Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика жидкости и газа. В 2-х частях. Ч.1. Гидромеханика. Учебное пособие
.pdf
кости, не обладающие свойством вязкости. В такой жидкости один слой
мог бы скользить по другому, не испытывая никакого трения. В такой
жидкости, как мы увидим далее, физически было бы невозможно и сопротивление движению твердых тел.
Однако даже малая вязкость воды и воздуха достаточна для
того, чтобы движущееся в них
твердое тело испытывало заметные
а
v
а′
силы сопротивления вследствие завихрений, причиной которых явля-
Пограничный
слой
ется вязкость.
Представим себе твердую,
гладкую поверхность и поток жидкости, движущейся вдоль этой поверхности (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Распределение
скоростей при течении
жидкости вдоль плоской стенки
Как показывает опыт, скорость жидкости вблизи поверхности в разных точках течения будет
неодинакова, хотя скорость основной массы жидкости будет иметь
вполне определенную величину.
Если эта скорость равна v, то оказывается, что с этой скоростью
движутся слои, лишь достаточно удаленные от поверхности. Слои же,
непосредственно прилегающие к поверхности, имеют меньшую скорость. Это происходит при обтекании любой жидкостью какой угодно
поверхности, плоской или искривленной. У самой стенки, как показывает опыт, скорость жидкости совершенно отсутствует. Ее частицы как
бы прилипают к поверхности, сцепляясь с ней. Следующий, расположенный выше, слой уже имеет некоторую небольшую скорость. Еще
выше происходит дальнейшее нарастание скорости до тех пор, пока на
некотором удалении от стенки она не достигнет величины скорости
главного (основного) потока. После этого нарастание скорости прекращается. Слой жидкости, в котором скорость нарастает по мере удаления
от стенки до тех пор, пока не достигнет величины скорости главного
потока, называется
пограничным
слоем. Нижней границей этого слоя
является сама стенка. Верхняя же граница у него будет там, где скорость перестает увеличиваться, т. е. по линии аа' (рис. 1.3).
В том, что скорость постепенно нарастает от стенки к верхней
границе пограничного слоя, как раз и проявляется влияние вязкости.
Нижний, прилегающий к стенке, слой жидкости, имеющий скорость,
равную нулю, благодаря вязкости тормозит вышележащий слой,
замедляя его движение; последний, в свою очередь, тормозит слой,
лежащий над ним, и т. д. Таким образом, торможение жидкости, соз-
21
даваемое стенкой благодаря вязкости среды, передается на некоторое
расстояние от стенки.
В то же время, сцепление частиц жидкости отдельных слоев,
прилегающих друг к другу, недостаточно велико для того, чтобы один
слой целиком мог передать свою скорость другому слою. Точно так
же нижний слой со скоростью, равной нулю, не в состоянии полностью затормозить вышележащие слои, как это происходит, например,
у твердого тела, где торможение нижней трущейся поверхности
вследствие больших сил сцепления между частицами передается
на все тело.
В жидкостях и газах вязкость не-
а
b′
достаточна для этого, поэтому здесь мы
b
с′
d
наблюдаем явление сдвига одних слоев
по отношению к другим, соседним, сло-
а′ с
d′
ям, движущимся с меньшей скоростью.
Напряжения сдвига, возникающие при
этом между слоями, и характеризуют
Рис. 1.4. Явление
вязкости газа
силы внутреннего трения жидкости.
Физически, с точки зрения кинетической молекулярной теории, явление вязкости газов объясняется
следующим образом. В потоке газа, движущегося над твердой стенкой с некоторой скоростью v, молекулы верхних слоев, имея помимо
общей для всех частиц скорости v еще свою собственную скорость
в их беспорядочном движении, попадают в нижние, заторможенные
влиянием стенки, слои и, отдавая им свои импульсы (количества движения) в направлении скорости v, ускоряют эти слои. Таковы, например, молекулы а и d (рис. 1.4). Наоборот, другие частицы, такие как b
и с, имея меньшую поступательную скорость в направлении v, чем
частицы вышележащих слоев, попадая туда в процессе молекулярного перемешивания, тормозят эти слои, так как поглощают часть импульсов в направлении основного потока. В результате такого непрерывного перемешивания частиц верхние быстро движущиеся слои
ускоряют нижние замедленные слои; последние же, наоборот, тормозят верхние. Так создается и проявляется трение между отдельными
слоями движущегося воздуха.
Силы вязкости, как и все силы трения, действуют в плоскости
относительного перемещения масс жидкости. Так же, как и давление,
внутреннее трение жидкостей относится к поверхностным силам,
с той лишь разницей, что оно направлено не по нормали к поверхности, а по касательной.
22
Будучи отнесенной к единице поверхности, сила вязкости дает
dv
dn
dv
dn
dv
dn
dv
dn
dv
dn
касательное напряжение (напряжение сдвига) вязкости, которое принято обозначать через τ. Величину этого напряжения можно определить следующим образом. Рассмот-
n
n′ dv
рим два соседних слоя элементарной толщины – I и II (рис. 1.5). Выделим на середине каждого слоя
две частицы жидкости, находящиеся в начальный момент време-
II
I
b
a
v
b
1
α
a′
b′
dn
ни в точках а и b на нормали п
к твердой стенке. Пусть скорость
движения жидкости в нижнем слое
I равна v. Скорость же в верхнем
слое II, вследствие увлечения его
Рис. 1.5. Относительное движение
слоев жидкости
вышележащими слоями, будет больше и равна v + dv. Через секунду
частицы, находящиеся вначале в точках а и b, придут так: первая –
в точку а', которая находится на расстоянии v от точки а, вторая –
в точку b' – на расстоянии v + dv от точки b. В результате за 1 с мы
будем иметь сдвиг одного слоя относительно другого, равный dv.
Относительный сдвиг может характеризоваться углом α или, ввиду
малости угла, tg α, который равен
, где dn – толщина слоя, изме-
ренная по нормали к стенке. Легко видеть, что α и, следовательно,
представляют собой угловую скорость перекашивания элемента
abb'a', т. е. не просто деформацию, а
жидкости, так как деформация
скорость деформации
элемента
произведена за единицу времени.
Ньютон предположил, что касательные напряжения от сил вязкости пропорциональны этой угловой скорости деформации, т. е. что
τ = µ
, (1.10)
где µ – коэффициент пропорциональности, именуемый динамическим
коэффициентом вязкости
. Дальнейшие экспериментальные исследо-
вания подтвердили эту гипотезу Ньютона, доказав, что напряжения
«сдвига» τ действительно пропорциональны градиенту скорости
,
если только температура среды не меняется. Коэффициент вязкости µ
23
является размерной величиной, его размерность в абсолютной систе-
г масса
.
с
−
кг сила с
.
с
− ⋅
2
.
1 0,0368 0,000221
t t
ме единиц:
г масса
µ = = =
[ ]
абс
τ
dv
dn
см с
⋅
1
2
−
см с
⋅
В системе CGS единице динамической вязкости [г/(см·с)]
присвоено наименование пуаз (П) (в память о французском ученом
Пуазейле). Более мелкая единица, равная 1/100 пуаза, называется сантипуаз.
В технической системе единиц динамическая вязкость имеет
размерность
кг сила
−
µ = =
[ ]
техн
2
м
1
2
м
Динамическая вязкость в системе СИ измеряется в Па·с или
в Н·с/м2.
Для перехода от одной системы единиц к другой можно воспользоваться соотношением
1 Па·с = 0,102 (кгс·с)/м2 = 10 П.
Как доказывается в кинетической молекулярной теории, коэффициент вязкости µ должен сильно зависеть от температуры и почти не
зависит от давления и плотности газа, при этом вязкость капельных
жидкостей при увеличении температуры уменьшается, а вязкость газов
возрастает. Так, для чистой пресной воды зависимость динамической
вязкости µ от температуры определяется по формуле Пуазейля:
0,00179
µ =
(1.11)
+ +
Сравним вязкость некоторых жидкостей (табл. 1.1). Вода принадлежит к наименее вязким жидкостям. Лишь немногие из практически используемых жидкостей (например, эфир и спирт) обладают
несколько меньшей вязкостью, чем вода. Наименьшую вязкость имеет жидкая углекислота (в 50 раз меньше вязкости воды). Все жидкие
масла обладают более высокой вязкостью, чем вода (касторовое мас-
24
ло при температуре 20 °С имеет вязкость, в 1 000 раз большую, чем
,
n
3
2
.
вода при той же температуре).
Таблица 1.1
Кинематическая и динамическая вязкость капельных жидкостей
Жидкость µ, Па·с ν·104, м2/с
Вода пресная (t = 20 ºС)
Глицерин безводный (t = 20 ºС)
Керосин (t = 15 ºС)
Бензин (t = 15 ºС)
Масло (t = 20 ºС)
– касторовое
– минеральное
Нефть (t = 15 ºС; δ = 0,86)
Ртуть (t = 20 ºС)
Спирт этиловый безводный (t = 20 ºС)
0,00101
0,512
0,0016–0,0025
0,0006–0,00065
0,972
0,0275–1,29
0,007–0,008
0,0015
0,00119
0,01012
4,1
0,02–0,03
0,0083–0,0093
10,02
0,313–14,5
0,081–0,093
0,00111
0,0151
Для определения динамической вязкости воздуха применяется
формула Милликена:
µ = 1,745 · 10–6 + 5,03 · 10–9t [Па·с],
что дает µ = 1,82 · 10–5 Па·с при t = 15 °С. Динамическая вязкость других газов имеет примерно такой же порядок величин.
В теоретических исследованиях часто применяют приближен-
ные степенные формулы для µ в виде
где µ
ратуре
–
значение коэффициента вязкости газа при некоторой темпе
0
Т
; п –
0
показатель степени, который имеет разные значения
лежащие в диапазоне от
µ = µ
0
0,5 до 1 в
(1.12)
T
0
зависимости от рода газа и от рас
сматриваемого диапазона температур. Для воздуха показатель
T
обычно берут равным
Применяют также формулу вида
0,76.
µ = µ
T C T
+
0
0
T C T
+
(1.13)
0
В этой формуле, считающейся одной из наиболее точных, кон
станта
С
имеет разные значения для разных газов. Для воздуха
25
,
-
п
-
С
≈ 180. Из
всех приведенных формул следует, что коэффициент вяз
-
кости газов с увеличением температуры увеличивается
Как видно из формулы
уменьшается с увеличением температуры
(1.11),
коэффициент вязкости воды
t.
Это свойственно и другим
.
капельным жидкостям. Известно, что смазочное масло, например
густеет на холоде и разжижается при нагревании. При этом разжиже
ние характеризуется не столько изменением плотности
меняется очень медленно
),
сколько изменением вязкости, т. е. трения
(
которая
одного слоя жидкости о другой слой или трения ее о стенки трубы, по
которой она течет
.
Различие в поведении коэффициента µ газов и жидкостей при
увеличении температуры в некоторой степени объясняется исходя из
рассмотрения молекулярного строения тех и других тел: у газов
с ростом температуры возрастает скорость движения молекул и уси
ливается обмен импульсами
жении молекул из слоя в слой
(
количествами движений) при передви
.
В жидких телах, где силы сцепления молекул превалируют над
силами отталкивания, внутреннее трение объясняется в большей сте
,
-
-
-
-
пени сцепляемостью молекул, чем их способностью перелетать из
слоя в слой и сталкиваться друг с другом при беспорядочном пере
мещении, как это имеет место у газов, поэтому когда с ростом темпе
ратуры связи
ослабевают, уменьшается и их внутреннее трение
Величина вязкости зависит от температуры (табл
чением температуры от
в
7
раз. При температуре
0,001
Па·с
(т. е.
= 0,01 П.
силы сцепления) молекул капельных жидкостей
.
0 до 100 °С
20 °С
динамическая вязкость воды равна
. 1.2). С
вязкость воды уменьшается почти
увели
Таблица 1.2
Значение коэффициента вязкости µ воды и воздуха
Температура, °С 0 5 10 15 20 30 40 50 80 100
106·µ воды,
(кг·с)/м3
106·µ воздуха,
(кг·с)/м3
1,82
1,71
при различных температурах
1,54
1,74
1,83
1,77
1,16
1,80
1,03
1,83
0,82
1,90
0,67
1,97
0,56
2,03
0,36
2,16
0,29
2,25
-
-
-
Наряду с понятием абсолютной или динамической вязкости
в механике жидкости и газа находит применение понятие кинемати
26
-
ческой вязкости ν, представляющей собой отношение динамической
.
µ
ν =
ρ
м
.
с
м
,
dv
dn
τ
Вода
Масло
Воздух
вязкости жидкости к ее плотности
:
(1.14)
Эта вязкость названа кинематической, так как ее размерность
содержит только
и время) и не содержит «динамическую» единицу
«
кинематические» единицы измерения
–
кг с
⋅
2
µ
[ ]
ν = = =
[ ]
ρ
[ ]
м
кг с
⋅
4
2
2
килограмм
(т. е.
длину
:
Единицей для измерения кинематической вязкости в системе CGS
служит стокс (в честь английского физика Стокса): 1 Ст = 1 см2/с =
= 10–4 м2/с.
Если µ определяет напряжение (т. е. силу, отнесенную к единице
площади), то ν, как видно из формулы
= ν
ρ
характеризует ускорение (или замедление), которое сообщает эта сила
массе жидкости, заключенной в единице объема (т. е. массе, равной ρ),
исходя из принципа механики, по
которому сила равна произведению
ν·104, м2/с ν·104, м2/с
массы на ускорение.
В то время как µ зависит
(в основном) только от температуры, ν, как легко понять, должна
зависеть также и от давления, так
как плотность ρ есть функция
не только температуры, но и давления (рис. 1.6). У капельных жидкостей, плотность которых мало зависит от давления, коэффициент ν
приближенно можно считать функцией одной лишь температуры
(табл. 1.3).
Для предварительных подсче-
0,015
0,010
0,005
0,3
0,2
0,1
Вода
Воздух
0 50 100 150
Рис. 1.6. Зависимость кинемати-
ческого коэффициента вязкости
воды машинного масла и воздуха
от температуры
3,2
2,8
2,4
2,0
1,6
1,2
0,8
Масло
тов кинематическую вязкость воды
можно принять равной 0,01 см2/с = 1 · 10
–6 м 2
/с при температуре 20 °С.
27
Таблица 1.3
2
Значения кинематического коэффициента вязкости ν· 104
при различных условиях
Температура, °С –5 0 +5 +10 +15 +20 +30
Давление, мм рт. ст.:
– воздух
700
720
740
760
780
0,137
0,133
0,129
0,126
0,122
0,142
0,138
0,133
0,130
0,127
0,147
0,143
0,138
0,135
0,131
0,152
0,148
0,143
0,140
0,136
0,157
0,153
0,148
0,145
0,141
0,163
0,158
0,154
0,150
0,146
0,174
0,169
0,164
0,160
0,155
– вода 760 – 0,0179 0,0152 0,0131 0,0115 0,0101 0,008
При давлениях, встречающихся в большинстве случаев на практике (до 2·107 Па = 200 атм), кинематическая вязкость капельных
жидкостей весьма мало зависит от давления, и этим изменением
в обычных гидравлических расчетах пренебрегают. Кинематическая
вязкость газов зависит как от температуры, так и от давления, возрастая с увеличением температуры и уменьшаясь с увеличением давления. Кинематическая вязкость воздуха при нормальном условии (температура 20 °С, давление 1 атм) равна
ν = 1,57 · 10–5 м2/с, (1.15)
т. е. примерно в 15 раз больше, чем для воды при той же температуре.
Для определения кинематической вязкости воздуха при разных
температурах и давлениях можно пользоваться графиком, представленным на рис. 1.7.
ν, см
/
с
0,18
0,17
0,16
0,15
0,14
0,13
р, кПа
93,3
98,7
104,1
0,12
–10 –5 0 5 10 15 25 20 30
t
, ºC
Рис. 1.7. Зависимость кинематической
вязкости воздуха от давления и температуры
28
Различная зависимость коэффициента кинематической вязкости ν
.SU S
= σ
от температуры у капельных жидкостей и газов объясняется тем, что
в знаменатель выражения для кинематической вязкости (1.14) входит
плотность, которая у газов значительно меньше, чем у капельных
жидкостей.
1.3. Поверхностное натяжение жидкостей.
Капиллярные явления
Условия, в которых находятся молекулы покоящейся жидкости
на границах с газами, другими жидкостями или твердыми телами,
отличаются от условий, в которых находятся молекулы внутри жидкого объема. Во втором случае частицы со всех сторон подвержены
воздействию соседних частиц с теми же свойствами, поэтому все
силы, действующие на рассматриваемую частицу, уравновешиваются.
Если же молекулы расположены на границе, то силы, действующие
со стороны граничного тела, могут отличаться от сил, действующих
внутри объема жидкости. Система сил оказывается неуравновешенной, и появляется равнодействующая, направленная внутрь или
наружу объема жидкости. Чтобы жидкость находилась в покое, эта
равнодействующая должна уравновешиваться некоторой иной силой
(например, силой давления).
Если указанная сила, испытываемая молекулами поверхностного слоя, направлена внутрь жидкости, то для перемещения частицы
изнутри объема на поверхность необходимо затратить некоторую
энергию, т. е. выполнить работу. Это значит, что молекулы поверхностного слоя имеют избыточную по сравнению с внутренними молекулами потенциальную энергию. Энергия
U
молекул пропорциональна
s
площади поверхности S, занимаемой этими молекулами:
жения
Величина σ называется коэффициентом поверхностного натя
.
(1.16)
-
Система, находящаяся в равновесии, занимает то из возможных
для нее положений, которое соответствует минимуму энергии. Следова
тельно, жидкость в равновесии имеет минимальную поверхность
т. е. существуют силы, стремящиеся уменьшить последнюю. Они на
правлены по касательной к этой поверхности. Эти силы обнаруживают
ся простыми опытами и называются силами поверхностного натяжения
29
,
-
-
.
Если выбрать на свободной поверхности жидкости некоторую
S
dU dS ldh
= σ = σ
1
F dh F dh
=
.
F l
= σ
линию длиной
l и
приложить к поверхности распределенную по этой
линии и нормальную к ней, но касательную к поверхности внешнюю
силу
Fl, то
сила поверхностного натяжения
Fσ
будет препятствовать
разрыву (разделу) поверхности вдоль этой линии. Пусть в результате
действия такой внешней силы поверхность по нормали к линии дли
ной
l
растянулась на величину
энергии
лы
, т. е.
σ
должно равняться работе приложенной си
dh.
σ
Тогда изменение поверхностной
(1.17)
Следовательно, коэффициент поверхностного натяжения σ есть
сила, действующая по касательной к поверхности жидкости и прихо
дящаяся на единицу длины
являются [Н/м] в системе СИ и [дин/см] в системе С
l
линии раздела. Единицами измерения σ
GS.
Благодаря действию сил поверхностного натяжения объем жид
кости, на который не действуют никакие другие силы, принимает
сферическую форму. Это было подтверждено во время космических
-
-
-
-
полетов и в земных условиях
.
На границе между жидкостью и твердым телом возникают силы
взаимодействия между молекулами этих двух сред. Соотношение
между этими силами и силами взаимодействия между молекулами
самой жидкости определяет характер граничных явлений. Если на
твердую горизонтальную плоскость поместить каплю жидкости, то
возможны случаи, представленные на рис
. 1.8.
θ
θ
= 0
а б
Рис. 1.8. Возможные случаи смачивания твердой
поверхности вязкой жидкостью:
а – полное растекание жидкости по твердой поверхности
тонким слоем (полное смачивание), когда краевой
угол θ = 0; б – частичное смачивание, когда краевой
угол θ < π/2; в – частичное несмачивание,
когда π/2 < θ < π; г – полное несмачивание, когда θ = π
θ < π/2
в
θ
> π/2
= π
г
дыми стенками создают искривление свободной поверхности вблизи
Силы молекулярного взаимодействия между жидкостью и твер
30
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]