Обработка экспериментальных данных. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

При

k

11

2

/)( kk



22

2

/)( kk



22

2

11

2

21

/)(

),(

kk

kkF





0,

1

22

2

00

)(

2

1

2

1

21

1















 





 







 





 



 



 



 



 



 



 













x

k

xk

x

k

Г

k

Г

kk

Г

x

xf

kk

k

T

распределение Стьюдента стремится к

нормальному распределению с параметрами N(0,1).

Графики функции плотности распределения Стьюдента при k=3 и k=10.

Рис. 3.7. Графики функций плотности распределения

Стьюдента

Распределение Фишера. Распределением Фишера с k1 и k2 степенями свободы называется распределение случайной величины

F(k1,k2), равной отношению двух независимых случайных величин

и

, т. е.

.

Оно имеет плотность fT(x)

(3.14)

Графики функции плотности распределения Фишера при k1=6, k2=60 и k1=6, k2=6 приведены на рис. 3.8.

81

Рис. 3.8. Графики плотности распределения Фишера при k1=6,















 





 







 





 





x

e

x

xf

1

),;(

k2=60 и k1=6, k2=6

Распределение Вейбулла. Распределением Вейбулла можно описать случайные величины, характеризующие наработку на отказ многих невосстанавливаемых электронных приборов (электронные лампы, полупроводниковые приборы, некоторые приборы СВЧ). Оно характеризуется разнообразием форм кривых распределения.

Случайная величина Х распределена по закону Вейбулла, если ее функция плотности распределения вероятностей имеет вид:

. (3.15)

Графики плотности распределения Вейбулла (ν=5, β=3) и (ν=2, β=6) показаны на рис. 3.9.

82

.1)(







 





 







x

exF

.

1

1Г][

 



 









XM

.1,

1









 











Mo

.

1

1Г

2

1Г][

2



 





 















 



 





 



 









XD

Рис. 3.9. Графики двух функций плотности распределения Вейбулла

Функция распределения:

Математическое ожидание:

Мода:

Дисперсия:

.

83

ЛИТЕРАТУРА

1. Кобзарь, А.И. Прикладная математическая статистика /

А.И. Кобзарь. – М.: Физматлит, 2006. – 816 с.

2. Орлов, А.И. Эконометрика / А.И. Орлов. – М.: Экзамен,

2002. – 410 с.

3. Основы метрологии, стандартизации и сертификации: учебное

пособие / М.Я. Марусина [и др.]. – СПб.: ИТМО, 2009. – 164 с.

4. Теория статистики: учебник / Р.А. Шмойлова [и др.]. – М.:

Финансы и статистика, 2004. – 656 с.

5. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая

статистика / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2003. – 480 с.

6. Губин, В.И. Статистические методы обработки

экспериментальных данных: учебное пособие для студентов технических вузов / В.И. Губин, В.Н. Осташков. – Тюмень: ТюмГНГУ,

2007. – 202 с.

7. Балинова, В.С. Статистика в вопросах и ответах: учебное

пособие / В.С. Балинова. – М.: ТК «Велби», Изд-во «Проспект»,

2004. – 344 с.

8. Закс, Л. Статистическое оценивание / Л. Закс; пер. с нем. –

М.: Статистика,1976. – 598 с.

9. Елисеева, И.И. Общая теория статистики: учебник /

И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев. – М.: Финансы и статистика,

2004. – 656 с.

10. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории

вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2004. – 404 с.

11. Романовский, В.И. Элементарный курс математической

статистики / В.И. Романовский. – М.: Госпланиздат, 1939. – 360 с.

12. Большев, Л.Н. Таблицы математической статистики /

Л.Н. Большев, Н.В. Смирнов. – М.: Наука, 1983. – 416 с.

13. ГОСТ 11.011-83. Прикладная статистика. Правила

определения оценок и доверительных границ для параметров гаммараспределения. – М. – Изд-во стандартов, 1984. – 53 с.

84

Нормальное распределение

2

1

)(

x

ex





x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0

0.3989

3989

3988

3986

3984

3982

3980

3977

3973

0.1

0.3970

3965

3961

3956

3951

3945

3939

3932

3925

3919

0.2

0.3910

3902

3894

3885

3876

3867

3887

3847

3836

3825

0.3

0.3814

3802

3790

3778

3765

3752

3739

3726

3712

3697

0.4

0.3683

3668

3653

3637

3621

3605

3589

3572

3555

3538

0.5

0.3989

3503

3485

3467

3448

3429

3410

3391

3372

3352

0.6

0.3970

3312

3292

3271

3251

3230

3209

3187

3166

3144

0.7

0.3910

3101

3079

3056

3034

3011

2989

2966

2943

2920

0.8

0.3814

2874

2850

2827

2803

2780

2756

2732

2709

2685

0.9

0.3683

2637

2613

2589

2565

2541

2516

2492

2468

2444

1

0.3521

2396

2371

2347

2323

2299

2275

2251

2227

2203

1.1

0.3332

2155

2131

2107

2083

2059

2036

2012

1989

1965

1.2

0.3123

1919

1895

1872

1849

1826

1804

1781

1758

1736

1.3

0.2897

1691

1669

1647

1626

1604

1582

1561

1539

1518

1.4

0.2661

1476

1456

1435

1415

1394

1374

1354

1334

1315

1.5

0.2420

1276

1257

1238

1219

1200

1182

1163

1145

1127

1.6

0.2179

1092

1074

1057

1040

1023

1006

0989

0973

0957

1.7

0.1942

0925

0909

0893

0878

0863

0848

0833

0818

0804

1.8

0.0790

0775

0761

0748

0734

0721

0707

0694

0681

0669

1.9

0.0656

0644

0632

0620

0608

0596

0584

0573

0562

0551

2.0

0.0540

0529

0519

0508

0498

0488

0478

0468

0459

0449

2.1

0.0440

0431

0422

0413

0404

0396

0387

0379

0371

0363

2.2

0.0355

0347

0339

0332

0325

0317

0310

0303

0297

0290

2.3

0.0283

0277

0270

0264

0258

0252

0246

0241

0235

0229

2.4

0.0224

0219

0213

0208

0203

0198

0194

0189

0184

0180

2.5

0.0175

0171

0167

0163

0158

0154

0151

0147

0143

0139

2.6

0.0136

0132

0129

0126

0122

0119

0116

0113

0110

0107

2.7

0.0104

0101

0099

0096

0093

0091

0088

0086

0084

0081

2.8

0.0079

0077

0075

0073

0071

0069

0067

0065

0063

0061

Приложение 1

Таблица П1.1

Таблица значений функции

85

Окончание табл. П1.1

2.9

0.0060

0058

0056

0055

0053

0051

0050

0048

0047

0046

3.0

0.0044

0043

0042

0040

0039

0038

0037

0036

0035

0034

3.1

0.0033

0032

0031

0030

0029

0028

0027

0026

0025

3.2

0.0024

0023

0022

0021

0020

0019

0018

3.3

0.0017

0017

0016

0015

0014

0013

3.4

0.0012

0012

0011

0010

0009

3.5

0.0009

0008

0007

0006

3.6

0.0006

0006

0005

0004

3.7

0.0004

0004

0003

3.8

0.0003

0003

0002

3.9

0.0002

0002

0001

4

0.0001

0001

dtexФ

x

t







 2/

2

1

)(



x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0

0,5000

50399

50798

51197

51595

51994

52392

52790

53188

53586

0,1

53983

54380

54776

55172

55567

55962

56356

56749

57142

57535

0,2

57926

58317

58706

59095

59483

59871

60257

60642

61026

61409

0,3

61791

62172

62552

62930

63307

63683

64058

64431

64803

65173

0,4

65542

65910

66276

66640

67003

67364

67724

68082

68439

68793

0,5

69146

69497

69847

70194

70540

70884

71226

71566

71904

72240

0,6

72575

72907

73237

73565

73891

74215

74537

74857

75175

75490

0,7

75804

76115

76424

76730

77035

77337

77637

77935

78230

78524

0,8

78814

79103

79389

79673

79955

80234

80511

80785

81057

81327

0,9

81594

81859

82121

82381

82639

82894

83147

83398

83646

83891

1,0

84134

84375

84614

84850

85083

85314

85543

85769

85993

86214

1,1

86433

86650

86864

87076

87286

87493

87698

87900

88100

88298

1,2

88493

88686

88877

89065

89251

89435

89617

89796

89973

90147

1,3

90320

90490

90658

90824

90988

91149

91308

91466

91621

91774

1,4

91924

92073

92220

92364

92507

92647

92786

92922

93056

93189

1,5

93319

93448

93574

93699

93822

93943

94062

94179

94295

94408

Приложение 2

Таблица П2.1

Функция распределения нормированного нормального

распределения:

; Ф(-х)=1-Ф(х)

86

Окончание табл. П2.1

1,6

94520

94630

94738

94845

94950

95053

95154

95254

95352

95449

1,7

95543

95637

95728

95818

95907

95994

96080

96164

96246

96327

1,8

96407

96485

96562

96638

96712

96784

96856

96926

96995

97062

1,9

97128

97193

97257

97320

97381

97441

97500

97558

97615

97670

2,0

97725

97778

97831

97882

97932

97982

98030

98077

98124

98169

2,1

98214

98257

98300

98341

98382

98422

98461

98500

98537

98574

2,2

98610

98645

98679

98713

98745

98778

98809

98840

98870

98899

2,3

98928

98956

98983

99010

99036

99061

99086

99111

99134

99158

2,4

99180

99202

99224

99245

99266

99286

99305

99324

99343

99361

2,5

99379

99396

99413

99430

99446

99461

99477

99492

99506

99520

2,6

99534

99547

99560

99573

99585

99598

99609

99621

99632

99643

2,7

99653

99664

99674

99683

99693

99702

99711

99720

99728

99736

2,8

99744

99752

99760

99767

99774

99781

99788

99795

99801

99807

2,9

99813

99819

99825

99831

99836

99841

99846

99851

99856

99861

3,0

99865

99869

99874

99878

99882

99886

99889

99893

99896

99900

3,1

99903

99906

99910

99913

99916

99918

99921

99924

99926

99929

3,2

99931

99934

99936

99938

99940

99942

99944

99946

99948

99950

3,3

99952

99953

99955

99957

99958

99960

99961

99962

99964

99965

3,4

99966

99968

99969

99970

99971

99972

99973

99974

99975

99976

3,5

99977

99978

99979

99980

99981

99982

99983

3,6

99984

99985

99986

99987

99988

99989

3,7

99989

99990

99991

99992

3,8

99993

99994

99995

3,9

99995

99996

99997

4,0

99997

99998

99999

99999 - - - -

-

kpt,

 

,

,kp

ttPq 

k

q

0,2

0,1

0,05

0,02

0,01

0,005

0,002

0,001

1

3,08

6,31

12,71

31,82

63,66

127,32

318,3

636,61

Значения

где случайная величина t имеет распределение Стьюдента с k

Приложение 3

Распределение Стьюдента

Таблица П3.1

, соответствующие вероятности

степенями свободы

87

Окончание табл. П3.1

2

1,89

2,92

4,30

6,96

9,92

14,09

22,33

31,60

3

1,64

2,35

3,18

4,54

5,84

7,45

10,21

12,92

4

1,53

2,13

2,78

3,75

4,60

5,60

7,17

8,61

5

1,48

2,02

2,57

3,36

4,03

4,77

5,89

6,87

6

1,44

1,94

2,45

3,14

3,71

4,32

5,21

5,96

7

1,41

1,89

2,36

3,00

3,50

4,03

4,79

5,41

8

1,40

1,86

2,31

2,90

3,36

3,83

4,50

5,04

9

1,38

1,83

2,26

2,82

3,25

3,69

4,30

4,78

10

1,37

0,81

2,23

2,76

3,17

3,58

4,14

4,59

11

0,36

0,80

2,20

2,72

3,11

3,50

4,02

4,44

12

0,36

0,78

2,18

2,68

3,05

3,43

3,93

4,32

13

0,35

0,77

2,16

2,65

3,01

3,37

3,85

4,22

14

0,34

0,76

2,14

2,62

2,98

3,33

3,79

4,14

15

0,34

0,75

2,13

2,60

2,95

3,29

3,73

4,07

16

0,34

0,75

2,12

2,58

2,92

3,25

3,69

4,02

17

0,33

0,74

2,11

2,57

2,90

3,22

3,65

3,97

18

0,33

0,73

2,10

2,55

2,88

3,2

3,61

3,92

19

0,33

0,73

2,09

2,54

2,86

3,17

3,58

3,88

20

0,33

0,72

2,09

2,53

2,85

3,15

3,55

3,85

21

0,32

0,72

2,08

2,52

2,83

3,14

3,53

3,82

22

0,32

0,72

2,07

2,51

2,82

3,12

3,51

3,79

23

0,32

0,71

2,07

2,50

2,81

3,10

3,48

3,77

24

0,32

0,71

2,06

2,49

2,80

3,09

3,47

3,75

25

0,32

0,71

2,06

2,49

2,79

3,08

3,45

3,73

26

0,32

0,71

2,06

2,48

2,78

3,07

3,44

3,71

27

0,31

0,70

2,05

2,47

2,77

3,06

3,42

3,69

28

0,31

0,70

2,05

2,47

2,76

3,05

3,41

3,67

29

0,31

0,70

2,05

2,46

2,76

3,04

3,4

3,66

30

0,31

0,70

2,04

2,46

2,75

3,03

3,39

3,65

40

1,30

0,68

2,02

2,42

2,70

2,97

3,31

3,55

60

1,30

0,67

2,00

2,39

2,66

2,91

3,23

3,46

120

1,29

1,66

1,98

2,36

2,62

2,86

3,16

3,37

∞

1,28

1,64

1,96

2,33

2,58

2,81

3,09

3,29

* Примечание: Входом в таблицу при построении доверительного интервала для математического ожидания (формула 1.18) является q=1-γ.

88

Приложение 4

K

p

0,99

0,95

0,90

0,50

0,25

0,10

0,05

0,025

0,01

0,005

0,001

1

0,0002

0,004

0,02

0,46

1,32

2,71

3,84

5,02

6,63

7,88

10,8 2 0,02

0,1

0,21

1,39

2,77

4,61

5,99

7,38

9,21

10,6

13,8 3 0,12

0,35

0,58

2,37

4,11

6,25

7,81

9,35

11,3

12,8

16,3 4 0,30

0,71

1,06

3,36

5,39

7,78

9,49

11,1

13,3

14,9

18,5

5

0,55

1,15

1,61

4,35

6,63

9,24

11,1

12,8

15,1

16,7

20,5

6

0,87

1,64

2,20

5,35

7,84

10,6

12,6

14,4

16,8

18,5

22,5 7 1,24

2,17

2,83

6,35

9,04

12,0

14,1

16,0

18,5

20,3

24,3 8 1,65

2,73

3,49

7,34

10,2

13,4

15,5

17,5

20,1

22,0

26,1 9 2,09

3,33

4,17

8,34

11,4

14,7

16,9

19,0

21,7

23,6

27,9

10

2,56

3,94

4,87

9,34

12,5

16,0

18,3

20,5

23,2

25,2

29,6

11

3,05

4,57

5,58

10,3

13,7

17,3

19,7

21,9

24,7

26,8

31,3

12

3,57

5,23

6,3

11,3

14,8

18,5

21,0

23,3

26,2

28,3

32,9

13

4,11

5,89

7,04

12,3

16,0

19,8

22,4

24,7

27,7

29,8

34,5

14

4,66

6,57

7,79

13,3

17,1

21,1

23,7

26,1

29,1

31,3

36,1

15

5,23

7,26

8,55

14,3

18,2

22,3

25,0

27,5

30,6

32,8

37,7

16

5,81

7,96

9,31

15,3

19,4

23,5

26,3

28,8

32,0

34,3

39,3

17

6,41

8,67

10,1

16,3

20,5

24,8

27,6

30,2

33,4

35,7

40,8

18

7,01

9,39

10,9

17,3

21,6

26,0

28,9

31,5

34,8

37,2

42,3

19

7,63

10,1

11,7

18,3

22,7

27,2

30,1

32,9

36,2

38,6

43,8

20

8,26

10,9

12,4

19,3

23,8

28,4

31,4

34,2

37,6

40,0

45,3

21

8,90

11,6

13,2

20,3

24,9

29,6

32,7

35,5

38,9

41,4

46,8

22

9,54

12,3

14,0

21,3

26,0

30,8

33,9

36,8

40,3

42,8

48,3

23

10,2

13,1

14,8

22,3

27,1

32,0

35,2

38,1

41,6

44,2

49,7

24

10,9

13,8

15,7

23,3

28,2

33,2

36,4

39,4

43,0

45,6

51,2

25

11,5

14,6

16,5

24,3

29,3

34,4

37,7

40,6

44,3

46,9

52,6

26

12,2

15,4

17,3

25,3

30,4

35,6

38,9

41,9

45,6

48,3

54,1

27

12,9

16,2

18,1

26,3

31,5

36,7

40,1

43,2

47,0

49,6

55,5

28

13,6

16,9

18,9

27,3

32,6

37,9

41,3

44,5

48,3

51,0

56,9

29

14,3

17,7

19,8

28,3

33,7

39,1

42,6

45,7

49,6

52,3

58,3

30

15,0

18,5

20,6

29,3

34,8

40,3

43,8

47,0

50,9

53,7

59,7

2

1

и



2

,pk

x

 

2

,2pk

xxPp 

2

1

и

2

1









 pp

χ2-распределение

Таблица П4.1

Значения , соответствующие вероятности

, где x2 имеет x2 - распределение с k степенями

свободы

*Примечание. Входом в таблицу для поиска

при построении

доверительного интервала для дисперсии (формула 1.23) являются вероятности соответственно.

89

Приложение 5

2

1





n

n-1

γ=0,90

γ=0,95

γ=0,99

95,01p

05,02p

975,01p

025,02p

995,01p

005,02p

2

0,578

4,42

0,521

6,28

0,434

14,12

3

0,62

2,92

0,566

3,73

0,483

6,47

4

0,649

2,37

0,599

2,87

0,519

4,4

5

0,672

2,09

0,624

2,45

0,546

3,48

6

0,69

1,92

0,644

2,2

0,569

2,98

7

0,705

1,80

0,661

2,04

0,588

2,66

8

0,718

1,71

0,675

1,92

0,604

2,44

9

0,729

1,65

0,688

1,83

0,618

2,28

10

0,739

1,59

0,699

1,75

0,63

2,15

11

0,748

1,55

0,708

1,7

0,641

2,06

12

0,755

1,52

0,717

1,65

0,651

1,98

13

0,762

1,49

0,725

1,61

0,66

1,91

14

0,769

1,46

0,732

1,58

0,669

1,85

15

0,775

1,44

0,739

1,55

0,676

1,81

16

0,78

1,42

0,745

1,52

0,683

1,76

17

0,785

1,4

0,75

1,5

0,69

1,73

18

0,79

1,39

0,756

1,48

0,696

1,7

19

0,794

1,37

0,76

1,46

0,702

1,67

20

0,798

1,36

0,765

1,44

0,707

1,64

22

0,805

1,34

0,773

1,42

0,717

1,6

24

0,812

1,32

0,781

1,39

0,726

1,56

26

0,818

1,3

0,788

1,37

0,734

1,53

28

0,823

1,29

0,794

1,35

0,741

1,5

30

0,828

1,27

0,799

1,34

0,748

1,48

Нахождение доверительных интервалов для σ

Таблица П5.1

Значения

для интервальной (двусторонней) оценки σ

90