Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ исходных данных при статистической обработке результатов научных исследований. Учебное пособие
.pdf
симации неизвестных функций отклика в математической стати-
yb=
12
стике наиболее часто используют полиномиальные модели. Степень
полинома определяется максимальной степенью входящих в эти
модели переменных.
Выпишем полиномы различных степеней для случая двух
факторов.
Полином нулевой степени
(5.10)
.
0
Полином первой степени
yb bx bx=+ +
01
(5.11)
.
2
Полином второй степени
yb bx bx bxxbxbx=+ ++ ++
011221212111222 2
2
(5.12)
.
Полином третьей степени
yb bx bx bxxbxbx
=+ ++ +++
011221212111222 2
bxxbxx
+++
112 122122 12
2
bbx bx
+ .
111 13222 2
2
3
(5.13)
Уравнения регрессии вида (5.7), (5.8) называются линейными,
а вида (5.9), (5.10) и т.п. – нелинейными. Линейные уравнения
регрессии можно использовать как первый этап исследований нелинейных корреляционных связей с тем, чтобы в дальнейшем ввести
в них необходимые поправки.
С позиций статистики полиномиальная модель удобна, так как
позволяет увеличить степень точности аппроксимации, повышая
порядок полинома, и при этом наша аппроксимирующая функция
остается линейной по параметрам. Это облегчает все последующие
статистические процедуры, а именно применение метода наименьших квадратов для оценки параметров, выбор оптимального расположения уровней факторов в области их изменения и т.д.
5.3. Предпосылки применения корреляционнорегрессионного анализа, методы проверки
их соблюдения
Применение КРА правомерно и эффективно при соблюдении
следующих условий:
1) параметр оптимизации y есть случайная величина с нормаль-
ным законом распределения;
81
2) дисперсия y не зависит от абсолютной величины у, т.е. остается
,,
,,
,,,.
(,fn=−1
xm
постоянной или однородной при различных наблюдениях у;
3) независимые переменные
xx x
,
измеряются с пренебре-
m12
жимо малыми ошибками по сравнению с ошибкой определения у;
4) переменные
xx x
,
линейно независимы;
m12
5) зависимая переменная у образует стационарный случайный
процесс;
6) экспериментальные данные основаны на результатах ряда независимых испытаний, наблюдений, образующих случайную выборку из данной генеральной совокупности.
Условия 5 и 6 характерны для пассивных экспериментов, осталь-
ные – как для пассивных, так и для активных экспериментов.
Рассмотрим методы проверки соблюдения указанных пред посылок.
Нормальность распределения у устанавливается либо по большим
выборкам с помощью критериев Пирсона и Колмогорова, либо на
основании анализа природы у.
Для оценки однородности дисперсий у в условиях планирования
эксперимента проводят параллельные опыты в различных точках
матрицы планирования, т.е. при различных значениях
При пассивных экспериментах определяют
личных выборок, взятых в примерно одинаковых условиях работы
объекта. Если сравниваются два значения
числах степеней свободы f
тов или объем выборки) для
Фишера, который представляет собой отношение большей дисперсии и меньшей:
F
=��
p
2
S
y
1
2
S
y
1
,
2
S
y
2
n – число парал лельных опы-
2
и
, то используется F-критерий
S
y
2
2
где
>
S
y
1
2
по результатам раз-
S
y
2
и
S
y
1
2
. (5.14)
S
y
2
xx x
2
при разных
S
y
2
m12
Если наблюдаемое значение
для соответствующих чисел степеней свободы и принятого уров-
F
кp
критерия меньше критического
F
p
ня значимости, то опыты считаются воспроизводимыми, а дисперсии
однородными. Однородность ряда дисперсий при одинаковом числе
опытов для определения каждой из них определяют с помощью критерия Кохрена G, представляющего собой отношение максимальной
дисперсии к сумме всех дисперсий ряда:
2
S
y
G
=
�
pасч
22 2
SS S
yy y
12
ma
+++
�� �
...
2
S
y
ax
=
�
N
∑
j
(5.15)
,
N
2
S
y
j
=
1
где N – число параллельных опытов или различных выборок, обычно
N = 2 – 5; j – номер параллельного опыта.
82
Дисперсии однородны, если расчетное значение
lny
σ
,,
22
,.
–,
шает критического значения
(значения
приведены в Приложении 8).
G
кр
критерия Кохрена:
G
кр
G
pасч
не превы-
<
G
расч
G
кр
При неравном числе степеней свободы для каждого значения из
ряда дисперсий их однородность проверяют с помощью критерия
Бартлета.
Если однородность дисперсий отсутствует, то необходимо такое
преобразование y, которое делает дисперсии однородными. Довольно
часто помогает замена y величиной
.
Воспроизводимость опытов и однородность дисперсий можно
достичь также выявлением и устранением источников нестабильности эксперимента, а также использованием более точных методов
и средств измерений.
Проверку достаточной точности измерений независимых переменных легко произвести, сопоставив ее с диапазоном изменения
последних. Считается, что ошибки независимых переменных не
должны превышать 5–7% от длины интервала их варьирования.
Ошибки зависимой переменной не влияют столь значительно на
точность регрессионного анализа, поэтому они допускаются до 30%
от интервала ее варьирования.
Отсутствие взаимной корреляции между независимыми переменными проверяется расчетом парных коэффициентов корреляции между
ними. Методика расчета этих коэффициентов была показана выше.
Стационарным называют такой случайный процесс, основные
характеристики которого (M(x),
2
постоянны или однородны во
)
x
времени. Поскольку при пассивном эксперименте свойства процесса
определяются по одной представительной выборке, распространить
полученные результаты на весь процесс в целом можно лишь при
условии его стационарности.
Проверка стационарности процесса производится в следующем
порядке.
По результатам измерений параметра строится случайная последовательность значений этого параметра в порядке измерений. Полученную реализацию разбивают на несколько (5–10) равных отрезков,
для каждого отрезка рассчитывают дисперсию
2
и с помощью
Sy
j
критерия Кохрена по формуле (5.15) определяют, являются ли значения
2
для каждого из отрезков оценками одной и той же гене-
Sy
j
ральной дисперсии.
Затем производится сравнение средних по каждому из отрезков.
Обозначим сравниваемые средние через
ющие выборочные дисперсии через
ней свободы обозначим через
где n
– объем соответствующей выборки, отрезка). Всем выборкам
j
ff f
,,,
yy y
,,
SS S
,,
(как обычно,
N12
соответству-
N12
Числа степе-
N122
fn
=
jj
1
83
соответствует единая генеральная дисперсия σ2, в качестве ее оценки
jy
ff
()
11
()
F
11−−
()
�
XX
,,
11
=
−−
=
можно взять средневзвешенную дисперсию
2
которая рассчиты-
S
,
y
вается по следующей формуле:
2
fS
где
∑⋅
2
S
=
N
=
.
j
j
=∑1
y
j
(5.16)
,
f
Если справедлива нулевая гипотеза о равенстве всех генеральных
средних, то в качестве оценки этого единого генерального среднего
можно взять общее среднее всех элементов, отрезков, как бы объединенных в одну выборку; обозначим это среднее через y. Для дисперсии σ2 можно теперь дать другую оценку:
2
S
�
N
1=−
ny
∑
1
j
=
jj
N
1
2
(5.17)
−
y ,
которой соответствует N – 1 степеней свободы. Чтобы нулевая гипо-
теза была справедлива, должно соблюдаться условие
2
где
pN f
берется по соответствующим таблицам для значений
,
S
F
≤
2
S
y
pN f
−−
(5.18)
,
,
критерия Фишера. Квантили распределения Фишера при 1 – p = 0,05
приведены в Приложении 9.
Проверку гипотезы случайности выборки, необходимую при пассивном эксперименте, можно произвести методом последовательных
разностей. Этот метод заключается в следующем: по наблюденным
значениям
наблюдения
выборки, расположенным в последовательности их
X
j
XX
,,
,
образуем n – 1 разностей между со-
n123
седними членами:
aX X
121
aXX
–
–
=
232
(5.19)
aXX
nnn
–
=
Определяем С2:
84
2
=
C
n
−
1
()
21
∑
−
n
i
1
2
(5.20)
a
,
i
1
а также S2:
()
=
n
1
2
S
n
∑
1=−
i
XX
1
i
−
2
(5.21)
� .
Для оценки случайности выборки используем критерий
2
τ=
C
(5.22)
.
2
S
Для описания и изучения свойств генеральной совокупности по
одной выборке из этой совокупности необходимо, чтобы выборка
была представительной, т.е. репрезентативной. Репрезентативной
может быть только случайная выборка. Если при формировании
выборки имеет место существенное изменение измеряемых значений
Xi во времени, это приведет к увеличению значений X и S2. Такое
смешение (дрейф) значений отклика свидетельствует о наличии систематической переменной погрешности, которая влияет на изучаемый процесс. Такой процесс не является случайным, а значения отклика – стохастически независимыми. Для повышения точности
модели в нее следует включить фактор, вызывающий дрейф отклика
во времени.
Для оценки случайности выборки при наличии возможности
смещения центра рассеяния используют критерий τ:
τ= C2 / S2. (5.23)
Если τ<τq, где τq – критическое значение τ при уровне значимости
q, %, то гипотеза о независимости и случайности измерений в выборке отвергается. Значения τq приведены в Приложении 10.
Чем больше величина дрейфа значений отклика во времени, тем
больше значение S2 и меньше значение τ.
Пример. По результатам измерений деталей в порядке их обработки на токарном станке получены следующие результаты: n=40,
S2=267,95 мкм2, C2=114,74 мкм2. Необходимо проверить гипотезу
независимости и случайности измерений в выборке.
Решение. По формуле (5.22) τ =0,428. По Приложению 10 для
n=40, q=95% τq=0,742. Поскольку τ<τq (0,428<0,742), гипотезу
независимости и случайности измерений в выборке следует отвергнуть. Имеет место дрейф размеров, который может быть вызван
износом инструмента, тепловыми деформациями элементов технологической системы или другими факторами.
85
5.4. Правила округления результатов
Правила округления результатов следующие.
1. Если первая отбрасываемая цифра больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если отбрасы ваемая
цифра меньше 5, то последняя цифра остается без изменений.
2. Если отбрасывается только цифра 5, а последующих цифр младших разрядов нет или они неизвестны, то сохраняемая четная цифра
увеличивается на единицу.
3. Если округляемое число – ошибка, то во втором случае увеличиваются на единицу и четная, и нечетная цифры.
4. При округлении целых чисел все цифры, отброшенные при
округлении, заменяются множителем 10n, где n – количество отброшенных цифр. При округлении десятичных дробей цифры, стоящие
в конце дроби после запятой, просто отбрасываются, нулями их заменить нельзя, так как нуль в конце десятичной дроби характеризует
точность. Например, 1,25 и 1,250 отличаются тем, что во второй
дроби верных цифр 3, а в первой – 2.
Пример округления целого числа:
x = 30 367 ≈ 30∙103.
Пример округления дроби:
x = 9,8066 ≈ 9,81.
5.5. Вычисления с приближенными числами
Точность результата математических операций с приближенными
числами определяется количеством значащих цифр в этих числах.
Результат любого арифметического действия с приближенными
числами есть такое приближенное число, в котором могут быть и
неверные цифры, подлежащие отбрасыванию. Поскольку сложение
и умножение верной и неверной цифр дает неверную цифру, а верной
и сомнительной – сомнительную, то результат вычислений, очевидно, не может быть точнее самого неточного числа в исходных данных.
Отсюда ясно, что не только окончательные результаты, но и числа в
промежуточных выкладках, а также исходные приближенные числа
необходимо округлить. Округление надо производить следующим
образом.
1. При сложении и вычитании все слагаемые округляют до сомнительной цифры, стоящей в самом высшем разряде, а затем производят сложение.
86
Пример:
=≈
,,
x = 3,14 + 0,847 + 0,936 + 0,0746 + 0,0383 ≈
≈ 3,14 + 0,85 + 0,94 + 0,07 + 0,04 = 5,04.
Если округления не делать, то сумма будет равна 5,0359, где последние цифры неверные, так как в первом слагаемом верных цифр
две, третья – сомнительная, а далее могут быть неизвестные цифры.
Округление существенно облегчило получение результата без потери
точности.
2. При умножении и делении в полученном результате будет столько значащих цифр, сколько в исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр. Аналогично предыдущему следует предварительно округлить все числа, оставляя, если это может повлиять
на результат, одну запасную цифру.
Пример:
х = 0,035835 ∙ 62,3 ≈ 0,0358 ∙ 62,3 ≈ 2,33.
3. При возведении в степень и извлечении корня у приближенного
числа должно быть оставлено значащих цифр столько, сколько их в
основании.
Пример:
x = 2,843 = 22,9.
В числе, полученном после извлечения корня любой степени,
следует оставлять столько же значащих цифр, сколько их было в
числе под корнем.
Пример:
х
4 540021307
.
4. При логарифмировании в мантиссе приближенного числа берется
столько значащих цифр, сколько их в логарифмируемом числе.
Пример:
x = ln10,0 = 2,30.
ГЛАВА 6
� ��� �
,,��� �
=
()
РАСЧЕТ И АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ОДНОИ МНОГОФАКТОРНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
6.1. Методы подбора эмпирических формул
по результатам однофакторного эксперимента
В результате однофакторного эксперимента получается статисти
ческий ряд измерений двух величин. В этом ряду каждому значению
функции
та
xx x
нове экспериментальных данных можно подобрать алгебраическое
выражение функции
которое называют эмпирической формулой. Такие формулы справедливы лишь для того интервала изменения аргумента x, который
имел место при проведении эксперимента. Эмпирические формулы
являются приближенными выражениями аналитических зависимостей. Для оценки достоверности эмпирических формул могут использоваться методы, описанные в [20] (п. 3.3).
Подбор эмпирических формул состоит из двух этапов.
Э т а п 1. Получение графика, показывающего изменение y при
изменении x, т.е. отражающего зависимость (6.1). Выбор по этому
графику примерного вида формулы (6.1).
Э т а п 2. Вычисление параметров принятой формулы, оценка ее
достоверности.
Для построения графиков, как правило, пользуются прямоугольной системой координат. Графики удобно строить на миллиметровой
бумаге или на ЭВМ в среде Exel. Исходя из пределов, в которых при
эксперименте изменялись значения
бирают определенные масштабы по осям так, чтобы были полностью
использованы принятые длины осей. Эти масштабы выбираются
произвольно, независимо друг от друга, но так, чтобы график не был
слишком мелким или растянутым по одной из осей. Если интервал,
в котором заключены значения измеряемых величин, лежит далеко
от нуля, то целесообразно начинать деление соответствующей оси
не от нуля, а от некоторого значения, которое надо отложить на этой
,,
yy y
,,,
n12
соответствует определенное значение аргумен-
n12
где n – число измерений или объем выборки. На ос-
yfx
(6.1)
,
и
y
(i – номер опыта), вы-
x
i
i
-
88
оси. На графике наносят точки с координатами
�
∆=
,
и соединяют
y
x
i
i
их прямой или кривой таким образом, чтобы над и под прямой (кривой) находилось примерно одинаковое число точек. В редких случаях
прямая (плавная кривая) проходит через все точки.
Иногда на одну или обе оси наносят неравномерную шкалу. Такой
способ применяют в основном для приведения графика к
ли нейному виду.
На рис. 6.1, а изображена зависимость y = cx2 с равномер ными
шкалами, а на графике 6.1, б – та же зависимость, когда по оси
абсцисс отложены значения х2.
а б
Рис. 6.1. Графики с равномерными (а) и неравномерными (б) шкалами по осям
координат
Такие масштабы называются функциональными. Из функциональных масштабов чаще всего используются логарифмический и
полулогарифмический масштабы.
В полулогарифмическом масштабе используются линейный масштаб по оси абсцисс и логарифмический масштаб по оси ординат.
В логарифмическом масштабе используются логарифмические шкалы по обеим осям ординат.
Для анализа вида зависимости (6.1) используют графики с равномерными шкалами по осям координат. Описанный выше метод построения графика применим для малого объема выборки (обычно
для
n≤10).
Для больших объемов выборки целесообразно построить
эмпирическую линию регрессии. Ее пример показан на рис. 6.2.
Здесь
– расчетные точки, полученные после первичной груп-
y
i
пировки экспериментальных данных на корреляционном поле;
– средние значения ординат точек
y
i
, попавших в j-й интер-
y
i
вал; 1 – экспериментальная линия регрессии, полученная после
первичной обработки корреляционного поля; 2 – экспериментальная
линия регрессии, полученная после вторичной группировки результатов эксперимента.
89
Рис. 6.2. Пример эмпирической линии регрессии
i
�
�
�
ii
=+
01
11
Эмпирическую линию регрессии строят следующим образом.
1. Наносят на координатную сетку у – х все экспериментальные
точки с координатами
и соединяют их ломаной линией (ло-
yi, x
i
маная 1 на рис. 6.2). При п > 30 построения ломаной линии 1 не
требуется.
2. Разбивают разброс значений
попавших в эти интервалы, определяют
на 5–7 интервалов и для точек,
x
и
x
j
, где ј – номер
y
j
интервала.
3. Наносят на координатное поле точки с координатами
и
x
y
j
и соединяют их ломаной линией. На рис. 6.2 это линия 2. Она и будет
эмпирической линией регрессии, с помощью которой можно оценить вид алгебраического выражения зависимости (6.1).
Если зависимость у = f(х) линейна и может быть описана прямой
линией
ybbx
(6.2)
,
то расчет неизвестных параметров b0 и bi может быть выполнен методом наименьших квадратов (МНК, [20] (см. п. 3.2)) или с помощью
корреляционно-регрессионного анализа (КРА, [20] (см. п. 3.1)).
При использовании МНК параметры b0 и bi модели (6.2) опреде-
ляются по следующим уравнениям:
n
nxyxy
∑∑∑
i
111
===
b
=
1
nx x
n
∑∑
i
==
ij
2
j
n
n
−
i
i
n
−
i
j
i
(6.3)
;
2
i
j
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]