Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ОДУРУОФА. Ч.2. Линейные уравнения. Учебное пособие
.pdf
3
D и
0
1
1
D .
1
1
2
0
Будем искать присоединенный к каждому из них:
3
.10
1
.01
311
d
DEA
DEA
1
622
d
2
311
d
3
311
d
1
622
d
2
311
d
3
Обе эти системы не имеют решения. Как мы и говорили ранее, систему
собственных и присоединенных векторов можно построить всегда, но не
всегда к произвольному собственному вектору можно найти
присоединенный!
Любой собственный вектор является линейной комбинацией найденных
нами векторов:
3
D , поэтому решаем систему:
C
C
CC
21
2
1
3
C
C
CC
21
.
2
1
При
311
d
DEA
CC
2 ,1
21
1
622
d
2
311
d
3
мы получим собственный вектор
которого система будет совместна:
1
2
1
311
d
DEA
1
622
d
2
311
d
3
Решением данной системы, например, является вектор
Вектор
оставим прежним.
D
1
Таким образом, получили, что в базисе
1
D , для
2
2
D .
2
2
1
1
0
0
21
3
1
0
1
1
,
2
1
1
,
0
0
матрица A имеет жорданову форму
003
J .
130
300
152
3.
A .
Собственное число матрицы
031
232
алгебраической кратности 3.
Найдем собственные векторы.
153
d
1
021
d
2
132
d
3
.0
DEA
Ранг матрицы равен двум, следовательно, геометрическая кратность
2
собственного числа равна 1. Единственный собственный вектор .
1
1
D
1
К нему будем строить два присоединённых.
153
d
D
DEA
D
DEA
2
В базисе
J , состоящую из одной жордановой клетки.
1
1
011
110
100
0
2/1
,
2/1
1
021
d
2
132
d
3
153
d
1
021
d
2
132
d
3
0
,
4/1
матрица A имеет жорданову форму
4/5
2
1
1
0
2/1
2/1
2
1
0
3
1
.
2/1
2/1
0
.
4/1
4/5
22
114
2
3
2
3
2
1
2
4. .
A
Собственные числа матрицы
121
211
алгебраической кратности 1 и
алгебраической кратности 2.
Найдем собственные векторы.
:
112
d
1
101
d
2
011
d
3
.0
DEA
Единственный собственный вектор (а больше и быть не может)
:
111
d
1
111
d
111
d
0
2
3
DEA
Ранг матрицы равен 1, следовательно, геометрическая кратность
собственного числа равна 2. Два собственных вектора
1
D .
1
1
1
1
D и
1
2
0
D .
1
0
3
1
1
В базисе
J .
002
030
300
01,011,11
1
111
5. .
A
111
210
Собственные числа матрицы
алгебраической кратности 2.
Найдем собственные векторы.
:
матрица A имеет диагональную жорданову форму
алгебраической кратности 1 и
23
111
1
bia
d
DEA
Собственный вектор
1
111
d
2
010
d
3
1
D .
0
1
1
.0
:
110
d
1
101
d
2
110
d
3
.0
DEA
Ранг матрицы равен 2, следовательно, геометрическая кратность
1
собственного числа равна 1. Один собственный вектор
D .
1
2
1
К нему построим присоединенный:
110
d
1
101
d
2
110
d
3
DEA
Данной системе удовлетворяет вектор .
1
В базисе
J .
002
110
100
1
1
,111,10
матрица A имеет диагональную жорданову форму
0
1
.11
1
2
2
D
0
1
Заметим, что мы здесь не рассмотрели вопрос о комплексных собственных
числах. Действительно, среди корней многочлена могут встречаться
комплексные, а точнее, пары комплексно-сопряженных чисел. Суть от этого не
меняется. В общем случае жорданова форма является комплексной. То есть по
диагонали могут стоять комплексные числа. Правда, есть форма, близкая к
жордановой, когда пара простых комплексных чисел
имеет жорданову
24
ba
TJT
A
TTJTJT
TJT
A
TTJTTJTJT
A
TTJTTJTJT
A
A
0
клетку
J
. В случае кратных комплексно-сопряженных пар форма
ab
усложняется. Но мы в этом курсе данный вопрос не рассматриваем.
Отметим одно важное, очень часто используемое свойство жордановой
формы матрицы.
Если
1
, то
12112
131213
…
1111
nnn
То есть для того, чтобы возвести матрицу в степень, нужно всего лишь
найти матрицу перехода, её жорданову форму и возвести в степень уже
последнюю.
Как вы понимаете, почти диагональную форму возвести в степень гораздо
проще. Тем более, что при возведении ЖФ в степень на самом деле в степень
возводятся лишь отдельно взятые клетки. Например, если жорданова форма
имеет диагональный вид, то в степень возводятся сами диагональные элементы.
Пример
93
Найти для матрицы
A
Найдем собственные значения
Собственное значение матрицы A:
Собственные векторы найдем из системы
выражение для
31
n
.
93
31
22
099
– алгебраической кратности 2.
093
yx
. Ранг данной
03
yx
системы равен 1, следовательно, собственному числу матрицы
3
соответствует лишь один собственный вектор
Следовательно, жорданова форма матрицы A имеет вид:
D
1
.
1
10
J
.
00
Нетрудно заметить, что эта матрица в любой степени выше первой
является нулевой. Значит, и матрица A в любой степени выше первой также
будет нулевой. (Матрица, все собственные значения которой равны нулю,
называется нильпотентной. Нильпотентая матрица в степени n обращается в
нулевую.)
Упражнения
25
1. Найти жордановы формы матриц.
A
а)
д)
ж)
010
044
, б)
212
431
1362
, е)
841
2043
4254
, з)
2300
1200
1564
531
, в)
421
431
874
,
776
254
375
, г)
496
7113
235
446
,
544
1739
.
8400
4200
(В последних двух заданиях можно воспользоваться свойством
BA
CA
C
, г)
)
001
010
100
000
определителя блочно-треугольной матрицы.
2. Вычислить
а)
n
для матриц:
0003
0100
1000
0000
, б)
0010
0100
, в)
1000
0000
0
1
0
б
112
д) .
212
211
1.5. Связь между дифференциальными и разностными уравнениями и
изучаемыми ими объектами
Наконец мы подошли к основным объектам, которые будем изучать в
данном учебнике. На примере уравнений первого порядка мы покажем, чем
отличаются дифференциальные и разностные уравнения и что у них общего.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение,
связывающее некоторую функцию с её производной и с самой переменной этой
функции:
dy
yxF (1)
dx
.0,,
В отличие от алгебраических уравнений и систем, где неизвестными
являются числа или числовые вектора, дифференциальные уравнения – это
уравнения, в которых неизвестными являются функции. Такие уравнения
являются основой математических моделей очень многих реальных процессов.
26
В первую очередь мы сталкиваемся с дифференциальными уравнениями уже в
0
sin
x
x
0
x
x
m
m
2
m
m
курсе физики при изучении движения. Как известно, если у нас есть движение
материальной точки во времени x(t), то производная по времени есть скорость,
а вторая производная есть ускорение. Следовательно, хорошо известный нам
второй закон Ньютона математически записывается следующим образом:
2
Xd
m ,,
2
dt
gX
– уравнение свободного падения;
2
2
– уравнение колебаний математического маятника;
– уравнение малых колебаний.
dX
dt
.
XtF
В середине XX века был открыт общий для всех радиоактивных веществ
закон распада в виде дифференциального уравнения
.
)(
tt
0
Решением данного уравнения является
emm
0
, из которого
выводится известная характеристика радиоактивного вещества – период
полураспада
m
)()(
0
0
tttt
00
2
Teem
2/1
2ln
.
В настоящее время теория химической кинетики целиком связана с
дифференциальными уравнениями.
Уравнение роста вещества в начале процесса брожения, то есть в условиях
достаточности ресурса (или численности популяции при неограниченности
питания), описывается уравнением Мальтуса
.
Резюмируя, можно сказать, что все процессы, в которых изучается
некоторая величина, непрерывно меняющаяся во времени, описываются
дифференциальным уравнением.
Уточним, что уравнения, в которых неизвестные функции зависят только
от одной переменной, например от времени, называются обыкновенными
дифференциальными уравнениями. Уравнения относительно функций,
зависящих от нескольких переменных, называемые уравнениями в частных
производных, в данном курсе мы изучать не будем.
Теперь определим, что же называется разностным уравнением.
Разностным (или рекуррентным) уравнением называется уравнение
относительно неизвестной последовательности.
Разностное уравнение — уравнение, связывающее значение некоторой
неизвестной функции в любой точке с её значением в одной или нескольких
точках, отстоящих от данной на определенный интервал.
На самом деле, из самих названий этих уравнений следует, что в
дифференциальных уравнениях есть дифференциалы (производные), а в
разностных – разности. Следовательно, первые изучают непрерывные (точнее,
27
даже дифференцируемые) функции, а вторые, поскольку есть разности,
изучают последовательности, то есть процессы с дискретным временем.
Поясним на примере.
Предположим, что мы имеем график изменения некоторый величины x(t),
описывающей какой-то реальный процесс, меняющийся непрерывно во
времени (рис. 1.1).
Рис. 1.1 – Дискретизация непрерывного процесса.
Рассмотрим эту же функцию не на всей вещественной прямой, а лишь в
некоторых точках
дискретизации). Обозначим
мы получим последовательность
где
,...,,
ttt
,
321
)(iitxx
ii
1
. Тогда вместо непрерывной функции x(t)
,...,,
xxx
321
– заданная величина (шаг
ttt
. При этом каждый элемент этой
последовательности зависит от предыдущего (или от нескольких предыдущих):
),...,( )(
xxfxxfx
11 knknkkk
Эти равенства и определяют разностное уравнение, соответствующее
дискретному процессу. Процесс перехода от непрерывного процесса к
дискретному называется дискретизацией.
Дискретные системы появляются при описании процессов, в которых
имеются лишь измерения в моменты времени, получаемые через определенный
интервал. Например, курс доллара фиксируется лишь в определенное время
суток, численность населения также измеряется в моменты переписи
населения. Справедливости ради следует сказать, что большинство реальных
процессов измеряются через заданный интервал. Но в некоторых случаях этот
интервал настолько мал, что процесс считается непрерывным, а в некоторых
28
случаях мы имеем дискретную систему, описываемую разностными
),('yxf
y
, )(xy
R
R:
y
y
'
уравнениями.
Например, ранее измерения климатических характеристик (температура,
влажность, давление, скорость и направление ветра) производились вручную
операторами на метеостанциях один или два раза в день. И эти данные по своей
сути были дискретными. Сейчас автоматические метеостанции проводят эти
измерения с настолько малым интервалом, что мы можем считать их
непрерывными. Точность прогнозов благодаря этому существенно
увеличилась, поскольку все математические модели изменения климата
основаны на дифференциальных уравнениях.
На примере уравнений первого порядка можно увидеть сходства и отличия
дифференциальных и разностных уравнений:
– дифференциальное уравнение 1-го порядка.
– разностное уравнение 1-го порядка.
),(
1 kk
Решением первого уравнения является функция
ykfy
где
, а
решением второго последовательность или, другими словами, функция
где
k
),(ky
:
0
. Таким образом, далее последовательность также
RN
отождествляется с функцией, определенной на пространстве натуральных
чисел с нулём.
Наконец, покажем, как связаны между собой линейные дифференциальные
и разностные уравнения 1-го порядка.
Рассмотрим простейшее линейное дифференциальное уравнение 1-го
порядка с постоянным коэффициентом, которое ранее мы уже встречали, как
уравнение Мальтуса или уравнение распада, в зависимости от знака
коэффициента:
а также наложим условие
)0( yy
.
0
Решением этого уравнения с заданным условием является функция
x
eyy
.
0
Теперь проведем дискретизацию в точках 0,1,2,…,k,….:
eyy01 ,
2
eyy ,
02
…
k
k
eyy0 ,..
Очевидно, что данная последовательность удовлетворяет разностному
уравнению
yey
1
kk
с тем же самым начальным условием
)0( yy
.
0
29
e
a
)(x
f
1)1
(f
0)5
(f
Обозначим
и получим простейшее линейное разностное уравнение
1-го порядка с постоянным коэффициентом
.
ayy
1
kk
Как мы уже указали, решением данного уравнения с заданным начальным
условием является
k
k
ayy0 – геометрическая прогрессия.
Мы показали ключевое отличие между формой решений линейных
дифференциальных и разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
Решения первых мы всегда будем искать в виде
x
ey ,
а решения вторых мы будем искать в виде
k
y .
В остальном методы решения линейных дифференциальных и разностных
уравнений с постоянными коэффициентами будут очень схожими вплоть до
мелких подробностей.
Строго говоря, когда мы говорим о вышеуказанных отличиях, мы имеем в
виду, конечно же, внешний вид, форму записи решения. По своей же сути, как
мы показали, геометрическая прогрессия – это та же самая экспоненциальная
функция, только фиксированная в определенные моменты времени с равным
интервалом.
Контрольные вопросы
1. Проверить, являются ли следующие множества линейными
пространствами:
– непрерывные функции
, удовлетворяющие условию
,
– непрерывно-дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию
,
– квадратные обратимые матрицы.
Бесконечно возрастающие последовательности.
2. Являются ли следующие операторы линейными:
2
' yyyU
yyyU
''
yyyyU '''
xxxU
kk
1
kxxxU
1
kk
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]