Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ исходных данных при статистической обработке результатов научных исследований. Учебное пособие
.pdf
областью определения. Для стали он может изменяться в пределах
от 0 до теоретической прочности (порядка 1000 кг/мм2). Число зерен
на шлифе сплава – параметр оптимизации с дискретной областью
определения, ограниченной снизу.
Для измерения параметра оптимизации необходимо иметь соответствующие приборы. Это, например, профилометр для измерения
шероховатости, твердомер для измерения твердости, аналитические
весы для взвешивания образца или детали и т.д. Но в некоторых
случаях, когда нет способа количественного измерения, можно пользоваться ранговым подходом.
Тогда параметру оптимизации присваиваются ранговые оценки по
заранее выбранной шкале. Ранговый параметр – это условная количественная оценка параметра оптимизации, например балл зерна.
Однако следует помнить, что при прочих равных усло виях лучше
пользоваться физическими измерениями параметра оптимизации.
2. Следующим требованием, предъявляемым к параметру опти-
мизации, является его способность характеризовать оптимум.
3. Параметр оптимизации должен быть операционно набельным,
т.е. его можно легко определить физически. Поэтому, например,
жаропрочность не может быть выбрана в качестве параметра оптимизации, так как ее трудно (нельзя) непосредственно определить.
4. Параметр оптимизации должен выражаться одним числом и
быть однозначным. Так, износ можно характеризовать одним числом – изменением веса или размера. Но чаще приходится производить вычисления, например, при определении твердости, предела
прочности или текучести. Можно в качестве параметра оптимизации
использовать отношение каких-либо величин.
Под однозначностью параметра оптимизации понимают то, что
заданному набору значений факторов должно соответствовать с точностью до ошибки опыта одно значение параметра оптимизации.
5. Очень важным требованием является эффективность параметра
в статистическом смысле, т.е. параметр оптимизации должен определяться с возможно наиболее высокой точностью. Если же эта точность неудовлетворительна, то необходимо увеличить число повтор
ных опытов. В качестве примера можно привести измерения износа
весовым способом и микрометрированием. Поскольку эти характеристики функционально связаны, то с точки зрения эффективности
они близки, но точность первой характеристики существенно выше
второй. Правда, не всегда можно использовать способ взвешивания
деталей, но это уже другой вопрос.
6. Параметр оптимизации должен быть универсальным или достаточно полным, т.е. он должен всесторонне характеризовать изучаемый объект. К сожалению, технологические параметры оптимизации
41
не универсальны, так как они часто не учитывают экономических
требований. Поэтому, если возможно, нужно применять обобщенные
параметры оптимизации.
7. Распределение параметра оптимизации или его преобразованной величины (например, логарифма) должно соответствовать нор
мальному закону.
Из всего этого ясно, что найти параметр оптимизации, удовлетворяющий всем требованиям, весьма сложно. Поэтому часто в зависимости от задач исследования ограничиваются одним параметром
оптимизации (иногда обобщенным), а остальные рассматривают как
ограничения.
4.2. Пути минимизации числа параметров оптимизации
Для уменьшения числа параметров оптимизации применяют следующие методы.
1. Априорное ранжирование. При этом используют имеющуюся
априорную информацию о параметрах оптимизации для проверки
их соответствия предъявляемым требованиям и оценки их важности
для характеристики изучаемого объекта или процесса. Эту информацию можно использовать также для экспертной оценки предпочтительности параметров оптимизации (см. п. 4.3.3).
2. Переформулировка задачи или сведение ее к последовательности более простых задач по сравнению с исходной. Другими словами, вместо решения сразу большой задачи, требующей оптимизации по многим параметрам, можно попытаться решить ряд более
простых задач с одним конкретным параметром оптимизации. Предположим, требуется разработать сплав возможно более жаропрочный,
но в то же время технологичный при обработке давлением и обязательно сваривающийся. Решение задачи можно представить в следующей последовательности. Прежде всего выбирают состав и режим термической обработки, обеспечивающие возможно более высокий уровень жаропрочности сплава. Далее факторы уточняют с
тем, чтобы обеспечить возможность деформирования сплава. Имея
жаропрочный и деформируемый сплав, можно теперь искать оптимальные условия его сварки. Так одна задача сводится к последовательности задач, каждая из которых имеет четко определенный параметр оптимизации: сначала жаропрочность, далее деформируемость и затем свариваемость.
3. Применение корреляционного анализа. Здесь возможны два
варианта.
3.1. Оценка тесноты взаимосвязей между параметрами
опти мизации.
-
42
3.2. Выбор наиболее влиятельного и важного параметра путем
()
yy
ii
22
()
��
Sn
xy
y
()
()
′′
11
��
�
xx
yy
решения «задачи о лидере».
4. Расчет обобщенного параметра. Этот расчет может быть выполнен на основе: представлений о природе изучаемого объекта;
упрощенных представлений о качестве объекта при различных значениях параметров оптимизации (откликов); применения функции
желательности.
Рассмотрим способы применения 1, 3 и 4-го метода.
4.2.1. Минимизация числа параметров оптимизации
с помощью корреляционного анализа
4.2.1.1. Исключение параметров оптимизации, имеющих тесную
связь с другими параметрами
Коэффициент парной корреляции является мерой тесноты линейной связи между двумя случайными величинами. В общем случае
его величина может меняться от 0 до ± 1. Если коэффициент корреляции равен 0, связь либо вообще отсутствует, либо отлична от линейной. Если он равен ± 1, связь является линейной – функциональной. Наиболее важны промежуточные случаи между полной корреляцией и отсутствием корреляции. Здесь коэффициент корреляции
выражает ту долю вариации одной из переменных, которая связана
с изменениями значения другой. Естественно, чем ближе величина
коэффициента корреляции к 1, тем связь сильнее; чем ближе к 0, тем
связь слабее. Знак коэффициента корреляции указывает на направление связи: увеличение одной из переменных при положительной
корреляции влечет за собой увеличение другой, а при отрицательной
корреляции – уменьшение.
Если обозначить одну случайную величину через y1 (один из параметров), а другую через y2 (другой параметр), то расчет коэффици-
ента парной корреляции
одной из следующих формул:
r
=
yy
12
между y1, и y2 можно произвести по
r
yy
12
n
yy
−
()
∑
11
i
1
=
nS S
⋅⋅
−
yy
12
(4.1)
�;
n
xxyy
−
i
где
=
x
�
′
i
r
yx
−
i
;
y
′
S
i
x
=
∑
n
i
=
1
iy�
−
=
.
S
S
x
⋅
n
−
i
=
�
∑
�
y
i
–
(4.2)
i
y
1
43
В формулах (4.1), (4.2)
n
∑
()
rr
y
i
y
=
(4.2)′
� �,
yy
S
∑
=
y
2
−
i
n
(4.2)″
� �,
где i – номер опыта; n – число опытов.
В указанных формулах n = 50…200. Если n ≤ 30, то вместо n в фор-
мулах (4.1), (4.2) и (4.2)″ необходимо поставить n – 1.
Суть этого приема заключается в определении коэффициентов
парной корреляции между каждыми двумя параметрами на основании имеющихся экспериментальных данных. При наличии высокой
корреляции (тесной связи) между параметрами любой из них можно
исключить из рассмотрения, так как он не содержит какой-либо дополнительной информации об объекте исследования кроме полученной с помощью другого параметра. Исключать, естественно, надо
те параметры, которые методически труднее определять экспериментально или физический смысл которых менее ясен.
4.2.1.2. Исключение параметров оптимизации путем решения
«задачи о лидере»
После расчета коэффициентов парной корреляции устанавливают
их статистическую значимость (точнее, проверяют гипотезу об отличии вычисленного значения коэффициента от нуля). С этой целью
по таблицам распределения коэффициентов корреляции находят при
выбранном уровне значимости a (вероятности практически не возможных событий, обычно принимаемой 0,001; 0,01; 0,05 или 0,10) и
числе степеней свободы f = n – 2 критическое значение коэффици-
ента корреляции
Линейная связь
rкр.
считается статистически значимой в
случае, если
расч кр
≥
(значения
r
кр
приведены в Приложении 2).
Выявленные с помощью корреляционного анализа значимые линейные
связи между параметрами оптимизации
удобно отразить в виде графа (рис. 4.1),
где его вершинам (точкам) соответствуют отклики Yj, а каждое ребро (линия)
Рис. 4.1. Граф линейных связей
между откликами
указывает на наличие статистически значимой линейной связи между
44
вершинами. Вершина графа, из которой выходит наибольшее число
rr
rr
=+ ++++
++
=+ ++++
++
ребер, считается наиболее влиятельной.
На рис. 4.1 наиболее влиятельной вершиной является Y3. Кроме
того, «могущественность» вершины зависит от того, насколько влиятельны другие вершины, связанные ребрами с данной. Для выявления наиболее «могущественной» вершины составляют корреляционную матрицу. При этом все коэффициенты парной корреляции
считаются положительными. Для примера, показанного на рис. 4.1,
корреляционная матрица имеет вид, представленный в табл. 4.1.
Таблица 4.1. Матрица коэффициентов парной корреляции
Номер фактора
(отклика)
1 1 r
2 r
3 r
4 r
5 r
6 r
1 2 3 4 5 6
12
21
31
41
51
61
1 r
r
32
r
42
r
52
r
62
r
13
23
1 r
r
43
r
53
r
63
r
14
r
24
34
1 r
r
54
r
64
r
15
r
25
r
35
45
1 r
r
65
r
16
r
26
r
36
r
46
56
1
Ранг «могущества» первого порядка любой вершины определяется
по строкам матрицы суммой значимых коэффициентов кор реляции:
Frrr
1
11 12 13 14 15 16
Fr rr
21 21 23 24 25 26
Frrrrr
61 61 62 63 64 65
1
=+++++
(4.3)
1=+++
�,
где F
– сила связи первого порядка для j-й вершины.
j
1
В табл. 4.1
По значениям F
rr
= .
ji yy
ji
распределяются места вершин по «могуществу».
j
1
Вершина с наибольшим значением F
значения F
и F
pавны, то между этими вершинами делятся смеж-
j
h
1
1
ные места.
Распределение рангов «могущества» проверяется последующими
итерациями. Силы связи второго порядка определяются по строкам
матрицы суммой следующих слагаемых:
FFrF rF rF rF rF
12 11 12 21 13 31 14 41 15 51 16 61
FrFFr
=++
22 21 12 21
FrFrF
=+
62 61 11 62
223 31 24 41 25 51 26 61
++
221 63 31 64 41 65 61 61
получает первое место. Если
j
1
FrFrFrF
+++
rF rF rF F�.
(4.4)
45
Силы связи третьего порядка определяются по строкам матрицы
=+ ++++
++
ER
суммой следующих слагаемых:
FFrF rF rF rF rF
13 12 12 22 13 32 14 42 15 52 16 62
FrFFr
=++
23 21 13 22
FrFrF
=+
63 61 13 62
FrFrFrF
+++
223 32 24 42 25 52 26 62
++
rF rF rF F �.
222 63 32 64 42 65 62 62
(4.5)
Если последующие одна-две итерации подтверждают распределение мест, полученное на предыдущей итерации, то процесс определения наиболее «могущественного» параметра на этом
за канчивается.
В качестве параметра оптимизации лучше всего выбирать отклик
наиболее «могущественный» и обладающий к тому же наибольшей
методической простотой экспериментального определения. Но так
как такое совпадение является редким, решение о выборе какоголибо из конкурирующих откликов в качестве параметра оптимизации принимается на основе компромисса. Например, если «могущество» двух вершин графа различается незначительно, можно
выбрать в качестве параметра оптимизации вершину с меньшим
«могуществом», но более «влиятельную» и методически легче
определяемую.
4.2.2. Расчет обобщенного параметра оптимизации
4.2.2.1. Расчет на основе представлений о природе
изучаемого объекта
Примером обобщенного параметра, полученного на основе анализа физической природы влияния отдельных параметров оптимизации на изучаемый процесс или объект, может служить параметр
пластичности поверхности детали, предложенной Гринвудом для
определения характера деформации микронеровностей [11]:
где Е – модуль упругости материала детали; НВ – твердость по Бринеллю; Ra – среднее арифметическое отклонение профиля; р – средний радиус местного выступа профиля шероховатости.
Этот параметр позволяет учесть характер влияния четырех показателей качества поверхности деталей машин на деформации микронеровностей поверхности под нагрузкой.
46
=⋅HB,
G
a
p
4.2.2.2. Расчет на основе упрощенных представлений о качестве
11
01
��
12
02
��
Yy
=
изучаемого объекта (процесса) при разных значениях параметров
оптимизации (откликов)
Пусть исследуемый объект характеризуют n параметров оптимизации (откликов) yu (u = 1, 2, …, n) и каждый из этих откликов изме-
ряется в N опытах. Тогда yui – это значение u-го отклика в i-м опыте
(i = 1, 2, …, N). Каждый из откликов имеет свой физический смысл
и свою размерность.
Преобразуем значения yui по простейшей шкале «хорошо – плохо».
Если при каких-то значениях yui качество процесса хорошее, ему
присваивается значение 1, если качество плохое, отклику присваивается значение 0. Для такого преобразования значений yui необходимо задаться граничными условиями. Например:
y
Здесь y
если
,
=
1
i
пp
uiпp
если
,
�
– преобразованное по новой шкале значение yui.
00
>
y
1
i
y
1
i
;
y
2
i
≤
00
пр
=
,
,
если
если
��
0
<
y
2
i
и т.д
,
≥
0
y
2
i
На основе преобразованных значений откликов формируем обоб
щенный отклик. Поскольку преобразованные отклики могут принимать только два значения 0 или 1, то и обобщенный отклик тоже
должен принимать одно из этих значений. При этом значение
1 должно иметь место, если все преобразованные отклики приняли
значение 1. А если хотя бы один из преобразованных откликов обратили в 0, то и обобщенный отклик будет нулем.
При таких рассуждениях для построения обобщенного отклика
удобно воспользоваться формулой
n
=
∏
u
u
(4.6)
.
ui
пр
1
Совершенно очевидно, что такой подход слишком груб и
жесток.
Совершенствованием данной методики формирования обобщенного отклика является понятие «близость к идеалу». Если для каждого
отклика yu указать его наилучшее (идеальное) значение yuо, тогда
(yui – yuо) можно рассматривать как некоторую меру близости к идеалу. Однако использовать разность при построении обобщенного
отклика невозможно по двум причинам. Она имеет размерность
соответствующего отклика, a у каждого из откликов может быть своя
размерность, что препятствует, как мы уже знаем, их объединению.
Отрицательный или положительный знак разности также создает
неудобство. Чтобы перейти к безразмерным значениям, достаточно
разность поделить на желаемое значение: (уui – yuo)/yuo.
-
47
Чтобы нивелировать знаки, можно разность возводить в квадрат.
Ya
=
uu
aa
=>
10
и.
Тогда обобщенный отклик получим по следующей формуле:
n
yy
−
Y
=
u
ui u
y
u
=∑1
2
o
(4.7)
.
u
o
Если в некотором опыте все частные отклики совпадут с идеалом,
то Yu станет равным нулю. Это и есть то значение, к которому нужно
стремиться.
Чем ближе Yu к нулю, тем лучше.
Недостатком такой оценки является нивелировка частных откликов. Все они входят в обобщенный отклик на равных правах.
На практике же различные показатели бывают далеко не равноправны. Устранить этот недостаток можно введением некоторого веса аu:
2
−
o
(4.8)
.
u
o
(4.9)
При этом
n
yy
=
∑
u
u
n
∑
u
=
1
ui u
u
y
1
��
Чтобы проранжировать отклики по степени их важности и найти
соответствующие веса, можно воспользоваться экспертными
оценками.
4.2.2.3. Расчет на основе применения функции желательности
Одним из наиболее удобных способов построения обобщенного
отклика является обобщенная функция желательности Харрингтона
[12, 13]. В основе построения этой обобщенной функции лежит идея
преобразования натуральных значений частных откликов в безразмерную шкалу желательности или предпочтительности. Шкала желательности относится к психофизическим шкалам. Ее назначение –
установление соответствия между физическими и психологическими
параметрами. Здесь под физическими параметрами понимаются
всевозможные отклики, характеризующие функционирование исследуемого объекта. Среди них могут быть эстетические и даже статистические параметры, а под психологическими параметрами понимаются чисто субъективные оценки экспериментатора желательности (предпочтительности) того или иного значения отклика. Чтобы
получить шкалу желательности, удобно пользоваться готовыми разработанными таблицами соответствий между отношениями предпочтения в эмпирической и числовой (психологической) системах
(табл. 4.2).
48
Таблица 4.2. Стандартные отметки на шкале желательности
dd
=
()
Желательность Отметки на шкале желательности
Очень хорошо 1,00–0,80
Хорошо 0,80–0,63
Удовлетворительно 0,63–0,37
Плохо 0,37–0,20
Очень плохо 0,20–0,00
Значение частного отклика, переведенное в безразмерную шкалу
желательности, обозначается через du (u = 1, 2, ..., q) и называется
частной желательностью (от фр. desirable – желательный). Шкала
желательности имеет интервал от 0 до 1. Выбор отметок на шкале
желательности 0,63 и 0,37 объясняется удобством вычислений:
0,63 ≈ 1 – (1/е), 0,37 ≈ 1/е. Значение du = 0,37 обычно соответствует
границе допустимых значений.
Идея использования функции желательности в качестве параметра оптимизации заключается в том, что значение каждого из параметров оптимизации (yи), которых в задаче может быть сколь угодно
много, переводится в соответствующую желательность (du), после
чего формируется так называемая обобщенная функция желательности (D), представляющая собой среднее геометрическое желательностей отдельных параметров оптимизации:
q
���Dd
12
(4.10)
,
q
где q – число изучаемых параметров оптимизации.
В результате обобщенная функция желательности оказывается
единственным параметром оптимизации взамен многих.
Возможны два варианта перевода значения параметра оптимизации
(например, того или иного свойства сплава) в соответствующую желательность. Выбор варианта определяется видом ограничений, установленных для данного свойства.
а б
Если эти ограничения односторонние, т.е. имеют вид у < y
у < y
, то функция желательности
min
max
или
выражается уравнением
y
−
′
u
−
e
��de
=
u
(4.11)
где
некоторая безразмерная вели-
y
′
u
чина, линейно (чаще всего), а иногда
нелинейно связанная с yu.
Графически функция (4.11) показана на рис. 4.2, а. Построение
этого графика следует из табл. 4.3.
Рис. 4.2. Функция желательности для односторонних (а) и двусто ронних (б) огра-
ничений на параметр опти мизации
49
Таблица 4.3. Данные для построения графика функции желательности
′
yy
nm
()
()
xm
y
u
–4 54,598 0 0
–3 20,086 0 0
–2 7,3891 0,00060 0
–1 2,7183 0,06587 0,07
0 1 0,3679 0,37
1 0,3679 0,6907 0,70
2 0,1353 0,8740 0,87
3 0,04979 0,9512 0,95
4 0,01832 0,9802 0,98
a=e
–y′
d=e
–a
d
округл
Если ограничения для свойства двусторонние, т.е. имеют вид
≤≤ ,
mi
жением
y
функцию желательности удобно задавать вы ра -
ax
n
−
y
′
u
de
=
� ,
u
(4.12)
где n – положительное число;
yy y
−+
2
u
y
=
�
′
u
ma
−
yy
maxmin
in
(4.13)
.
В формуле (4.13) значением yu задаются исходя из требований к
нему (см. пример ниже). Принимают также du, соответствующее
принятому yu (см. там же).
Графически функция (4.12) показана на рис. 4.2, б. Показатель
степени n можно вычислить, если задать некоторому свойству yu
значение du (предпочтительно в интервале 0,6 < du < 0,9), подсчитать
по (4.13) соответствующую величину
а затем воспользоваться
y
,
′
u
выражением
1
ln ln
d
n
=′�
ln
u
(4.14)
.
y
u
Выбирая разные значения n, можно задавать различную кривизну
кривой желательности. Это обстоятельство позволяет учесть особую
важность отдельных свойств: для них п будет иметь большее значение, и малому изменению свойства вблизи ограничивающих пределов будет соответствовать резкое изменение желательности. Покажем
использование функции желательности на следующем примере.
В одной из задач изучали влияние состава и условий температурновременной обработки на предел прочности при растяжении (y1),
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]