Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ОДУРУОФА. Ч.2. Линейные уравнения. Учебное пособие
.pdf
21
.2cos4'4''xyy
y
xBxA2
sin2cos
.2cos4''xyy
e
Аe
xx2
cos
x
ex2
cos
2
2sincos
xxxCxCy .
2) ).5('3''3'''
x
xeyyyy
Общее решение однородного уравнения:
xxx
2
од
является корнем характеристического многочлена кратности 3,
s
1
0
exCxeCeCy
321
.
поэтому ищем решение в виде
3)
Общее решение однородного уравнения:
xx
2
од
0
.
1
не являются корнями характеристического многочлена, поэтому
is 2
2
xeCeCy
2
ищем решение в виде
4)
Общее решение однородного уравнения:
.
xCxCy
од
являются корнями характеристического многочлена, поэтому
0
is 2
2sin2cos
21
ищем решение в виде
x
3
)(
eBAxx
.
.
xBxAx 2sin2cos
.
Не стоит забывать о принципе суперпозиции при поиске частного решения
неоднородного уравнения: если правая часть – сумма квазиполиномов,
соответствующих разным
, то найдя частные решения для каждого отдельно
s
0
и просуммировав, мы получим частное решение исходного уравнения.
5) .2cos2cos4'' xexxeyy
Корни характеристического многочлена:
x
соответствует
корнем. Следовательно, ищем частное решение для него в виде
соответствует
xx
, которое не является характеристическим
1
s
0
0
i2
2,1
, которые являются характеристическими
is 2
.
x
.
корнями. Следовательно, ищем частное решение для него в виде
.
xEDxxCBxx 2sin)(2cos)(
соответствует
0
, которые не являются корнями
is 21
характеристического многочлена, поэтому ищем решение в виде
x
xGxFe
2sin2cos
.
Частное решение исходного уравнения можно найти в виде:
xx
71
xGxFexEDxxCBxxАe
2sin2cos2sin)(2cos)( .
6)
023
1
4
42)1(3)2(
akkaka
4
a
2
2
0
1
2
2
2
2
2
2
3
yyy
12
kkk
423
Составляем характеристическое уравнение
2
Его корни
.
.
2,1
21
Общее решение однородного уравнения:
k
.
21
k
CCy 2
Для того чтобы найти частное решение исходного неоднородного
уравнения, воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Правая часть соответствует квазиполиному
k
. При этом
1
простой корень характеристического многочлена. 4 – многочлен нулевой
степени. Значит, частное решение будем искать в виде
.
aky
k
Подставляя его в исходное уравнение, получим
.
1
–
Отсюда получим
.
Следовательно, общее решение уравнения:
k
kCCy
42
k
21
.
7)
yy
2
kk
cos3
kk
kk
cos2
Составляем характеристическое уравнение
2
Его корни
Корни в тригонометрической записи:
.
i
2,1
.
)
(cos
2,1
sin
.
Следовательно, общее решение однородного уравнения:
k
cos
Cy
k
C
21
sin
k
.
Правая часть уравнения состоит из трех различных квазиполиномов.
cos,3
kk
kk
cos2,
.
Для каждого из них построим соответствующее частное решение.
Число 3 не является корнем характеристического многочлена.
Коэффициент при
искать частное решение в виде
k
равен 1-многочлену нулевой степени. Значит, будем
k
.
Ay 31
k
72
2
k
2
i
2
.0'5'
'
y
y
.04'4''
yyy
.06'11''6'''
yyy
y
.04'4''''
'
yyy
y
.2sin32
cos6''xxy
y
.
sin2'''xy
y
cos
соответствует числу i, которое является характеристическим
корнем, следовательно, неопределенный коэффициент при косинусе и
синусе будем умножать на k. Будем искать частное решение в виде:
cos
k
C
2
2
k
Bky
k
k
cos2
соответствует числу
sin
k
.
2
, которое не является
характеристическим корнем, следовательно, будем искать частное решение
в виде:
2
k
k
Dy
k
cos2
E
2
sin
k
.
2
Далее остается подставить данные функции в соответствующие уравнения и
собрать коэффициенты при одинаковых функциях. Такую операцию мы уже
неоднократно проделывали выше, поэтому здесь мы на этом остановимся.
Как мы увидели в этой главе, структура решений линейных
дифференциальных и разностных уравнений очень похожи, и методы их
решения имеют много общего. Мы покажем в следующей главе, что
аналогичная картина будет и для систем линейных уравнений.
Контрольные вопросы и упражнения
В чем основное отличие в структуре общего решения линейных
однородны дифференциальных и разностных уравнений с постоянными
коэффициентами?
Найти общие решения дифференциальных уравнений.
4.1.
4.2. .0,0''
4.3.
2
kyky
4.4.
4.5.
4.6. .04 yy
4.7. .6''
4.8. .2'''
4.9. .535'6''
4.10.
4.11.
4.12. .sin4''
4.13. .cos''''
IV
2 x
eyy
x
eyy
2
xxyy
2
xxyy
x
2
xeyyy
73
1
2
e
sin
x
x
0)(2)1()2
(
kykyk
y
0)(2)1(3)2(
kykyk
y
0)(9)1(6)2(
kykyk
y
0)(16)1(8)2(
kykyk
y
0)(2)1(2)2(
kykyk
y
0)(8)1(4)2(
kykyk
y
310)(16)1(8)2
(
kkykyky
kkykyky
sin)(2)1(2)2(
x
e
4.14.
4''
yy
2
.
x
2
4.15. .
4.16.
''
yy
3
'''
xyy
3
6
.
4
Найти общие решения разностных уравнений
4.17.
,
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
4.28.
4.29.
4.30. kkykykyky
4.31. kkykykyky
,
,
,
kkykyky 2)(2)1()2( ,
kykyky 2)(2)1(3)2(
k
kkykyky 32)(9)1(6)2( ,
,
k
k
,
,
kkykykyky )1()2()()1()2()3( ,
k
)2(3)()1()2()3( ,
k
kk
kkykykyky )1()3()(4)1(4)2()3( ,
313)(4)1(4)2()3( ,
kk
74
BAYY
'
AYY
'
5.1. Теория однородных систем. Метод Лагранжа.
Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной,
если функции
21
являются линейными относительно
fff ,...,,
n
Нормальная линейная система имеет вид
dy
1
dt
nn
),()(...)()(
xbyxayxayxa
11212111
dy
2
.......
dt
nn
),()(...)()(
xbyxayxayxa
22222121
(5.1)
dy
n
dt
2211
).()(...)()(
xbyxayxayxa
nnnnnn
где )(xa
и
ij
– заданные функции,
)(xb
i
– искомые функции.
)(xy
i
Краткая запись системы (5.1):
dy
dt
n
i
j
1
i
jij
),..,1( )()(
nixbyxa
.
.
yyy ,...,,
21
n
Если все
i
, то система называется однородной, иначе
0)(xb
неоднородной.
Систему (5.1) удобно записывать в матричном виде:
, (5.2)
)(...)()(
где
A
xaxaxa
21
11211
n
)(...)()(
xaxaxa
22221
n
............
nnnn
,
)(...)()(
xaxaxa
B
b
1
b
2
,
Y
...
b
n
y
1
y
2
,
'
Y
...
y
n
'
y
1
'
y
2
y
...
.
'
n
Тогда однородная система запишется как
. (5.3)
Задача Коши для систем дифференциальных уравнений ставится так же,
как для одного уравнения: найти решение системы, удовлетворяющее
начальным условиям
0
101
0
202
0
0
)(,...,)(,)(
yxyyxyyxy
nn
или в векторной форме:
)( YxY
.
00
75
AYYY
L
'][
BYL]
[
0][Y
L
Если все заданные функции в системе (5.1) непрерывны на некотором
интервале, то по теореме и существовании и единственности для каждой точки
x0 из данной области существует единственное решение задачи Коши, заданное
в этой точке. Отметим, что ввиду линейности уравнения по
точке можно задавать любые
0
2
1
00
,...,,
yyy . Они никак не влияют на
n
21
, в этой
yyy ,...,,
n
существование и единственность.
Как и ранее для уравнений высших порядков, для систем введем понятие
дифференциального оператора.
Определим векторный дифференциальный оператор как
(5.4)
Тогда система (5.1) может быть записана как
, (5.5)
а система (5.3):
. (5.6)
Данная запись систем называется операторной формой линейных систем
(5.1), (5.3).
Пользуясь свойствами умножения матриц и операции дифференцирования,
покажем:
1. Для любого числа C:
][)'(''][ YCLAYYCCAYCYCYACYCYL
.
2.
'''][ AYAYYYYYAYYYYL
2121212121
][][''
YLYLAYYAYY
212211
.
Последнее означает, что дифференциальный оператор является линейным.
Изучение систем линейных дифференциальных уравнений будем
проводить по той же схеме, что и для линейных уравнений высших порядков.
Сначала изучим общую теорию линейных однородных систем. Затем в общем
случае покажем, как получить решение неоднородной системы.
Для однородной системы (5.6) приведем ряд утверждений, аналогичных уже
известным нам в разделе линейных уравнений высших порядков, которые мы
здесь оставим без доказательств. Их можно найти в первой части данного
пособия.
Рассмотрим линейную однородную систему (5.6), все коэффициенты
которой будем считать непрерывными функциями на интересующем нас
интервале. Тогда, как мы уже сказали, вопрос о существовании и
единственности будет закрытым.
Теорема 1. Пусть
произведение на любое число
и
Y
1
– решения системы (5.6), тогда их сумма
Y
2
также являются решениями системы (5.6).
CY
1
и
YY
21
76
Следствие. Если
любых
21
их линейная комбинация
CCC ,...,,
21
n
– решения однородной системы (5.6), то при
YYY ,...,,
n
...
2211
YCYCYC
nn
также является решением системы (5.6).
Другими словами, множество решений однородной системы (5.6) является
линейным пространством.
Поскольку речь идёт о линейном пространстве, то снова следует ввести
понятия базиса, поэтому сначала, как и ранее, определим понятие линейной
зависимости вектор-функций.
Возьмем n вектор-функций
)(
xy
Y
1
11
)(
xy
21
...
n
,
)(
xy
1
Y
2
)(
xy
12
)(
xy
22
...
2
n
, ..,
)(
xy
Y
n
)(
xy
1
n
)(
xy
2
n
...
nn
.
)(
xy
Векторы
21
существуют такие числа
будем называть линейно зависимыми на (a,b), если
YYY ,...,,
n
,...,,
21
, не все одновременно равные нулю, что
n
0
0
...
2211 nn
YYY
.
...
0
Если же тождественно нулевая комбинация возможна только при всех
коэффициентах, равных нулю, то система вектор функций называется линейно
независимой.
Другими словами, линейная зависимость вектор функций означает, что
система алгебраических уравнений относительно
...
2211
,...,,
21
yyy
yyy
yyy
,0...
1122111
nn
2222211
nn
0...
nnnnn
n
,0...
при всех x из (a,b) имеет нетривиальное решение. Из курса линейной алгебры
известно, что это возможно лишь в том случае, когда определитель матрицы,
составленной из коэффициентов системы, равен нулю.
Получившийся определитель
77
yyy
...
...
n
11211
yyy
n
22221
............
yyy
...
21
nnnn
называется определителем Вронского (вронскианом) системы вектор-функций
.
YYY ,...,,
21
n
Обозначается:
YYYW
21 n
или
],...,,[
.
)](,...,,[
21
xYYYW
n
Используя вышесказанное, мы можем сформулировать теорему:
Теорема 2. Если векторы
21
линейно зависимы на некотором
YYY ,...,,
n
интервале (a,b), то их вронскиан тождественно равен нулю на этом интервале.
Отметим, что условие равенства нулю определителя Вронского является
необходимым, но не достаточным.
Приведем пример, когда функции линейно независимы, а их вронскиан
равен нулю.
Пример
x
Y
1
Y
,
0
1
1
(вторая вектор-функция не зависит от x).
0
Составим определитель Вронского:
1
x
],[
YYW
21
.
00
Очевидно, что он равен нулю при любом x, так как вторая строка
нулевая.
При этом также очевидно, что эти вектор-функции линейно независимы,
так как их первые компоненты, как мы уже знаем, являются линейно
независимыми функциями.
Теперь предположим, что
21
– не произвольные функции, а
YYY ,...,,
n
решения одной и той же системы линейных однородных дифференциальных
уравнений. Тогда справедлива
Теорема 3. Если n решений
21
линейной однородной системы (5.6)
YYY ,...,,
n
линейно независимы на (a,b), то их определитель Вронского не равен нулю ни в
одной точке интервала (a,b).
Следствие. Пусть
21
(5.6) . Тогда их определитель Вронского
– решения линейной однородной системы
YYY ,...,,
n
либо тождественно
],...,,[
YYYW
21 n
равен нулю, и это означает, что эти решения линейно зависимы, либо не
обращается в ноль ни в одной точке, что означает их линейную независимость.
78
Теорема 4. Система (5.6) имеет ровно n линейно независимых решений.
BAYY
'
Система, состоящая из n линейно независимых решений линейной
однородной системы n дифференциальных уравнений, называется
фундаментальной системой решений (ФСР). ФСР является базисом
пространства решений.
Если вектор-функции
)(
xy
Y
1
11
)(
xy
21
n
...
1
,
)(
xy
Y
2
)(
xy
12
)(
xy
22
...
2
n
, ..,
)(
xy
Y
n
)(
xy
1
n
)(
xy
2
n
...
)(
xy
nn
образуют фундаментальную систему решений системы (5.6), то общее решение
этой системы:
n
i
1
YCY
ii
или в более подробном виде:
...
2211
),(...)()(
xyCxyCxyCy
11221111
nn
),(...)()(
xyCxyCxyCy
22222112
nn
).(...)()(
xyCxyCxyCy
nnnnnn
Переходим к решению линейных неоднородных систем
дифференциальных уравнений. Как и ранее, все функции от x, входящие в
систему, будем считать непрерывными в рассматриваемом нами интервале.
Теорема 5. Общее решение неоднородной системы
,
равно сумме общего решения соответствующей однородной системы и какоголибо частного решения рассматриваемой неоднородной системы.
То есть,
n
,
YYCY
чii
–
Y
ч
где
i
1
– фундаментальная система решений однородной системы, а
YYY ,...,,
21
n
частное решение исходной системы.
Таким образом, как и раньше, нам необходимо найти любое частное
решение неоднородной системы.
Если у нас уже есть общее решение соответствующей однородной
системы, то мы снова можем воспользоваться универсальным методом –
методом вариации произвольной постоянной (Лагранжа).
Пусть у нас уже есть общее решение однородной системы
79
...
BYL]
[
2211од
YCYCYCY
.
nn
Тогда решение неоднородной системы будем искать в виде
2211ч
YxCYxCYxCY )(...)()(
Подставим данное решение в систему
.
YxCYxCYxCL
])(...)()([
nn
YxCYxCYxC
)(...)()(
nn
YxCYxCYxCA
)(...)()(
nn
YxCYxCYxC
)('...)(')('
nn
YxCYxCYxC
')(...')(')(
nn
AYxCAYxCAYxC
)(...)()(
YxCYxCYxC
)('...)(')('
nn
BYxCYxCYxC
)('...)(')('
nn
Здесь мы учли, что
0][
YL .
i
2211
2211
2211
2211
2211
2211
– ФСР однородной системы, а значит
YYY ,...,,
21
n
2211
2211
2211
Мы получили систему
.
nn
nn
YLxCYLxCYLxC
][)(...][)(][)(
nn
nn
nn
...
2211
),()()('...)()(')()('
xbxyxCxyxCxyxC
11122111
),()()('...)()(')()('
xbxyxCxyxCxyxC
22222211
nnnnnn
)()()('...)()(')()('
xbxyxCxyxCxyxC
,
которая является системой линейных алгебраических уравнений относительно
неизвестных
21
, определитель которой – определитель
)('),...,('),('
xCxCxC
n
Вронского от фундаментальной системы решений. Данный определитель
отличен от нуля, следовательно, система совместна и определена, а значит,
разрешима относительно
21
ii
, то есть имеет решение
)('),...,('),('
xCxCxC
n
.
nixxC
,...,1 )()('
Проинтегрировав по x, получим
nixxC
ii
,...,1dx )()(
Таким образом, мы найдём частное решение неоднородной системы.
Пример.
,'
yy
21
1
'
yy
12
cos
.
x
Нетрудно убедиться подстановкой, что система
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]