Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ исходных данных при статистической обработке результатов научных исследований. Учебное пособие
.pdf
Эксперимент 11 показывает, что значимым может быть одно из
49<<
трех указанных в табл. 4.15 парных взаимодействий. Для проверки
необходимо провести эксперимент, в котором все факторы, кроме,
например, x2 и x7, будут на нижнем уровне. Если в этом эксперименте
значение отклика отличается от среднего уровня, то именно x2x7 будет
значимым эффектом. Если эксперимент даст значение отклика,
близкое к среднему, то нужно аналогично проверить следующее из
указанных в табл. 4.15 парных взаимодействий.
Эффекты всех парных взаимодействий, которые не образованы
из выделяющего блока x2x3x7 (например, x1x3, x7x8 и т.д.), не являются
значимыми, так как в опытах 2, 6, 9 и 12 не наблюдалось существенного изменения отклика.
Таким образом, на основании 13–14 опытов можно выделить
значимые факторы (x5 и x2x7) из большого числа подозреваемых.
Если количество исследуемых факторов
то можно поль-
k ,
зоваться той же матрицей, отбросив лишние столбцы.
4.5. Предварительное определение области изменения
каждого фактора, внутри которой функция отклика
принимает экстремальное значение
После выбора факторов, существенно влияющих на параметр
оптимизации, необходимо вначале установить их область определения
(существования), а затем найти локальную область проведения эксперимента (рис. 4.6). Отсеянные факторы должны стабилизироваться
на протяжении дальнейших исследований, чтобы минимизировать ошибку эксперимента.
Например, температура нагрева металла ограничена температурой его плавления, номенклатура
изучаемых объектов, используемого оборудования – объемом
финансирования данной НИР,
режимы испытаний – возможностями используемого оборудования и т.д. На рис. 4.6 область определения факторов Х1 и Х2 ограничена линией со штриховкой.
Затем внутри области определения факторов следует найти
локальную область для проведения
Рис. 4.6. Область определения факторов
и их уровни
71
эксперимента. В задачах интерполяции (моделирования) эта область
�
XX
ii
2
xm
()
()
должна быть максимально широкой. В задачах оптимизации стремятся расположить область эксперимента максимально близко к
ожидаемому оптимуму. Поскольку факторное пространство многомерно, то область оптимума выбирают чаще всего отдельно по каждому фактору. При этом вначале выбирают центр этой области (нулевой или основной уровень), а затем интервалы варьирования фактора вокруг него.
В общем случае число уровней может быть любым, расстояние
между ними может быть одинаковым или нет. Число уровней определяется конкретной постановкой задачи, видом фактора (число
уровней качественного фактора задается автоматически), предполагаемой сложностью изучаемой зависимости. Например, для построения линейной модели достаточно двух уровней; полная квадра
тичная модель требует варьирования факторов, по крайней мере, на
трех уровнях; полная модель третьей степени – на четырех и т.д.
В общем случае факторы – размерные величины, причем их размерности могут быть самыми разными, и числа, выражающие значения факторов, могут иметь разные порядки.
Температура обычно измеряется в градусах Цельсия, количество
элементов в сплаве – в процентах и т.д. Поэтому с факторами в исходном масштабе обычно не работают, а проводят их предварительное кодирование, представляющее собой линейное преобразование
факторного пространства.
В качестве примера рассмотрим очень распространенный случай
варьирования факторов только на двух уровнях. Для осуществления
операции кодирования прежде всего выбирают исходную область
эксперимента, задавая верхние и нижние пределы изменения каждого фактора в ходе эксперимента
и
X
imax
X
imin
(рис. 4.6).
Далее осуществляют центрирование, т.е. перенос начала координат факторного пространства в точку с координатами Х10, Х20, …, Х
k
(точка 0 на рис. 4.6), где
-
0
+
� X
ma
=
i
0
in
(4.43)
.
Точку 0 обычно называют центром эксперимента.
Теперь удобно сделать так, чтобы в кодированном масштабе максимальный (верхний) уровень фактора соответствовал +1, минимальный (нижний) уровень соответствовал –1, а средний (основной) –
нулю. Это легко выполнить, воспользовавшись следующими формулами, связывающими значение факторов в кодированном
масштабе
72
их значениям в натуральном масштабе
x
i
X
:
i
ii
XX
ii
−
xm
i
ik=
,.�
YY
21
>
4
ε
YY
34
�
�
ii
∆
0
X
i
∆;,
0
=
x
i
=+
XX Xx
ii
(4.44)
−
XX
где
∆X
ma
=
i
in
2
называют интервалом варьирования.
В получившейся теперь системе координат кодированных фак-
торов
факторное пространство ограничено k-мерным кубом (для
x
одного фактора – это прямая, для двух – квадрат, рис. 4.6):
xi≤1, �
12,,
Здесь k – число изучаемых факторов.
Чем ближе выбранная нулевая точка к точке оптимума, тем меньше экспериментальных усилий потребуется для решения задачи
оптимизации факторов. Выбор нулевой точки может производиться
либо на основе анализа априорной информации (в том числе мето-
дом априорного ранжирования, см. п. 4.3.3) либо методами однофакторного поиска.
Рассмотрим некоторые из методов однофакторного поиска [13, 17].
При их реализации варьируется один фактор, остальные фиксируются
на своих средних уровнях. После определения нулевых точек каждого
фактора, близких к оптимуму, проводится поиск оптимума в многофакторной задаче (см. [20] п. 5.5, 5.6). Методы однофакторного поиска
весьма эффективны. После проведения десяти опытов, спланированных по методу дихотомии, исходный интервал уменьшается
в 32 раза, по методу Фибоначчи – в 89 раз, по методу золотого сече-
ния – в 76 раз, а при поиске по дискретным точкам – в 143 раза. Рассмотрим основные методы однофакторного поиска оптимума [13].
Метод дихотомии (половинного деления). Предположим, что в
однофакторном процессе поведение отклика соответствует кривой,
изображенный на рис. 4.7. Первые два опыта проведем вблизи середины интервала варьирования фактора на расстоянии ε – наименьшем расстоянии между уровнями фактора, при котором становится
возможным обнаружить отличие между соответствующими значениями отклика. Сравнивая эти значения, обнаруживаем, что
Это позволяет сделать вывод, что оптимум находится в интервале
неопределенности между
тервал пополам и опять проводим два эксперимента в точках
на расстоянии
X
можно сделать вывод, что оптимум находится в интервале от
> ,
до
X
1
X4,
равном
05,
L4.
новый интервал неопределенности
и b, равном
X
1
от середины интервала
. Затем делим этот ин-
L
2
Поскольку
L2.
и
X
3
Повторяя предыдущую процедуру, находим
и т.д.
L
6
.
73
Рис. 4.7. Схема поиска методом дихотомии
nn
()
[]
−−
,,
�
� � �
()
xm
После проведения n экспериментов (n должно быть четным) оп-
тимум окажется заключенным в интервале
LL
=+−
n
05 05
212
0
(4.45)
⋅
.ε
Таким образом, метод дихотомии (так же, как другие методы однофакторного поиска) основан на сравнении двух значений отклика,
полученных в смежных экспериментах, что позволяет выявить бесперспективную область и направить поиск в тот интервал неопределенности, где находится единственный экстремум.
Метод Фибоначчи. Данный метод более совершенный, чем метод дихотомии, и базируется на последовательности чисел Фибоначчи
Fn:
F
n
n
12
12
3345
� � � �
�
58
67
��� � ��� � ��� � ��
� � �
13 21
89
34 55
10 11
89 144
12 13
233 377
В этой последовательности каждое число, начиная с третьего,
равно сумме двух предыдущих. Вначале следует задаться требуемой
точностью поиска, т.е. интервалом неопределенности
после про-
Ln,
ведения n опытов.
Интервал неопределенности Ln – разность максимального и минимального значений фактора, между которыми находится значение фактора, соответствующее экстремуму функции отклика
LX X
=−
n
ma
Затем вычисляется ориентировочное значение
.
in
числа Фибоначчи:
74
=2ε
ε
=
ε=2
,.
11
�
21
−
=
YY
21
=−
YY
23
>
XX
34
�� и.
=+
−
YY
42
>
XX
25
�� и.
−
*
F
n
L
L
n
(4.46)
,,=−0038ε
где ε – минимальный интервал значений Xi, при котором можно раз
личить значения отклика.
Естественно, что
L
то из формулы (4.46) получаем
,
n
Ln>ε.
Если предположить, что в пределе
L
,.=062
*
F
n
0
(4.47)
-
*
=⋅=062
n
*
подбирается из таблицы чисел
F
n
L0100
100
2
Ближайшим числом
31
По полученному значению
Фибоначчи ближайшее число опытов n. Например, при
по (4.47) получаем
F
Фибоначчи будет 34, а соответствующее ему число опытов n = 8.
Затем вычисляются координаты точек первых двух экспериментов
XaL
=+
и
XbL
=−
В нашем случае из таблицы чисел Фибоначчи
(рис. 4.8), где
LLL
==
120
F
n
1
−
(4.48)
.
F
n
F
21.
n
1
Предположим, что после реализации первых двух опытов оказалось, что
между
и а, равный
X
1
третьего опыта:
Тогда интервалом неопределенности будет отрезок
> .
Вычисляем координату точки
L1.
XXL
313
где
,
F
n
2
−
LL
==
31
F
L
n
1
−
F
n
2
−
(4.49)
.
0
F
n
X
3
Если после реализации этого опыта оказалось, что
интервалом неопределенности будет отрезок
между
L
4
Аналогично определяется координата четвертого опыта:
XXL
434
,
где
F
n
3
−
LL
==
43
F
L
n
2
F
n
3
−
(4.50)
.
0
F
n
и
для
то
,
Если
между
Аналогично определяются координаты остальных точек
эксперимента.
то интервалом неопределенности будет отрезок
,
Координата
LL
54
для пятого опыта:
X
5
F
n
==
−
F
n
F
4
3
n
−
L
0
F
n
XXL
=+,
525
4
(4.51)
.
L
5
где
75
YY
23
<
YY
23
�
FF
nn−3 �
�
FF
nn
43
()
−−
/.
Рис. 4.8. Схема поиска методами Фибоначчи золотого сечения
В зависимости от расположения экстремума возможны и другие
варианты движения к нему. Например, если после третьего опыта
оказалось, что
резок
и
X3.
между точками a и
L
3
В таком случае скорость сходимости поиска резко увеличива-
то интервалом неопределенности будет от-
,
X2,
если же
– отрезок между
=
ется. Однако для дальнейшего определения координат точек опытов
следует использовать уравнение (4.48), в которое вместо
ляется расстояние между
−3
и
т.е.
F
,
� LL XX
n−4
== −
45 23
и
X
2
а вместо
X3,
и
F
n−1
Затем применяются
подстав-
L
0
подставляется
формулы типа (4.49).
76
X
2
Метод золотого сечения. Золотое сечение делит любой отрезок на
n�
−+
==
11
τ=
,.
1201 12 2
YY
12
()
32 313
==
;.
YY
32 434
<=
,,
две неравные части. Отношение их длин равно отношению длины
всего отрезка к длине большей части. Это отношение равно 1,618.
Установить заранее значения
и ε часто бывает невозможно,
L
так как об отклике до начала опытов ничего неизвестно. Предельное
же значение
зависит от соотношения погрешности эксперимента
L
n
и скорости изменения отклика вблизи экстремума. Если погрешность
опытов можно оценить в самом начале эксперимента, то скорость
изменения отклика вблизи оптимума – только после того, как найден
оптимум. Поэтому лучше для однофакторного поиска применять
метод золотого сечения, который по своей эффективности близок к
методу Фибоначчи, однако не требует предварительного задания
L
n
и числа предполагаемых опытов. Последовательные опыты размещают так, чтобы соблюдались условия
где
1618
LLLL
//τ,
iiii
(4.52)
По результатам двух измерений устанавливают (как и при поиске
экстремума методом Фибоначчи), какой из отрезков на оси исключается из исследования. В оставшемся интервале неопределенности будет находиться один из предыдущих опытов, и чтобы
продолжить поиск, необходимо в этом интервале выполнить
опыт, сим метричный предыдущему (рис. 4.8). Если известен исходный интервал неопределенности
LLLXaLXbL
== =+ =−/τ;; .� ���
определяются
<
третьем опыте
LL XXL
XXL
� ��то
�
+
то из (4.52) следует:
L0,
После первых двух опытов
Поскольку отклик в
−/τ
и т.д.
После n опытов приходим к интервалу неопределенности:
−01
LL
=
n
n
(4.53)
/τ .
Этот интервал при большом числе измерений (n > 5) составляет
1,17 интервала, найденного методом Фибоначчи.
Метод поиска по дискретным точкам. Данный метод применяется
в тех случаях, когда фактор может принимать только дискретные
значения или диапазон варьирования фактора искусственно делится
фиксированными точками на уровни [13].
ГЛАВА 5
()
−
xx
S
S
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИСХОДНЫХ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ,
ПРАВИЛА ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
5.1. Оценка результатов, содержащих резко
выделяющиеся опытные данные
При проведении экспериментов и различных измерений отдельные данные могут вызвать сомнение из-за большого отличия от
значений остального ряда. Это могут быть ошибочные результаты
из-за случайных помех или ошибок эксперимента или измерения.
Однако данные результаты могут отличаться от остальных и несущественно, т.е. принадлежать все же к данной генеральной совокупности. Нулевой или исходной гипотезой в данном случае является
предположение о том, что значение x
генеральной совокупности, что и все остальные n – 1 наблюдения.
Проверка справедливости этой гипотезы возможна с помощью критериев Граббса или Ирвина.
Рассмотрим способ отбрасывания ошибочных опытных данных
с помощью критерия Граббса.
1. По результатам n испытаний (измерений) определим среднее
квадратическое отклонение измеряемой величины xi:
∑−
S
=
или x
max
xx
2
i
1
n
принадлежит той же
min
(5.1)
.
2. Составим безразмерную дробь:
где x
max
3. По таблице критических значений θ (Приложение 7) в зависи-
мости от числа испытаний и уровня значимости a найдем θкр.
4. Если θ > θкр, то x
Аналогично для оценки наименьшего значения опыта подсчитаем
Если θ > θкр, то x
78
θ=
max
(5.2)
,
−
– наибольшее значение опытных данных.
следует отбросить как ошибочный результат.
max
−xx
min
θ=
следует отбросить.
min
(5.3)
.
5.2. Основные понятия и задачи корреляционно-
xx
ii
()
��
SS
yx
�� �
32
m12
Rm
123.
��
регрессионного анализа
Для технологических экспериментов характерны статистические
объекты исследований, в которых имеют место стохастические или
корреляционные взаимосвязи между зависимыми и независимыми
переменными. Найти математическое описание этих взаимосвязей –
значит получить математическую модель изучаемого процесса или
объекта. В задачу корреляционно-регрессионного анализа (КРА)
входит получение на основании экспериментальных данных о работе
объекта (протекании процесса) математической модели объекта
(процесса) и ее анализ.
Ценность математической модели заключается в том, что с ее помощью можно решать задачи оптимизации процесса и предсказание
его результатов при изменении условий его протекания. Вторую задачу называют интерполяционной.
Методы КРА могут быть применимы только для таких параметров,
которые при качественном их рассмотрении, т.е. при изучении физической природы объекта, являются взаимосвязанными.
На первом этапе применения этих методов обычно оценивают
степень тесноты взаимосвязи значений функции отклика с одним или
несколькими независимыми переменными. Первая задача решается с
помощью коэффициента парной корреляции rxy, вторая – с помощью
коэффициента множественной корреляции
n
yy
−
()
∑
i
=
где
yx
,, ,
r
соответственно средние арифметические значения и
0
=
yx
nS S
yx
средние квадратические отклонения значений соответственно yi и xi
в рассматриваемой выборке; n – объем выборки (обычно n =
= 50–200 шт.).
Обозначим зависимую переменную цифрой 1, а независимые
переменные – цифрами 2, 3, …, m, тогда коэффициенты парной
корреляции запишутся как
rr rrr
,,,,,
множественной корреляции между y и
Коэффициент множественной корреляции с использованием
метода определителей находится по формуле
−
m12 13 12
xx x
,,,
R
yxxx
(5.4)
,
и т.д., а коэффициент
4
.12
m
:
–
.
где D – определитель, составленный из всех коэффициентов парной
корреляции:
Rm
123
.
D
1
(5.5)
,= −
D
11
79
rr r
xx
xx
xx
()
,.
1
12 13 1
rrr
1
D
21 23 2
=
���� � � � �� � �� � � �
� � �
rrr r
mm m1231�
� �� � �
� � �� � �
� ��� � � � � �
m
m
(5.6)
;
D11 – определитель, получающийся из определителя D исключением
нулевого (первого слева) столбца и нулевой (верхней) строки:
D
п
1
r
32
=
�
rr
mm
23
r
23
1
� � � � �
�� � � � � � �
r
m
2
r
m
3
.
1
Для трех переменных
rrrrrr
++−
Значения
R
123
.
и
r
R
yx
yx
стоверны, т.е. существенно отличаются от нуля, значит, между ис-
12213223212 13 23
�
.12
находятся в пределах ±1. Если они до-
m
2
2
r
−
1
23
(5.8)
.=
следуемыми факторами имеется линейная корреляционная зависимость. В противном случае эта зависимость отсутствует либо является
существенно нелинейной. Если
встречается крайне редко, значит, между исследуемыми факторами
существует функциональная взаимосвязь. Знак величин
R
yx
.12
связей между исследуемыми факторами.
говорит о прямом (+) или обратном (–) характере взаимо-
m
и
r
R
yx
yx
.12
равны +1 или –1, что
m
r
yx
и
Для оценки степени тесноты нелинейных одно- и многофактор-
ных взаимосвязей используются корреляционные отношения.
Если корреляционный анализ подтвердил наличие взаимосвязей между исследуемыми факторами, то на следующем этапе обработки экспериментальных данных выбирают математическую модель с помощью
регрессионного анализа, которая наилучшим образом описывает указанные взаимосвязи. Уравнение, с помощью которого могут быть
найдены числовые значения выборочных средних функции отклика
в зависимости от соответствующих значений независимых переменных, называется уравнением регрессии. В общем случае оно может
быть записано в следующем виде:
yfxx x
Операция замены одной функции другой, в каком-то смысле эквивалентной, функцией называется аппроксимацией. При аппрок-
80
=
,,�
12
(5.9)
m
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]