Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика жидкости и газа. В 2-х частях. Ч.1. Гидромеханика. Учебное пособие
.pdf
тать, но убывать не может. Математически это формулируется сле
const.
.
dQ
-
дующим образом
:
dS ≥ 0.
Особый интерес представляют такие процессы изменения
состояния газа, в которых энтропия остается неизменной
Как видно из формул
но иметь место
:
(1.28) и (1.30),
для таких процессов долж
.
-
dQ = 0 (1.31)
и
p
ρ
=
k
Напомним, что процессы изменения состояния газа, происходя
щие без теплообмена с внешней средой, т. е. без отдачи и притока те
пла извне
(dQ = 0),
называют
адиабатическими
(1.32)
-
-
.
Выше мы, рассмот
-
рев случай квазистатического адиабатического процесса, пришли
к выводу, что в этом процессе энтропия газа остается постоянной
и имеет место уравнение
(1.32),
связывающее давление и плотность
Заметим, что квазистатический характер процесса, описываемого
уравнением
(1.32),
виден из того, что для вывода этого уравнения
мы воспользовались термодинамическим уравнением энергии в фор
ме
(1.21),
которое в таком виде, строго говоря, действительно лишь
для квазистатических, или равновесных, процессов. Для неравновес
ных необратимых процессов справедливо неравенство
dST>
В силу постоянства энтропии адиабатический процесс называют
также
изэнтропическим
.
Как устанавливается на основе второго на
чала термодинамики, изэнтропический процесс является процессом
обратимым, т. е. он может одинаково беспрепятственно протекать
в противоположных направлениях
.
.
-
-
-
Не всегда можно отождествлять адиабатический процесс с изэн
тропическим. Могут быть случаи, когда процесс протекает без тепло
обмена, но энтропия газа не остается постоянной. Однако все такие
процессы, как правило, уже не являются квазистатическими
41
.
-
-
Заметим, что уравнение адиабаты
,
k
1
k
k
−
1 1
0 0
k k
ТV Т V
− −
(1.32),
или, как его правильнее
называть, уравнение изэнтропы, может быть переписано в следующем
виде
:
=
ρ
(1.33)
ρ
.
p
p
0 0
где
р, ρ и
р
,
ρ
–
0
значения давления и плотности, взятые для двух со
0
стояний одной и той же массы газа
Пользуясь уравнением состояния, можно, наконец, придать
уравнению
(1.33)
вид
р Т
или
=
р Т
0 0
=
(1.34)
. (1.35)
Последняя формула вытекает непосредственно из формулы
-
(1.29).
1.6. Скорость звука в газе, ее связь с сжимаемостью
Из того факта, что сжатие газа сопряжено с повышением давле
ния, следует, что газ обладает свойствами упругого тела. Эти свойства
проявляются, как и в твердых или в жидких телах, в том, что всякое
возмущение в газе в виде местного изменения давления и плотности
стремится распространиться в виде волны. Наиболее известной разно
видностью такого рода волн является звуковая волна, представляющая
собой быстро распространяющийся процесс продольного
(т. е. на-
правленного в сторону распространения волны) попеременного
уплотнения и разрежения газа малой величины
бесконечно малой величины dρ
).
Скорость распространения такого слабого возмущения
±∆ρ (
теоретически
(
ско
рость звука) является вполне определенной величиной, зависящей
-
-
-
лишь от температуры; она тесно связана с сжимаемостью
и характеризует упругие свойства газов, поэтому скорость звука сле
дует рассматривать как одно из важнейших механических свойств
газов
.
42
-
Для вывода формулы скорости звука представим себе, что в не
.
dr
,
d Sdt Sdrdv
ρ = ρ
.drdp dv adv
dt
= ρ = ρ
,
Sdvdt d Sdr
ρ = ρ
-
который момент времени
(
рис
. 1.14),
возникло местное сколь угодно
t в
точке
О
пространства, занятого газом
малое повышение давления и плотности
(dp, dρ),
которое в виде сферической звуко
вой волны с возрастающим с течением вре
мени радиусом
во все стороны. Пусть за время
фронта волны увеличивается на
скорость распространения волны
иными словами, скорость звука равна
r
начало распространяться
dt
dr,
adt=
радиус
тогда
,
или
Сферическая граница возмущенной зоны за время
положения
А в
положение
А'.
Частицы газа, заключенные между поверхностями
действием прироста давления
обретут скорость
dv,
направленную в сторону распространения вол
dp,
действующего изнутри сферы, при
A′
dp(dv)
-
-
A
dr
O
r
,
Рис. 1.14. Определение
скорости звука
dt
перейдет из
А и А',
под
-
-
ны, т. е. вдоль радиуса
r. По
закону количества движения, приравни
вая импульс силы давления приращению количества движения в на
правлении
r,
можно написать
:
где
S = 4πr2 –
Так как
верхность
в пространстве между
газа, втекающего через
ны, равна количеству газа, протекающего со скоростью
через поверхность
площадь поверхности волны. Отсюда находим
(1.36)
А'
является границей невозмущенной зоны, то через по
А'
газ вытекать не будет, вследствие чего плотность газа
А и А'
А со
возрастает на величину dρ за счет массы
скоростью
dv.
Эта масса, с одной сторо
dv за
S, т. е. ρSdvdt.
время
dt
С другой стороны, она должна составлять приращение массы
-
-
-
-
газа в объеме, ограниченном поверхностями
Отсюда следует, что
А и А', т. е. dρSdr.
43
откуда
.
dv a
ρ ρ
ρ ρ
,
dp a d
= ρ
.
dp
ρ
dp
d
ρ
const .
dp p p
k k k
ρ ρ
.pa k
ρ
p
ρ
const .
a kRT T
20,15 .
a T
откуда
Подставляя выражение
d dr d
= ⋅ =
dt
(1.37) в
формулу
2
(1.37)
(1.36),
получим
:
ad=
(1.38)
Процесс попеременного разрежения и сжатия газа в звуковой волне является быстропротекающим процессом; благодаря сравнительно
малой теплопроводности воздуха и небольшой разнице в местных температурах тепло, выделяющееся в местах сжатия, не успевает рассеяться, поэтому процесс распространения звука с достаточной точностью
можно считать адиабатическим (изэнтропическим) процессом. Это
предположение позволяет вычислить отношение
, считая его полной
производной давления, рассматриваемого как функция только одной
плотности. Пользуясь уравнением (1.32), находим:
1 1
k k
= ρ = ρ =
d
− −
k
ρ
Подставляя значение в формулу (1.38), получим:
По уравнению состояния
Для воздуха
Таким образом, оказывается, что скорость звука для данного
газа зависит только от его температуры.
=
= RT, поэтому
= =
=
44
(1.39)
(1.40)
Покажем связь между скоростью звука в газе и его сжимаемо-
const
.
1
ρ
0,
dV Vd
ρ + ρ =
,
dV d
ρ
ρ
2
.dpE a
= ρ = ρ
стью. Выше был введен модуль объемного сжатия
E
1
= − = −
β
const
T
=
dp
dV
V
T
=
Рассматривая для простоты V как объем единицы массы газа,
т. е. полагая V =
, или ρV = 1, и дифференцируя это равенство, мы
получим
откуда
− =
V
и, следовательно,
d
ρ
(1.41)
Отсюда видно, что скорость звука пропорциональна корню
квадратному из модуля упругости и тем меньше по величине, чем
больше сжимаемость (т. е. чем больше коэффициент сжатия β).
1.7. Модели жидкой среды. Силы, действующие в жидкости
Математическое описание движения жидкой среды общими
дифференциальными уравнениями, учитывающими все физические
свойства, присущие этой среде, является сложной задачей. Если даже
ограничиться учетом только текучести, вязкости и сжимаемости, то
и тогда уравнения движения, выражающие основные законы механики, оказываются настолько сложными, что пока не удалось разработать общих аналитических методов их решения. Применение численных методов интегрирования таких уравнений на базе современных
ЭВМ также связано со значительными трудностями, поэтому в гидромеханике широко используют различные упрощенные модели среды и отдельных явлений.
45
Под
моделью реальной среды
понимают такую гипотетическую
среду, в которой учтены только некоторые физические свойства,
существенные для определенного круга явлений и технических
задач. Другие малосущественные свойства среды в модели не рассматриваются.
Одной из основных в гидромеханике является
маемой идеальной (или невязкой) жидкости
. Так называется гипотети-
модель несжи
-
ческая сплошная среда, обладающая текучестью, лишенная вязкости
и полностью несжимаемая. Если не учитывать вязкость и сжимаемость жидкости, то можно существенно упростить математическое
описание движения жидкости и получить многие решения в конечном
замкнутом виде. Несмотря на значительную степень идеализации
среды, теория несжимаемой невязкой жидкости в большинстве случаев дает не только качественно, но и количественно подтверждаемые
опытным путем результаты, полезные для практических приложений.
Однако следует подчеркнуть, что пренебрежение вязкостью приводит
к значительней идеализации, поэтому теория идеальной несжимаемой
жидкости может приводить к результатам, резко расходящимся
с опытными данными.
Более полно свойства реальной жидкости учитываются в
вязкой несжимаемой жидкости
, которая представляет собой среду,
модели
обладающую текучестью и вязкостью, но абсолютно несжимаемую.
Теория вязкой несжимаемой жидкости лишь в ограниченном числе
случаев с простейшими условиями позволяет получить точные решения полных уравнений движения. Наибольшее значение в этой теории
имеют приближенные уравнения и их решения. Такие уравнения получают путем отбрасывания в полных уравнениях движения тех членов, которые мало влияют на соответствие теоретических решений
результатам опыта. Решения приближенных уравнений могут быть
как точными, так и приближенными.
Как известно, капельные жидкости являются малосжимаемыми
средами, поэтому для широкого круга теоретических и прикладных
задач пренебрежение сжимаемостью вполне допустимо и мало влияет
на вид получаемых решений и степень совпадения теоретических
результатов с данными измерений. Но все же существуют случаи
движения жидкостей, которые нельзя достаточно достоверно описать,
если не учитывать сжимаемость. Примером может служить явление
гидравлического удара в трубах.
Несмотря на то, что газы являются средами, легко сжимаемыми,
это свойство не проявляется сколько-нибудь существенно, если ско-
46
рость движения сравнительно невелика (ориентировочно при нормальных условиях менее 70 м/с), поэтому для газов, текущих с малыми скоростями, применимы обе рассмотренные модели. Кроме того,
как правило, при описании движения газов допустимо пренебрегать
влиянием силы тяжести, поэтому можно говорить о моделях идеальной невесомой несжимаемой жидкости (газа) или вязкой невесомой
несжимаемой жидкости (газа).
При скоростях, сопоставимых со скоростью звука в газе и тем
более превышающих ее, сжимаемость существенно влияет на характер гидродинамических явлений, и учитывать ее часто бывает более
важно, чем даже учитывать вязкость. Движение газов с учетом их
сжимаемости составляет объект изучения в газовой динамике, где
основную роль играют две модели среды: идеальный (т. е. невязкий)
газ и вязкий газ.
Вследствие текучести жидкости в ней не могут действовать
сосредоточенные силы, а возможно лишь действие сил, непрерывно
распределенных по ее объему (массе) или по поверхности. В связи
с этим силы, действующие на рассматриваемые объемы жидкости
и являющиеся по отношению к ним внешними силами, подразделяются на массовые и поверхностные.
Массовые силы
действуют на все частицы, составляющие рас-
сматриваемый объем жидкости: величина этих сил пропорциональна
массе жидкости. В случае однородной жидкости, т. е. жидкости,
имеющей всюду одинаковую плотность (ρ = const), величина массовых сил будет пропорциональна также объему жидкости, поэтому при
ρ = const массовые силы можно называть
объемными силами
. К числу
массовых сил относится собственный вес жидкости, силы инерции
жидкости также можно рассматривать как внешние массовые силы,
гравитационные силы, подчиняющиеся закону всемирного тяготения
Ньютона (например, силы притяжения Луны и Солнца при рассмотрении водных масс морей и океанов Земли).
Поверхностные силы
приложены к поверхности, ограничивающей
рассматриваемый объем жидкости, выделенный, например, внутри
покоящейся или движущейся жидкости. Они обусловлены непосредственным воздействием соседних объемов жидкости на данный объем
или же воздействием других тел, соприкасающихся с данным жидким
телом. При равномерном распределении этих сил по данной поверхности величина их пропорциональна площади этой поверхности.
К числу таких сил относятся нормальные к поверхности силы давления
Р
и касательные к поверхности силы трения Т.
47
Как массовые, так и поверхностные силы в гидравлике рассматриваются обычно в виде
единичных сил
, т. е. сил, отнесенных к соот-
ветствующим единицам. Массовые силы относятся к единице массы,
а поверхностные – к единице поверхности.
Так как всякая массовая сила равна произведению массы на
ускорение, то единичная массовая сила численно равна соответствующему ускорению.
Единичная поверхностная сила называется
верхностной силы
. Нормальное напряжение, т. е. напряжение силы
давления, называется
давлением
и обозначается буквой р.
напряжением по
-
Контрольные вопросы
1.
В чем состоит различие между плотностью, удельным весом
и относительным весом?
2.
Как изменяется плотность при изменении давления и темпе-
ратуры?
3.
Какая существует связь между коэффициентом объемного
сжатия β
рения β
и объемным модулем упругости Е?
р
4.
Что представляет собой коэффициент температурного расши-
и от чего он зависит?
t
5.
Как связаны между собой динамическая µ и кинематическая ν
вязкости и как они зависят от температуры и давления?
6.
Как подсчитать величину капиллярного поднятия или опуска-
ния жидкости в стеклянной трубке малого диаметра?
7.
Что называется упругостью насыщенного пара и от чего оно
зависит?
8.
Чем отличается идеальная жидкость от реальной, в каких
случаях при практических расчетах жидкость можно считать идеальной?
9.
Какие размерности плотности, удельного веса, коэффициентов температурного расширения и объемного сжатия, объемного
модуля упругости, динамического и кинематического коэффициентов
вязкости приняты в системах СИ и МКГСС?
10.
Какие силы следует считать массовыми, а какие поверхност-
ными?
48
2. ГИДРОСТАТИКА
2.1. Гидростатическое давление и его свойства
Гидростатика
– это раздел гидромеханики в котором изучают-
ся законы равновесия жидкостей и тел, в них погруженных.
Так как в гидростатике изучается жидкость, находящаяся в покое, то в ней не проявляются силы вязкости и касательные напряжения в такой жидкости всегда равны нулю (τ = 0), поэтому мы должны
считать, рассматривая покоящуюся жидкость, что в любой ее точке
мы можем иметь только нормальные напряжения: σ = σ
. Следова-
n
тельно, реальные жидкости, находящиеся в покое, будут характеризоваться свойствами, очень близкими к свойствам идеальной жидкости,
поэтому практически все задачи гидростатики решаются с использованием понятия идеальной жидкости.
Основным понятием гидростатики является понятие гидростатического давления в данной точке покоящейся жидкости.
Поясним гидростатическое давление
р
следующим образом.
Представим произвольный объем покоящейся жидкости (рис. 2.1).
Наметим внутри этого объема точку
А
и проведем через нее произ-
вольную поверхность S. Такая
поверхность рассечет данный объем жидкости на два отсека: I и II.
Выделим у точки A на поверхнос-
I
S
∆
T
α
∆
F
A
∆
P
∆
S
II
n
ти S некоторую элементарную
площадку ∆S.
Отбросим часть II и заменим
ее действие на площадку ∆S части I
равнодействующей поверхностных
сил ∆F. В общем случае величина
Рис. 2.1. Объем покоящейся
∆F – сила, действующая со стороны
отсека II на площадку ∆S, принадле-
жащую отсеку I
жидкости:
∆F зависит от ориентировки площадки ∆S и направлена к ней под острым углом α. Ориентация площадки ∆S определяется единичным вектором внешней нормали n.
Нормальная составляющая ∆P поверхностной силы ∆F действует по нормали к поверхности ∆S противоположно
п
.
Сила трения, или тангенциальная составляющая ∆T, действует
в плоскости ∆S.
49
Напряжения поверхностных сил в точке
р
S∆∆
p dp
S dS
∆
∆
ср
p
S
А
– это пределы отноше-
ний соответствующих сил к площадке ∆S при стягивании ее в точку.
Предел отношения
представляет собой напряжение сжатия в точке
, т. е. величина р, определяемая по формуле
lim
р
= =
S
∆ →
0
, (2.1)
А
и называется гидро-
статическим давлением в данной точке.
Разделив
Р
на S, получим
Р
где величина
р
представляет значение силы давления, которая при-
ср
=
ходится в среднем на единицу рассматриваемой площади S;
вают
средним гидростатическим давлением
, (2.2)
р
.
назы-
ср
В технике применяется система единиц МКГСС, в которой за
единицу давления принимается 1 кг/м
2
, а также используется внесис-
темная единица давления – техническая атмосфера (техн. атм.), равная 1 кг/ см
2
. В системе СИ давление измеряется в паскалях (1 Па =
= 1 Н/м2). В физической системе измерений (CGS) в качестве основ-
ной единицы вводится бар, равный давлению, оказываемому силой
в миллион дин на площадку в один см
2
.
Соотношение между единицами измерения давления следующее:
1 кг/ см2 = 1 000 кг/м2 = 9,807 · 104 Н/м2 = 9,807 · 105 дин/см2.
Из всего сказанного выше можно увидеть, что гидростатическое
N
P
II
N'
I
K
N''
M
F
A
B
давление
вами:
всегда направлено внутрь того объема жидкости (или твердого тела,
I
ограничивающего жидкость), который мы рассматриваем.
р
обладает двумя свойст-
1. Гидростатическое давление
Представим некоторый объем
II
Рис. 2.2. Определение
гидростатического давления
жидкости, находящийся в покое
(рис. 2.2). Возьмем на ограничи-
вающей этот объем поверхности некоторую частицу
М
. Предположим,
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]