Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Матричный метод анализа линейных электрических цепей. Учебное пособие
.pdf
уравнения для 2( ) 0
F
s
s
t
s для первого, второго контурного тока (для тре-
тьего контурного тока решение в принужденном режиме отсутствует):
F2 s( ) s 7.44e7 s 51300.0s
Приравнивая 2( ) 0
Fs нулю, находим корни:
s F2 s()
solve s
float 3
2
9.0 s3 4.7e10
881.0 741.0i
882.0 742.0i
0
3937.0
Как и следовало ожидать, получили четыре корня. Небольшое отличие в числах третьего и четвертого корней в данном случае не имеет существенного значения (важно, что это комплексно сопряженные корни).
Применяем теорему разложения. Так как имеется четыре корня, то
оригинал любого изображения (в случае линейных цепей) содержит
че-
тыре слагаемых.
Записываем теорему разложения в общем виде:
()
ft
3
Fs e
1
dF s
k
0
ds
()
k
()
2
t
k
.
s
k
12. Находим выражение производной для знаменателя:
13. Находим оригинал первого контурного тока:
i11 t()
F11 s
00
e
dF2 s
00
F11 s
s
t
00
10
e
dF2 s
10
s
61
F11 s
t
10
20
e
dF2 s
20
F11 s
s
t
20
dF2 s
s
30
30
30
e
Проводим преобразование полученного выражения:
i11 t( ) 1.03e
3937.0 t
7.47e
881 t
cos 741 t() 14.36 e
881 t
sin 741t()
Проводим аналогичные операции (начиная с п. 12) для второго и
третьего контурного тока и получаем следующие выражения:
15. Находим ток в ветви с источником:
L
L
и
16. Графики тока в индуктивности
C
сти
1
и напряжения на емко-
3
5
8.51
Далее приведены значения показанных выше величин в отдельные
моменты с шагом (рис. 2.9).
t
t1
N
3.529 10
4
62
L
A
Рис. 2.9. Значения
(), (), ()it it uCt в отдельные моменты времени
35
Проверим полученные результаты (параметры матриц A, и B
проведя компьютерное моделирование схемы.
1784
.
5
1
V
5
3
110
6
416,6 10
A
1
a
2,1
1
C
416,6 10
От действия источника тока в ветви с
V
3
524,3
V
3
a
0,1
30,3
L
1747,6
a
1,1
892
V
5
50,5
L
63
3
От действия источника тока в ветви с
V
925,3
3
a
0,0
30,3
L
3084,3
V
5
a
1,0
50,5
L
524,3
L
1048,6
3
A
250, 4 10
1
a
2,0
1
C
110
3
6
250,4 10
3
От действия источника ЭДС в ветви с емкостью
C
1
V
0, 250
3
aL
0,2
30,3
0,833
V
416,6
5
a
1,2
50,5
L
833,2
A
1
a
2,2
1
C
833,2 10
110
833,2
6
6
Результаты компьютерного моделирования показаны на рис. 2.10‒2.13.
Рис. 2.10. Значения токов и напряжений в принужденном режиме
64
Рис. 2.11. Величина тока в индуктивности
на резисторе
R
L и напряжение
5
6
Рис. 2.12. Значения тока в индуктивности
L и емкости 1C
3
65
Рис. 2.13. Значения токов в резисторах
R
и
R
2
4
Получено хорошее совпадение результатов.
5.2. Расчет переходного процесса методом
переменных состояния
Проверим полученные результаты путем проведения расчета схемы
методом переменных состояния. В общем случае матричное уравнение
по методу переменных состояния имеет вид
Примечание. Не путайте показанные выше матрицы /А/ и /В/ с соответствующими топологическими матрицами. Так как в схеме три реактивных элемента, то в качестве переменных состояния выбираем токи в индуктивностях
,LL
и напряжение на емкости
35
C
.
1
66
Матричное уравнение примет вид, показанный на рис. 2.14.
L
R
R1R
R4R6R
L
J
L
J
L
g
di
3
dt
di
dt
du
aaa
5
C
0,0 0,1 0,2
aaa i b E
1,0 1,1 1,2 5 1, 0 5
aaa
2,0 2,1 2,2
1
b
i
3
0,0
u
b
C
1
2,0
dt
Рис. 2.14. Общий вид матричного уравнения по методу
переменных состояний для схемы, изображенной на рис. 2.8.
5.3. Расчет коэффициентов матричного уравнения
Составим расчетную модель, показанную на рис. 2.15.
i
1
3
a
i
3
1
3
i
4
2
u
3
4
Рис. 2.15. Модель для расчета коэффициентов
матричного уравнения
u
1C
5
i
6
b
()Ip
33
5
c
i
u
5
5
3
E
5
i
2
2
Коэффициенты матричного уравнения
a
личины источников энергии. Поэтому примем
Зададим потенциал четвертого узла равным нулю
b
и
0,0
JJ
35
LL
не зависят от ве-
0,0
1
А, а
0
.
4
U
1
C
1
B.
Потенциал второго узла при данной структуре вычисляется при действии всех источников по закону Ома:
JJ
235
LL
В. Исполь-
()800
зуя метод узловых потенциалов, составляем уравнения для первого и
третьего узла:
() , () .
ggJUggggJUg
1 1 4 31 3 11 11 3 1 2 5 11
LC LC
67
Дальнейший расчет проведем с использованием программы МathСad.
6
0
1. Блок исходных данных:
R1 400 R2 500 R3 300 R4 300 R5 200
R6
400 L3 0.3 L5 0.5
C1 110
E5 20000
2. Рассчитываем главный определитель:
g1 g4( ) g1 g2() g12 210
5
3. Записываем минор для первого узла:
1 UC1 g1 JL3( ) g1 g2() UC1 g1 JL5()g1
4. Записываем минор для третьего узла:
31 g1 g4() UC1 g1 JL5() g1 UC1 g1 JL3()
Используя метод наложения, проводим последовательно расчет от
действия:
,,,
JJUE
35 15
LL C
5. Расчет от действия источника тока:
Присваиваем нулевые значения
.
J
3L
,,
JUE
515
LC
(2.3)
(2.4)
UC1 0 JL5 0 E5
0 JL3 1
Рассчитываем миноры для первого и третьего узлов используя (2.3)
и (2.4) и находим потенциалы узлов (Вольты):
J
3
3L
float 3 125.0
равен:
JR
236
L
400 B
В
1
1
float 3 225.
3
Потенциал второго узла от действия
68
Зная потенциалы, находим токи в ветвях с резисторами:
I1
1 3 UC1
R1
0.25
I2
3
R2
0.25
I4 1g4 0.75
Зная токи в ветвях, находим напряжения на источниках тока от действия
J
(вольты):
3L
a 1 JL3 R3 525 UL3 a 2 925
b 3 c 2 JL5 R5 400 UL5 b c 525
Делаем проверку правильности расчета токов и напряжений, используя баланс мощностей:
Мощность источника тока
PJL3 UL3 JL3 925
J
:
3L
Мощность нагрузки:
PN I12R1 I22R2 JL32R3 I42R4 JL52R5 I62R6 925
J
Зная напряжения на источниках тока
U
находим коэффициенты матричного уравнения:
1C
J
,
и ток в ветви с ЭДС
3L
5L
10
UL5
L5
1.05 103
UL3
a
00
L3
3.083 103
a
6. Аналогичный расчет от действия источника тока
следующим результатам:
UL3
a
01
L3
1.75 103
a
11
UL5
L5
1.784 103
69
I1
a
20
J
21
I1
C1
a
2.5 105
C1
приводит к
5L
4.175 105
7. Аналогичный расчет от действия источника ЭДС
к следующим результатам:
U
приводит
1C
02
UL3
L3
0.833 a
a
8. При расчете от действия источника ЭДС
тить, что последовательно с ЭДС включен источник
12
UL5
L5
0.834 a
5
I1
C1
, который
5L
832.5
22
1E
В, следует заме-
J
в этом случае равен нулю. Поэтому токов в схеме от действия ЭДС нет,
и все напряжение от ЭДС приложен к зажимам источника тока
J
. То-
5L
гда коэффициент
9. Система уравнений (2.3), с учетом проведенных расчетов для рас-
сматриваемой схемы имеет вид:
di
3
33
33
55
i
0
3
iE
55
0
u
C
1
(2.5)
di
dt
5
3.083 10 1.75 10 0.833
1.05 10 1.784 10 0.834 2
dt
du
C
1
2.5 10 4.175 10 832.5
dt
5.4. Применение программы MathСad
для расчета матричного уравнения
1. Приступаем к непосредственному к расчету матричного уравне-
ния (2.5) с использованием программы
MathСad. Для расчета системы
уравнений (2.5) используем программу
S Rkadapt Y0 t0 t1 N D()
Вводим матрицу независимых начальных условий. Так как схема
включается на единственный источник, то токи в индуктивностях
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]