Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обработка экспериментальных данных. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
n
i
i
xx
n
sm
1
2
2
2
)(
1
1
ni
i
xx
nn
n
m
1
3
3
)(
)2)(1(
2/3
2
3
2/3
2
3
2
)1(
m
m
n
nn
m
m
A
s
Рис. 1.4. Графики функций распределения трех случайных величин с
разными значениями коэффициента эксцесса
Оценка асимметрии и эксцесса позволяет отвергнуть, но не
позволяет принять гипотезу о нормальности распределения
генеральной совокупности.
Приведем несмещенные оценки центральных моментов,
асимметрии и эксцесса, которые используются в табличном
процессоре Excel:
1)
второго порядка;
2)
третьего порядка;
3)
асимметрии;
- оценка центрального момента
- оценка центрального момента
- оценка коэффициента
21
4)
1
6
3
)3)(2(
1
2
2
4
2
n
m
m
nn
n
E
x
ni
k
ik
xx
n
m
1
)(
1
.
x
S
V
p
t
*
p
t
ptxPptxP
pp
)(()(
*
pt1
*
1 pt
- оценка эксцесса.
Здесь
- смещенная оценка центрального
момента порядка k.
Для характеристики меры разброса признака Х относительно его
среднего значения используют относительный показатель коэффициент вариации V, который вычисляют по формуле
1.4. Интервальные (доверительные) оценки параметров
распределения
Процентили - это характеристики набора данных, которые
выражают ранги элементов массива в виде чисел от 1 до 100, и
являются показателем того, какой процент значений находится ниже
определенного уровня. Так, значение 30-й процентили указывает, что
30% значений располагается ниже этого уровня.
Квартили — значения, которые делят таблицу данных (или ее
часть) на четыре группы, содержащие приблизительно равное
количество наблюдений. Общий объем делится на четыре равные
части: 25%, 50%, 75% 100%. Значения признака, делящие ряд на пять
равных частей, называют квинтилями, на десять частей — децилями,
на сто частей — перцентилями.
Квантилью порядка р (симметричной квантилью порядка р)
распределения непрерывной случайной величины Х называется
действительное число
(число
), удовлетворяющее уравнению
). (1.15)
Критической точкой порядка p (симметричной критической
точкой порядка p) непрерывной случайной величины Х называется
действительное число æp(æ
P(x
*
), удовлетворяющее уравнению:
p
æ
)=p; (P(x
p
æ
*)=p). (1.16)
p
Квантили и критическая точка одного и того же распределения
связаны соотношением:
æp=
; æ
*
=
p
. (1.17)
22
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя
b
a
f(x)dxba )< <P(
2
1
)()(
bxPaxP
числами - концами интервала, накрывающего оцениваемый параметр.
Доверительным называют интервал, который с заданной
надежностью накрывает заданный параметр.
Если требуется построить доверительный интервал для
некоторого параметра θ, то это значит, что нужно найти такие два
числа a и b, чтобы
P(a< θ<b)=γ.
Известно, что
, где f(x) – плотность
распределения случайной величины Х (рис. 1.5).
Рис. 1.5. График функции плотности распределения случайной
величины
Очевидно, что такой интервал будет не единственным. Обычно
полагают
.
Построение доверительного интервала для
математического ожидания и дисперсии. Выборочные
характеристики и S2 являются надежными количественными
оценками генеральных характеристик m и σ2 только при большом
объеме выборки. При ограниченных объемах выборки возникает
необходимость указать степень точности и надежности оценок
генеральных характеристик.
23
При решении практических задач, связанных со статистическим
2
nmx/
nsmx/
n
txm
n
tx
n
t
dzetФ
t
z
0
2
2
2
2
1
)(
2
)(
2
tФ
n
s
txm
n
s
tx
анализом характеристик изучаемого признака Х, например,
механических свойств конструкционных материалов, несущей
способности элементов конструкций, пропускной способности
нефтегазопроводов, себестоимости единицы производимой продукции
и т. д., как правило, значения генеральной дисперсии и
математического ожидания неизвестны.
Рассмотрим два случая: когда дисперсия
известна и когда
она не известна.
Построение доверительного интервала для математического
ожидания основывается на том факте, что величина
имеет
нормальное распределение N(0,1) в первом случае, а величина
имеет t-распределение с n-1 степенью свободы во втором случае.
Интервальной оценкой с надежностью математического
ожидания m нормально распределенного признака Х по выборочной
средней при известном среднеквадратическом отклонении
генеральной совокупности служит доверительный интервал
, (1.18)
где
аргумента функции Лапласа
- точность оценки, n – объем выборки, t – значение
, при котором
.
При неизвестном (и объеме выборки n<30)
, (1.19)
24
где s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение
t
t
(формула (1.9)), вычисляется по формуле (1.6),
- γ-квантиль
распределения Стьюдента с n-1 степенью свободы.
Если объем выборки достаточно большой (n>30), то для
нахождения
можно воспользоваться таблицами нормального
распределения, так как плотности нормального распределения N(0,1) и
распределения Стьюдента в этом случае достаточно близки (рис.1.6).
Рис. 1.6. График функций плотности нормального
распределения N(0,1) и распределения Стьюдента при k=30
Примечание: Программа для построения графиковфункций плотности
нормального распределения N(0,1) и распределения Стьюдента при k=30
приведена ниже:
function y=f(x,m,s)
y=1/(s*(2*%pi)^0.5)*exp(-(x-m).^2/(2*s^2))
endfunction
function y=f1(x,k)
y=gamma((k+1)/2)/gamma(k/2)/sqrt(%pi*k)*(1+x.^2/k).^(-(k+1)/2);
endfunction
x=-5:.01:5;plot(x,f(x,0,1),x,f1(x,30), '-.-.r'),xgrid()
legend('N(0,1)','Student')
25
Пусть, например, из генеральной совокупности извлечена
варианта
i
x
-2 1 2 3 4
5
частота
i
n
2 1 2 2 2
1
4,2
1
)(
;2
1
2
1
n
xxn
s
n
xn
x
k
i
ii
k
i
ii
26,2t
n
s
txm
n
s
tx
10
4,2
26,22
10
4,2
26,22 m
2
2
1
2*
^
)(
1
)()(
n
i
i
xx
n
SXD
2
1
2
)(
1
1
n
i
i
xx
n
s
выборка объема 10.
Необходимо оценить с надежностью γ=0,95 математическое
ожидание m нормально распределенного признака генеральной
совокупности по выборочной средней при помощи доверительного
интервала.
Решение.
. Здесь k –
количество различных значений, принимаемых вариантой х. В нашем
примере k=6. По таблицам (прил. 3) при γ=0,95 и n-1=9 определяем
. Находим доверительный интервал
:
или
окончательно0,3<m<3,7
Примечание. Для поиска t в формуле (1.19) можно
воспользоваться функцией Excel
=СТЬЮДРАСПОБР(1-, n-1),
а в системе компьютерной математики Scilab для поиска значения
коэффициента применяют функцию:
-->cdft("T",n-1,(1+)/2,(1-)/2)
Построение доверительного интервала для дисперсии. Пусть
СВХ распределена нормально. Требуется построить доверительный
интервал для дисперсии генеральной совокупности
выборочной дисперсии
либо по
, либо по
несмещенной оценке дисперсии
.
26
Построение доверительного интервала для дисперсии
2
2*
)(Sn
2
)),(~
)(
2
2
2*
n
Sn
)1(~
)1(
2
2
2
n
sn
)1(~
)1(
2
2
2
n
sn
1)
)1(
(
2
2
2
2
2
1
sn
P
2
2
2
2
1
и
2
2
2
2
1
и
2
2
2
1
и
2
2
2
1
и
2
)()(
2
2
22
1
2
PP
основывается на том, что величина
n степенями свободы (записывается это так:
имеет распределение
а
.
Для выбранной доверительной вероятности (или надежности)
γ=1-α (если, например, γ=0.9, то α=0.1), можно записать (учитывая,
что
):
(1.20)
Далее, по таблице
- распределения выбирают такие значения
, чтобы площадь, заключенная под графиком плотности
распределения
между числами
была равна 1-α (рис. 1.7).
с
Рис. 1.7. Графики функции плотности распределения хи-квадрат
Как видно из рис. 1.7, значения
можно варьировать так,
чтобы площади S1 и S2 были равны :S1=S2=1-α. Обычно
выбирают такими, чтобы
, т.е. чтобы
площади S3 и S4 на рис. 1.8 были равны.
27
Рис. 1.8. Выбор
2
2
2
1
и
2
)(
2
1
2
1
Pp
.
2
1
2
1)(
2
2
2
2
Pp
2
2
2
2
1
и
2
2
2
2
2
1
)1(
sn
2
2
2
2
2
1
1
)1(
1
sn
2
1
2
2
2
2
2
)1()1(
snsn
.95,0
2
1;05,0
2
Имеем
по графику функции плотности
распределения хи-квадрат
, (1.21)
(1.22)
Зная p1 и p2, по таблицам распределения
находим
таким образом, чтобы выполнялись условия (1.21) и (1.22).
Неравенство
заменим на эквивалентное:
или
. (1.23)
Пусть, например, несмещенная оценка дисперсии s2=10
получена по выборке объема n=21. Найдем 90% доверительный
интервал для дисперсии.
Решение. =1-=1-0,9=0,1.
k=21-1=20.
28
Имеем:
.05,0
2
)
2
1
2
(
1
Pp
.4,31
2
2
.95,0
2
1)
2
2
2
(
2
.9,10
2
1
Pp
2
1
2
2
9,10
10)121(
2
4,31
10)121(
.90
.89
.91
.85
По таблицам χ2 распределения
получаем
Примечание. Так как в таблице прил. 4 приведены значения
критических точек, то входом в нее для поиска
для поиска
p=α/2=0.05.
будет p=1-α/2=0.95, а
Подставляя эти значения в формулу (1.23), получаем:
или 6,33218,35.
Лабораторная работа 1
Цель работы: овладение навыками первичной обработки
данных.
Содержание работы: по имеющимся экспериментальным
данным:
1. Построить ряды распределения (интервальный и дискретный
вариационные ряды). Построить графики в заданной программной
среде (Excel, Scilab).
2. Построить график накопительных частот— кумуляту.
3. Построить график эмпирической функции распределения.
4. Вычислить моду, медиану, выборочную среднюю, выборочную
дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение,
коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс.
5. Построить доверительные интервалы для истинного значения
измеряемой величины и среднего квадратического отклонения
генеральной совокупности.
6. Раскрыть смысловую сторону каждой характеристики.
Исходные данные
Имеются данные о коэффициенте эксплуатации насосных
скважин в различных нефтеносных районах страны :
29
Ряды распределения
21.078.099.0
minmax
xxR
750 nk
03.0
7
21.0
k
R
h
765.003.05.078.05.0
min0
hxx
005.103.05.099.05.0
max
hxx
k
(x
i-1
;x
i
]
[0.765-
0.795)
[0.795-
0.825)
[0.825-
0.855)
[0.855-
0.885)
[0.885-
0.915)
[0.915-
0.945)
[0.945-
0.975)
[0.975-
1.005)
ni 4 7 7 11
14 1 3
3
xi
0.78
0.81
0.84
0.87
0.9
0.93
0.96
0.99
ni 4 7 7 11
14 1 3
3
Построение интервального вариационного ряда:
1) Рассчитаем размах варьирования:
,
где x
– наименьшая варианта данной выборочной совокупности;
min
x
– наибольшая варианта данной выборочной совокупности.
max
2) Вычислим число равных частей, на которое нужно разделить
размах варьирования:
, где n – объем выборки.
3) Вычислим шаг h (длину интервалов):
.
4) Вычислим начальное значение первого интервала x0 и
конечное значение последнего интервала xk:
,
.
Интервальный вариационный ряд распределения:
Здесь (x
] – варианты-интервалы; ni – частоты.
i-1;xi
Дискретный вариационный ряд распределения:
Здесь xi – варианты; ni – частоты.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]