Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обработка экспериментальных данных. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
Критерий Ястремского. Для проверки соответствия данной
,4k23 J
k
i
ii
ii
pnp
npn
сcJ
1
2
)1(
)(
,k
i
np
4k23
4k23
.1;'
''
i
'
i
pq
n
n
p
i
i
i
xi
i
n
'
i
n
'
i
p
'
i
q
'
ii
nn
2
'
ii
nn
''
ii
qn
''
2'
)(
ii
ii
qn
nn
Σ
c=
выборочной совокупности признака X нормальному распределению
по данному критерию, нужно проверить неравенство:
где
, ni – эмпирические частоты,
теоретические частоты, k– число интервалов дискретного
вариационного, n - объем выборки. Если k<20, то Θ=0.6.
Если вычисленное значение J меньше
, то гипотеза о
близости эмпирического распределения признака Х к нормальному
закону распределения принимается. При значениях J больших
, расхождения между эмпирическим и теоретическим
распределениями существенно. В этом случае данные выборки не
будут подчиняться нормальному закону распределения.
Обозначим
Для вычисления величины c
составляется таблица :
-
Приближенные критерии нормальности распределения. Для
проверки гипотезы о соответствии данной выборки нормальному
закону распределения можно использовать выборочные статистики:
асимметрию и эксцесс. После вычисления этих характеристик по
формулам (1.11) и (1.13), находят их средние квадратические
отклонения:
61
)3)(1(
)1(6
nn
n
S
s
A
)5)(3()1(
)3)(2(24
2
nnn
nnn
S
x
E
3
s
A
s
S
A
3
x
E
x
S
E
2
2
2
2
2
xS
E
x
A
S
S
E
S
A
(2.5)
(2.6)
Если |As| <SA и |Ex| <SE , то считают, что выборочная
совокупность подчиняется нормальному закону распределения.
Если
|As| и |
Ex| существенно больше своих средних
квадратических отклонений, то гипотеза о нормальном распределении
выборочной совокупности отвергается.
Иногда для принятия решений о нормальности распределения
руководствуются правилом «трех сигм»: если
и
,
то отличие вариационного ряда от нормального распределения
считают несущественным.
Проверку выборочной совокупности на близость ее к
нормальному распределению можно производить, используя
совокупность статистик χ2, As и Ex. В этом случае сначала вычисляют
статистику χ2 по формуле:
Затем при заданном уровне значимости α и числе степеней
свободы k=2 (по числу используемых статистик: As и Ex) по прил. 4
находят χ
нормальном распределении выборочной совокупности принимают. В
противном случае, т.е. когда χ2>χ
2
.
кр
Если вычисленное значение χ2меньше χ
2
, гипотезу о нормальном
кр
2
, то гипотезу о
кр
распределении выборки отвергают.
62
Лабораторная работа 2
'
ii
ny
()
ii
nh
yu
s
2
2
1
()
2
i
u
i
ue
i
i
xx
u
s
xi
ni
ui
φ(ui)
yi
ni'
0.78
4
-0.0924
-1.70228
0.093684
2.588918
3
0.81
7
-0.0624
-1.14959
0.206032
5.693596
6
0.84
7
-0.0324
-0.5969
0.333842
9.225563
9
0.87
11
-0.0024
-0.04422
0.398553
11.01379
11
0.9
14
0.0276
0.508475
0.350564
9.687659
10
0.93
1
0.0576
1.061164
0.227189
6.278249
6
0.96
3
0.0876
1.613854
0.108479
2.997754
3
0.99
3
0.1176
2.166544
0.038163
1.054609
1
i
xx
Цель работы: построение кривой нормального распределения
по опытным данным; проверка гипотезы о нормальном распределении
выборки.
Содержание работы: на основе дискретного вариационного
ряда, полученного в практической работе № 1, выполнить следующее:
1) Построить эмпирическую (полигон) и теоретическую
(нормальную) кривую распределения.
2) Проверить согласованность эмпирического распределения
с теоретическим нормальным, применяя критерии:
а) Пирсона;
б) Колмогорова,
в) Романовского,
г) Ястремского;
д) приближенный критерий.
Построение эмпирической и теоретической кривых
Для построения теоретической кривой необходимо найти
теоретические частоты ni'.
, где
Составим таблицу:
Значения функции φ(ui) можно найти по таблицам прил. 1,
статистическим таблицам, приведенным в [12], либо непосредственно
по формуле.
,
63
,
Графики распределений
.71,10
'
)'(
1
2
2
ki
i
ii
в
n
nn
.1,11
2
крит
22
критвыб
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0,76 0,81 0,86 0,91 0,96
Эмпирическое
распределение
Теоретическое
распределение
Проверка согласованности эмпирической функции с
теоретическим нормальным распределением
Критерий Пирсона. Покажем, как применять данный критерий
в двух случаях: а) без объединения интервалов; б) с объединением
интервалов, в которые попало менее 5 значений (см. с. 53).
Вычисляем статистику критерия хи-квадрат:
Для уровня значимости α=0.95 и числе степеней свободы
l=k-r=8-3=5 по прил. 4, входом в которое является p=1-α=0.05 и K=l=5,
находим критическое значение
Условием принятия гипотезы о нормальном распределении
является условие
, которое выполняется. Гипотезу о
соответствии данного распределения нормальному закону
распределения принимаем.
64
Подробнее покажем, как вычисляется статистика критерия в
Левая
граница
интеравала
Правая
граница
интеравала
Середина
xi
ni
-5
0.795
0.78
4
0.795
0.825
0.81
7
0.825
0.855
0.84
7
0.855
0.885
0.87
11
0.885
0.915
0.9
14
0.915
0.945
0.93
1
0.945
0.975
0.96
3
0.975
5
0.99
3
После
объединения
эмпирических
частот
Левая
граница
интервала
Правая
граница
интервала
p
np
k
k
kk
np
npn
2
)(
11
-5
0.825
0.191
9.563
0.216
7
0.825
0.855
0.183
9.150
0.505
11
0.855
0.885
0.218
10.876
0.001
14
0.885
0.915
0.192
9.597
2.020
7
0.915
5
0.216
10.814
1.345
2
в
4.088
случае объединения интервалов, содержащих малое количество
теоретических частот. Исходные данные:
*Примечание. Числа -5 и 5 как левый конец первого и правый конец
последнего интервалов взяты вместо -∞ и ∞ соответственно для подсчета
вероятности попадания в эти интервалы.
После объединения интервалов, содержащих малочисленные
теоретические частоты (см. с. 53), получаем следующие данные:
соответствующий интервал использовалась статистическая функция Excel
НОРМРАСП.
интервалов, в соответствующую ячейку вводилась формула
*Примечание. Для подсчета вероятности попадания в
Например, для подсчета вероятности попадания в первый из
65
=НОРМРАСП(G4;$D$12;$C$23;ИСТИНА)-
)34.ссм.,8724.0( xx
99.5)2(
2
95.0
2
95.0
2
в
.8.1
10
571.10
2
2
ff
в
.044.1
4
2088.4
2
2
ff
в
3
2
2
ff
в
0.8742
1
1
ni
i
x
n
x
.05342.0)(
1
1
2
ni
i
xx
n
S
НОРМРАСП(F4;$D$12;$C$23;ИСТИНА),
где G4 и F4 – адреса ячеек, в которых находятся соответственно
правая и левая границы интервала, $D$12 – адрес ячейки, в которой
находится
,$C$23 – адрес ячейки, в
которой находится смещенная оценка σ (S=0.054279, см. с.34).
По заданному уровню значимости α=0.05 и f=5-2-1=2 степеням
свободы с помощью статистической функции ХИ2ОБР(J12;H13),
первый аргумент которой – адрес ячейки, содержащей значение
уровня значимости, второй – адрес ячейки, содержащей число
степеней свободы, находим
. Так как
гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности
принимаем.
Критерий Романовского. Воспользуемся результатами
предыдущих расчетов.
а) для случая без объединения интервалов:
б) для случая с объединением интервалов, в которые попало менее 5
значений:
Условием принятия гипотезы о нормальном распределении
,
является условие
, которое выполняется в обоих случаях.
Гипотезу о соответствии данного распределения нормальному
закону распределения принимаем.
Критерий Колмогорова-Смирнова. По несгруппированной
выборке находим
66
и
x
i
Эмпирические
частоты n
i
Накопленные
частоты ω
i
F(xcp,s)
Fn(x
i
)
Fn(x
i+1
)
n
D
n
D
n
D
0.78 2 2
0.038911
0
0.04
0.038911
0.001089
0.79 2 4
0.057483
0.04
0.08
0.017483
0.022517
0.80 2 6
0.082408
0.08
0.12
0.002408
0.037592
0.81 2 8
0.114710
0.12
0.16
0.005290
0.045290
0.82 3 11
0.155137
0.16
0.22
0.004863
0.064863
0.84 2 13
0.261008
0.22
0.26
0.041008
0.001008
0.85 5 18
0.325262
0.26
0.36
0.065262
0.034738
0.86 4 22
0.395185
0.36
0.44
0.035185
0.044815
0.87 3 25
0.468665
0.44
0.50
0.028665
0.031335
0.88 4 29
0.543232
0.50
0.58
0.043232
0.036768
0.89 3 32
0.616302
0.58
0.64
0.036302
0.023698
0.90 6 38
0.685448
0.64
0.76
0.045448
0.074552
0.91 5 43
0.748632
0.76
0.86
0.011368
0.111368
0.94 1 44
0.890989
0.86
0.88
0.030989
0.010989
0.95 1 45
0.922052
0.88
0.90
0.042052
0.022052
0.96 1 46
0.945887
0.90
0.92
0.045887
0.025887
0.97 1 47
0.963547
0.92
0.94
0.043547
0.023547
0.98 2 49
0.976183
0.94
0.98
0.036183
0.003817
0.99 1 50
0.984914
0.98
1
0.004914
0.015086
n
50
макс
0.065262
0.111368
Теоретическая функция распределения F(xcp,S) вычислялась с
помощью статистической функции НОРМ.РАСП. Так, первое
значение этой функции равно
F(x1)=P(X<x1)=НОРМ.РАСП(A6;$C$3;$C$2;ИСТИНА)
где A6 – адрес ячейки, содержащей первое значение х1; $C$3 – адрес
ячейки, содержащей значение х; $C$2 – адрес ячейки, содержащей
значение S.
По двум последним столбцам таблицы определяем Dn.
Dn=max(0.065262; 0.111368)= 0.111368.
67
В качестве статистики критерия используется величина
).56с.см.(0.799761
)
50
85,0
01.050(111368.0)
85,0
01.0(
n
nDD
n
н
n
895.0)05.0(
н
n
D
,895.0)05.0(799761.0
н
n
н
n
DD
max '
ii
ww
n
xi
ni
ni'
wi
wi'
|wi-wi'|
0.78 4 3 4 3 1 0.81 7 6
11 9 2
0.84 7 9
18
18
0
0.87
11
11
29
29
0
0.9
14
10
43
39
4
0.93 1 6
44
45 1 0.96 3 3
47
48 1 0.99 3 1
50
49
1
,566.0
50
4
)max(
'
n
ww
ii
Критические точки взяты из таблицы (см. с. 58). Так, для α=0.05
. Так как
гипотеза о нормальном распределении не отклоняется.
Критерий Колмогорова для сгруппированной выборки.
Критическое значение статистики Колмогорова подсчитывается по
формуле:
.
Для нахождения максимума абсолютного значения разности
между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами
|wi- wi'| построим таблицу
K(λ)= 0.9228 (находим по таб. 2.1).
68
Гипотеза о нормальном распределении принимается,
,423 kJ
ki
ii
ii
pnp
npn
сkcJ
1
2
)1(
)(
,
i
np
.1;
''
'
'
i
pq
n
n
p
i
i
i
xi
ni
ni'
pi'
qi'
(ni-ni')2
ni'qi'
(ni-ni')2/(ni'qi')
0.78 4 3
0.06
0.94 1 2.82
0.354609929
0.81 7 6
0.12
0.88 1 5.28
0.189393939
0.84 7 9
0.18
0.82 4 7.38
0.54200542
0.87
11
11
0.22
0.78 0 8.58
0
0.9
14
10
0.2
0.8
16 8 2
0.93 1 6
0.12
0.88
25
5.28
4.734848485
0.96 3 3
0.06
0.94 0 2.82
0
0.99 3 1
0.02
0.98 4 0.98
4.081632653
902.11
''
)'(
1
2
ki
ii
ii
pn
nn
с
902.3|8902.11|k cJ
если K(λ)>0.05. Это условие выполняется. Гипотезу о соответствии
данного распределения нормальному закону распределения
принимаем.
Критерий Ямстремского. Вычисляют значения J и c:
где
ni – эмпирические частоты,
- теоретические частоты, k– число
,
интервалов дискретного вариационного ряда, n - объем выборки.
Так как k<20, то Θ=0,6.
а) без объединения интервалов:
Обозначим
Для вычисления величины c
составляем таблицу. Теоретические частоты взяты со с. 68.
.
.
3.902≤12.8686) выполняется.
менее 5 значений, имеем:
Условие принятия гипотезы о нормальном распределении (т.е.
б) для случая с объединением интервалов, в которые попало
69
Эмпирические
частоты n
1
pi
Теоретические
частоты np
i
)1(
)(
2
ii
ii
pnp
npn
11
0.19126030
9.563014902
0.26699365
7
0.18300999
9.150499527
0.61861031
11
0.21751227
10.87561356
0.001818087
14
0.19194079
9.597039292
2.499822427
7
0.21627665
10.81383272
1.716251184
Объем n=50
ni
ii
ii
pnp
npn
1
2
)1(
)(
5.103495659
Число
Интервалов k
5
42
)1(
)(
1
2
k
k
pnp
npn
n
i
ii
ii
0.029390792
Поскольку
,302939.0
42k
J
6( 1) 6 49
0.32979
( 1)( 3) 51 53
As
n
S
nn
22
24 ( 2)( 3) 24 50 48 47
0.62193
( 1) ( 3)( 5) 49 53 55
Ex
n n n
S
n n n
As
As S
Ex
Ex S
гипотеза о нормальном
распределении экспериментальных данных принимается.
Приближенный критерий. Средние квадратические
отклонения асимметрии и эксцесса вычисляют по формулам:
.
Условием принятия гипотезы о нормальном распределении
являются условия
(0.279<0.32979) и
(0.293<0.62193). Оба условия выполняются.
Вывод: гипотезу о соответствии данного распределения
нормальному закону распределения принимаем.
.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]