Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ОДУРУОФА. Ч.2. Линейные уравнения. Учебное пособие
.pdf
.
.....
)()()()(
2211
xyCxyCxyCxy
nn
Суть метода Лагранжа (вариации произвольной постоянной), как и
ранее, заключается в том, что мы будем считать коэффициенты при
фундаментальных решениях не постоянными, а функциями от x. То есть будем
искать частное решение уравнения (4.1) в виде
. (4.7)
)()()()()()()(
2211
xyxCxyxCxyxCxy
nn
В отличие от уравнений первого порядка, в нашем решении n неизвестных
функций, поэтому недостаточно просто подставить это решение в уравнение
(4.1). Для того чтобы найти n неизвестных функций, нам необходимо n
уравнений. Поэтому мы сами будем накладывать на эти функции ограничения,
чтобы получить все n функций.
Продифференцируем равенство (4.7):
)()(')()(')()(')('
2211
2211
xyxCxyxCxyxC
nn
xyxCxyxCxyxCxy
nn
).(')()(')()(')(
Первое условие, которое мы наложим:
2211
xyxCxyxCxyxC
nn
.0)()(')()(')()('
Далее найдем ещё одну производную. Получим
)(')(')(')(')(')(')(''
2211
2211
xyxCxyxCxyxC
nn
xyxCxyxCxyxCxy
nn
).('')()('')()('')(
Второе условие:
2211
xyxCxyxCxyxC
nn
.0)(')(')(')(')(')('
….
И так будем продолжать до (n-1)-й производной от y.
После этого полученные производные и n-ю производную подставим в
уравнение (4.1):
1
11
)1(
111
nn
22
nn
2211
22
nn
nn
11
n
)()(')()(')()('
xyxCxyxCxyxC
nn
n
xyxCxyxCxyxC
)()()()()()(
n
nn
)1()1(
)()(...)()()()()(
xyxCxyxCxyxCxp
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
Учитывая, что
получим
1
11
)(
n
nn
1
11
1
21
nn
22
1
nn
1111
n
n
– решения однородного уравнения,
)(),...,(),(
xyxyxy
n
nn
22
61
2211
)1(
n
1
nn
nnn
11
n
)()(')()(')()('
xyxCxyxCxyxC
nn
...)()()()()()(
xyxpxyxpxyxC
.
)()()(...)()()()(
xfxyxpxyxpxyxC
.
)()()(...)()()()()(
xfxyxCxyxCxyxCxp
nn
.
)()()(')()(')()('
xfxyxCxyxCxyxC
11
n
Таким образом, собирая все наложенные условия и полученное последнее,
cos
x
видим, что
21
являются решениями системы:
)(',),('),('
xCxCxC
n
2211
xyxCxyxCxyxC
nn
,0)()(')()(')()('
2211
xyxCxyxCxyxC
nn
..................
)1(
11
2211
nn
22
nn
,0)(')(')(')(')(')('
).()()(')()(')()('
xfxyxCxyxCxyxC
(4.8)
xyxCxyxCxyxC
,0)('')(')('')(')('')('
)1()1(
n
nn
Эта система – неоднородная СЛАУ с матрицей, определитель которой –
вронскиан фундаментальной системы решений однородного уравнения.
Следовательно, её определитель не равен нулю, и, следовательно, по теореме
Кронеккера – Капелли система (4.8) имеет единственное ненулевое решение.
Разрешая систему относительно
21
и интегрируя по x
)(',),('),('
xCxCxC
n
каждое полученное равенство, мы найдем соответствующее частное решение
уравнения (4.1).
В случае уравнения второго порядка система (4.8) выглядит следующим
образом:
xyxCxyxC
2211
2211
,0)()(')()('
.
)()(')(')(')('
xfxyxCxyxC
Пример.
1
''
yy
.
Как мы уже знаем, общее решение однородного уравнения:
xCxCy cossin
21од
.
Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде:
21
xxCxxCy cos)(sin)(
Составляем систему для вычисления неизвестных функций:
xxCxxC
21
sin)('cos)('
21
,0cos)('sin)('
1
xxCxxC
x
cos
Разрешая систему, получим:
.
21
Проинтегрируем: xxCxxC cosln)(,)(
xxCxC tg)(',1)('
21
.
Таким образом, общее решение:
.coslncossincossin
21чодоб
xxxxxCxCyyy
62
Переходя к разностным уравнениям, мы уже понимаем, что для них также
3 и 2
1y
верны утверждения из главы 2, поэтому всё вышесказанное относительно
решений неоднородных дифференциальных уравнений в той же мере относится
и к линейным неоднородным разностным уравнениям
. (4.4)
...
11
fyayay
kknknkknk
Теорема 13. Общее решение уравнения (4.1) имеет вид
1
1
2
2
система решений соответствующего однородного уравнения, а
n
yyCyCyCy ...
, где
k
knkkk
21
n
yyy ,,...,,
kkk
–
фундаментальная
– любое
y
k
частное решений исходного уравнения.
Пример.
yyy
12
kkk
265
Подстановкой легко проверить, что функции
kk
являются решениями
однородного уравнения
,
065
yyy
12
kkk
причём линейно независимыми. Кроме того, очевидно, что
является
решением исходного однородного уравнения.
Значит, общее решение исходного неоднородного уравнения выглядит
следующим образом:
132
k
kk
CCy
21
Теорема 14. Пусть в уравнении (4.4)
решение уравнения с правой частью
частью
2
f , то
k
21
fff .
kkk
21
yy является решением уравнения (4.4) с правой частью
kk
1
f , а
k
2
y – решение уравнения с правой
k
21
fff . Тогда если
kkk
Метод вариации произвольной постоянной:
Пусть
21
n
yyy ,,...,,
kkk
фундаментальная система решений однородного
–
уравнения, соответствующего уравнению (4.4)
Тогда частное решение уравнения (4.4) будем искать в виде:
n
yyCyCyCy ...
, (4.9)
k
knkkkkkk
где
1
1
– неизвестные последовательности.
CCC ,...,,
21
nkkk
2
2
Введем понятие первой конечной разности:
1
y -
k
CCC
.
1,
ikkiik
Тогда способом, аналогичным изложенному выше в методе Лагранжа для
дифференциального уравнения, можно составить систему для нахождения
первых конечных разностей:
63
1
e
11
1
21
2
12
2
22
n
0...
yCyCyC
1
knkkkkk
n
0...
yCyCyC
2
knkkkkk
.
.....
1
1
Определитель этой системы не равен нулю, так как
Следовательно, система имеет решение относительно
систему и приняв
суммирования мы найдём
2
C
2
(или, если это удобнее, за другое число), с помощью
0
0i
.
C
ik
n
0...
yCyCyC
nknknkknkk
21
yyy ,,...,,
. Решив данную
C
ik
n
– ФСР.
kkk
Таким образом, мы выяснили: для того чтобы полностью найти общее
решение неоднородного линейного уравнения (разностного или
дифференциального), достаточно найти ФСР соответствующего однородного
уравнения. Как мы уже сказали ранее, задача эта затруднительна в общем
случае. В следующем пункте мы рассмотрим класс уравнений, для которых мы
точно это сможем сделать.
4.3. Уравнения с постоянными коэффициентами. Метод
неопределенных коэффициентов
Как мы уже отмечали ранее, среди всех дифференциальных уравнений те
уравнения, которые мы можем решить, составляют лишь маленькую часть.
Несмотря на то, что нами изучена структура решений линейных
уравнений, в общем случае даже для таких уравнений не существует метода
решения. С разностными уравнениями ситуация не лучше, если не хуже.
В данном параграфе мы изучим еще более узкий класс уравнений –
линейные уравнения с постоянными коэффициентами. То есть будем
предполагать, что коэффициенты уравнения – вещественные числа.
Как мы уже знаем, нам нужно построить решения для однородных
уравнений.
В этом параграфе мы будем почти одновременно излагать метод решения
дифференциальных и разностных уравнений, поскольку метод является
практически одинаковым. Отличается лишь нюансами, характерными для
каждого типа.
Итак, рассмотрим линейное дифференциальное однородное уравнение
)(
)1(
1
2
Будем искать решение уравнения (4.10) в виде
Подставляя это решение в уравнение (2.10) и сокращая на
1
1
nnn
2
)2(
nnn
2
(4.11)
. (4.10)
1
1
ey .
aaaa
nn
0
yayayayay
nn
x
x
, получим:
.0
Уравнение (4.11) – алгебраическое уравнение n-й степени. Данное
уравнение называют характеристическим для уравнения (4.10). А его корни
характеристическими корнями.
64
)
(P
Теперь рассмотрим линейное однородное разностное уравнение
11
knnknk
Будем искать решения этого уравнения в виде
Подставляя его в уравнение (4.12) и сокращая на
yayay
y .
k
k
k
, получим то же самое
. (4.12)
0...
уравнение (4.11), которое также называется характеристическим для уравнения
(4.12). Отметим лишь, что в характеристическом уравнении для разностного
уравнения последний коэффициент
не может быть равен нулю,
a
n
следовательно, это уравнение не может иметь корень, равный нулю.
Таким образом, решение линейных однородных дифференциальных и
разностных уравнений сводится к поиску корней характеристического
уравнения.
Мы знаем, что уравнение n-й степени имеет не более n корней, а точнее,
ровно n корней с учетом их кратности.
При этом корни могут быть простые и кратные, вещественные и
комплексные.
Рассмотрим каждый из случаев.
1. Самый простой случай, когда все n корней вещественные и различные.
Пусть
1
,...,
– различные вещественные корни.
n
Тогда для уравнения (4.10) мы получим n решений:
x
xx
21
n
eee
,,,
. (4.13)
Для уравнения (4.12) мы получим решения:
k
,...,
1
k
. (4.14)
n
Ранее мы для обеих систем функций уже показали, что они являются
линейно независимыми в случае попарно различных
1
,...,
, следовательно,
n
(4.13) и (4.14) являются фундаментальными системами решений для уравнений
(4.10 и (4.12) соответственно.
Тогда получим общее решение уравнения (4.10):
x
xx
21
21
n
eCeCeCy
.
n
Для уравнения (4.12) получим общее решение:
kk
2211
k
CCCy
.
nn
2. Вещественный корень
имеет кратность m.
0
Обозначим характеристический полином как
nnn
2
2
. Следовательно,
,
)(P
, …, )(
)(P
m
)(
0
P .
aaaaP
1
nn
0
)1(m
Так как
– корень кратности k, это означает, что в разложении на
0
множители полинома
)( .
есть множитель
1
является также корнями многочленов
1
Далее, обозначим
65
nnn
)
(P
e
xe
e
x
e
x
e
xe
e
x
e
x
bia
bia
bia
)
(P
)( .
)(
)1(
1
)2(
2
1
yayayayayyL
nn
Тогда
xx
ePeL
)()( . (4.15)
Продифференцируем равенство (4.15) по :
xxx
.)()()(
exPePxeL
Продифференцируем еще раз. Получим
22 xxxx
.)()(2)()(
ePxePePexL
Продифференцируем до (m-1) производной. Получим
1
Как мы указали выше,
1
m
xm
является корнем от производных многочлена
0
m
1
l
1
1)(
xlmll
)()(
.
exPCexL
вплоть до (m-1) порядка. Следовательно,
Это означает, что помимо функции
x
являются функции
0
2
,
x
0
, …,
xxx
x
0
, решениями уравнения (4.10) также
x
m
1
0
. Нетрудно показать, что они
12
xm
0000
0)(...)()()(
exLexLxeLeL
.
являются линейно независимыми.
Таким образом, корню
кратности m соответствует m различных
0
линейно независимых решений из ФСР:
x
0
x
0
,
,
x
2
0
, …,
x
m
1
0
. (4.16)
Точно таким же образом для разностного уравнения (4.12) можно показать,
что если
– характеристический корень кратности m, то ему
0
соответствует m различных линейно независимых решений из ФСР:
kkk
2
11
kkk
,...,,,
1
k
m
1
. (4.17)
n
Эти системы функций также являются линейно независимыми, что легко
показывается последовательными сокращениями линейной комбинации на
общий показательный множитель и дифференцированиями.
3. Корень
– простой (не кратный) корень
характеристического многочлена.
Заметим, что в этом случае корнем характеристического многочлена также
является
, поскольку корнями многочлена с вещественными
коэффициентами могут быть только пары комплексно-сопряженных чисел.
Тогда из теории функций комплексной переменной нам известно (формула
Эйлера), что
)(
axxbia
)sin(cos
bxibxee
.
Эта функция комплексная и, поскольку
, она является решением уравнения (4.10).
Следовательно, верно равенство:
66
– корень многочлена
ax
bx
eaxcos
bx
eaxsin
bia
bx
eaxcos, bx
eaxsin
bia
bx
eaxcos, bx
eaxsin,bx
xeaxcos, bx
xeaxsin
bxex
cos
bxex
sin
0)sin(cos bxibxeL
.
Но оператор L – линейный, следовательно, равенство преобразуется к
виду:
axax
0sincos bxeiLbxeL
.
Мы получили, что комплексная функция равна нулю. Это возможно лишь
тогда, когда её вещественная и мнимая части равны нулю.
А это означает, что вещественные функции
и
являются решениями уравнения (4.10).
Эти же функции мы получили бы, если бы рассматривали корень
Значит, паре простых комплексно-сопряженных корней характеристического
многочлена соответствуют две функции из ФСР уравнения (4.10)
(доказательство их линейной независимости также было в упражнениях):
.
Далее перепишем комплексный корень в тригонометрической форме:
i
)sin(cos
.
Тогда по известной формуле Муавра:
k
k
.
)sin(cos
kik
Эта комплексная функция является комплексным решением разностного
уравнения (4.12) с вещественными коэффициентами. Следовательно,
вещественная и мнимая части этой функции также являются уже
вещественными решениями этого уравнения.
Таким образом, паре простых комплексно-сопряженных корней
характеристического многочлена соответствуют две функции из ФСР
уравнения (4.12):
kk
kk
sin,cos .
.
4. Пара комплексно-сопряженных корней
имеет кратность m.
В этом случае ситуация та же самая, что и для вещественных кратных
корней. Этой паре соответствуют функции:
Для ДУ (4.10):
,…,
1
,
axm
1
axm
Для РУ (4.12):
kk
sin,cos ,
kk
kk
kkkk
sin,cos ,…,
k
m
m
Отметим, что этот случай возможен для уравнений, как минимум, 4-го
порядка.
Примеры
ДУ РУ
67
k
kkkk
sin,cos .
.
1
054
084
4
4
044
0168
2
3
3
054
yyy
Составляем характеристическое уравнение
2
Находим его корни
5,1
21
Корни простые и различные.
Получим общее решение:
k
xx
521
eCeCy
2
084
yyy
2
yyy
12
kkk
CCy )5(21
yyy
12
kkk
054
k
084
Корни комплексные:
Их тригонометрическое представление:
Общее решение:
xx
2
1
2
2
xeCxeCy
2sin2cos
3
044
yyy
2
2,1
xx
2
1
2
xeCeCy
2
4
)4(
yyyy
016'82
34
i22
2,1
2,1
Cy
k
cos8
2
cos8
1
i
4
k
C
2
yyy
12
kkk
sin
4
kk
2
k
sin8
044
2
kk
kkkk
134
kCCy 2221
01682
yyyy
k
4,32,1
xx
)(
2
1
2
xeCeCxy
2
xx
43
xeCxeC
3sin3cos
68
cos231,2
3
k
sin
ii
C
3
kk
)2()2(
kCCy
21
k
cos2
C
43
k
kk
sin2
Теперь вернемся к решению линейных неоднородных уравнений. Как мы
уже знаем, в том случае, когда у нас есть фундаментальная система решений,
мы можем воспользоваться универсальным методом поиска частного решения
– методом вариации производной постоянной Лагранжа.
Но есть класс уравнений с постоянными коэффициентами, для которых
возможно построение частного решения более простым путем. Такие уравнения
называются уравнениями специального вида. Правая часть таких уравнений
является квазиполиномом (квазимногочленом), то есть функцией,
представимой в виде суммы квазиодночленов вида
xm
cos
xeAx
или
xm
sin
xeAx
.
Предположим, что правая часть дифференциального уравнения (4.1) имеет
вид квазиполинома
x
где )(
m
1
Пусть
xP
– многочлен степени m1, )(
– комплексное число, соответствующее квазиполиному
0
is
mm
21
xP
– многочлен степени m2.
m
2
xxQxxPexf
sin)(cos)()(
, (4.18)
(4.18).
Тогда, если
не является характеристическим корнем уравнения (4.2), то
s
0
частное решение уравнения (4.1) с правой частью (4.18) можно найти в том же
виде:
x
где
ч
,
),max(21mmm
– многочлены степени m c неопределенными
SR ,
mm
,
mm
xxSxxRey
sin)(cos)(
коэффициентами.
Если же
– корень характеристического уравнения кратности r, то
s
0
частное решение уравнения (4.1) с правой частью (4.18) можно найти в виде:
xr
ч
.
mm
xxSxxRexy
sin)(cos)(
Для разностного уравнения (4.4) квазиодночлены имеют несколько другой
вид: kkPf
k
mk
cos)( или kkPf
mk
k
sin)( .
Тогда предположим, что правая часть уравнения (4.4) имеет вид
квазиполинома
k
где )(
kP
– многочлен степени m1, )(
m
1
Пусть )sin(cos
k
–
, (4.19)
mm
21
kP
– многочлен степени m2.
m
2
комплексное число, соответствующее
kkQkkPf
sin)(cos)(
квазиполиному (4.19).
Тогда если число не является характеристическим корнем уравнения
(4.5), то частное решение уравнения (4.4) с правой частью (4.119) можно найти
в виде:
k
k
mm
kkSkkRf
sin)(cos)( ,
69
0
0
0
1
.
222xxCBxAx
A
где
,
),max(21mmm
– многочлены степени m c неопределенными
SR ,
mm
коэффициентами.
Если же – корень характеристического уравнения кратности r, то
частное решение уравнения (4.4) с правой частью (4.19) можно найти в виде:
k
r
k
mm
kkSkkRkf
sin)(cos)( .
Отметим, что здесь описаны общие случаи квазиполиномов. На самом деле
косинусов и синусов в правой части может и не быть, если в (4.18)
, а в
(4.19)
. То есть квазиполиномами в том числе являются функции
x
exP)( и kkP)( .
Описанный выше метод носит название метода неопределенных
коэффициентов.
Примеры
1) .''
Характеристическое уравнение:
Его корни
2
xxyy
2
.
i
1
.
Общее решение однородного уравнения:
.
xCxCy
од
sincos
21
В правой части уравнения второго порядка – частный случай
квазиполинома, соответствующий
s
, который не является корнем
0
0
характеристического уравнения. Следовательно, частное решение
уравнения можно найти в виде полинома второго порядка с
неопределенными коэффициентами:
ч
2
CBxAxy
.
Чтобы найти коэффициенты, подставляем это частное решение в
уравнение.
222
.')'(
xxCBxAxCBxAx
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим
систему
,12
CA
,1
B
A
.1
Решая систему, получим частное решение уравнения
ч
2
2)(
xxxy .
Общее решение:
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]