Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ОДУРУОФА. Ч.2. Линейные уравнения. Учебное пособие
.pdf
,0
4n
3r
1
r
n
zyx
,0
tzy
,0
yx
.0
tx
Элементарными преобразованиями приведем матрицу к ступенчатому виду.
0111
~
1110
0011
0111
1001
aa
aa
1110
0100
0000
aa
32
13
~~
14
~~
aaa
231
0111
1110
0100
~
1110
1001
aa
24
~
)1/(
a
3
1010
.
0100
0000
Получили: первые три столбца – базисные, следовательно, переменные,
образующие их – зависимые. Четвертая переменная свободная. Количество
переменных (столбцов матрицы)
дефект матрицы
.
, ранг матрицы
, следовательно,
Следовательно, единственное решение системы (с точностью до
константы) – вектор
x
y
Значит,
z
t
2.
tyx
,0
zy
tzx
1
1
1
C
0
1
– образует ФСР.
0
1
1
– общее решение системы.
,0
.0
1011
0110
1101
~
1011
0110
0110
~
1011
0110
0000
~
11-01
.
0110
0000
41
Ранг равен двум, следовательно, система имеет две зависимые
4n
2r
2
r
n
0][x
L
переменные. Единичная матрица для первых двух переменных выделена.
Следовательно, примем x и у за зависимые. Тогда z и t – свободные. Они
могут принимать любые значения.
Количество переменных (столбцов матрицы)
следовательно, дефект матрицы
. Следовательно, ФСР состоит из
, ранг матрицы
двух линейно независимых решений.
,0
tzx
.0
zy
1
0
21
.
0
1
Из последней матрицы:
Пусть
x
y
z
t
, CtCz
CC
21
C
1
C
1
C
2
. Тогда получим
21
1
1
1
0
CC
,
Таким образом, вектора
1
1
и
1
0
1
0
образуют фундаментальную
0
1
систему решений.
В следующих частях будет показано, что линейные пространства решений
линейных однородных дифференциальных и разностных уравнений и систем nго порядка также конечномерны, и их размерность равна n. Так же, как и в
линейных алгебраических уравнениях, базис этих пространств будет
называться фундаментальной системой решений.
Если мы каким-либо образом получили фундаментальную систему
решений
21
однородного линейного операторного уравнения
xxx ,...,,
n
, (2.15)
то, как следует из определения ФСР, мы получили базис пространства решений,
следовательно, любая функция вида
(2.16)
...
2211
xCxCxCx
nn
является решением этого уравнения. Кроме того, любое решение уравнения
(2.15) может быть получено с помощью формулы (2.16) при некоторых
. Это означает, что эта формула дает нам так называемое общее
CCC ,...,,
21
n
решение линейного операторного уравнения (2.15).
Контрольные вопросы
1. Зачем нужны теоремы существования и единственности?
2. Какое принципиальное отличие между теоремами существования и
единственности для дифференциальных и разностных уравнений?
3. Чем является ФСР для пространства решений?
42
dx
0)(x
q
dx
0)(x
q
),(ba
В данной главе мы рассмотрим вопросы, связанные с решениями
простейших линейных уравнений – линейных дифференциальных и разностных
уравнений первого порядка. В первом параграфе повторяется уже изложенная в
курсе дифференциальных уравнений методика, а затем во второй главе
излагается метод решения таких же разностных уравнений. Читатель должен
увидеть, что методы решения очень схожи.
3.1. Дифференциальные уравнения
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка является
частным случаем линейных уравнений n-го порядка и систем линейных
уравнений. Кроме того, ещё раз напомним, что общая теория решения
линейных уравнений и систем дифференциальных и разностных уравнений
очень схожа именно с методом решения линейного уравнения первого порядка.
Поэтому очень важно понять и хорошо запомнить всё, что будет изложено
ниже!
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным,
если неизвестная функция и её производная входят в уравнение линейно.
Линейное уравнение имеет вид
dy
(3.1)
).()( xqyxp
Если
, то уравнение называется линейным однородным:
dy
0)( yxp
. (3.2)
Если
, то уравнение (3.1) – линейное неоднородное.
Будем считать, что функции p(x) и q(x) являются непрерывными в
рассматриваемом нами интервале
.
Тогда по теореме существования и единственности существует
единственное решение задачи Коши с любыми начальными данными из этого
интервала. Особых решений нет.
В частности, решение однородного уравнения с начальными данными
, где
xy
0)(
0
, может иметь только нулевое решение. В этом случае
),(0bax
никакие другие решения этого уравнения не могут ни касаться, ни пересекать
ось OX.
Примеры
x
2
0' tgxyexy
.
ydxdyyx )(
– линейное уравнение в дифференциалах.
43
2xt
x
x
e
– также линейное уравнение, если рассмотреть перевернутое
3
уравнение.
Линейное однородное уравнение является уравнением с разделяющимися
переменными, а следовательно, всегда интегрируемо в квадратурах.
dy
yxp
dx
dy
,)(0)( dxxp
y
Cey
dxxpcy )(||ln
dxxp
)(
. (3.3)
Общее решение (3.3) линейного однородного уравнения можно записать в
форме Коши:
x
eyy
0
dxxp
)(
x
0
.
Решение в такой форме не только является решением уравнения (3.2), но и
удовлетворяет условиям
)( yxy
.
00
Свойства решений линейного однородного уравнения:
1. Если
Cyy
2. Если
– ненулевое частное решение однородного уравнения, то
y
1
– общее решение однородного уравнения;
1
– частное решение линейного неоднородного уравнения, а
y
ч
Сyy
– общее решение однородного уравнения, то общее решение
1од
линейного неоднородного уравнения:
yyy
. (3.4)
чодоб
Действительно,
)()(''))(()'(
yxpyxpyyyyxpyy
чодчодчодчод
).()(')('
xqyxpyyxpy
ччодод
Таким образом, учитывая, что мы уже знаем, как найти общее решение
однородного уравнения, нам достаточно найти какое-нибудь решение
неоднородного уравнения. Иногда его удается просто подобрать.
В остальных случаях можно воспользоваться универсальным методом,
называемым методом вариации произвольной постоянной (методом
Лагранжа). Данный метод также применяется для нахождения частных
решений линейных неоднородных уравнений высших порядков и систем
уравнений, причем как дифференциальных, так и разностных.
Суть метода заложена в самом названии. Мы будем искать частное решение
неоднородного уравнения в таком же виде, как и решение однородного
уравнения, но будем считать, что C – не постоянная, а функция от x:
Пусть
– общее решение однородного уравнения.
Cyy
0
44
Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде:
x
x
x
x
xxCxxCx
x
.
)( yxCy
ч
0
Подставляя его в уравнение (3.1), получим
00
,
)()(
0
xC
)(
xqyxC
xq
)(
dx
.
xy
)(
0
)()()()(
xqyxCxpyxC
,
,
)()()(')()(
000
xqyxCxpyxCyxC
Таким образом, общее решение линейного уравнения:
об
)( .
dxxpdxxp
)()(
dxexqCey
Данную формулу общего решения запоминать не обязательно! Главное –
запомнить, как его найти.
Примеры
1
1. .3
' xy
y
Сначала решаем соответствующее линейное однородное уравнение
1
' y
y ,
0
dy
y
dx
,
x
C
yод – общее решение однородного уравнения.
Ищем частное решение неоднородного уравнения в виде
xCy)(
.
ч
Подставим его в исходное уравнение и получим
xC
)('
-
)()(
22
x
3
.
Отсюда получим
3)(' xxC
2
или
)( xxC
3
.
Общее решение нашего уравнение – сумма общего решения
однородного уравнения и полученного частного решения исходного
уравнения.
y
C
об
2
x
.
2.
dy
dx
y
.
2
yx
45
Данное уравнение не является линейным по y, но перевернутое
.)0(,
0
x
y
mayy
'
Rma,
.by
a
a
уравнение – линейно по x:
dx
dy
yx
y
x
.2y
y
Решаем его тем же способом.
Разделив переменные в соответствующем однородном уравнении,
получим
dy
dx
x
||ln||ln||ln
y
CyxCyx
од
.
Далее снова воспользуемся методом Лагранжа.
ч
об
,)( yyCx
yyC
).(
Cyyx
yCyyCyCyyCx )(1)(
)()()()(
)(
y
yyCyCy
Отметим также, что решениями данного уравнения являются полуоси
В точке (0,0) уравнение не определено.
3.
, где
.
Общее решение однородного уравнения найти нетрудно:
ax
Cey
.
Частное решение этого уравнения также, очевидно, легко находится в
виде
m
Подставляя его в уравнение, получим .
y
Напомним, такие решения называют стационарными.
Соответствующая ему интегральная кривая – горизонтальная прямая.
Общее решение исходного уравнения:
Cey
.
m
ax
3.2. Разностные уравнения
Линейным разностным уравнением первого порядка называется уравнение
относительно неизвестной последовательности
21 k
следующего
,...,...,,
yyy
вида:
. (3.5)
fyay
1
kkkk
Здесь
Nk
0
последовательности, причем
,
,...3,2,1,0
ни при каком k.
0
a
k
,
kk
– заданные числовые
Rfa
46
Последовательность
, Nk
k
называется решением разностного уравнения
0
(3.5), если при подстановке её в уравнение мы получаем тождество при любом
k.
Если
f
, то уравнение называется линейным однородным:
0
k
. (3.6).
0
1
kkk
yay
Иначе – линейным неоднородным.
Для того чтобы найти общее решение однородного уравнения, необходимо
просто провести последовательные подстановки в выражение
:
yay
1
kkk
,
yay
001
,
yaayay
010112
,
yaaayay
0210223
…
k
,
k
...)1( yaaay
0110
k
1
k
Пусть
,
Cy
0
k
k
)1(
aA тогда получим общее решение уравнения
i
0
i
(3.6):
. (3.7)
CAy
kk
Заметим, что
является решением уравнения (3.6) при
A
k
. То есть,
1
y
0
как мы уже показали ранее в общем случае и для дифференциальных уравнений
1-го порядка, общее решение линейного однородного разностного уравнения
первого порядка есть произведение произвольной постоянной С на какое-либо
ненулевое решение этого уравнения.
Для решения линейного неоднородного разностного уравнения первого
порядка (3.5) также применяется метод вариации произвольной постоянной
(метод Лагранжа).
Напомним, что суть метода кроется в самом названии: будем считать
произвольную постоянную C в формуле общего решения (3.7) функцией от k,
то есть будем искать решение линейного неоднородного уравнения (3.5) в виде:
. (3.8)
ACy
kkk
Подставим (3.8) в уравнение (3.5). Получим:
.
fACaAC
kkkkkk
,
1
Но
11
– решение уравнения (3.6), следовательно
A
k
AAa
kkk
а значит
.
fACAC
kkkkk
111
47
Отсюда получим
121
kyk
1
k
2
1
k
1
1
kCkk
1
k
f
k
CC .
Выражая в последней рекуррентной формуле всё через
kk
A
11
k
C
выражение:
k
f
i
CC
k
0
1
.
A
oi
i
Пример
Найдём решение линейного разностного уравнения
2
k
y
1
kk
.
Сначала ищем решение соответствующего однородного уравнения
2
k
y :
1
kk
2
,
,2
210
3
0
y
1
,...32
k
yCCyCСyCy
k
, получим явное
0
)1(
CkkC
Таким образом, решение однородного уравнения:
од
k
Cky
)1(
.
Методом вариации произвольной постоянно ищем
ч
k
Cky
)1(
.
k
Подставляя его в исходное уравнение, получим
2
)2(
Ck
1
2
CC
1
k
kk
)1(
kk
2
)2)(1(
2
1
1
1
kkkk
2
Поскольку нам нужно какое-то одно решение этого уравнения, мы вправе
выбирать любое
. Пусть
C
0
, тогда
0
C
0
1
1
2
01
1
1
2
02
1
CC
2
1
1
2
2
CC
2
1
3
1
2
2
1
1
20
3
1
2
2
3
1
1
1
1
2
03
1
CC
3
1
2
3
4
1
20
1
4
3
2
4
….
k
2
C
k
48
Тогда частное решение
k
1
x
cos
0
'
ytgx
y
x
cos
xxC)
(
2
k
x
cos
2
k
x
cos
12'
y
y
02'
y
y
ч
k
kCky
k
k
2)1()1(
.
k
2
Получим общее решение исходного уравнения:
kCky
2)1(
k
.
Далее в общей сравнительной таблице покажем ещё раз примеры решения
дифференциального и разностного уравнения 1-го порядка.
ДУ РУ
2
2
y
kk
1
2
2
k
210
y
1
k
2ч
Cky
k
42
k
3
k
0
k
)1(
dy
y
'
ytgxy
y
1
k
1
k
dy
tgxdx
,
y
y
1
kk
C
ytgxdx
од
xC
y
ч
)(
cos
x
k
2од
)1( ,...9 ,4 ,
CkyCyСyCy
1)(
xC
1
CC
kk
C
k
x
y
ч
k
xC
y
об
k
ky
k
Cy
k
2
)2)(3(
kk
k
k
2ч
)1(
k
2
2об
)1(
Следующие примеры – уравнения с постоянным коэффициентом:
ДУ РУ
12
yy
1
kk
02
yy
1
210
ч
k
Cyk
CC
kk
2
k
)1(
k
2
dy
y
dy
dx
,
2
ч
2
y
од
2
exCy
)(
x
exC2)(
x
2
Ceydx
x
kk
1
од
k
k
2 ,...4 ,2 ,
CyCyСyCy
49
2
k
212
2
xxxyy
cos
sin
sin
'
byaxxy
'
x
4
2
kkyk
k
3
2
2
1
xx
22
)(
1
ч
об
Cey
xx
2x
22
eey
edxexC
y
k
1
CC
;1
0
k
k
22
Cy
k
об
k
1
2
i
0
1
k
2
1об
kk
kCy
2
122
12
1
ki
2
1kч
или
12
Нетрудно заметить, что алгоритм решения этих уравнений одинаковый.
Разница лишь в том, что там, где в дифференциальном уравнении стоит
производная, в разностном – разность, там, где в ДУ интеграл, в РУ сумма.
Последние примеры являются частными случаями линейных уравнений с
постоянными коэффициентами произвольного порядка, которые мы изучим в
следующей главе.
Контрольные вопросы и упражнения
Какой существует общий универсальный метод для поиска частного
решения линейного уравнения?
Найти общие решения дифференциальных уравнений
3.1
.
3.2.
3.3.
' x
y .
3.4.
3.5.
3.6. 0'3
2
y
3
22'
xexyy
22' yxxyy .
32
.
2
x
33
xyyy .
.
Найти общие решения разностных уравнений
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3
k
)1(
ky
)(
k
ky
3)52()(
)1(
52
k
)1(
ky
k
2
k
)(2)1(
kyky
2
3
kyky 411)(7)1(
kyky 25)(2)1(
kkyky )1()()1(
3
)(
ky
2
,
k
kky
k
3
kk
k
k
,
)3(2
,
5
2
k
kkyky 33)(5)1(
k
k
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]