 x
.
Построим это решение (рис. 2.3).
Рис. 2.3 – Точное решение уравнения
33
03.2x
03.2x
03.2x
dx
Интегральная кривая, соответствующая нашей задаче Коши, не определена
в точке
, и это видно сразу из уравнения. Условия теоремы о
существовании и единственности для этой точки не удовлетворяются. Но
решение нашей задачи Коши стремится слева в эту точку. Соответственно мы
просто не имеем права строить решение, проходящее через
. Если не
провести анализ на существование и единственность, то полученное численное
решение не будет иметь ничего общего с реальным решением. Дело в том, что
из-за погрешности численных методов мы просто при подходе к точке
начинаем перескакивать с одной интегральной кривой на другую, что даёт нам
такие замысловатые кривые, не имеющие ничего общего с реальным решением.
Думаю, что из всего выше сказанного должен быть понятен ответ на
вопрос «зачем нужны теоремы о существовании и единственности».
Далее мы просто приведем теоремы для уравнений и систем в общем виде.
А поскольку основные объекты данного пособия – линейные уравнения и
системы, то приведем и теоремы конкретно для них.
Рассмотрим дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное
относительно производной
dy
(2.1)
).,( yxf
Задача нахождения решения уравнения (2.1), удовлетворяющего условиям:
при xxyy
(2.2)
00
называется задачей Коши, а условия (2.2) начальными условиями или
условиями Коши.
Здесь и далее следует помнить определение решения: решением
дифференциального уравнения (системы) называется такая функция (векторфункция), которая достаточное количество раз дифференцируема (количество
определяется правой частью уравнения или системы) и обращает данное
уравнение (систему) в тождество при всех рассматриваемых значениях
переменной.
Теорема 1. О существовании и единственности решения з.Коши для
уравнения первого порядка.
Пусть в уравнении (2.1) функция f(x,y) непрерывна в некоторой области D
плоскости (x,y) и непрерывно-дифференцируема по y в этой области.
Тогда для любой точки
этой области существует единственное
),(00yx
решение уравнения (2.1), удовлетворяющее условию (2.2).
Геометрическая интерпретация данной теоремы: через каждую точку
области D, в которой удовлетворяются условия теоремы о существовании и
единственности, проходит одна и только одна интегральная кривая
дифференциального уравнения.
34
Добавим, что условие непрерывности функции в теореме является
dx
условием существования решения, а условие дифференцируемости по y –
условием единственности решения.
Заметим, что уравнение первого порядка является частным случаем
уравнения n-го порядка и системы уравнений первого порядка. Но, как мы
увидим далее, условия, налагаемые на функцию в правой части уравнения,
будут не особо отличаться от тех, что мы увидели в теореме 1.
Рассмотрим уравнения n-го порядка, разрешенные относительно старшей
производной:
)1()(
nn
),...,,,,(
yyyyxfy
. (2.3)
Задача нахождения решения уравнения (2.3), удовлетворяющего условиям
,)(
yxy
00
,)(
yxy
10
(2.4)
,)(
yxy
20
)1(
n
)(
yxy
10
n
Называется задачей Коши. Условия (2.4) – начальные условия или условия
Коши для уравнения n-го порядка.
Теорема 2. О существовании и единственности решения задачи Коши
для уравнения n-го порядка.
Если в окрестности точки (n+1)-мерного пространства
),...,,,,(
yyyyx
12100 n
функция f (n+1)-й переменных является непрерывной и имеет непрерывные
)1(
частные производные по
,...,,,
n
yyyy
, то решение задачи Коши (2.3), (2.4)
существует и единственно.
И наконец, нормальные системы дифференциальных уравнений:
dy
1
dx
dy
dx
2
dy
n
dx
211
212
...
21
),,...,,,(
yyyxf
n
),,...,,,(
yyyxf
n
(2.5)
).,...,,,(
yyyxf
nn
Систему (2.5) часто удобнее записывать в векторной форме:
dY
),( YxF
где
,
– вектор-функции, n – порядок системы.
),..,(),,...,(
fffFyyyY
2121 nn
35
Задача Коши для систем дифференциальных уравнений ставится так же,
0
M
nji
,...,1,
XXk
F
:
как для одного уравнения: найти решение системы, удовлетворяющее
начальным условиям
0
101
0
202
0
0
)(,...,)(,)(
yxyyxyyxy (2.6)
nn
или в векторной форме:
)( YxY
.
00
Теорема 3. О существовании и единственности решения задачи Коши
для нормальной системы дифференциальных уравнений.
Пусть в системе (2.5) функции
1) как функции (n+1)-й переменной
21 ni
удовлетворяют условиям:
),...,,,(
yyyxf
, они непрерывны по всем
yyyx ,...,,,
21
n
переменным в некоторой области D (n+1)-мерного пространства;
2) их частные производные по переменным
f
i
M
ограничены (
Тогда для любой точки ),...,,,(
такое, что
0
2
10 n
для
y
j
00
yyyx области D существует, и при этом
21
в области D
yyy ,...,,
n
.)
единственное, решение задачи Коши (2.5), (2.6).
Как нетрудно увидеть из этих трех теорем, главное условие существования
решения дифференциального уравнения или системы – непрерывность всех
функций в правой части по всем переменным в рассматриваемой области.
Условие единственности – дифференцируемость правых частей, как
функций нескольких переменных, по всем переменным, кроме x.
Теперь обратимся к разностным уравнениям. С разностными уравнениями
ситуация значительно лучше.
Рассмотрим разностное уравнение n-го порядка
, (2.7)
),...,,,(
xxxkFx
11
nkkknk
n
где k – натуральное число, а
Последовательность
N,k
k
0
она обращает уравнение (2.7) в числовое тождество при любом
– заданная функция.
называется решением уравнения (2.7), если
.
Nk
0
Задачу нахождения решения уравнения (2.7), удовлетворяющего условиям
,
uxuxux
nn
12110
(2.8)
где
,...,,
– заданные числа, называют разностной задачей Коши.
uuu ,...,,
21
n
Обратим внимание, что сама форма разностной задачи Коши такова, что,
имея первые n членов последовательности, мы автоматически единственным
образом вычисляем n+1-й член. А далее следующий. Эту последовательность
можно продолжать бесконечно, если только на какой-то итерации значение
функции F не выйдет за пределы области её определения.
Например, для уравнения
36
)(x
f
),(ba
x
xx
kk
x
1k
если при каком-то k значение
11
станет больше единицы, то дальше
x
k
решения не существует.
Таким образом, в силу самого алгоритма построения решения разностного
уравнения справедлива
Теорема 4. Решение разностной задачи Коши (2.7), (2.8) существует и
единственно и продолжаемо до тех пор, пока члены последовательности не
выходят из области определения правой части F.
Понятно, что и с существованием и единственностью решений систем
разностных уравнений та же ситуация.
Далее переходим непосредственно к линейным уравнениям и системам.
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется
уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят
линейно, т.е. в первой степени:
)(
1
)1(
2
По теореме 2 если функция
(2.9) являются непрерывными
)2(
nnn
(2.9)
1
и все коэффициенты
nn
).()()()()(
xfyxpyxpyxpyxpy
уравнения
)(xp
i
, то для любых начальных данных,
заданных в точке
из этого интервала, существует единственное решение
x
0
задачи Коши для уравнения (2.3).
Нормальная система (2.5) дифференциальных уравнений называется
линейной, если функции
. Нормальная линейная система имеет вид
yyy ,...,,
21
n
dy
1
dt
21
являются линейными относительно
fff ,...,,
n
nn
),()(...)()(
xbyxayxayxa
11212111
dy
2
.......
dt
nn
),()(...)()(
xbyxayxayxa
22222121
(2.10)
dy
n
dt
2211
).()(...)()(
xbyxayxayxa
nnnnnn
где )(xa
и
ij
– заданные функции,
)(xb
i
– искомые функции.
)(xy
i
Если все заданные функции в системе (2.10) непрерывны на некотором
интервале, то по теореме 3 для каждой точки x0 из данной области существует
единственное решение задачи Коши, заданное в этой точке.
Отметим, что ввиду линейности уравнения (2.9) по y и системы (2.10) по
, в точке x0 можно задавать любые
yyy ,...,,
21
n
0
2
1
00
,...,,
yyy . Они никак не влияют
n
37
на существование и единственность, поскольку требуется лишь непрерывность
bax
0a
0a
0b
0b
C
y
заданных функций правой части по x.
2.2. Однородные и неоднородные уравнения. Структура решений.
Фундаментальная система решений
В данном параграфе мы на знакомых уже из курса линейной алгебры
примерах изложим основные вопросы о структуре решений линейных
уравнений, которые распространяются на любые линейные уравнения, в том
числе дифференциальные и разностные.
Для начала рассмотрим самое простое линейное уравнение
,
где x – неизвестное. При
Если же
, то в случае
это уравнение имеет единственное решение.
это уравнение не имеет решений, а при
любое значение x удовлетворяет уравнению, то есть решений бесконечное
множество.
Теперь давайте рассмотрим более сложное уравнение
, (2.11)
byaxa
21
где x ,y – неизвестные, а
aa
неизвестных не найдём, поэтому будем считать
. Очевидно, что из одного уравнения мы два
0
21
произвольным числом,
a
тогда C
x
a
Обратим внимание, что вектор
b
2
. То есть решением данного уравнения является вектор
a
1
1
b
a
1
a
a
CC
a
b
0;
1
2
1
;
.
также является решением исходного
уравнения, а вектор
a
CC
a
2
1
;
является решением уравнения
. (2.12)
0
yaxa
21
Но последний вектор определяется с точностью до константы C.
Таким образом, мы можем записать решение исходного уравнения в виде
0;1;);(
Cyx
a
2
a
b
a
.
11
Конечно же, из курса алгебры нам известно, что уравнение (2.11)
называется неоднородным, а уравнение (2.12) соответствующим ему
однородным уравнением. И общее решение уравнения (2.11) состоит из суммы
какого-то ненулевого решения однородного уравнения (2.12), умноженного на
38
произвольную постоянную C, и какого-то решения исходного неоднородного
BAX
BxA
0)(
BBxAAxxx
A
xx
0AX
][x
L
bxL]
[
0][x
L
bxL]
[
уравнения (2.11).
Переходим непосредственно к решению неоднородной СЛАУ в общем
виде
.
Пусть x – некоторое (частное) решение неоднородной системы, тогда
.
Пусть x– любое другое решение этой же неоднородной системы.
Тогда
.
Следовательно,
– решение однородной системы
.
Отсюда следует, что общее решение неоднородной системы равно сумме
частного решения неоднородной и общего решения однородной:
xxX
,
од
ч
Такова структура решений любого линейного неоднородного уравнения
(алгебраического, дифференциального, разностного).
Действительно, рассмотрим произвольное линейное неоднородное
уравнение с линейным оператором
:
. (2.13)
Пусть
– какое-либо решение уравнения (2.13). Тогда
x
ч
bxL][
ч
.
В силу линейности оператора L для любого решения x уравнения (2.13)
верно:
0][][][
bbxLxLxxL
Это означает, что
чч
является решением однородного уравнения
xx
ч
. (2.14)
А это и означает, что любое решение уравнения (2.13) представимо в виде
суммы
и какого-то решения уравнения (2.14):
x
ч
:
xxx
.
ч
од
Кроме того, в силу линейности оператора верна
Теорема. (О суперпозиции решений неоднородного линейного уравнения).
Если уравнения
)(1xfyL
имеют частные решения
y
и
1
является частным решением уравнения
)(2xfyL
соответственно, то функция
y
2
.
)()(
xfxfyL
21
39
yy
21
Или в более общей форме:
][x
L
0AX
0X
rn
rn
rn
является частным решением
yy
2211
уравнения
)()(
xfxfyL
2211
Действительно,
.
)()(
xfxfyLyLyyL
221122112211
Теперь обратимся к структуре решения однородного уравнения (2.14).
Пусть
числа C
Cxx
1
решение однородного уравнения (2.14). Тогда для любого
xx
1
–
также является решением уравнения (2.14). И если
, xxxx
21
– решения этого уравнения, то и их сумма также является решением этого
уравнения. То есть любая линейная комбинация решений линейного
однородного уравнения (2.14) также является решением этого уравнения.
Действительно, пусть
линейности оператора
21
– решения уравнения (2.14), тогда в силу
xxx ,...,,
k
,...,,
21
:
k
22112211
xLxLxLxxxL
kkkk
00...00][...][][]...[
.
Таким образом, мы получили, что множество решений линейного
однородного уравнения всегда образует линейное пространство.
Как мы показали в первой части, любое линейное пространство имеет
базис. Он может быть конечен или бесконечен.
Вновь вернемся к линейной алгебре. Рассмотрим однородную СЛАУ
Напомним, что по теореме Кронеккера – Капелли для того, чтобы данная
система имела нетривиальное решение (а эта система всегда имеет решение
), необходимо и достаточно, чтобы r – ранг матрицы A был меньше, чем
n – количество неизвестных в системе (количество столбцов матрицы A). В
случае квадратной матрицы это равносильно условию
0
A
.
При этом количество различных линейно независимых решений этой
системы равно количеству свободных переменных или так называемому
дефекту матрицы A, равному
пространства решений однородной СЛАУ также равна
. Следовательно, размерность
.
Таким образом, базис пространства решений однородной системы
линейных алгебраических уравнений состоит из
линейно независимых её
решений и называется фундаментальной системой решений (ФСР). А если
нам известен базис линейного пространства решений, то и любое решение
является линейной комбинацией базисных векторов.
Примеры
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]