Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика жидкости и газа. В 2-х частях. Ч.1. Гидромеханика. Учебное пособие
.pdf
что сила, действующая на эту частицу, отклонена от нормали к по-
0; 0; 0
= = =
∑ ∑ ∑
0; 0; 0
= = =
∑ ∑ ∑
верхности объема. Тогда эта сила могла бы быть разложена на два
компонента: силу N, действующую вдоль нормали, и силу F, лежащую в касательной к поверхности объема плоскости.
Сила N стремится переместить частицу
М
по направлению сво-
его действия, т. е. прижать ее к соседним частицам. Эта сила является
сжимающей. Жидкость может сопротивляться сжатию, а поэтому
частица
М
может сохранить равновесие в присутствии силы N. Отме-
тим, что в случае, если сила N была бы направлена по внешней нормали, равновесие было бы нарушено, так как разрыву жидкость не
сопротивляется.
Сила F стремится сдвинуть частицу
М
, а так как жидкость со-
противляется сдвигу пропорционально скорости деформации, то при
любой величине силы F должен произойти сдвиг, и равновесие оказывается невозможным.
Повторяя эти рассуждения для любой точки на граничной
поверхности, приходим к выводу о том, что в случае равновесия жидкости приложенные к жидкому объему силы направлены вдоль внутренней нормали к этой поверхности.
Мысленно проведем внутри рассматриваемого объема произвольное сечение I–I, которым жидкость окажется разделенной на две
части
А
и В. Для каждой из них сечение I–I является частью гранич-
ной поверхности, поэтому, рассматривая равновесие, например, части
В
, мы видим, что силовое воздействие на нее верхней части А сводит-
ся, например, в точке
точку
К
другие сечения и повторяя те же рассуждения, приходим
К
, к одной сжимающей силе N. Проведя через
к выводу, что любая частица жидкости внутри данного объема испытывает только всестороннее сжатие.
2. Величина гидростатического давления в точке не зависит от
ориентации (от угла наклона) площадки.
Для доказательства этого свойства выделим в покоящейся жидкости элементарный объем в форме тетраэдра (рис. 2.3). Действие
окружающей тетраэдр жидкости заменим действием поверхностных
распределенных по его граням сил давления и массовой силы dR,
определяемой массой тетраэдра. Для рассматриваемого объема запишем условия равновесия в виде трех уравнений проекций действующих сил и трех уравнений моментов:
F F F
x y z
M M M
x y z
51
; (2.3)
. (2.4)
Последнее условие (равенство нулю главного момента) удовле-
(
)
(
)
cos ,0 cos ,0 0,
− + =
,
2
dP p dydz
cos ,0 cos ,0 ,
2
dP n x p dS n x p dydz
(
)
cos ,0
dS n x
творяется тождественно, так как при стягивании тетраэдра в точку
(∆V → 0) равнодействующая всех внешних (по отношению к выде-
ленному объему) сил проходит через центр тяжести этого объема.
B
dz
dy
Q
n
A
dP
z
dx
dP
y
n
dP
n
C
x
z
dP
x
0
y
D
Рис. 2.3. Установление независимости
величины давления р от ориентации
площадки действия
Составим уравнение проекций внешних сил на ось 0
х
. В соот-
ветствии с рис. 2.3 можно записать:
где d
Р
– сила гидростатического давления на грань ABD; dPn – сила
х
dP dP n x dR dR x
x n
(2.5)
гидростатического давления на грань BCD; dR – элементарная массовая сила, пропорциональная массе тетраэдра.
Определим каждое слагаемое уравнения (2.5):
1
где
=
x x
р
– среднее гидростатическое давление на грань ABD, площадь
х
(2.6)
которой равна dydz/2;
1
где
( ) ( )
n n n
= =
– проекция площадки dS (треугольник BDC) на
(2.7)
плоскость y0z;
52
где
6
dm dxdydz
cos ,0 ,
cos ,0 ,
cos ,0 ,
dR dR x dxdydzX
dR dR y dxdydzY
dR dR z dxdydzZ
x y z
X j Y j Z j
= = =
0,
2 2 6
− + ρ =
0.
3
− + ρ =
.
x y z n
p p p p
= = =
= ρ
массовой силы.
Проектируя массовую силу на координатные оси, запишем
1
где
, ,
dR = jdm,
– масса элементарного тетраэдра; j – ускорение
1
( )
= ρ
6
( )
1
= ρ
(2.8)
6
( )
1
= ρ
6
–
соответственно проекции ускорения на оси
координат
.
После подстановки выражений
уравнение равновесия
(2.5)
1 1 1
p dydz p dydz dxdydzX
x n
или после сокращения на
Пренебрегая величиной ρ
нению с
рх и рп,
получаем
Обращаясь к условиям равновесия (см
и
0z, по
аналогии находим
Равенство
(2.11)
показывает, что гидростатическое давление на
(2.6), (2.7) и (2.8) в
имеем следующее
dydz / 2
1
p p dxX
x n
dхX ⁄ 3
как бесконечно малой по срав
рх = рп.
ру = рп и рz = рп,
исходное
:
(2.9)
(2.10)
. § 1.3) в
откуда следует
проекциях на
:
0у
(2.11)
-
различных гранях тетраэдра с точностью до бесконечно малой вели
чины постоянно. При стягивании тетраэдра в точку значения среднего
гидростатического давления
ческим давлением в точке. Следовательно, уравнение
вает, что гидростатическое давление в точке одинаково по любому
направлению, т. е. не зависит от того, как ориентирована площадка
воспринимающая это давление
рх, ру, рz, рп
можно заменить гидростати
.
53
(2.11)
показы
-
-
-
,
Положение элементарного тетраэдра было выбрано произволь
(
)
, , .
p f x y z
=
″
′
dPz
′
″
″
′
dPx
x
∂
-
но, поэтому можно заключить, что гидростатическое давление явля
ется непрерывной функцией координат пространства
В общем случае давление
сти будет различным
р в
разных точках покоящейся жидко
.
(2.12)
:
2.2. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
(уравнения Эйлера). Поверхность уровня и ее свойства
Выделим в покоящейся жидкости элементарный объем в форме
прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными осям
координат и равными соответственно
dx, dy, dz (
рис
. 2.4).
z
dPz
4
dPy
8
-
-
3
2
0
dPy
y
Рис. 2.4. Вывод уравнений
равновесия жидкости
dz
p
dy
dx
1
7
dP
x
5
6
p
p
dx
+
∂
x
Со стороны окружающей жидкости на выделенный параллеле
пипед действуют
1.
Поверхностные силы, приложенные к граням параллелепипе
:
да. Этими силами в случае идеальной жидкости являются только
силы давления
р, с
которыми массы жидкости, окружающей выде
-
-
-
ленную нами частицу, действуют со всех сторон на ее поверхность
Ввиду малости граней параллелепипеда будем считать, что давление
по каждой из граней распределено равномерно. Тогда каждую из
54
.
шести сил давления можно считать приложенной точно в середине
(
)
cos ,0 0,
− + =
p
p dx
x
∂
∂
0,
− + + ρ =
0.
x
∂
− + ρ =
∂
грани, т. е. на пересечении диагоналей
2.
Массовые силы, пропорциональные массе элементарной час
.
тицы. Обычно под этими силами подразумеваются силы тяжести
приложенные в центре тяжести выделенного параллелепипеда. Па
раллелепипед в координатной системе представлен своей вершиной
1(х, у, z),
ближе всего находящейся к началу координат
.
Составим уравнение равновесия для этой системы сил в проек
циях на координатную ось
dP
′
–
сила гидростатического давления на грань
x
где
то же самое на грань
массовой силы на ось
dP dP dR dR x
5–6–7–8; dRcos(dR, 0x) –
0х.
Пусть давление в точке
муле
(2.11)
равенству давлений, действующих на грани элементарно
0х:
′ ′′
x x
1
равно
(2.13)
1–2–3–4; dP″x –
проекция элементарной
р,
тогда по доказанному в фор
го тетраэдра, можно принять, что такую же величину будет иметь
давление в центре каждой из трех граней, сходящихся в точке
1.
Что
,
-
-
-
-
же касается давлений, действующих на противоположные грани
то они будут отличаться от
которые могут быть выражены через частные производные от
координатам
.
Так, например, давление, действующее на грань
пендикулярную к оси
0х,
р
лишь бесконечно малыми добавками
будет равно
+
р по
5–6–7–8,
пер
и направлено внутрь параллелепипеда, т. е. в сторону, обратную
оси
0х,
соответствующую силу давления со знаком минус
или
поэтому при суммировании проекций сил мы будем брать
.
Тогда уравнение
pdydz p dx dydz dxdydzX
(2.13)
примет вид
p
∂
x
∂
:
(2.14)
p
dxdydz dxdydzX
(2.15)
,
,
-
55
∂
− + =
оси
0;
0;
0.
+ + − + + =
.
dx dy dz Xdx Ydy Zdz
∂ ∂ ∂
(
)
.
dp Xdx Ydy Zdz
= ρ + +
0у и 0z,
Разделив уравнение
(2.15) на
массу параллелепипеда, получим
:
10.p
ρ ∂
X
x
Проделав аналогичные операции с проекциями внешних сил на
получим систему дифференциальных уравнений равнове
-
сия жидкости
Эта система уравнений была впервые получена в
ром
.
Умножим каждое уравнение
и сложим их
или
Давление является функцией только трех независимых пере
:
1
p
X
Y
Z
∂
− =
x
ρ ∂
1
p
∂
− =
y
ρ ∂
1
p
∂
− =
z
ρ ∂
(2.16)
соответственно на
:
10,p p p
Xdx Ydy Zdz dx dy dz
∂ ∂ ∂
x y z
ρ ∂ ∂ ∂
p p p
+ + = ρ + +
x y z
∂ ∂ ∂
( )
(
2.16)
1755 г.
Эйле
dx, dy, dz
(2.17)
(2.18)
-
-
менных координат
х, у и z,
представляет собой полный дифференциал функции
довательно
,
Уравнение
(2.19)
называется
уравнением равновесия жидкости
уравнения мы не вводили никаких дополнительных ограничений на
массовые силы и на плотность жидкости ρ, поэтому оно имеет общий
характер и может быть использовано и для сжимаемой жидкости
поэтому левая часть уравнения
p = f(x, у, z).
(2.19)
основным дифференциальным
.
Отметим, что при выводе этого
56
(2.18)
Сле
-
.
Левая часть этого уравнения представляет собой полный диф
(
)
;
;
.
U x y z
-
ференциал, следовательно, и правая его часть также должна быть
полным дифференциалом. Если же принять плотность жидкости или
газа постоянной или независимой от
также будет полным дифференциалом некоторой функции
частные производные которой, взятые по
корений массовых сил на соответствующие оси
∂
X
=
U x y z
∂
Величины
X, Y и Z
Y
=
U x y z
∂
Z
=
можно рассматривать как проекции массовых
сил, отнесенных к единице массы данной жидкости
x, у и z, то
х, у, z,
, ,
x
∂
, ,
( )
y
∂
, ,
( )
z
∂
выражение в скобках
U = f(x, y, z),
равны проекциям ус
:
(2.20)
[см.
переход от
-
уравнения
(2.15) к
уравнениям
(2.16)],
поэтому функцию
U = f(x, у, z)
называют потенциальной или силовой функцией, а силы, удовлетво
ряющие условию
разом, при рассмотрении уравнения
(2.20), –
силами, имеющими потенциал. Таким об
(2.19) с
учетом выражения
(2.20)
можно сделать важный вывод: равновесие жидкости возможно только
в том случае, когда массовые силы имеют потенциал
.
Заметим далее, что в основном уравнении равновесия жидкости
неизвестны только две величины
ничных массовых сил
ются заданными
уравнения
(2.19)
).
нужно воспользоваться так называемым характеристи
X, Y и Z, а
Окончательно для получения однозначного решения
– р и ρ (
значения же проекций еди
также координаты точки предполага
ческим уравнением, которое определяло бы связь между физическими
свойствами и состоянием рассматриваемой жидкости, например связь
между плотностью жидкости, ее температурой и давлением
.
Поверхность, в каждой точке которой значение данной функции
постоянно, называется
функции и ее значения могут быть различными
поверхностью уровня
.
Физический смысл
(
например, поверх
-
-
-
-
-
-
ность равной температуры, равного давления и т. п
.). В
технической
механике жидкости наибольший интерес представляет поверхность
равного давления, т. е. такая поверхность, в каждой точке которой
давление имеет постоянное значение
.
57
Уравнение поверхности равного давления просто получается из
0.
Xdx Ydy Zdz
+ + =
,
dA dR dx dR dy dR dz
= + +
(
)
.
dA dmXdx dmYdy dmZdz dm Xdx Ydy Zdz
= + + = + +
(
)
cos , 0,
= =
основного уравнения равновесия жидкости. Так как для поверхности
уровня
p = const в
любой ее точке
, dp = 0, и,
следовательно, правая
часть уравнения также равна нулю. Плотность жидкости отлична от
нуля, поэтому выражение в скобках должно быть равным нулю
(2.21)
:
Это и есть уравнение поверхности уровня. Поверхность уровня
(в
нашем случае
новными свойствами
1.
Поверхности уровня не пересекаются между собой. Действи
–
поверхность равного давления) обладает двумя ос
:
тельно, предположив обратное, мы получим в точках линии пересе
чения этих поверхностей давление, равное одновременно
p1 и
р
,
что
2
физически невозможно. Следовательно, невозможно и пересечение
поверхностей уровня
2.
Равнодействующая внешних массовых сил направлена по
.
внутренней нормали к поверхности уровня. Для доказательства этого
-
-
-
свойства рассмотрим уравнение элементарной работы массовой силы
dR на
где
coo
ная масса жидкости
пути
dl:
x y z
dA –
искомая работа
; dRx = dmX, dRy = dmY, dRz = dmZ –
тветственно проекции силы
.
После подстановки имеем
dR на
оси координат
; dm –
элементар
Выражение в скобках в соответствии с уравнением
но равняться нулю, поэтому и работа внешней массовой силы
должна равняться нулю
.
(2.21)
долж
dR
Работа массовой силы может быть представлена для поверхно
сти уровня в виде
-
-
-
dA dR dR dl dl
но это равенство возможно только тогда, когда
гда внешняя массовая сила нормальна к поверхности уровня
58
cos (dR, dl) = 0, т. е. ко-
.
2.3. Равновесие жидкости в поле силы тяжести.
0,
gdz
− =
const.
z
=
.
dp gdz
= −ρ
const.
0 0
const /
z p g
= + ρ
0
,
p p
g g
ρ ρ
Эпюры гидростатического давления. Вакуум
В рассматриваемом случае массовой силой является сила тяже
сти, ускорением
–
ускорение свободного падения
g,
поэтому в вы
бранной системе координат проекции единичной массовой силы на
оси
0х, 0у и 0z
уровня запишется в следующей форме
или, так как
Таким образом, поверхностью уровня
будут
g ≠ 0,
: X = 0, Y = 0, Z = –g, а
:
(2.22)
(2.23)
(
уравнение поверхности
поверхностью равного
давления) в однородной покоящейся жидкости будет любая горизон
тальная плоскость, в том числе и свободная поверхность, независимо
от формы сосуда или водоема. Горизонтальной плоскостью будет
также граница раздела двух несмешивающихся жидкостей
.
Рассмотрим распределение давления в покоящейся жидкости
Воспользуемся основным дифференциальным уравнением равновесия
жидкости
(2.19) и
после подстановки в него
X = 0, Y = 0, Z = –g
(2.24)
После интегрирования и деления на ρg получим
получим
p
zg+ =
(2.25)
ρ
Уравнение
ки
;
оно выражает закон распределения гидростатического давления
в покоящейся жидкости
(2.25)
называется
.
основным уравнением гидростати
Для определения постоянной интегрирования рассмотрим рав
новесие жидкости в сосуде произвольной формы со свободной по
верхностью (рис
Давление в каждой точке на свободной поверхности
расстояние от произвольной плоскости сравнения (в нашем случае
плоскость
х0у)
. 2.5).
до свободной поверхности равно
р =
z0.
р
0
–
Тогда
-
-
-
.
:
-
-
-
,
, и
основное уравнение приобретает следующий вид
z z
+ = +
59
0
(2.26)
:
или
(
)
.
p p g z z
= + ρ −
0
.
p p gh
= + ρ
1 0 1 2 0 2
, .
p p gh p p gh
= + ρ = + ρ
()(
)
(
)
1 2 0 1 0 2 1 2
.
p p p gh p gh g h h
− = + ρ − + ρ = ρ −
z
h
0
Графически уравнение
между плоскостью сравнения
0 0
(2.26)
0х и
можно представить в виде отрезка
плоскостью
трудно заметить, что разность отметок
глубину погружения точки
М,
поэтому
Это другая форма основного уравнения гидростатики, удобная
для практических расчетов
.
z
0'
/(ρg)
0
p
(2.27)
0'–0' (
z0 – z = h
представляет собой
рис
. 2.5).
(2.28)
0'
p/(ρg)
Не
-
М
z
0(y)
Рис. 2.5. Равновесие жидкости
в поле силы тяжести
z + p/(ρg)
x
В гидравлике величина
гидростатическим давлением
р
называется
.
Первое слагаемое уравнения
полным
или
абсолютным
(2.28)
р
принято называть внешним давлением или давлением на поверхно
сти. Его величина остается постоянной для любой точки внутри
покоящейся жидкости. Действительно, вычислим полное давление
в двух произвольных точках
р
и
р
1
:
2
Нетрудно заметить, что разность этих давлений не зависит
от внешнего давления, а зависит лишь от разности отметок выбран
ных точек
:
(2.29)
0
-
-
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]