Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Матричный метод анализа линейных электрических цепей. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Ф. Э. ЛАППИ
МАТРИЧНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА
ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2023
1
УДК 621.3.011.7(075.8)
Л245
Рецензенты:
канд. техн. наук, доцент Ю. В. Морозов
канд. техн. наук, исполнительный директор
АО «ПФК Обновление» В. В. Гречкин
Работа подготовлена на кафедре теоретических основ электротехники
для студентов факультета механотроники и автоматизации
Лаппи Ф. Э.
Л245 Матричный метод анализа линейных электрических цепей: учеб-
ное пособие / Ф.
Э. Лаппи. ‒ Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2023. ‒ 104 с.
ISBN 978-5-7782-5084-0
Рассматриваются основные понятия, приемы анализа электрических цепей
в различных режимах работы, в том числе и в переходных процессах с использованием возможностей программы MathСad и компьютерного моделирования. Курс теоретических основ электротехники предполагает, что при анализе
электрических цепей важное значение имеет получение точного результата.
Как правило, последнее обстоятельство приводит к
ния большого объема вычислительной работы. Если расчет проводится один
раз и цепь относительно простая, оправдано применение логарифмической линейки, калькулятора, программы Excel и других несложных вычислительных
систем. Если цепь содержит только линейные элементы, но расчет необходимо
сделать много раз при изменяющихся по величине параметрах, то требуется
использование мощных вычислительных систем и эффективных методов описания режима работы анализируемых цепей. Это особенно актуально при анализе переходных процессов при наличии в схеме нелинейных элементов. Матричный метод описания схемы электрической цепи и применение программы
MathСad во многом отвечает всем требованиям по эффективному анализу
сложных электрических схем.
Пособие будет полезно студентам, желающим, во-первых, закрепить знания, полученные ранее при изучении курса «Теоретические основы электротехники», во-вторых, создать базу прочных навыков для дальнейшего анализа
сложных электрических и электронных цепей в любых ситуациях инженерной
жизни.
ISBN 978-5-7782-5084-0 © Лаппи Ф. Э., 2023
© Новосибирский государственный
2
технический университет, 2023
необходимости проведе-
УДК 621.3.011.7(075.8)
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ................................................................................................................... 4
1. Основные топологические матрицы электрических цепей ....................... 5
2. Особенности расчета электрических схем матричным методом
с применением программы МathСad .......................................................... 11
Пример 1. Расчет RLC цепи ............................................................................... 11
Пример 2. Расчет схемы с тремя ветвями и двумя реактивными
элементами ....................................................................................... 21
Пример 3. Расчет цепи с тремя ключами .......................................................... 30
Пример 4. Расчет цепи с двумя источниками ЭДС и одним
тока ..................................................................................................... 48
Пример 5. Расчет трехконтурной схемы с тремя реактивными
элементами ........................................................................................ 56
Пример 6. Расчет трехфазной цепи с шестью реактивными
элементами ........................................................................................ 84
Пример 7. Расчет RLC цепи операторным методом (применение
одного из приемов анализа цепи операторным методом) ............. 88
Пример 8. Расчет переходного процесса в трехфазной цепи с шестью
реактивными элементами ................................................................. 91
Заключение ........................................................................................................... 102
Библиографический список
................................................................................ 103
источником
3
B
ВВЕДЕНИЕ
Современные электрические цепи ‒ это совокупность электротехнических устройств, в состав которых входит большое количество разнообразных элементов. Основными элементами являются: резисторы, индуктивности и емкости, имеющие соответствующие линейные характеристики. Если число ветвей, узлов и контуров в схеме достаточно мало,
то расчет можно проводить с использованием законов Кирхгофа, методов
контурных токов, узловых потенциалов.
Для разветвленных цепей такой подход достаточно трудоемок
и утомителен. Преодоление этих трудностей стало возможным после
описания структуры схемы с помощью матрицы соединений
турной матрицы
вручную или с использованием простых вычислительных средств,
например, программа Еxcel
Одно из возможных решений проблемы состоит в совместном использовании для расчетов компьютерных программ, например,
MathCad и матричный метод описания схемы. Использование про-
граммы
пользователь описал процесс в рассматриваемой схеме той или иной системой уравнений. Такая система может быть основана на законах
Кирхгофа, методе контурных токов или узловых потенциалов.
чета особенно для разветвленных цепей. Прежде чем непосредственно
перейти к рассмотрению
трических цепей, законах Кирхгофа в матричной форме и понятии обобщенной ветви.
MathCad для анализа электрических цепей предполагает, что
Матричный метод позволяет значительно упростить процесс рас-
.
Это, естественно, само по себе исключает расчет
и т. п.
метода, напомним об основных матрицах элек-
4
A и кон-
B
B
B
B
1. ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
1.1. Матрица соединений (узловая) A – это таблица коэффициен-
тов из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для узлов
схемы. Строки соответствуют узлам, столбцы – ветвям. Число строк
равно числу независимых узлов:
1
ветвей с токами. Элемент матрицы
Aa , где i ‒ номер строки; j ‒ номер столбца. 1
ij
соединена с
i-м узлом и ток в j-ветви направлен от i-узла; 1
j-ветвь соединена с i-м узлом и ток в j-ветви направлен к i-узлу; 0,
j-ветвь не имеет соединения с i-м узлом. Впрочем, все знаки у эле-
если
ментов матрицы
A можно поменять на обратные.
, число столбцов ‒ числу
У 1N
обозначают через
A
a , если j-ветвь
ij
a , если
ij
a , т. е.
ij
a
ij
1.2. Контурная матрица
‒ это таблица коэффициентов из
уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для контуров.
Строки матрицы соответствуют контурам, столбцы ветвям. Элемент
матрицы
j ‒ номер тока. 1
тура;
обозначают через
b , если ветвь содержится в i-м контуре
ij
b , т. е.
ij
b , где i ‒ номер кон-
ij
и направление тока в ветви совпадает с направлением обхода контура; 1,
b если ветвь содержится в i-м контуре и направление
ij
тока в ветви не совпадает с направлением обхода контура; 0,
если ветвь не содержится в
тов матрицы
можно поменять на обратные.
i-м контуре. Впрочем, все знаки у элемен-
5
b
ij
1.3. Первый закон Кирхгофа в матричной форме для цепей сину-
Z
J
Z
соидального тока в установившемся режиме:
0.AI
1.4. Второй закон Кирхгофа в матричной форме для цепей синусо-
идального тока в установившемся режиме:
0.BU
1.5. Обобщенная ветвь, изображена на рис. 1.1.
k
E
I
1
k
k
I
kz
k
2
U
k
Рис. 1.1. Обобщенная ветвь
Ток в сопротивлении
закону Кирхгофа:
значение
IZ I J
k
kz k
UIJZEIUEYJ
kk
IZ U E
kz k
() ,( ).
kkkk
IIJ
:
k
kz k
k
,
получим:
k
kk k k
,
k
. Запишем уравнение по 2-му
k
UIZE
или
k
k
kz k
. Подставляя
(1.1)
Выражения (1.1) представляют закон Ома для так называемой обоб-
щенной ветви.
Подставляя в 1-й закон Кирхгофа
AI
, получим выражение
0
V
для тока в обобщенной ветви:
IYUE J.
VV
VV
V
Проведем небольшие преобразования и получим:
AY U AJ AY E
VV
VV
Если учесть, что
UA, то
т
V
AY A AJ AY E
т
VVV
.
V
.
V
(1.2)
6
Обозначим
J
E
I
R3I
R
I3J
R2I2E
I4R4I
R
I
AY A Y
т
как матрицу узловых проводимостей.
уV
Тогда уравнение (1.2) примет вид
YAJAYE (1.3)
у
VV
,
V
это столбцовая матрица, число строк равно числу узлов минус еди-
ница.
Выражение (1.3) называют узловым уравнением в матричной форме.
Обозначив
AJ AY E J, выражение (1.3) можно записать в
уVV
V
сжатом виде:
В выражении (1.4) матрица
уу
у
.YJ (1.4)
получила название «матрица узло-
вых токов».
1.6. Матрицы для схемы, изображенной на рис. 1.2.
3
1
1
R
1
R
2
5
3
3
5
4
6
2
1
6
Рис. 1.2. Схема цепи постоянного тока
Используем (1.4) для формирования уравнений в схеме, показанной
на рис. 1.2.
Порядок формирования уравнений следующий.
1. Принимаем
0.
1
7
2. Задаем направление токов в ветвях.
g
g
3. Записываем матрицу
A .
Ветви 1 2 3 4 5 6
100011
A
111000
001110
Узел 2
Узел 3
Узел 4
4. Записываем диагональную матрицу проводимостей ветвей:
g
1
g
2
g
g
V
3
0
0
.
g
4
g
5
g
6
5. Перемножаем матрицы
Ag g g g
V
A и
000
156
123
00 0
6. Записываем транспонированную матрицу
т
A
:
V
00 0
gg g
34 5
110
010
01 1
.
gg
т
A :
001
10 1
10 0
8
7. Перемножив матрицы VAg и
g
E
J
E
g
g
т
получаем матрицу узловых
,A
проводимостей:
()
ggg g g
gAgA g ggg g
у v
T
156 1 5
11233
53354
()
gggg
()
8. Записываем матрицу узловых потенциалов:
2
Примечание. В дальнейшем при записи столбцовых матриц ради экономии
места будем писать их транспонированную матрицу:
т
.
3
4
234
.
.
9. Перемножив матрицы
()
ggg g g
21 5 6 31 45
gggggg
у
21 3 1 2 3 43
25 33 4 1 5 6
и , получим:
у
()
gggg
()
В результате получена левая часть узловых уравнений.
и
10. Записываем матрицы
т
EEE
V
12
0000,
11. Перемножаем матрицы
Ag E Eg Eg
VV
V
Ag и
:
V
т
00 000.
JJ
V
V
:
V
Eg
11
11 2 2
3
.
0
9
.
12. Перемножаем матрицы A и
J
J
g
E
J
g
:
V
0
AJ J
V
.
3
3
13. С учетом выражения (1.4) получаем алгебраическую систему
уравнений для схемы, изображенной на рис. 1.2:
()
ggg g g Eg
21 5 6 31 45 11
21 3 1 2 3 4 3 11 22 3
gg ggg J
25 33 4 3 4 5 3
()
gg g g EgEg J
()
На первый взгляд, рассмотренный метод анализа значительно более
громоздкий, чем формирование системы уравнений по методу узловых
потенциалов без использования матриц. Однако, если использовать
компьютер, то для формирования уравнений достаточно в той или иной
форме ввести матрицы
A ,
,
V
и .
V
Все остальные необходи-
V
мые операции легко организовать, используя программы на компьютере
(в частности, MathCad).
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]