Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ОДУРУОФА. Ч.2. Линейные уравнения. Учебное пособие
.pdf
изучения – функции, в разностных уравнениях мы работаем с бесконечными
X
A:X
последовательностями
21 n
.
,...,...,,
xxx
Если мы определим некоторую операцию над последовательностью
следующим образом: преобразуем нашу последовательность
последовательность
21 n
,...,...,,:
yyyy
так, что
. То есть элементы
xxy
1
iii
21 n
в
,...,...,,
xxx: x
новой последовательности – разности между соответствующими элементами
исходной последовательности. Так мы определим оператор
yxL
и этот оператор является линейным. Действительно,
1111
1111
)()(
iiii
11
)()()()(
iiiiiiii
xLxxxxxL
.
212211212121
xLxLxxxxxxxxxxL
,
Аналогичным образом доказывается линейность произвольного разностного
оператора
...
11
xaxaxxL
knknkknk
.
Одно из важных свойств линейного оператора: линейный оператор
отображает нулевой элемент в нулевой элемент.
Более подробное изучение общих свойств линейных операторов, таких,
как непрерывность и обратимость мы продолжим в разделе «основы
функционального анализа». Там же мы познакомимся с более сложными
операторами – интегральными.
Отметим, что в данном учебнике будут затронуты, говоря обобщенно,
вопросы изучения линейных операторных уравнений
,
yxL
Где L, в зависимости от типа уравнения, является матрицей,
дифференциальным или разностным оператором (в том числе и векторными).
1.3. Собственные числа линейных операторов. Собственные векторы
матриц
В курсе алгебры мы уже познакомились с понятием собственного числа и
собственного вектора матрицы. Здесь мы дадим общее определение
собственного числа линейного оператора и напомним методику поиска
собственных чисел и собственных векторов конечномерных линейных
операторов.
Определение. Пусть X – линейное пространство и
– заданный на
нем линейный оператор. Число называется собственным числом оператора
A, если существует нетривиальное (не равное нулю) решение уравнения
xxA
.
При этом соответствующее решение x этого уравнения называется
собственным вектором (в случае конечномерности пространства X) или
собственной функцией (если X – бесконечномерное функциональное
пространство).
11
x
Ax
x
Ax
0)(
xEA
С собственными числами произвольных линейных операторов мы также
столкнемся в последнем разделе курса, посвященном функциональному
анализу. Здесь же для успешного решения систем линейных
дифференциальных и разностных уравнений нам понадобится вспомнить о
поиске собственных чисел и собственных векторов конечномерных линейных
операторов, то есть матриц.
Как мы уже сказали ранее, любой линейный оператор в конечномерном
пространстве отождествляется с некоторой матрицей.
Тогда наше уравнение принимает вид:
.
x называется собственным вектором матрицы A, а – собственным значением
(собственным числом), соответствующим x.
Нетрудно показать, что одному собственному вектору соответствует лишь
одно собственное число. (Но не наоборот!).
Очевидно также, что если x – собственный вектор, соответствующий числу
, то для любого числа С вектор Сx – также собственный вектор,
соответствующий числу .
Как искать собственные векторы и собственные числа?
Пусть
.
Это уравнение равносильно следующему
.
Следовательно, ненулевой вектор x должен являться решением
однородной системы линейных уравнений. Это возможно, как мы уже знаем,
лишь в том случае, когда матрица системы вырождена, то есть
0
EA
или
aaa
11211
n
aaa
22221
n
.0
aaa
21
nnnn
Получаем уравнение n-го порядка относительно , которое называется
характеристическим уравнением, а соответствующий многочлен –
характеристическим многочленом.
Для того чтобы найти собственные числа матрицы, необходимо найти
корни характеристического многочлена.
Отсюда следует, что матрица имеет не более, чем n различных
собственных чисел, среди которых могут быть и комплексные.
Собственные числа также называют характеристическими корнями
матрицы.
12
Набор всех характеристических корней называют спектром матрицы
(линейного преобразования).
Пример
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
12
A
.
16
Составляем характеристическое уравнение:
EA
Его корни
12
16
2
21
.1,4
043
.
Найдем собственные векторы.
:4
1
Составляем уравнение
142
x
416
y
12
x
36
y
Решая систему, получим, что собственный вектор
2
yx
.0
36
yx
1
Cv
11
2
, где
C
1
–
любое число.
2
:1
112
x
116
y
1
Cv
22
, где
3
13
x
C
26
y
– любое число.
2
3
yx
.0
26
yx
Теорема 1. Набор собственных векторов, соответствующих различным
собственным числам, является линейно независимым.
Отсюда следует, что если матрица имеет n различных собственных
значений, то им соответствует n линейно-независимых собственных векторов,
которые можно принять в качестве базиса пространства L.
Если все характеристические корни различны и вещественны, то спектр
линейного преобразования называют простым.
Теорема 2. Если базис линейного пространства составлен из собственных
векторов некоторого линейного преобразования, соответствующих n
различным собственным числам, то матрица этого линейного преобразования в
этом базисе является диагональной.
13
Из данной теоремы следует, что линейное преобразование с простым
ATTB1
спектром (то есть, когда все собственные числа различные) в некотором базисе
может быть задано диагональной матрицей.
Упражнения.
Найти собственные числа и собственные векторы матриц:
12
43
, б)
012
420
101
а)
д)
1.4. Жорданова форма матрицы
В данном параграфе рассматривается вопрос поиска жордановой формы
матрицы, который, возможно, и не так необходим в нашем курсе, но поиск
жордановой формы напрямую связан со структурой спектра матрицы, с
понятиями геометрической и алгебраической кратности собственных чисел, с
количеством соответствующих им собственных и присоединенных векторов,
что необходимо нам для поиска решений линейных систем дифференциальных
и разностных уравнений.
Кроме того, один из методов решения систем разностных уравнений – это
поиск n-й степени матрицы этой системы, а здесь уже без жордановой формы
матрицы никак не обойтись. Поэтому мы подробно останавливаемся здесь на
этом вопросе.
Квадратные матрицы A и B одного и того же порядка называются
, е)
11
, в)
23
13
, г)
14
112
323
, ж)
211
12
,
20
112
212
.
211
подобными, если существует невырожденная матрица T такая, что
Другими словами, матрицы подобны, если они задают одно и то же
линейное преобразование, но в разных базисах. T – матрица перехода от одного
базиса к другому.
У подобных матриц одинаковы определитель, ранг, собственные значения,
характеристический многочлен.
Как мы увидели в предыдущем параграфе, среди подобных матриц можно
выделить наиболее простую форму. Например, диагональную. Достаточно
лишь найти базис.
Возникает вопрос: дюбую ли матрицу можно привести к диагональной?
Проверим это на примере:
14
.
11
ATTB1
ATTB
0
d
c
Матрица
A
Диагональная матрица
имеет характеристическое уравнение
10
01
B
имеет такой же характеристический
10
2
.
)1(
многочлен. Проверим, существует ли невырожденная матрица перехода T
такая, что
Пусть
T
Тогда
Решив эту систему, получим, что
ba
dc
или
.
.
ba
dc
01
10
11
10
ba
.
dc
. Следовательно, матрица T
вырождена, а значит, матрицы A и B не подобные.
Как видим, не любую матрицу можно привести к диагональному виду.
На самом деле, к диагональной форме можно привести только ту матрицу,
которая имеет n собственных векторов. Рассмотренная же в примере матрица A
имеет два одинаковых собственных числа, но всего лишь один собственный
вектор, поэтому базис из собственных векторов в данном случае составить
невозможно.
Основная наша задача на данном этапе – найти наиболее простую форму
матрицы из класса подобных матриц для тех случаев, когда есть кратные
собственные значения.
Итак, любой характеристический многочлен может быть представлен в
виде
m
p
1
,
mm ,...,
- их кратность (
p
...
1
nmm
).
p
где
P )...()()()(
,...,
1
mm
21
– собственные числа,
p
21
p
Будем искать наиболее простую из верхнетреугольных матриц, в которых
по диагонали стоят собственные числа:
A
1
...
1
2
...
2
...0
p
...
p
15
Для каждого собственного числа существует хотя бы один собственный
kk
вектор. Кроме того, как мы уже указали ранее, собственные векторы,
соответствующие различным собственным числам, линейно независимы.
Поэтому первая наша задача – разобраться в наиболее простом
представлении части матрицы, соответствующей одному кратному
собственному числу.
Вернемся к представлению характеристического многочлена и будем
рассматривать один множитель.
Число
. Геометрической кратностью
i
называется алгебраической кратностью собственного значения
m
i
этого числа называется количество
s
i
собственных векторов, ему соответствующих.
Если
, то часть матрицы, соответствующая
sm
ii
может быть
i
приведена к диагональной, так как имеется «достаточное» число собственных
векторов.
Если же
Рассмотрим матрицу
, то эта часть матрицы не приводится к диагональной.
ms
ii
00.01
00.10
00.00
......
1.000
0
0
.
кратности k. Для того,
0
0
)(
J
0
k
0
0
.000
Её характеристический многочлен имеет корень
чтобы найти собственный вектор, необходимо решить однородную систему
x
Bv
00.010
00.100
00.000
......
10.000
0.000
1
x
2
x
3
.
x
x
0
.
1
nn
Ранг матрицы B равен k-1. Следовательно, найдется лишь один
собственный вектор.
Матрица
J
соответствующей собственному значению
называется жордановой клеткой матрицы A
)(
0
k
. Это наиболее простая форма
0
матрицы в случае, когда геометрическая кратность собственного числа равна 1.
Теперь остается узнать, как привести такую матрицу к жордановой клетке.
Для этого нам нужно найти базис, из которого составим матрицу перехода.
Матрица линейного преобразования записывается через разложение
образов базисных векторов по этому же базису:
16
,...)(
eaeaeaeA
12211111
nk
,...)(
eaeaeaeA
22221122
kk
A
...
2211
kkkkkk
....)(
eaeaeaeA
Мы вместо матрицы A рассматриваем матрицу
aaa
21
11211
k
aaa
22221
k
.
.
aaa
kkkk
00.01
00.10
00.00
.
......
1.000
0
0
0
)(
J
0
k
0
0
.000
Следовательно, базисные вектора должны удовлетворять следующим
равенствам
k
k
eJ
,0))((
100
,))((
eeJ
1200
...
.))((
Оказывается, если матрица A имеет лишь одно собственное число
eeJ
100
kkk
0
алгебраической кратности k и геометрической кратности 1 (то есть имеет лишь
один собственный вектор), то базис, в котором эта матрица имеет вид
жордановой клетки, удовлетворяет таким же равенствам:
0)(
eA
10
)(
eeA
120
...
)(
В данной цепочке, очевидно, вектор
называют присоединенными векторами к вектору
– присоединённый вектор первого порядка (первого уровня),
e
2
e
eeA
10
kk
– собственный. Вектора
1
.
e
1
ee ,...,
2
k
…
– присоединённый вектор k-1-го порядка (уровня),
e
k
Эти вектора линейно независимы, следовательно, образуют базис.
(Оставим этот факт без доказательства.) В этом базисе вышеуказанная матрица
A будет иметь вид жордановой клетки.
Рассмотрим случай, когда собственное число
алгебраической кратности
0
k имеет геометрическую кратность r>1 (то есть имеет более одного
17
собственного вектора). В этом случае может быть построена цепочка
присоединенных векторов к разным собственным векторам.
Теорема. Пусть
– собственное значение матрицы A алгебраической
0
кратности k. Тогда существует k линейно независимых векторов-столбцов
j
соответствующих
i
i
и удовлетворяющих соотношениям:
0
DAD
11
,
ii
),,1;,1(
qjriD
ii
122
,
DDAD
iii
1
q
iii
,
i
....
kqqq
Здесь
....
q
i
1
– собственные векторы, а остальные – присоединенных
),1(
riDi
q
DDAD
21
i
r
векторов.
Эта теорема говорит о том, что, какова бы ни была геометрическая
кратность собственного числа, существует базис, состоящий из k векторов,
составленный из собственных векторов и цепочек, присоединенных к ним.
Напомним, что собственные векторы матрицы могут быть разными, но не
к каждому можно найти присоединенный. При этом длины цепочек и их
количество для каждой матрицы являются величинами инвариантными, то есть
определяются однозначно, каков бы ни был базис.
Каждой цепочке (т.е. каждому собственному вектору) соответствует одна
жорданова клетка.
Совокупность жордановых клеток, соответствующих одному
собственному числу матрицы, называется жордановым блоком.
Пример
00001
00000
00100
- жорданов блок, состоящий из трех
00000
10000
0
00000
0
0
0
0
0
жордановых клеток размера 2. То есть данному собственному числу
соответствует три собственных вектора, каждый из которых имеет по
одному присоединенному.
18
Если мы для произвольной матрицы найдем все собственные числа и
2
D
построим для каждого из них жорданов блок, то, расположив эти блоки по
диагонали, получим жорданову форму матрицы (нормальную жорданову
форму матрицы).
Примеры построения жордановых форм.
1. Дана матрица преобразования в некотором базисе
202
A .
020
200
Найдем собственные значения матрицы A.
202
3
EA .
020
200
0)2(
-собственной число матрицы с алгебраической кратностью 3.
Найдем собственные вектора.
200
d
1
000
d
000
d
0
.
2
3
DEA
Ранг матрицы однородной системы равен 1, следовательно, система
имеет два линейно независимых решения, то есть два собственных
вектора.
1
Это, например, вектора
D и
0
1
0
D .
Попробуем построить к какому-то из них присоединённый вектор
0
1
2
0
2
который должен удовлетворять равенству
2
DDEA
, где D – собственный вектор.
Проверим второй собственный вектор.
0
1
.
0
200
d
2
DEA
1
000
d
2
000
d
3
По теореме Кронеккера – Капелли данная система не имеет решений,
так как ранги исходной матрицы и расширенной не совпадают.
Проверим первый собственный вектор.
,
19
200
3
d
1
000
d
2
000
d
3
DEA
Данная система имеет решение
присоединенный вектор к
D
Следовательно, в базисе
012
020
200
форму
J , состоящую из двух жордановых клеток.
1
1
0
.
0
0
1
0
D . Таким образом, мы нашли
1
2/1
.
1
0
0
0
,
0
0
,
1
2/1
матрица имеет жорданову
0
Это означает, что матрица перехода –
001
T .
100
02/10
001
100
02/10
Тогда
012
020
200
1
ATTJ .
001
200
010
202
020
200
Отметим: может получиться, что к обоим собственным векторам не
существует присоединенного, тогда нужно искать его в их линейной
комбинации.
314
2.
A
Собственное число матрицы
652
011
алгебраической кратности 3.
Найдем собственные векторы.
311
d
1
622
d
2
311
d
3
.0
DEA
Ранг матрицы равен 1, следовательно, геометрическая кратность
собственного числа равна 2. Два собственных вектора. Например:
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]