Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика жидкости и газа. В 2-х частях. Ч.1. Гидромеханика. Учебное пособие
.pdf
1. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
1.1. Плотность. Удельный вес. Сжимаемость
Прежде чем приступить к рассмотрению явлений и законов,
изучаемых механикой жидкости и газа, необходимо хотя бы вкратце
вспомнить и повторить основные сведения из физики, относящиеся
к свойствам жидкостей и газов.
Известно, что всякое вещество имеет прерывистую структуру
и состоит их мельчайших частиц – молекул, которые обладают способностью в одних случаях притягиваться друг к другу и сцепляться
между собой, в других случаях, наоборот, – отталкиваться друг от
друга. Различием в таком поведении молекул объясняется три состояния тел: твердое, жидкое и газообразное. Твердые тела, у которых
силы сцепления между молекулами очень велики, сопротивляются
всяким деформациям со стороны внешних сил, и их движение под
действием этих сил часто может рассматриваться как движение абсолютно твердого тела, изучаемое теоретической механикой. Наоборот,
движение жидкостей и газов под действием даже самых малых сил
почти всегда сопровождается изменением формы, а в случае газов –
также и изменением объема благодаря крайне малому сцеплению
между молекулами и почти полному отсутствию сопротивления деформациям. Благодаря малому сцеплению молекул жидкость и газ
всегда принимают форму сосуда, в котором они заключены, причем
газы целиком заполняют весь объем сосуда.
При изучении движения жидкостей и газов их рассматривают
как сплошные среды (континуумы), непрерывно распределенные
в занимаемом ими объеме, как бы забывая о том, что на самом деле
эти тела состоят из отдельных молекул. Это объясняется тем, что на
практике, в технических приложениях механики жидкости и газа, нам
всегда приходится иметь дело с некоторыми конечными массами
жидкости или газа, из которых даже самые маленькие все же в миллиарды раз больше, чем масса одной молекулы.
Так, физиками установлено, что при нормальных атмосферных
условиях (при температуре t = 15 °С и давлении р = 760 мм рт. ст.)
в одном кубическом сантиметре воздуха содержится 27·1018 (27 квинтиллионов) молекул. При этом средний диаметр молекулы воздуха,
11
если ее принимать за шар, имеет величину порядка 3·10–6 см, а среднее расстояние центров молекул друг от друга – 10–7 см.
Если в этих условиях представить себе исчезающе малую частицу
воздуха в виде шарика, объемом, например, всего лишь в 0,001 мм3,
то и в этом объеме, несмотря на его малость, все же будет содержаться 27·1012 (27 триллионов) молекул. Отсюда ясно, почему понятие
континуума, чрезвычайно важное с точки зрения использования
в МЖГ средств высшей математики, и в частности, дифференциального и интегрального исчислений, может быть с успехом применено
ко всем капельным жидкостям и к не слишком разреженным газам.
Все жидкости и газы имеют ряд свойств – физических и химических, однако с точки зрения механики имеют значение далеко не
все их свойства. Так, например, цвет, химический состав, электропроводность и ряд других свойств жидкостей и газов мало влияют на механическое состояние этих тел. Такие же свойства, как плотность,
удельный вес, сжимаемость, вязкость, теплоемкость, теплопроводность, играют, наоборот, очень важную роль в МЖГ. Эти свойства
жидкостей и газов мы будем называть механическими свойствами.
Жидкости по своим механическим свойствам разделяются на два
класса: малосжимаемые (капельные) и сжимаемые (газообразные).
С позиций физики капельные жидкости значительно отличаются от
газа, с позиций механики жидкости различие между ними не так велико,
и законы, справедливые для капельных жидкостей, могут быть приложены также и к газам, когда сжимаемостью последних можно пренебречь. При скоростях, не превышающих примерно 1/3 скорости звука,
сжатие газа и, следовательно, местные изменения его плотности мало
сказываются. В силу этого довольно часто при анализе движений с умеренными скоростями принято полагать плотность постоянной и газ рассматривать как несжимаемую жидкость. В связи с этим мы будем
использовать термин «жидкость» в широком смысле, охватывающем
как капельную жидкость, так и газ (т. е. под жидкостью будем понимать
всякую среду, обладающую свойством текучести).
Капельные жидкости обладают вполне определенным объемом,
который практически не изменяется под действием сил. Газы же,
занимая все предоставленное им пространство, могут значительно
изменять объем, сжимаясь или расширяясь под действием сил.
Основной физической величиной, с которой приходится иметь
дело при изучении движения тел, является масса. Отношение массы
тела к его объему представляет собою плотность данного тела и для
однородного тела есть величина постоянная во всех его частях.
12
Плотность является важнейшей механической характеристикой
lim .
M
V
∆
∆
.
М
V
грамм масса
.
А
∆V
V
жидкой среды, характеризующей распределение массы в среде. Для
среды, сплошь заполняющей пространство, плотность есть функция координат точки. Определим точнее, что следует понимать под плотностью жидкости или газа в данной точке. Выделим
мысленно в жидкости некоторый объем ∆V; пусть масса жидкости в этом
объеме будет ∆М (рис. 1.1). Отношение
∆М/∆V представляет собой среднюю
Рис. 1.1. Определение
плотности
плотность жидкости, находящейся
в объеме ∆V. Будем теперь уменьшать объем ∆V до нуля, стягивая его
к некоторой внутренней точке; предел этого отношения называется
плотностью жидкости в данной точке и обозначается греческой буквой ρ:
ρ =
V
∆ →
0
(1.1)
Заметим, что дифференцирование массы газа по объему прин
ципиально допустимо только в случае принятия предположения
о том, что газ является сплошной средой
.
Плотностью вещества называется его масса, заключенная
в единице объема, например, в
1
газа в данном объеме будет равна
ρ =
ср
Размерность плотности в абсолютной
единиц
(CGS)
будет
3
см
, в 1
:
(1.2)
3
м
и т. д.
Средняя плотность
(
физической) системе
−
ρ =
[ ]
абс
см
2
В механике жидкости и газа, как и во всех науках, непосредст-
-
венно стоящих на службе у техники, чаще употребляется техническая
система единиц (килограмм-сила, метр, секунда). Выразить размерность плотности в этой системе можно следующим образом:
13
[
]
[
]
сила кг сила
кг с
масса ;
(
)
, .
f p T
ρ =
(
)
.
f T
ρ =
(
)
1 ,
[ ]
= = =
ускорение м
[ ]
масса кг с
ρ = = =
[ ]
техн
объем
кг с
⋅
м
2
3
−
2
м/с
м
2
⋅
.
4
2
⋅
(1.3)
Рассмотрим основные свойства плотности и приведем некоторые данные о ней.
Величина плотности зависит от природы жидкости и условий,
в которых находится жидкость. Например, для воздуха при нормальном барометрическом давлении (760 мм рт. ст.) и температуре в 15 °С
плотность равна 0,125 (кг·с2)/м
4
= 1,226 кг/м
3
; для воды при 15 °С она
равна 102 (кг·с2)/м4 = 998,2 кг/м3.
Для данной жидкости или газа величина плотности в какойнибудь точке есть функция давления, под которым находится жидкость или газ в этой точке, и температуры. Если давление обозначить
через
р
, а абсолютную температуру через Т (T = t + 273°, где t – тем-
пература в градусах Цельсия), то можно написать
Зависимость плотности от давления оказывается существенно
различной для жидкостей и для газов. В весьма широких пределах
изменения давления можно считать, что плотность жидкости практически не зависит отдавления, под которым жидкость находится, так
как известно, объем жидкости ∆V почти не зависит от давления,
поэтому воду и другие капельные жидкости обычно считают несжимаемыми в отличие от газов, плотность которых под действием давления может изменяться в широких пределах, как это следует из
закона Бойля–Мариотта.
Для несжимаемых жидкостей можно приближенно считать, что
плотность зависит только от температуры в данной точке:
Вид этой зависимости нетрудно установить, вспомнив, что
изменение объема при изменении температуры происходит приблизительно по линейному закону:
V V T T∆ = ∆ + β −
T T t
0
где βt – коэффициент объемного теплового расширения жидкости при
температуре, изменяющейся в промежутке от
14
0
Т
до Т, а индексы при ∆V
0
указывают температуру, к которой относится соответствующий ∆V. Так
0
.
T T
,
pV RT
=
.
p
RT
как масса выделенного объема остается постоянной при всех температурах, то для плотности получается формула
1
ρ = ρ
T T
0
1
+ β −
( )
t
Для сжимаемых жидкостей (газов) зависимость плотности от
давления и температуры устанавливается так называемым уравнением состояния (рис. 1.2). Для совершенных газов, которые можно рассматривать как первое приближение к действительным, таким уравнением является уравнение Клапейрона:
где V – объем килограмм-массы газа; R – газовая постоянная, равная
для воздуха 287,14 м2/(с2·К). Так как Vρ = l, то зависимость плотности
газа от температуры и давления принимает следующий вид:
ρ =
ρ
(кг·с2)/м
0,14
0,13
0,12
0,11
4
–10º –5º 0º 5º 10º 15º 20º 25º 30º
Рис. 1.2. Зависимость плотности воздуха
от температуры и давления
780 мм рт. ст.
760
740
720
700
tº
А
.
При условиях, которые принимаются за нормальные, т. е. при
t = t0 = 15 °С, p = p0 = 760 мм рт. ст., из последней формулы получается
приведенное выше значение плотности воздуха ρ
15
= 0,125 (кг·с2)/м4.
0
Для упрощения определения плотности воздуха можно восполь-
.
G
V
.
dG
dV
[
]
кг
.
м
; ,
dM dG
dV dV
,
dG gdM
=
,dMg g
dV
γ = = ρ
зоваться графиком, приведенным на рис. 1.2.
Напомним, что в физике
удельным весом
называется вес вещества, заключенного вединице объема. Если обозначить удельный вес
газа через γ, выделенный объем через V и вес газа в этом объеме
через G, то среднее значение удельного веса газа, заключенного
в данном объеме, будет:
γ =
ср
(1.4)
Если же хотят найти удельный вес в данной точке А (см. рис. 1.1),
то аналогично тому, как это мы имели с плотностью, получим:
γ =
А
(1.5)
Размерность удельного веса в технической системе единиц будет
сила
γ = =
[ ]
объем
[ ]
(1.6)
3
Между удельным весом и плотностью существует очень простая
связь:
ρ = γ =
но, как известно, вес тела равен массе его, умноженной на ускорение
силы тяжести g = 9,81 м/с2. Следовательно,
и
(1.7)
т. е. удельный вес равен плотности, умноженной на ускорение силы
тяжести.
При «начальных» условиях, т. е. при t = 15 °С и pa = 700 мм рт. ст.,
удельный вес воздуха в нижних слоях атмосферы равен
γ
ρ
кг
м = 12,02 Н/м3.
16
Иными словами, 1 м3 воздуха при нормальных атмосферных
1
,
β
Р
S
∆ =
условиях весит 1,225 кг.
Все тела – твердые, жидкие и газообразные – обладают способностью менять свой объем, сжимаясь или расширяясь под влиянием
изменения температуры или давления. Однако эта способность различна у разных тел. Твердые тела и жидкости подвержены сжатию
или расширению в небольшой степени; газы, наоборот, изменяют
свой объем сравнительно легко.
Способность изменять объем (при постоянной массе) будем
называть
го сжатия(расширения
сжимаемостью
.
Сжимаемость можно характеризовать
) β или обратной ему величиной
Е =
коэффициентом объемно
-
которую по аналогии с известной характеристикой сопротивления
материалов можно назвать
рения
). Коэффициентом сжатия β называется отношение относитель-
модулем всестороннего сжатия
(
расши
-
ного изменения объема жидкости к сообщенному дополнительному
давлению или температуре.
Коэффициент сжатия газа β и модуль сжатия Е зависят от способа,
или, как говорят, от процесса, которым газ расширяется или сжимается.
Так, в физике и термодинамике рассматриваются, например:
а) сжатие или расширение при постоянной температуре (изотермический процесс: Т = const);
б) сжатие или расширение при постоянном давлении (изобарический процесс: р = const);
в) сжатие или расширение без притока или отнятия тепла Q
(адиабатический процесс: dQ = 0);
г) «смешанное» расширение или сжатие газа (политропический
процесс), при котором одновременно могут меняться Т и р, dQ ≠ 0
и т. д.
Рассмотрим два первых случая, как наиболее простые. В случае
изотермического сжатия можно представить себе газ, заключенный
в цилиндре под поршнем, опускающимся под действием некоторой
силы Р, приложенной к поршню на площади S. Температура газа поддерживается постоянной путем охлаждения стенок цилиндра. Сила Р
вызывает повышение давления газа на величину
17
р
и соответст-
вующее относительное изменение объема газа, равное
V
V
∆
const
,
.
V
p
1
=
ρ
,pRT
const.
pV RT
= =
(
)
0,
= + =
2
м
кг
кг
,
коэффициент сжатия
V
∆
или, более точно
β =
const
T
=
V
p
∆
T
=
,
1
β =
const
T
=
∂
V
∂
Если взять массу газа, равную одному килограмму, то его объем
. Тогда
V
представляет собой так называемый
удельный объем
в данном случае, пользуясь уравнением состояния
=
(1.8)
ρ
можно написать
(1.9)
Дифференцируя обе части этого равенства, получим
откуда
или
d pV pdV Vdp
β = ⋅ = −
const
T
=
1 1
dV
dp V p
const
T
=
,
для которого
E p
1
= − =
β
const
T
=
18
м
2
т. е. модуль сжатия при постоянной температуре равен давлению
const
.
V
V T
const.
0,
T
−
=
1 1
.
V dT T
β = =
в газе. Таким образом, при нормальных атмосферных условиях
(Т = 273° + 15° = 288° и pa = 760 мм рт. ст.) модуль сжатия воздуха ра-
вен всего лишь 1 кг/см2, в то время как для капельных жидкостей эта
величина во много раз больше. Для воды в среднем Е = 22 000 кг/см2.
Для твердых тел модуль объемного сжатия измеряется сотнями
тысяч и даже миллионами килограммов на квадратный сантиметр.
Эти цифры означают, что для того, чтобы сжать некоторый объем
воздуха, сохраняя температуру постоянной, на 1/100 его величины
(т. е. на 1 %), необходимо увеличить давление на ∆р = 0,01 aтм, в то
время как для такого же уменьшения объема воды требуется давление
∆р = 220 атм, а для стали ∆p = 18 300 атм.
При изобарическом сжатии или расширении, происходящем под
влиянием охлаждения или нагревания, коэффициенты сжатия
V
∆
β =
const
p
=
V
T
∆
p
=
или, точнее,
Беря опять уравнение (1.9) и считая р постоянным, перепишем
его в виде
Дифференцируя обе его части, получим:
откуда
β =
const
p
=
1
const
p
=
V R
= =
T p
VdT TdV
dV
p
∂
∂
=
const
19
Отсюда следует, например, что для увеличения объема газа при
0,01
V
∆
2,73
100
t = 0 °С на
=
, его необходимо подогреть при постоянном дав-
T
V
лении на
T∆ = =
°.
Для сравнения укажем, что такое же увеличение объема воды
(при t ≈ 4 °С и выше) требует подогрева примерно на 67°, ртути –
на 55°, стали – на 315°, алюминия – на 139° и т. д. Приведенные цифры показывают, что сжимаемость газов, подверженных только влиянию температуры, в 20–30 раз превосходит сжимаемость жидких
и в 50–100 раз – сжимаемость твердых тел. В случае действия механического фактора (давления) разница в поведении жидких и твердых
тел, с одной стороны, и газов – с другой, еще более ощутима.
Такое различие в сжимаемости приводит к целому ряду особенностей, отличающих движение газов от движения капельных жидкостей, не говоря уже о движении твердых тел.
1.2. Вязкость
К числу важнейших механических свойств газов следует отнести вязкость.
Вязкостью
называется внутреннее трение в жидкостях
и газах, возникающее при относительном перемещении соседних слоев жидкости и газа, т. е. способность жидкости и газа сопротивляться
усилиям сдвига.
Физически вязкость жидких (и твердых) тел тесно связана с силами внутреннего сцепления молекул. Твердые тела могут считаться
в то же время и наиболее вязкими телами. Именно крайней степенью
вязкости объясняется их способность противостоять срезывающим
или сдвигающим усилиям.
Далее идут тела, занимающие промежуточное положение между
твердыми и жидкими телами (сапожный вар, асфальт, разного рода
смолы и т. п.). Значительно меньшей, но все-таки еще большой вязкостью обладают различные густые клеевидные жидкости (клеи, смазочные масла). Далее идут обычные жидкости (вода) и газы (воздух),
вязкость которых крайне мала и силы сцепления частиц настолько незначительны, что они почти не противодействуют усилиям сдвига. Это
дало повод первым ученым-гидродинамикам рассматривать воду и воздух как
идеальные
или
совершенные
20
механические жидкости, т. е. жид-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]