Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика жидкости и газа. В 2-х частях. Ч.1. Гидромеханика. Учебное пособие
.pdf
а после интегрирования получаем уравнение изобарических поверх
,
z z x
− α
tg .
− α
= θ
sin
j g
= α
(
)
sin cos ,
dp j g dx g dz
(
)
ρ sin α ρ cosα .
p j g x g z C
= − − +
0
j
-
ностей
Уравнение
,)-(.0&').3
(2.46)
. (2.46)
дает семейство плоскостей, параллельных оси
Y.
Одной из этих плоскостей является свободная поверхность. Обозна
чим через
с осью
= –gz0 cos α
имеет вид
j g
где
g
z0
координату точки пересечения свободной поверхности
Z.
Подставив в формулу
для свободной поверхности. Уравнение этой поверхности
sin
cos
α
− =
0
(2.46) х = 0 и z = z0,
sin
j g
(2.47)
cos
g
α
находим
С =
z
p
0
Θ
a
z
0(y)
α
M
g
x
-
Рис. 2.12. Относительное равнове-
сие жидкости в сосуде, движущем-
ся прямолинейно с постоянным
ускорением
Если сосуд движется без трения только под действием силы
тяжести, то
на плоскости
MN.
и θ = 0, т. е.
свободная поверхность параллель
Для того чтобы выяснить характер распределения давления
подставим в основное дифференциальное уравнение равновесия жид
кости
а после интегрирования получим
(2.19)
проекции массовых сил
= ρ − α − α
(2.45) и
получим
(2.48)
-
,
-
71
Полагая в формуле
0 0
cos .
= + ρ α
0
z
0
z
h ∆
h
вольную постоянную
Закон распределения давления имеет вид
Уравнение
",)-(.0"&').
(2.49)
(2.48) х = 0, z = z0 и р =
р
находим произ
0
C p gz
. (2.49)
показывает, что при прямолинейном равноус
-
-
коренном движении сосуда с жидкостью распределение давления для
любой фиксированной вертикали подчиняется линейному закону
.
Равновесие жидкости в цилиндрическом сосуде, равномерно
вращающемся вокруг вертикальной оси. Определим
бодной поверхности и закон распределения давления (рис
берем вблизи свободной поверхности частицу жидкости массой
на эту частицу действует массовая сила
dR,
направленная по нормали
форму сво
. 2.13).
dm;
Вы
к свободной поверхности. Разложим эту силу на две составляющие
горизонтальную
(
центробежную) силу
определяемую полем силы тяжести
z
0
dRr = dm
, dRg= –dmg.
p
M
ω
x
ω
2
r и
вертикальную
-
-
:
,
0
r
x
y
Рис. 2.13. Относи-
тельное равновесие
жидкости в сосуде,
равномерно вра-
щающемся вокруг
вертикальной оси
Разделив действующие силы на
72
y
M
dm,
x
получим
:
2 2
2 2
cos ,
sin ,
X r x
Y r y
= ω α = ω
(
)
0,
ω + − =
0.
2
+ − =
.2x y gz C
+ − =
2 2 2 2
.
2 2 2
r v
g g g
(
)
.
dp xdx ydy gdz
.2p x y gz C
= ρ + − ρ +
ρ ω
.
p p g z z
Подставляя эти выражения в уравнение
или
После интегрирования находим
Как следует из формулы
собой конгруэнтные параболоиды вращения с осью
= ω α = ω
Z g
= −
2
xdx ydy gdz
2
ω
ω
2 2
d x y gdz
( )
2
2 2
( )
(2.51),
(2.50)
(2.21),
получаем
(2.51)
эти поверхности представляют
z.
Одним из таких
параболоидов является свободная поверхность жидкости
Обозначим через
ной поверхности
. Taк
свободной поверхности согласно выражению
z0
координату вершины параболоида свобод
как в вершине
x = y = 0, C = –gz0 и
(2.51)
имеет вид
.
уравнение
-
z z x y
− = + = = (2.52)
0
n
ω ω
2 2
( )
Для того чтобы выяснить характер распределения давления
подставим в основное дифференциальное уравнение равновесия жид
кости
p = p0, x = y = 0, z = z0,
кон распределения давления можно выразить формулой
(2.19)
проекции массовых сил
= ρ ω + −
2
(2.50) и
После интегрирования находим
2
ω
2 2
( )
Если внешнее давление равно
находим постоянную
= + + −
А
0 0
p0, тo,
x y
2
2 2
+
2
g
получим
(2.53)
задавая в уравнении
С = p0 + ρgz0.
Тогда за
(2.54)
(2.53)
,
-
-
73
Для произвольной точки
в – призматический сосуд
в скобке представляет собой заглубление
поверхность. Таким образом
т. е. справедлив линейный
М с
координатами
h
точки
х, у, z
М
выражение
под свободную
,
"
(
гидростатический) закон распределения
,
давления по глубине, которая в данном случае отсчитывается от кри
волинейной свободной поверхности
.
2.6. Давление жидкости на плоские поверхности
Действие сил гидростатического давления, распределенного по
поверхности, которая это давление воспринимает, может быть заменено
действием одной сосредоточенной силы
– их
равнодействующей
.
При определении силового воздействия жидкости на твердую
поверхность решают обычно две задачи: определяют величину равно
действующей сил гидростатического давления и находят точку ее
приложения (центр давления
) (
рис
. 2.14).
-
-
Давление жидкости на плоскую горизонтальную поверхность. Рассмотрим
на плоское дно цилиндрического сосуда
в пределах площади дна элементарную площадку
сначала простейший случай
(
–
давление жидкости
рис
. 2.14, а).
dS;
Выделим
очевидно, что
давление в каждой ее точке будет постоянным. Сила давления
эту площадку определяется формулой
/4/5
где
"
площади дна
.
S
–
полное гидростатическое давление в любой точке
р
=
р
01
р
0
dS
h
dP
P
а
0
S
б
Рис. 2.14. Давление жидкости на плоскую
горизонтальную поверхность:
а – цилиндрический сосуд; б – конический сосуд;
,
р
=
р
02
0
= h
= h
1
S
в
2
d
Р
на
А
74
Равнодействующая сила давления, очевидно, определится инте
(
)
,SP dP p gh S
c
c
гралом от элементарной силы, взятым по всей площади дна
-
:
= = + ρ
∫
так как входящие под знак интеграла
Уравнение
(2.55)
показывает, что независимо от формы сосуда
0
р
0
и ρg –
(2.55)
величины постоянные
.
заполненного жидкостью, и формы его дна сила гидростатического
давления будет одинаковой при условиях
(
гидростатический парадокс
) (см.
рис
В случае равномерно распределенной нагрузки на дно сосуда
точка приложения равнодействующей и центр тяжести площадки
совпадают
.
: p01 = p02 = p0 и h1 = h2 = h
. 2.14).
S
S
Давление жидкости на наклонную плоскую поверхность. Оп
ределим силу гидростатического давления на площадку
S,
лежащую
в плоскости стенки, расположенной под углом θ к горизонту; угол θ вы
бирается произвольно (рис
рассматриваемой стенки; ось
. 2.15).
0х
Ось координат
0z
расположена вдоль
совпадает с линией пересечения плос
кости свободной поверхности с плоскостью стенки и располагается
перпендикулярно плоскости чертежа. Для наглядности развернем плос
кость стенки вместе с расположенной на ней площадкой
совпадения ее с плоскостью чертежа. Очевидно, в этом случае ось
будет направлена слева направо под прямым углом к линии
S на 90° до
0х
0z.
p
0
h
h
c
Р
А
90º
z
c
d
А
x
x
x
d
0(x)
θ
m
z
z
z
d
dS
m
c
d
A
x
,
-
-
-
-
Наметим на рассматриваемой фигуре произвольную точку, за
глубленную под уровнем жидкости на
Рис. 2.15. Давление жидкости
на плоскую наклонную поверхность
h и
имеющую координату
75
-
z.
Ясно, что
sin ,
h z
= θ
А А
,
dP p dS
=
(
)
ρ ρ ρ sin θ .
dP p gh dS p ghdS p dS gz dS
= + = + = +
sin .
P p dS g zdS
∫ ∫
(
)
; ,
с
dS S zdS St z S
A 0
sin .
с
= + ρ θ
sin ,
с с
z h
θ =
A 0
,сP p S gh S
= + ρ
(
)
(
)
,
с
= + ρ =
A 0
,
P P P
= +
где θ
–
угол наклона боковой стенки сосуда к горизонту
У точки
т
выделим элементарную площадку
(2.56)
.
dS.
Сила абсолют
ного гидростатического давления, действующая на эту площадку
равна
или, согласно выражению
где
zc –
(2.57)
(2.34),
А
0 0 0
Интегрируя это выражение по всей площади
= + ρ θ
0
S S
Ясно, что
(St)0x –
координата центра тяжести (точки
Подставляя формулу
= = =
∫ ∫
S S
0
x
статический момент плоской фигуры относительно оси
с)
данной плоской фигуры
(2.60) в
выражение
P p gSz
(2.58)
S,
получаем
(2.59)
(2.60)
0x;
.
(2.59),
получаем
(2.61)
,
Так как
где
hc –
том жидкости, то
или
где
(
ся центром тяжести рассматриваемой плоской фигуры
где
Р
заглубление центра тяжести
с
плоской фигуры под горизон
(2.62)
Р
)с –
А
P p gh S S p
A 0 A
с
абсолютное гидростатическое давление в точке, являющей
(2.63)
.
Формулу
(2.62)
можно представить еще в виде
(2.64)
–
сила, обусловленная поверхностным (атмосферным) давлени
0
ем, передающимся через жидкость на плоскую фигуру
76
; Р –
сила из
-
-
-
-
быточного, в данном случае весового, давления. Данные величины
,
с с
P gh S p S
= ρ =
определяются по формулам
где
р
–
избыточное (весовое) давление в центре тяжести фигуры
с
Как видно, сила гидростатического давления
избыточного
),
действующая на плоскую фигуру любой формы, равна
45
, (2.65)
(2.66)
(
абсолютного или
.
площади этой фигуры, умноженной на соответствующее гидростати
ческое давление
(
р
или
р
в
А)с
центре тяжести этой фигуры
с
.
Определим теперь координаты точки приложения силы гидро
статического давления. Точка
dA
пересечения линии действия силы
Р
с плоскостью, в которой лежит рассматриваемая фигура, называется
центром давления силы
Р
.
Очевидно, центром давления будет точка
А
приложения равнодействующих силы внешнего давления (или давле
ния на поверхности жидкости
) P0 и
силы избыточного давления
Р,
определяемая в соответствии с общими законами механики как центр
действия параллельных сил
Представим деталь предыдущего чертежа
давления силы
Р
будет совпадать с центром тяжести фигуры, так как
А
поверхностное давление
мерно распределяется по рассматриваемой площади
.
(
рис
. 2.16).
р
=
р
,
0
передаваясь через жидкость, равно
а
Центр
.
p
0
Р
Р
Р
z
0
А
c
d
А
d
0(x)
θ
z
c
z'
d
z
d
e
-
-
А
-
-
номерно по площади фигуры: чем глубже расположена точка фигуры
Рис. 2.16. Центр силы гидроста-
тического давления:
с – ценр тяжести фигуры;
dA – центр давления силы РА; d –
центр давления силы Р; е – эксцен-
триситет силы Р
Что касается избыточного давления, то оно распределяется нерав
77
-
,
тем большее давление она испытывает (поэтому центр давления силы
(
)
,
d
pdS z Pz
dP pdS ghdS
= = ρ
()(
)
d
ghdS z gh S z
(
)
(
)
,
d
g zdS z g z S z
0
,
x
I z dS
∫
(
)
St Sz
=
будет лежать ниже центра тяжести фигуры (см. точку
Искомая сила
Точка
dA
будет лежать между точками
зультате геометрического сложения сил
сводится к отысканию точки
мы далее найдем и величину
Р
является геометрической суммой сил
А
c и d;
d,
определяемой координатой
z'd,
определяющую положение точки
Р
а
и Р.
эта точка
d на
рис
. 2.16).
dA
найдется в ре
Р
Таким образом, вопрос
zd.
Зная
и Р.
а
zd,
dA.
Р
В инженерной практике часто единственной искомой величиной
является избыточное давление, так как во многих задачах внешнее
давление, например атмосферное
ложных сторон сооружения и поэтому исключается из расчета
Расчетную зависимость для величины
(
Р
=
0
Р
),
одинаково с противопо
атм
zd
находят, исходя из сле
.
дующего условия: сумма моментов составляющих элементарных сил
pdS
относительно оси
относительно той же оси
Имея в виду это условие, можем написать
0х
равна моменту равнодействующей силы
0х.
:
Р
-
-
-
где
–
элементарной площадки
Р
= ρghcS –
полная сила избыточного давления на всю площадку
Эту формулу можно переписать в виде
или
ρ sinθ ρ sinθ
∫
S
откуда
где
I0x –
(St)0x –
момент инерции плоской фигуры относительно оси
статический момент плоской фигуры относительно оси
Данные величины определяются формулами
∫
S
=
(2.67)
сила избыточного давления для произвольной
dS,
находящейся на расстоянии
z от
оси
0х;
S.
с
I
0
x
с
(2.68)
ρ ρ
∫
S
2
z dS
∫
z
S
= =
d
Sz
=
=
St
с
( )
0х;
0х.
0,x
=
0.x
2
(2.69)
S
(2.70)
78
,
d
с
z z e
= +
0
,
с с
с
x
I I
St Sz
.
xhdS
h S
или
Формулу
(2.68)
можно еще переписать в виде
6
7
:;
где положительная величина
Эксцентриситет
89
89
е
7<=:
называется
:
>
<
<
?"
7
<
(2.71)
:
<
(2.72)
эксцентриситетом
.
e
= =
(2.73)
( )
причем здесь
сматриваемой плоской фигуры
ее центр тяжести и параллельной оси
силы
Р
лежит ниже центра тяжести фигуры на величину, равную
Расстояние
Ic
есть центральный момент инерции площадки рас
S
относительно оси, проходящей через
0х.
Как видно, центр давления
zd до
центра давления определяется не только глуби
е.
ной погружения центра тяжести площадки, но и формой самой пло
щадки
.
Выше мы ограничились отысканием только одной координаты
точки
определять и вторую координату
ления
d (
координаты
х
определяется из уравнения моментов относительно
d
zd).
Однако в общем случае приходится еще
(
х
).
Вторая координата центра дав
d
0z:
∫
x
Заметим, что для площадок, симметричных относительно оси
параллельной оси
0z,
центр тяжести и центр давления находятся на
одной прямой, параллельной оси
d
=
0z.
S
с
(2.74)
-
-
-
-
,
2.7. Давление жидкости на криволинейные поверхности.
Закон Архимеда
Выберем внутри покоящейся жидкости произвольный объем
ограниченный некоторой поверхностью
(
рис
. 2.17).
Очевидно
поверхностные силы (в данном случае только силы гидростатическо
го давления) будут направлены по внутренним нормалям к граничной
поверхности. Выделим в пределах этой поверхности криволинейную
79
,
,
-
площадку
(
)
,
dP p gh dS
= + ρ
2 2 2
x y z
dP dP dP dP
(
)
cos ,0 ,
dP dP dP x
(
)
cos ,0
dP x
распределенных по ее поверхности сил
одной равнодействующей
S.
Так как площадка
S
находится в равновесии, система
dPА
Р
с
составляющими
А
ными соответствующим координатным осям
может быть заменена
Р
,
Р
, Pz,
х
у
параллель
0х, 0у, 0z.
-
Сила
по формуле
d
Р
,
действующая на площадку
А
где
h –
глубина погружения центра тяжести площадки
но свободной поверхности
y
h
S'
A 0
.
0
dS'
z
dS (
рис
. 2.17),
определится
(2.75)
dS
относитель
-
x
dS'''
S'''
dS
dP
x
dP
dP
y
dP
z
S
Рис. 2.17. Давление жидкости
на криволинейную поверхность
Так же как и равнодействующая
может быть представлена в виде
= + +
A
где
dPx и dPy –
горизонтальные составляющие силы
щие вдоль осей, параллельных осям
составляющая силы
d
Р
.
A
Р,
элементарная сила давления
0х и 0у; d
Определим каждую составляющую отдельно. Рассмотрим сначала
одну из горизонтальных составляющих, например
=
x
A
d
d
Р
–
z
Р
.
Очевидно
x
Р
,
действую
A
вертикальная
,
-
где
и осью
0х.
–
косинус угла между направлением вектора силы
80
d
Р
A
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]