Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Анализ исходных данных при статистической обработке результатов научных исследований. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

=−

xy,� �

Yy==

bybx

(6.4)

где средние арифметические значения аргумента

– результаты эксперимента; n – число опытов;

yi, x

и функции

–

yi.

При использовании КРА

�br

= ,

(6.5)

где r – коэффициент парной корреляции между значениями х и у [20] (см. п. 3.1); Sx, Sy – средние квадратические отклонения значений

хi и уi в выборке.

Значение b0 в этом случае рассчитывается также по формуле (6.4).

Для выбора нелинейных эмпирических формул применяют два основных метода:

1) линеаризация, т.е. приведение нелинейных функций к линей-

ному виду (см. (6.2)) с помощью специальных преобразований;

2) аппроксимация исследуемых зависимостей полиномами (па-

раболами) различной степени.

Рассмотрим первый метод. Он может быть реализован двумя путями.

1) имея линейное преобразование нелинейной функции, неизвестные члены уравнения типа (6.2) можно найти по формулам (6.3) и (6.4);

2) неизвестные члены линеаризованной функции можно определить графическим методом.

Рассмотрим пример применения первого пути для случая опре-

деления параметров степенной зависимости:

Прологарифмировав данное выражение, получаем

Заменяя

Параметры В0 и b1 зависимости (6.8) находим с помощью формул (6.3) и (6.4), куда в качестве уj подставим значения стве хi – значения цированием оценки B0.

Примером применения второго пути является следующий случай.

Необходимо подобрать эмпирическую формулу для результатов измерений [21], приведенных в табл. 6.1.

lg lg,

ybx

lg lg lg .yb

= lg ,

Оценку параметра b0 получаем потен-

= lg .

(6.6)

(6.7)

получим линейную модель

(6.8)

lg ,

в каче-

Таблица 6.1. Результаты измерений

lg lg lgyabx e=+ � .

lgyY= ,

Yabx e=+lg lg ,

=+ =+

eabe

lg lg lg lg�� abeabe+= +=1183 45 2 070,; ,,,��

aa===− ==

yе

YABX=+ ,

()

Значения аргумента x

Значения функции у

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

15,2 20,6 27,4 36,7 49,2 66,0 87,4 117,5

На основе этих данных строится график (рис. 6.3, а), соответству-

ющий выражению

yae=.

(6.9)

После логарифмирования выражения (6.9) получим зависимость

Eсли обозначить

то

т.е. в полулогарифмических координатах выражение для Y представляет собой прямую линию (рис. 6.3, б). Подстановка в полученное уравнение координат крайних точек экспериментальных данных дает:

lg lg lg lg lg lg15 2 117

Следовательно,

0 0887 35 0579 1183 0 254 0929 185,, ,; ,, ,; ,()/lglg�� ..

Окончательно эмпирическая формула получит вид

5,;

�

откуда

0579

185

�

Графический метод позволяет визуально оценить правильность выбора вида формулы для эмпирической кривой. Если в неравномерных шкалах эмпирическая кривая превращается в прямую (рис. 6.3, б), это подтверждает правильность указанного выбора.

Графический метод может быть использован и непосредственно для определения параметров линеаризованной зависимости вида

(6.10)

где

а б

Xfxy=

(6.11)

xy=

�

(6.12)

Рис. 6.3. Подбор эмпирических характеристик графическим методом:

а – эмпирическая кривая; б – спрямленная кривая

После преобразования нелинейной

Yy==

Bb==

исходной зависимости в линейную вида (6.10) по данным Хi, Yi строят прямую (рис. 6.4) на координатной сетке, у которой началом являются точи Y = А и X = 0. По этому графику легко определить параметры А (ордината точки пересечения прямой с осью Y) и В (тан- генс угла наклона прямой с осью X).

По значениям А и В с помощью за- висимостей (6.11) и (6.12) можно перейти к параметрам нелинейной форму-

Рис. 6.4. Графическое определение параметров А и B зависимости (6.10)

лы, принятой для описания эмпирической зависимости y = f(x).

В табл. 6.2 приведены различные виды нелинейных однофакторных моделей и методы их линеаризации. Для линеаризации функций, у которых имеются три независимых параметра (модели 5, 6 в табл. 6.2), наряду с логарифмированием исходной функции используют и графический метод. Для целей прогнозирования можно либо использовать полученную линеаризованную функцию, либо вернуться к первоначальному виду модели, что обычно менее удобно.

Таблица 6.2. Виды нелинейных однофакторных моделей и методы их линеаризации

Название

№

и формула

п/п

модели

1 Степенная

ybxb=

Вид графиков, характерных

для данной модели

Метод линеаризации модели

lg lg lgyb

Хx

lg lg

= lg

Линейная модель

YBbX=+

Прямая может быть построена на логарифмической сетке

2 Показатель-

ная

ybbx=

lg lg lgyb

Хy

lg lg�

= lg

Линейная модель

Прямая может быть построена на полулогарифмической сетке

Название

Bb==

()

,(–)

()

№

и формула

п/п

модели

3 Экспонен-

циальная

ybebx=

Продолжение табл. 6.2

Вид графиков, характерных

для данной модели

Метод линеаризации модели

lg lg lgybbx e=+

Bbe

lg lg�

= lg

Линейная модель

Прямая может быть построена на полулогарифмической сетке

4 Гиперболи-

ческая

yabx

yabe

z = 1/x

Линейная модель

Y = b

+ b1z

Прямая может быть построена на сетке прямоугольных ко ординат

По экспериментальной кривой принимаем три произвольные точки:

� �

= ,

и вычисляем a:

yy y

−

12 3

yy y

12 3

lg ya bbx−

lg lg

(6.13)

=+lg lg

= lg

Линейная модель

YBbX=+

Прямая может быть построена на логарифмической сетке

Значение a� определяем по методу, описанному для модели 5, по (6.13):

lg ya bx

−

=+lg lg

lg(–)

�

= lg

Bbe

= lg

Линейная модель

Прямая может быть построена на полулогарифмической сетке

Окончание табл. 6.2

yz=

�

−

()

Название

№

п/п

и формула

модели

x=+

Вид графиков, характерных

для данной модели

Метод линеаризации модели

Линейная модель

Прямая может быть построена на сетке прямоугольных координат

Рассмотрим второй метод подбора нелинейных эмпирических функций регрессии, т.е. аппроксимацию используемых зависимостей полиномами (параболами) вида

yb bb

=++++

012

[21].

Для обоснования выбора порядка (максимальной степени) параболы необходимо исходить из следующего:

наибольшее число экстремальных точек, которые может иметь



парабола порядка n, равно

т.е. парабола второго порядка

(рис. 6.5, а) может иметь не более одного экстремума, парабола третьего порядка (рис. 6.5, б) – не более двух экстремальных точек и т.д.;

согласно теореме Веерштрасса любую непрерывную функцию



(в нашем случае неизвестную истинную криволинейную функцию регрессии) можно описать на конечном интервале сколь угодно точно параболой порядка �n;

а б

Рис. 6.5. Характерные кривые для параболы второго порядка (а) и параболы третьего

порядка (б)

в большинстве случаев при обработке экспериментальных дан-

=+ +�

�







ных оказывается, что аппроксимация эмпирических зависимостей параболами выше четвертого порядка приводит к очень незначительному увеличению точности. Поэтому считается практически нецелесо образным применять параболы порядка выше четвертого.

Для приближенного определения порядка параболы рекомендуется по характеру расположения экспериментальных точек на корреляционном поле и по числу явно выраженных эмпирических экстремумов выбрать соответствующий порядок параболы, например к экспериментальным данным, нанесенным на рис 6.5, б, – параболу третьего порядка.

Допустим, что между y и xсуществует криволинейная связь, аппроксимируемая параболой второго порядка:

yb bx bx

01 2

Для оценки коэффициентов регрессии

(6.14)

необходимо решить

следующую систему уравнений, полученную с помощью МНК:



Nb bxbx y

  



bxbx b



  

bxbx bx xy

01121



nnn

++ =

∑∑∑

0112

∑∑

== =

nnnn

∑∑∑∑

====

iiii

===

++ =

nnn

∑∑

xxy

 

 



(6.15)



 



Для получения регрессионной математической модели по результатам однофакторного эксперимента необходимо предварительно установить общий вид искомой функции. Необходимо отметить, что не существует строгих математических методов, которые позволили бы априори, т.е. до проведения корреляционно-регрессионного анализа, указать общий вид функций. Обычно на практике вид функции регрессии выбирают по характеру расположения точек на корреляционном поле. При этом такой выбор обязательно необходимо дополнить логическим профессиональным анализом физической сущности исследуемого процесса или явления с учетом опыта предыдущих исследований. Необходимо отметить, что выбор общего вида экспериментальной функции не является однозначным. Это значит, что одну и ту же экспериментальную зависимость можно аппроксимировать либо полиномом, либо показательной, степенной или логарифмическую функцией, т.е. функциями, допускающими линеаризацию.

6.2. Оценка точности прогнозирования с помощью

()

y :

=−

�

⋅

120

однофакторной регрессионной модели

Как известно, регрессионная модель

yfx=

справедлива в пределах изменения фактора x в опытах, по результатам которых эта модель получена. Если использовать эту модель для значений

x*,

выходящих за эти пределы, то необходимо оценить доверительный интервал для прогнозных значений

Расчет этого интервала может

y*.

быть выполнен следующим образом [21].

Вначале рассчитывается значение несмещенной оценки дисперсии y,очищенной от влияния x,которая характеризует степень рассеивания экспериментальных точек кривой

()

∑

−

где i� – номер опыта; N – число опытов; считанные по уравнению регрессии для соответствующих

вокруг теоретической

−

(6.16)

– значения

xi.

yi,

рас-

Далее определяется значение половины величины доверительного интервала разброса среднего значения

()

где

∆yt

– значение критерия Стьюдента.

(6.17)

Следующим шагом является определение величины периода упреждения (прогноза) П:

где

– максимальное значение признака по оси абсцисс.

��П

(6.18)

Например: произведена оценка какого-либо диагностического параметра y автомобиля через каждые 10 тыс. км пробега x. Всего проведено на момент анализа 12 замеров. Таким образом,

N=12

(число точек по оси абсцисс). Максимальное значение аргумента – 120 тыс. км. Требуется спрогнозировать значение y* на пробег

x* = 155 тыс. км. Величина П определяется следующим образом:

15512

П =

−=�

12 35

прогнозируемого значения вычисляется по формуле

Значение половины величины доверительного интервала для

()

∆∆

�

()

L =65

()

∆

,.=

()

L =65

∆∆yy

+−

(6.19)

−

Доверительный интервал для прогнозируемого значения

деляется соотношением

** ** *

� yyMy

(6.20)

.−<

опре-

На основании результатов расчета рекомендуется построить график теоретической кривой На график наносятся прогнозируемое значение

полученной математической модели.

и его доверитель

ный интервал.

Пример такого графика показан на рис. 6.6. Здесь отражена зависимость параметра потока отказов автомобилей МАЗ-7313 от пробега

Рис. 6.6. График зависимости параметра потока отказов от пробега:

1 – экспериментальная кривая регрессии; 2 – теоретическая кривая линейной регрессии

с начала эксплуатации.

карданной передачи

ω L

Испытания были проведены до для и

Li=94

тыс. км получено значение

Эти значения нанесены на график

0745

нены пунктирными линиями с точкой на теоретической кривой для

тыс. км.

6.3. Полный факторный эксперимент типа 2

Эксперимент, в котором реализуются все возможные комбинации уровней всех факторов, называется полным факторным экс-

тыс. км. При расчете

ω L

отказ/авт. тыс. км

=897, �

ω=

ω L

и соеди-

периментом (ПФЭ). В этом случае, если число факторов известно,

можно сразу найти число опытов, необходимое для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов. Для этого используется формула

(6.21)

= ,

где N – число опытов; p – число уровней, на которых варьируются факторы; k – число факторов.

Если число уровней каждого фактора равно двум, то имеем пол-

ный факторный эксперимент типа 2k.

Геометрической интерпретацией полного факторного эксперимента 2k для двух факторов служит квадрат, центром которого является основной уровень, а каждая сторона параллельна одной из осей координат и равна двум интервалам.

Если координаты углов квадрата 1, 2, 3, 4 записать в виде таблицы, то мы получим так называемую матрицу планирования эксперимента. Матрица планирования вместе с результатом экспериментов имеет вид, представленный в табл. 6.3.

Таблица 6.3. Матрица планирования эксперимента

Номер точки X

1 +1 –1 y 2 –1 –1 y 3 +1 +1 y 4 –1 +1 y

Если для двух факторов все возможные комбинации уровней легко найти прямым перебором или просто запомнить, то с ростом числа факторов возникает необходимость в некотором приеме построения матриц. Из многих возможных приемов обычно используются три приема, основанные на переходе от матриц меньшей размерности к матрицам большей размерности.

Рассмотрим первый прием. При добавлении нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана встречается дважды в сочетании с нижним и верхним уровнем нового фактора. Отсюда, естественно, появляется прием: записать исходный план для одного уровня нового фактора, а затем повторить его для другого уровня. В табл. 6.4 показано, как это выглядит при переходе от эксперимента 22 к эксперименту 23.

Этот прием распространяется на построение матрицы любой размерности.

Второй прием основан на правиле чередования знаков. В первом столбце знаки меняются поочередно, во втором столбце они чередуются через два, в третьем – через 4, в четвертом – через 8 и т.д. по степеням двойки. Таблица 6.4 является примером реализации и этого приема.

Таблица 6.4. Построение матрицы планирования эксперимента

Номер

опыта

1 – – + y

2 + – + y

3 – + + y

4 + + + y

Номер

опыта

5 – – – y

6 + – – y

7 – + – y

8 + + – y

Рассмотрим третий прием. Для этого введем правило перемножения столбцов матрицы. При построчном перемножении двух столбцов матрицы произведение единиц с одноименными знаками дает +1, а с разноименными знаками дает –1. Воспользовавшись этим правилом, получим для случая, который мы рассматриваем, векторстолбец произведения x1x2 в исходном плане. Далее повторим еще раз исходный план, а у столбца произведений знаки поменяем на обратные. Этот прием можно перенести на построение матриц любой размерности, однако он сложнее, чем первые два приема.

Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку – вектор-строкой.

6.4. Расчет параметров математической модели по результатам полного факторного эксперимента

Давайте вернемся к матрице 22. Линейная модель двухфакторного эксперимента имеет вид

yb bx bx=+ +

(6.22)

Наша цель – найти по результатам эксперимента значения неизвестных коэффициентов модели. Эксперимент, содержащий конечное число опытов, позволяет получить не истинные значения неизвестных коэффициентов, а их выборочные оценки. Точность и надежность этих оценок зависит от свойств выборки и нуждается в статической проверке, о которой уже шла речь ранее.

Оценки коэффициентов можно вычислить по простой формуле

ji i

=∑1

(6.23)

где j = 0,1, …, k – номер фактора; N – число опытов; i – номер опыта.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]