Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика жидкости и газа. В 2-х частях. Ч.1. Гидромеханика. Учебное пособие
.pdf
Другими словами, давление на граничной поверхности
в
gh p
=
0,а
p p
=
.аp p gh
= + ρ
ман.а
р р
= −
A,a
p p p
= −
(в
част
-
ном случае
– на
свободной поверхности) передается во все точки
покоящейся жидкости по всем направлениям без изменения. В этом
определении заключается закон Паскаля
Как видно из уравнения
(2.28),
.
величина второго слагаемого
зависит при постоянной плотности жидкости ρ только от глубины
погружения рассматриваемой точки
Величина
в формуле
pв
представляет собой ту часть абсолютного давления
(2.28)
ρ
может быть названа
словлена весом самой жидкости
Из рассмотрения формулы
.
.
(2.28)
(2.30)
весовым давлением
.
Как видно
р,
которая обу
заключаем, что абсолютное
давление в точке равно сумме внешнего поверхностного давления
и весового давления
Из формулы
внешнее поверхностное давление
читься и абсолютное давление в данной точке
.
(2.28)
также ясно, что на сколько увеличивается
р
, на
0
столько же должно увели
.
,
-
-
Если сосуд открыт, то
где
pа –
имеем
атмосферное давление; при этом вместо формулы
(2.31)
(2.28)
Назовем избыточным (сверхатмосферным) давлением величину
превышения абсолютного давления в точке над атмосферным давле
нием, разность
метрическим давлением
(р –
р
).
Эту разность также иногда называют мано
а
:
p
В практике, главным образом, приходится сталкиваться не с аб
солютным давлением, а с избыточным давлением. Имея это в виду
в дальнейшем будем применять следующие обозначения
быточного давления
– р; 2)
для абсолютного давления
В соответствии с такого рода изменением обозначений имеем
(2.32)
–
р
: 1)
.
А
для из
:
-
-
,
-
61
причем расчетная формула
A 0 0
в
ρ ;
а
p p gh p p p p
= + = + = +
А в
ρ ,
а a а
р р
= + = + = +
в
ρ ,
p p gh
= =
(
)
.ap p p p
= + −
h
h
h
α
а) для закрытого сосуда
(2.28)
:
принимает следующий вид
:
б) для открытого сосуда
p p gh p p
(2.33)
откуда видно, что для открытого сосуда понятия весового и избыточ
ного давлений совпадают
:
-
для закрытого же сосуда давления
в 0
р и
(2.34)
р
имеют разную величину
в
(2.35)
:
Как видно, всего имеем пять различных давлений, обозначае
мых через
лютное поверхностное давление
Эпюрой
р
, р,
р
,
р
и
р
,
А
в
а
причем под
0
р
условимся понимать абсо
0
.
гидростатического давления называется графическое
изображение распределения давления по контуру тела, погруженного
в жидкость
Из уравнения
ского давления
.
(
рис
(2.28)
. 2.6) по
следует, что распределение гидростатиче
вертикали линейно зависит от глубины
погружения рассматриваемой точки и может быть графически пред
ставлено в виде трапеции для полного давления (рис
моугольного треугольника для избыточного давления
Отметим, что котангенс угла наклона линии давления
порционален плотности жидкости
.
. 2.6, а)
(
рис
АВ
прямо про
или пря
. 2.6, б).
p0
В
D
В
-
-
-
-
-
-
А
А
Е
С
ρ
gh
p
+ ρgh
0
а б
Рис. 2.6. Распределение
гидростатического давления:
а – полного; б – избыточного
62
С
ρ
gh
Рассмотрим равновесие жидкости в открытом сосуде (рис
ρ
а k
р р gh
= +
,
N a
p p gh
= −
′
ρ
.
M a
p p gh
= + ρ
а
k
0
а
Предположим, что вдоль поверхности уровня
равно атмосферному, вдоль
0'–0' –
нулю. Тогда изменение полного
0–0
внешнее давление
. 2.7).
давления по вертикали графически будет изображаться треугольни
ком
АВС
; в
вершине
нулю, на глубине
В
Н
оно будет
этого треугольника полное давление равно
p = ρgH
или, учитывая, что вдоль
-
линии
бина жидкости в сосуде
сечения с линиями
одна из которых (трапеция
линии
0–0
0–0,
давление атмосферное
).
Проведем вертикаль через точку
0'–0' и АС.
Треугольник
ADEC)
другая
(DBE) –
выше линии
,
(
где
hk –
полная глу
D до
ABC
делится на две части
определяет полное давление ниже
0–0.
0'
0
H
A
0'
0
р
B
с
a'
b'
-
D
b
+
a
ρ
gh
Рис. 2.7. Геометрическая иллюстрация
р
основного уравнения гидростатики
'
E
h
c
C
M
= 0
N
р
'
k
h
h'
k
h
Выберем внутри рассматриваемой жидкости две точки
так, чтобы одна из них
верхности уровня
0–0.
(М)
находилась ниже, а другая
(N) –
Определим давление в этих точках с помощью
графика распределения давления. Полное давление в точке
лится отрезком
отрезок
bс,
можно представить в виде разности отрезков
ас,
причем внешнему давлению будет соответствовать
избыточному давлению
–
отрезок
ab.
Давление в точке
b'с' и b'a′.
Заметим, что
М и N
выше по
М
в обоих случаях атмосферное давление соответствует отрезкам
= aс
или
р
= b'с' = bс. В
а
результате имеем
:
где
h и h' –
уровня
расстояния соответственно от точек
р =
р
.
а
М и N до
поверхности
пере
опреде
N
b'с' =
-
,
-
-
63
h
где
Таким образом, в общем виде можно записать
h –
расстояние от рассматриваемой точки до свободной поверх
, (2.36)
-
ности
.
Из уравнения
(2.36)
следует, что в графической интерпретации
избыточное давление может быть как положительным, так и отрица
тельным, в то время как полное давление
величины сугубо положительные
.
р и
внешнее давление
р
–
а
В общем случае полное давление может быть больше или мень
ше атмосферного. Если абсолютное давление в жидкости или газе
меньше атмосферного, то говорят, что имеет место
вакуум
.
разрежение
или
За величину разрежения или вакуума принимается недостаток
до атмосферного давления, т. е
или
ской высотой или
.
Величину
,
.
h
называют вакуумметриче
вак
высотой вакуума
.
Как видно
-
-
,
h
характеризует разность двух давлений: ат
вак
p
p
a
мосферного и абсолютного давления в точке
(см.
рис
. 2.7).
любой отрезок между линиями
пример
h'
Вакуумметрическая высота
0–0 и 0'–0', на-
для точки
N (см.
рис
. 2.7).
–
М
это
Возьмем, например, трубу с плотно при
Рис. 2.8. Подсасывание
жидкости поршнем
гнанным к ней поршнем, опустим нижний ее
конец в сосуд с жидкостью и будем постепен
но поднимать поршень
(
рис
. 2.8).
Жидкость
будет следовать за поршнем и вместе с ним поднимется на некото
рую высоту
h от
свободной поверхности с атмосферным давлением
Так как для точек, расположенных под поршнем, глубина их по
гружения относительно свободной поверхности отрицательна, то
согласно уравнению
поршнем будет равно
(2.28)
абсолютное давление жидкости под
, (2.37)
-
-
-
.
-
64
а величина вакуума
вакρа
p p p gh
= − =
.
h h
−
= =
.
a
p
g
ρ
или
По мере подъема поршня абсолютное давление жидкости под
p p
вак
а
ρ
g
поршнем будет уменьшаться. Нижним пределом для абсолютного
давления в жидкости является нуль, а максимальное значение вакуума
численно равно атмосферному давлению, поэтому максимальная
высота подъема жидкости в указанном примере, т. е. максимальная
высота
если в нем задать
равна: для воды
ртути
«
всасывания» жидкости, определится из уравнения
р = 0 (
Таким образом, без учета упругости паров
При нормальном атмосферном давлении
– 10,33 м,
точнее
, р = pt).
h
для бензина
max
=
pt
имеем
(1,033 кг/
(γ = 750 кг/
м
– 0,760 м и т. д.
(2.37),
2
см
)
высота
3
) – 13,8 м,
h
для
max
Простейшим устройством для измерения вакуума может слу
жить стеклянная трубка (рис
. 2.9) в
двух вариантах
.
Воздух
-
Вакуум в объеме жидкости
U-
образной трубки
вак
h
р
а
Рис. 2.9. Простейшие
вакууметры
А
(на
рис
. 2.9
р
<
р
0
а
А
р
а
вак
h
может измеряться либо с помощью
справа
65
),
либо путем использования
перевернутой
п
ρ
)
h p g
=
ρ )
h p g
=
А
ρ
)
H z p g
= +
п
ρ
)
H z p g
= +
z
п
Нп
z
вак
пр
U-
образной трубки, один конец которой опущен в сосуд
с жидкостью (на рис
. 2.9
слева
).
2.4. Геометрическая и энергетическая интерпретация
основного уравнения равновесия жидкости
Слагаемые основного уравнения
(2.25)
имеют линейную размер
ность, поэтому основное уравнение для произвольной точки, например
М
,
легко представить в виде суммы двух отрезков, равных соответст
венно
сти называется
ной плоскости сравнения
произвольная. Величина
ваемой точке
z и p/(pg) (
М и
рис
. 2.10).
высотой положения
Величина
0–0, и
р/(pg)
z в
технической механике жидко
,
она отсчитывается от произволь
поэтому в общем случае
определяется давлением в рассматри
может быть измерена высотой
z –
hпр
подъема жидкости
величина
в присоединенной к сосуду трубке, из которой полностью удален воз
дух. Если трубка открытым концом соединена с атмосферой
трубка называется пьезометром
), то
высота подъема жидкости будет
(
такая
-
-
-
-
-
-
определяться манометрическим или избыточным давлением. Высота
/ (
пр А
называют
пьезометрическим напором
называется
/ (
–
приведенной высотой. Сумму высот
гидростатическим напором
пьезометрической
.
р ≈
0
0'
0
пр
Н
р
>
0
М
Рис. 2.10. Геометрическая и энергетическая
интерпретация основного уравнения гидростатики:
0'
0"
р
а
h
0"
h
0
а б
а – p0 > pа; б – p0 < pа
высотой
;
сумму
0'
h
Н
0
р ≈
0
р
h
М
0
0'
<
р
а
0"
;
высота
/ (
/ (
h
0"
0
–
66
Из уравнения
const.
0
0
ρ
)
h p g
=
A
p p
g
−
(2.25)
следует, что гидростатический напор для
всех точек покоящейся жидкости есть величина постоянная
p
H zg= + =
A
(2.38)
:
ρ
Горизонтальная плоскость с ординатой
плоскостью гидростатического напора
кость с ординатой
0″–0″. В
том случае, когда давление на свободной поверхности боль
ше атмосферного
Hп = const –
(
рис
. 2.10, а),
плоскостью пьезометрического напора
плоскость пьезометрического напо
0'–0';
Н = const
называется
горизонтальная плос
ра располагается выше свободной поверхности на величину
/ (
на величину
Удельная потенциальная энергия жидкости.
,
при
h
вак
=
р
<
р
(
рис
0
а
a
. 2.10, б) –
.
ниже свободной поверхности
ρ
Жидкость, нахо
дящаяся в покое или движении, обладает определенным запасом меха
нической энергии, т. е. способностью производить работу. Покоящаяся
-
-
-
-
-
жидкость обладает только так называемой потенциальной энергией
сота
Будем рассматривать точку
hп
для этой точки, а также ее отметка
Выделим у точки
М
некоторый объем жидкости весом
М
жидкости. Пьезометрическая вы
z
показаны на рис
. 2.10, а.
G и
.
под
ключим к этой точке открытую трубку П. Под действием избыточно
го давления
в трубке П на высоту
точку, и на высоту
р в
точке
Н
М
hп
над плоскостью сравнения
п
объем жидкости весом
над плоскостью, проходящей через данную
0–0.
G
поднимется
Из сказанного должно быть ясно, что рассматриваемый объем
жидкости, сосредоточенный в точке
во-первых, за счет своего падения на плоскость
определяется по формуле
во-вторых, за счет своего поднятия под давлением
Полная работа, кот
opyю
может произвести объем жидкости ве
!
М,
может произвести работу
0–0 с
высоты
z,
; (2.39)
р на
высоту
hп:
. (2.40)
что
-
-
-
,
-
сом
G,
равна
"
67
"!
. (2.41)
Величина ЭП и называется потенциальной энергией определен
.
p
ρ
.
p
ρ
-
ного объема жидкости
потенциальной энергией
к единице веса жидкости, находящейся в точке
#
Как видно, внутри удельной потенциальной энергии
в общем случае следует различать два вида потенциальной энергии
1)
удельную потенциальную энергию положения (УЭП
2)
удельную потенциальную энергию давления
hg=
п
Потенциальный напор.
(в
данном случае объема весом
(
УЭП) называется энергия, отнесенная
М:
"!"
$
В
гидравлике слово «напор» применя
%
G).
. (2.42)
!
Удельной
(
полной
:
)z,
равную
(
УЭП
)р,
равную
z;
ется в особом смысле: напором принято называть удельную энергию
жидкости, т. е. меру энергии, принадлежащей единице веса жидкости
В соответствии с этим
собой величину
Н [см.
потенциальный напор
формулу
(2.42)];
будет представлять
при этом величина
z (
отметка
)
-
.
точки) может быть названа
(
пьезометрическая высота
H, z, hп
умножить на единицу веса жидкости, и мы при этом получим
соответствующие энергии этой единицы веса жидкости
Можно сказать, что потенциальный напор
геометрическим напором
) –
напором давления
.
Достаточно величины
;
величина же
.
(
удельная потенци
hп
альная энергия) слагается из двух напоров: геометрического напора
(
удельной энергии положения) и напора давления (удельной энергии
давления
).
Все поясненные выше напоры имеют размерность длины и вы
ражаются соответствующими отрезками
: Н, z, hп (см.
рис
. 2.10).
Следует запомнить, что с геометрической точки зрения потен
циальный напор
нию к какой-либо горизонтальной плоскости сравнения
ляет собой сумму двух линейных величин: отметки данной точки
и соответствующей ей пьезометрической высоты
или
Н в
данной точке (например, в точке
hп:
%"
,
!
М) по
0–0
отноше
представ
z
-
-
-
-
-
H zg= +
68
(2.43)
Величина
const
H
=
а
р
g
ρ
Н (
представляет собой превышение над плоскостью
сравнения
0–0
уровня жидкости в открытом пьезометре, подключен
ном к рассматриваемой точке) характеризуется следующей особенно
стью: для всех точек покоящейся жидкости величина
Возьмем закрытый сосуд
точек
: 1, 2, 3, 4… К
каждой такой точке приключим пьезометр П
Основываясь на выражении
(по
всему объему
(
рис
(2.44),
. 2.11).
Наметим в жидкости ряд
можем утверждать, что горизонт
Н
одинакова
:
). (2.44)
жидкости во всех пьезометрах должен установиться на одной и той
же высоте
.
р
= 0
Р
А
р
Р
Н
0
а
П
1
0
р
р
П
2
а
а
П
р
0
3
П
4
Р
А
Р
0
Н
А
0
-
-
.
Рис. 2.11. Удельная
потенциальная энергия:
Н – потенциальный напор или удель-
ная потенциальная энергия жидкости;
НА – абсолютный потенциальный
напор или удельная абсолютная
потенциальная энергия
Отсюда ясно, что по горизонтам жидкости в пьезометрах П
можно провести некоторую плоскость
горизонтальной. Эта горизонтальная плоскость
зометрической плоскостью
.
Как видно, эта плоскость
обычно говорят, пьезометрическая линия
плоскостью сравнения на величину
Н.
В заключение подчеркнем следующее: так как
Р–Р,
Р–Р)
которая должна быть
Р–Р
называется
Р–Р (
или, как
пье
возвышается над
Н
постоянная для
всех точек покоящейся жидкости, то, следовательно, во всех точках
такой жидкости полная удельная потенциальная энергия одинакова
#&'()*
(по
всему объему
).
:
-
69
Таким образом, из основного уравнения гидростатики
sin ; 0; cos .
X j g Y Z g
= − α = = − α
(2.25)
сле
-
дует, что сумма удельной потенциальной энергии положения
ной потенциальной энергии гидростатического давления
величина постоянная для всех точек покоящейся жидкости
z и
p/(pg)
.
удель
есть
2.5. Относительное равновесие жидкости
в поле силы тяжести
Состояние, при котором жидкость покоится относительно сте
нок резервуара, движущегося с постоянным ускорением относительно
Земли, называют обычно
относительным покоем
.
Выбирая систему
координат, жестко связанную со стенками резервуара, приходим
к статической задаче, основой для решения которой служат уравнения
Эйлера
(2.16). В
соответствии с известным принципом механики при
использовании уравнений равновесия в системе координат, которая
движется с ускорением, необходимо в число действующих массовых
сил включить также силы инерции
.
-
-
При относительном равновесии рассматриваются две задачи
определяется форма поверхности уровня
(
равного давления) и выяс
няется характер распределения давления. Эти задачи решаются с по
мощью уже известных уравнений
(2.19) и (2.21).
В общем случае любое сложное движение сосуда с жидкостью
можно представить в виде суммы двух простейших движений: посту
пательного и вращательного. Имея это в виду, рассмотрим два случая
относительного равновесия
.
Равновесие жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно
с постоянным ускорением. Рассмотрим
суде, движущемся с ускоpeнием
к горизонту под углом α (рис
а
. 2.12).
вдоль прямой
равновесие жидкости в со
МN,
наклоненной
К массовым силам наряду с силой тяжести в данном случае
относится сила инерции
ускорению сосуда. В системе координат, показанной на рис
проекции массовых сил
Fi = –а = j,
направленная противоположно
. 2.12,
(2.45)
Подставляя эти выражения в уравнение поверхности уровня
:
-
-
-
-
(2.21),
получаем
+
,)-(./0&')./12
70
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]