Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обработка экспериментальных данных. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
nX ,0
mnmmnmm
nn
pp
mnm
n
ppCmXP
)1(
)!(!
!
)1()(
nn 321!
,
!)(k
e
kP
k
n
np
ni
i
p11
ni ,1
3.1 Дискретные случайные величины
Пусть проводится n последовательных испытаний, в каждом из
которых может произойти некоторое случайное событие А.
Испытания независимы друг от друга. Пусть задана вероятность
наступления события А в одном испытании (опыте) p(A)=p и она не
меняется от опыта к опыту.
Пусть X – случайная величина, равная числу наступлений
события А в n опытах. Очевидно,
.
Вероятность того, что в n опытах событие А наступит ровно m
раз, подсчитывается по формуле Бернулли:
. ( 3.1)
Здесь
. Принято считать, что 0!=1.
Говорят, что случайная величина X имеет биномиальное
распределение.
Если в формуле (3.1) n велико (больше 30), а p(A) - мала, то
пользоваться этой формулой становится неудобно. Доказано, что в
этом случае вероятность того, что в n испытаниях событие A наступит
ровно k раз можно подсчитать по формуле Пуассона:
( 3.2)
где
- среднее число наступлений события A в n опытах. В этом
случае говорят, что случайная величина X имеет распределение
Пуассона.
Дискретная случайная величина задается законом или рядом
распределения. Это таблица, в верхней строке которой перечислены
все значения, которые может принять случайная величина X, а в
нижней - вероятности того, что случайная величина X примет данное
значение.
pi=P(X=хi), ,
.
71
3.2 Непрерывные случайные величины
(x)Ff(x)
x
f(t)dtF(x)
1
f(t)dt
Rxxf 0)(
0и Rm
.
2
1
)(
2
2
2
)(
xexf
mx
Если дискретная СВХ задается законом распределения, то
непрерывная случайная величина X задается функцией распределения
F(x) или плотностью распределения f(x).
F(x)=P(X<x)
Функция распределения и плотность распределения связаны
следующими соотношениями:
,
или
. ( 3.3)
Плотность распределения вероятностей обладает следующими
свойствами:
a)
(условие нормировки),
( 3.4)
b)
.
Нормальный закон распределения. СВХ называется
распределенной по нормальному (гауссовскому) закону с параметрами
, если плотность распределения вероятностей имеет
вид
Графики плотности распределения при различных значениях σ
(s) и одном и том же значении m приведены на рис. 3.1.
72
(3.5)
Рис. 3.1. Графики функций плотности распределения двух нормально
;
2
2
2
2
)(
2
)(
2
1
)(
;
2
2
2
)(
2
)(
dx
mx
emxXD
mdx
mx
e
x
XM
x
dx
mx
exF
2
2
2
)(
2
1
)(
распределенных случайных величин с одинаковым математическим
ожиданием и разной дисперсией
. (3.6)
График функции распределения для m=3 и σ=1 приведен на рис.
3.2.
73
Рис. 3.2. График функции нормального распределения
)N(m,
dt
x
t
еФ(x
2
2
2
1
)
1
()
2
()
21
(
mx
Ф
mx
ФxxxP
Для нормального закона мода и математическое ожидание
совпадают. Говорят, что СВХ распределена по закону
плотность вероятностей записывается в виде (3.5).
Если НСВ X распределена по закону N(0,1), то она называется
стандартизованной нормальной величиной.
Функция распределения стандартизованной гауссовской
величины:
, если ее
. (3.7)
С ее помощью можно вычислять интервальные вероятности для
нормального распределения:
. (3.8)
Значения Ф(x) приведены в приложениях практически всех
учебников по теории вероятностей и математической статистики (см.
прил.1).
Для Ф(x) справедливо соотношение: Ф(-x)=1-Ф(x).
74
Иногда в приложениях приводятся значения следующих
dt
x
t
е(xФ
2
2
2
2
1
dt
x
t
е(xФ
0
2
2
2
1
2
);(2)(
1
xФxФ
.5,0)()(
2
xФxФ
1)(2))((
ФXMxP
функций распределения:
и
.
Нетрудно доказать, что
График функции Ф(x) приведен на рис. 3.3.
Рис. 3.3. График функции нормального распределения Ф(х)
Для вероятности попадания на симметричный относительно
математического ожидания интервал справедлива формула:
.
Показательное (экспоненциальное) распределение.
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному
(экспоненциальному) закону, если ее плотность распределения
вероятностей имеет вид:
75
0
00
)(
xe
x
xf
x
X
(3.9)
.0,
2
);(
2
2
2
3
2
xe
a
x
axf
a
x
,0,Ф2);(
x
a
x
a
x
a
x
axF
.
2
1
Ф(z);
2
1
)(где
0
22
22
dteez
z
tz
Показательное распределение часто встречается в теории
массового обслуживания (например, Х – время ожидания при
техническом обслуживании) и в теории надежности (например, Х –
срок службы радиоэлектронной аппаратуры).
Графики плотности распределения показательного
распределения для различных λ приведены в [1].
Распределение Максвелла. Распределение Максвелла—
распределение вероятностей, встречающееся в физике и химии. Оно
лежит в основании кинетической теории газов, которая объясняет
многие фундаментальные свойства газов,
включая давление и диффузию. Распределение Максвелла также
применимо для электронных процессов переноса и других явлений.
Распределение Максвелла применимо и ко множеству свойств
индивидуальных молекул в газе. Оно применяется при статистическом
анализе качества технологических процессов.
Случайная величина имеет распределение Максвелла, если ее
функция плотности имеет вид [1]:
(3.10)
Функция распределения Максвелла:
76
Рис.3.4. Графики функций плотности распределения Максвелла
.
2
2][ :ожидание скоеМатематиче
aXM
.2:Мода aMo
.
8
3
2
][: Дисперсия
aXD
.486.0
5.1
)83(
)516(22
][
X
.108.0
6448
2
9
384
2
12160
][
X
Другие характеристики случайной величины [1]:
Коэффициент асимметрии:
Коэффициент эксцесса:
Гамма-распределение. Гамма-распределение находит
применение при решении задач об отказах сложных систем с
резервированием, когда величина, характеризующая отказы отдельных
элементов системы, подчиняется экспоненциальному закону с
интенсивностью λ, а отказ всего объекта наступает после
возникновения ν отказов отдельных элементов.
77
Гамма-распределение применяют при решении статистических
0,0,0
)(
),,(
1
x
Г
ex
xf
x
][XM
1,
1
Mo
2
][XD
2
1
2][X
1
63][
X
задачах стандартизации и управления качеством. Оно описывает
широкий класс эмпирических распределений проницаемости и широко
применяется в практике проектирования и анализа разработки
нефтяных месторождений.
Говорят, что случайная величина имеет гамма-распределение,
если функция плотности распределения вероятностей имеет вид:
(3.11)
Графики плотности вероятности этого распределения при
различных значениях ν и λ показаны на рис. 3.5.
Рис. 3.5. Графики функций плотности гамма-распределения
Числовые характеристики гамма-распределения [13]:
Математическое ожидание:
Мода:
Дисперсия:
Коэффициент асимметрии:
. Эксцесс:
78
Распределение хи-квадрат. Гамма-распределение с
)(2n
0
)2(2
1
00
)(
2
1
2
2
xex
n
Г
x
xf
xn
n
X
)(2n
n
X12][
)(2n)(2n
n
X
2
3
2
][
параметрами ν=n/2 (n – натуральное число), λ=1/2 называется
распределением
. Распределение играет большую роль в
математической статистике при нахождении доверительных
интервалов для дисперсии, при проверке гипотез согласия,
однородности, независимости и во многих других задачах
статистического анализа данных.
Если Х подчиняется закону , то ее функция плотности
распределения вероятностей записывается в виде:
(3.12)
n – число степеней свободы. С увеличением n распределение хи-
квадрат медленно приближается к нормальному распределению.
Числовые характеристики распределения
Математическое ожидание: M[X]=n.
Мода: M0=n-2, n≥2.
Дисперсия: D[X]=2n.
Асимметрия: .
Эксцесс:
.
Графики плотности распределения хи-квадрат с 4 и 10
степенями свободы показаны на рис. 3.6:
:
79
Рис. 3.6. Графики плотности распределения двух случайных
,/)(2kk
kk
U
kT
/)(
)(
2
3.13)(,1
2
2
1
)(
2
1
2
x
k
x
k
k
Г
k
Г
xf
k
T
0
1
)( dtetаГ
ta
2,
2
)]([
k
k
k
kTD
величин, распределенных по закону хи-квадрат, с 4 и 10 степенями
свободы
Распределение Стьюдента. Распределением Стьюдента с k
степенями свободы называется распределение случайной величины
T(k), равной отношению двух независимых случайных величин U и
распределения fT(x)
где
относительно оси ординат, следовательно, для квантилей tp(k) имеет
место соотношение tp(k)=-t
то есть
, где U~N(0,1). Плотность этого
- гамма-функция Эйлера.
M[T(k)]=0,
.
Плотность распределения Стьюдента симметрична
(k).
1-p
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]