Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ исходных данных при статистической обработке результатов научных исследований. Учебное пособие
.pdf
жидкотекучесть (y2), горячеломкость (y3) и твердость (y4) синтетиче-
⋅− +
()
−
==
,.
=
�
′
ских чугунов. Требовалось получить чугун с пределом прочности не
менее 0,245 ГПа (25 кгc/мм2), при жидкотекучести (по спиральной
пробе) не менее 750 мм, горячеломкости (по кольцевой пробе) не
более 45% и твердости НВ не менее 180 и не более 250. Таким образом, в трех случаях ограничения на свойства были односторонними:
y1 ≥ 25; y2 ≥ 750; y3 ≤ 45; а в одном – двусторонние: 180 ≤ у4 ≤ 250.
Некоторые результаты экспериментов приведены в табл. 4.4. Указанные здесь значения свойств переведены в соответствующие желательности di.
Таблица 4.4. Использование обобщенной функции желательности
d
1
Жидкочекучесть
(Ж)
y2, мм d
Номер
сплава
Предел прочности (sb)
y1, кгс/мм
1 14,4 0,14 455 0,25 55,5 0,10 296 0,02 0,09
2 35,0 0,64 160 0,17 63,0 0,01 310 0,01 0,06
3 29,4 0,48 450 0,25 52,5 0,20 296 0,02 0,15
4 12,0 0,11 900 0,45 35,0 0,70 235 0,47 0,36
5 30,0 0,51 540 0,28 33,5 0,72 277 0,10 0,32
6 23,6 0,30 840 0,39 15,0 0,92 212 0,99 0,57
2
Горячелом-
кость (Г)
y3, % d3y4, НВ d
2
Твердость (НВ)
4
D
На рис. 4.3 показаны функции желательности (4.11) для свойств
у1, у2, у3, а также функция (4.12) – для у4. Ограничение твердости HB
снизу вызвано требованием прочности, а сверху – требованием обрабатываемости. Для последней твердости рассчитывали n, задав
значению HB 200 величину du = 0,8.
Тогда по формуле (4.13)
2200 250 180
=
′
и по формуле (4.14)
250 180
ln ln
n
ln ,
08
043
1
,
В данном случае функция (4.12) имела вид
178,
y
−
�
′
()
de
u
Именно эта функция (4.15) и показана на рис. 4.3 (кривая 2).
Далее установили линейную связь (отметим, что в общем случае она может быть и криволинейной) между yu и
=−yu�
043,
178
(4.15)
.
для y1, y2, y3
y
u
51
′
=
16
′
=
′
=
–.
′y
Рис. 4.3. Перевод свойств синтетических чугунов в соответствующие желательности:
1 – функция желательности (4.11) для у1, у2 и у3; 2 – функция желательности (4.12) для у4; 3, 4, 5, 6 –
прямые для перевода значений соответственно у1, у2, у3, у4 в d1, d2, d3, d4; • – реперные точки
с помощью реперных точек. Например, для предела прочности необходимо получить 0,245 ГПа (y1 = 25 кгс/мм2). Будем считать это
желательностью d = 0,37 (из рис. 4.2, а этому соответствует
y10
).
Если удается получить чугун с пределом прочности 0,49 ГПа (у1 =
= 50 кгс/мм2), будем считать это желательностью d = 0,80 (из рис. 4.2, а
этому соответствует
). Установленные аналогичным образом
=y
,
′
1
реперные точки для остальных свойств сведены в табл. 4.5. Отметим,
что для у4 реперные точки устанавливаются автоматически
(см. рис. 4.2, б), поскольку у
y
1
u
Свойства y
y1 (σb) 25
y2 (жидкочекучесть) 750 0,37 0
y3 (горячеломкость) 300 0,20 –0,45
y4 (твердость) 45
52
Таблица 4.5. Реперные точки
имеет место при
mах
u
50
0
250
180
d
0,37
0,80
0,37
0,98
0,37
0,37
а y
yu1,
u
– при
min
u
0
1,6
0
4
1
–1
С помощью реперных точек на рис. 4.3 проведены прямые линии
34
,.
3, 4, 5, 6, по которым для каждого экспериментального значения yu
графически определяется соответствующая желательность du.
Проиллюстрируем схему пользования полученной своеобразной
номограммой (см. рис. 4.3). Например, у сплава 1 (табл. 4.4) у1 =
= 14,4 кгс/мм2. На рис. 4.3 по пути, указанному пунктирными стрелками, находим, что для у1 = 14,4 d1 = 0,14.
Таким образом, найдены и в табл. 4.3 представлены соответствующие желательности для каждого свойства всех сплавов. Это позволяет установить обобщенную функцию желательности D, характеризующую уровень качества каждого сплава. Формула (4.10) в данном случае имеет вид
4
Ddddd=
12
.
Например, у сплава 1 (см. табл. 4.4) d1 = 0,14; d2 = 0,25; d3 = 0,10;
d4 = 0,02. Следовательно,
4
D =⋅⋅⋅ =014025 010002 009
,,,,
Значения
D для всех сплавов также приведены в табл. 4.4.
Краткое рассмотрение полученных результатов (см. табл. 4.4) показывает, что, например, у сплава 1 все показатели низкие и, естественно, низкое значение D. Сплавы 2 и 3 – наиболее прочные, но
для них характерны низкие литейные свойства и высокая твердость,
поэтому плохая обрабатываемость резанием. В результате комплексный показатель их качества низок. У сплава 4, наоборот, хорошие
литейные свойства и удовлетворительная твердость, но низкая прочность, поэтому и обобщенная функция желательности этого сплава
невелика. Наконец, сплав 6 лучший в ряду рассмотренных именно
потому, что имеет набор свойств, почти удовлетворяющих заданным
ограничениям.
Следует отметить, что в задачах со многими параметрами оптимизации можно формулировать несколько обобщенных функций
желательности, включая в них разные наборы свойств в зависимости
от предъявляемых требований. Например, при разработке жаропрочных сплавов можно не включать в функцию желательности характеристики пластичности, если речь идет о литейных сплавах, и включать эти характеристики, если сплавы предполагается сделать
деформируемыми.
В ряде работ изучали влияние методов вторичного рафинирования
и чистоты шихты на качество сталей типа 30-35ХГСА. Рассматривали
две обобщенные функции желательности. Одна из них служила для
оценки качества стали без учета стоимости передела и включала наиболее важные стандартные характеристики механических свойств.
Другая, кроме того, включала один из эко номических показателей и
тем самым определяла стоимость относительного прироста свойств
53
с точки зрения металлургического производства. Естественно, что
jj
oo
/,
xm
по разным функциям желательности способы плавки, рафинирования и чистота шихты располагались в разных ранжировочных
рядах.
В работе [14] использовали четыре разных набора свойств и соответственно четыре обобщенные функции желательности, позволившие проанализировать с разных точек зрения механические,
технологические и эксплуатационные свойства группы цементуемых
сталей.
При производстве синтетических чугунов непосредственно по
заводским условиям [15] использовали обобщенную функцию жела
тельности, включавшую такие показатели, как выбиваемость готовых отливок из кокиля, трещиноустойчивость отливок, отбеливаемость и жидкотекучесть чугуна, а также его предел прочности при
растяжении.
Заметно помогло использование обобщенной функции желательности при решении задачи разработки составов высокопрочных
электродов, предназначенных для сварки магистральных газопроводов [16]. Функция желательности в этом случае включала шесть характеристик механических свойств электродов, в том числе и ударные свойства при отрицательных температурах. Построенные для
каждого из этих свойств линейные математические модели не позволяли наметить однозначного направления крутого восхождения.
После же перехода к комплексному показателю качества этот этап
удалось выполнить с большой эффективностью.
Кроме указанных (4.11) и (4.12) в зависимости от постановки задачи можно использовать и другие формы функций желательности.
Например, в работе [17] описан следующий обобщенный показатель
при односторонних ограничениях:
q
�daYY Y
=−
0
∑
()
jj
1
j
=
2
(4.16)
-
где
Yj; a
– желаемое (или заданное) значение параметра оптимизации
Y
jo
– коэффициент веса параметра, устанавливаемый, например,
j
в результате опроса специалистов [18].
В случае, когда все частные параметры совпадают со своими желаемыми значениями, do = 0. Поэтому чем меньше do, вычисленный
по указанной формуле, тем лучше. При двусторонних ограничениях
предлагается использовать следующий обобщенный показатель:
q
54
2
YY Y
1
�d
o
a
=
∑
q
j
=
1
−−
jj j
j
YY
maxmin
jj
ma
−
in
(4.17)
.
Наряду с использованием обобщенных параметров оптимизации
=
сокращение их числа возможно за счет использования того (тех)
параметра(ов), который(е) оказывает(ют) наибольшее влияние на
рассматриваемый процесс или объект. Ранжирование параметров
оптимизации по их влиятельности (значимости) можно выполнить
с помощью априорного ранжирования или корреляционного анализа
(«задача о лидере», см. п. 4.2.1).
Методику априорного ранжирования параметров оптимизации
рассмотрим на примере ранжировании факторов (независимых
переменных).
4.2.3. Экспертная оценка роли рассматриваемых факторов
(параметров оптимизации) в обеспечении качества объекта
(процесса)
Априорное ранжирование факторов представляет собой своеобразный психологический эксперимент, когда возможно более
широкому кругу специалистов, работающих в данной области, предлагается расположить (ранжировать) факторы в порядке убывания
степени их влияния на отклик.
Априорное ранжирование обычно осуществляется в несколько
этапов [12, 13, 19].
Этап 1. Постановка задачи, организация и проведение опроса.
Опрос можно проводить методом анкетирования или другим [18]
способом. При ранжировании фактор, оказывающий, с точки зрения
специалистов, наибольшее влияние на отклик, получает ранг 1, следующий за ним – ранг 2 и т.д. Если два или более факторов считаются
равнозначными, им приписываются одинаковые ранги. Специалисту
разрешается включать в анкету дополнительные факторы, если их
список кажется ему неполным. Установлено, что ранжирование
факторов может зависеть от порядка, в котором они предъявлены
специалисту. Поэтому в анкетах порядок расположения факторов
целесообразно сделать случайным и сообщить об этом специалисту
перед началом опроса.
Этап 2. Первичная обработка результатов опроса. Результаты
опроса обычно представляют в форме табл. 4.6. Первичная обработка
m
заключается в подсчете сумм рангов
по столбцам таблицы (m –
a
∑
ij
i
1
число опрошенных специалистов; i – условный номер специалиста;
j – номер фактора; аij – ранг, присвоенный i-м специалистом j-му
фактору), которые являются показателем силы влияния факторов на
отклик.
55
Таблица 4.6. Первоначальные результаты опроса специалистов
∑
θj=
jj
[]
12
Условный номер
специалиста i
1 2 3 4 5
1 3 4 1 2
2 4 3 2 1
3 2 2 1 1
4 2 1 1 1
5 3 4 2 1
6 1 3 4 3
7 1 2 4 2
8 1 1 1 1
9 1 1 2 2
10 2 1 3 4
11 2 3 4 1
12 2 3 4 1
13 1 4 3 2
14 1 4 3 2
a
ij
j
θ ()1
x
26
1
2
Факторы (j)
x
2
36
4
35
x
3
3
25
x
4
1
Сумма рангов служит критерием для ранжирования факторов.
Ранг
получает тот фактор, для которого сумма рангов, при-
1
своенных всеми специалистами, будет минимальной.
Этап 3. Переформирование рангов. Установлено, что одни специ-
алисты проводят ранжирование уверенно (например, специалисты 1-й, 2-й, 5-й, 6-й в табл. 4.6), а другие, хотя и различали факторы,
но менее уверенно (специалисты 3-й, 4-й, 9-й в табл. 4.6). Так,
3-й специалист приписал двум факторам х3 и х4 ранг 1, а двум факторам х1 и х2 – ранг 2. В таких случаях вводятся так называемые
связанные ранги и проводится переформирование рангов. Если
факторы xj, xh и хl имеют одинаковые ранги и разделяют, например,
места n, (n + 1) и (n + 2), то их переформированный ранг будет равен
[n + (n + 1) + (n + 2)]/3. Переформированные результаты опроса спе-
циалистов указаны в табл. 4.7. Точно так же, как при первичной обработке результатов, определяются суммы рангов по столбцам и
ранги θj(2).
Этап 4. Проверка адекватности, первоначальной и переформиро-
ванной таблиц результатов опроса. В общем случае гипотезу об адекватности можно проверить по коэффициенту ранговой корреляции
rs Спирмена:
r
=−
s
1
kk
3
k
6
−
()−()
⋅
θθ,
∑
1
j
=
2
(4.18)
где k – число факторов.
56
Таблица 4.7. Переформированные результаты опроса специалистов
∑
∆
∑
()
()
//
12
tt
Условный номер
специалиста i
1 3 4 1
2 4 3 2
3 2,5 2,5 1,5 12
4 2 2 2 2 60
5 3 4 2 1 0
6 1 2 4 3 0
7 1 3 4 2 0
8 2,5 2,5 2,5 2,5 60
9 1,5 1,5 2,5 1,5 12
10 2 1 3 4 0
11 2 3 4 1 0
12 2 3 4 1 0
13 1 4 3 2 0
14 1 4 3 2 0
a
ij
θj(2)
∆
j
2
j
x
28,5
2
–5
25
1
Факторы (j)
x
2
39,5
4
6
36
x
38,5
3
5
25
T
T
∆
i
=144
i
2
j
122∑=
3
x
27,5
1
–6
36
4
Если rs = 1, то ранжировки полностью совпадают, а если rs = –1,
то ранжировки полностью противоположны. В случае rs = 0 между
ранжировками нет никакого соответствия. Статистическую значимость rs можно проверить по критерию Стьюдента, наблюдаемое
значение которого определяется по формуле
tr rk
=−
Hs s
2
(4.19)
−
.
Коэффициент rs считается статистически значимым (отличным
от нуля), если
H≥кр
Значение
.
определяется по таблице рас-
t
кр
пределения Стьюдента для уровня значимости a/2 и числа степеней
свободы f = k – 2 (значения
приведены в Приложении 3).
t
кр
Если таблицы окажутся неадекватными, необходимо провести
анкетирование снова. Причинами неадекватности может быть либо
недостаточно высокая квалификация специалистов, либо неоднозначное понимание ими каждого фактора.
Этап 5. Проверка наличия согласованности в мнениях специалистов.
Гипотезу о наличии согласия во мнениях специалистов проверяют с
помощью коэффициента Кендэла (коэффициента конкордации):
57
для несвязанных рангов
W
∆
∆
==
∑∑
11
Ttt
ijj
=−
(),
χ
=−
()
⋅
χχ
χχ
χ
=⋅⋅=,,
,.
χ
для связанных рангов
где
суммы рангов:
– отклонение суммы рангов для j-го фактора от средней
j
W
12
=
23
()
mk k
k
=
12
∑
1
j
=
23
()
mk kmT
m
∆
a
j
ij
i
k
∑
j
=
1
k
2
(4.20)
⋅
∆ ;
∑
−
−
1
k
jki
3
j
1
j
=
2
j
∑
−
m
a=−
ij
=
1
(4.21)
,
m
∑
i
1
i
=
(4.22)
;�
tj), (4.23)
где tj – число одинаковых рангов при i-ранжировании; m – число
экспертов.
Например, если 3-й специалист приписал каждой паре факторов
одинаковые ранги, то T3 = (23 – 2) + (23 – 2) = 12, а если 4-й специалист приписал одинаковые ранги четырем факторам, то T4 =
= 43 – 4 = 60.
Коэффициент конкордации W меняется от 0 (согласие во мнениях отсутствуют) до 1 (полное согласие). Статистическую значимость коэффициента W оценивают с помощью критерия Пирсона
c2. Наблюдаемое значение критерия определяется по формуле
если
доверительной вероятности P и числа степени свободы f = k – 1.
Если
так как либо квалификация специалистов низка, либо изучаемый
объект слишком сложен. В табл. 4.7 приведены результаты расчетов
по формулам (4.22) и (4.23). Тогда согласно (4.21) и (4.23) W = 12 ×
× 122/[142 ∙ (43 – 4) – 14 ∙ 144] = 0,15;
= 0,95 и f = 13 находим
между специалистами нет.
пень влияния каждого фактора на отклик можно характеризовать:
58
2
mk W .
н
Гипотеза о наличии согласия между специалистами принимается,
2
≥k,
н
2
≤k,
н
2
2
2
где
определяется из Приложения 4 для принятой
χ
k
то необходимо проводить повторное анкетирование,
2
χ
k
22 36=
Поскольку
(4.24)
1
2
14 3015 63
н
2
2
<
χ
,
н
k
При P =
.
то согласия
Этап 6. Анализ и интерпретация результатов ранжирования. Сте-
m
суммой рангов
приписанных данному фактору;
a
,
ij
i
=∑1
m
=
aa
/.
aR
Hj
()
aa
()
xm
ji
xm
�
′
средним рангом
коэффициентом весомости Mj
1
a
j
a
=
�
;
∑
ij
�
m
i
1
m
=
∑∑∑
i
===
i
111
imj
k
ij
Чем меньше каждая из этих характеристик, тем больше значи-
мость фактора.
Для анализа результатов ранжирования строятся априорные диаграммы рангов (рис. 4.4). Если убывание силы влияния почти экспоненциальное (рис. 4.4, a) или параболическое, значит, есть возможность разделить факторы на группы и отсеять несущественные.
Если же сила влияния изменяется почти линейно (рис. 4.4, б), следует
включить в эксперимент все факторы. Почти равномерное распределение факторов по суммам рангов говорит о том, что либо специалисты не cмогли выбрать среди предложенных наиболее сильно
влияющие факторы, либо все факторы действительно влияют сильно,
либо недостаточно априорной информации. В данном случае в эксперимент включаются все факторы.
Проверку правильности разбиения факторов на группы можно
проводить с помощью
– критерия Линка – Уоллеса. Наблюда-
K
кр
емое значение этого критерия определяется по формуле
KR
=⋅
νν�
/
()
(4.25)
,
∑
�
j
=
j
1
′
где ν – число сравниваемых средних рангов в группе;
мах сравниваемых средних в группах,
Ra a
=−
ji
ma
номер сравниваемой группы;
здесь j – номер фактора, i – номер эксперта;
,
j
in
– размахи выборок, средние зна-
R
j
Ra
jj j
чения которых сравниваются.
а б
Рис. 4.4. Априорные диаграммы рангов:
а – экспоненциальная; б – линейная
– раз-
Ra
j
=−
ma
� ;
in
j
–
59
Если
KK
≤
H
где
,
кр
– табличное значение критерия, то счи-
K
кр
тается, что сравниваемые средние не различаются между собой (значения
для P = 0,95 приведены в Приложении 5).
K
кр
По результатам экспертной оценки априорной информации, если
получены адекватные таблицы опроса специалистов при наличии согласованности их мнений (желательно), определяют наиболее важные
факторы или параметры оптимизации, которые затем учитываются
(используются) при проведении эксперимента. Незначимые факторы
или параметры оптимизации исключаются из эксперимента.
4.3. Выбор факторов, влияющих на изучаемый процесс
или объект, минимизация их числа
4.3.1. Методы выбора основных факторов, влияющих
на изучаемый процесс (объект)
Перед проведением исследований наряду с задачей выбора параметров оптимизации необходимо решить задачу выбора факторов,
существенно влияющих на изучаемый процесс или объект. Вначале
необходимо составить список всех факторов, которые могут влиять
на изучаемые параметры оптимизации. Это может быть сделано на
основании анализа природы объекта, имеющейся априорной информации, опроса специалистов и другими методами. Затем следует
выделить доминирующие факторы.
Для правильного отображения объекта необходимо, чтобы его
математическая модель включала все факторы, существенно влияющие на выходную величину. Отсутствие в модели хотя бы одного
из существенных факторов может повлечь за собой ошибочную
интерпретацию явлений, протекающих в объекте. В свою очередь
это может явиться причиной многих ошибок в решениях, принимаемых с помощью модели. Например, расчетное положение оптимума
окажется значительно удаленным от действительного и т.п. Кроме
того, модели, в которые входят не все доминирующие факторы, как
правило, являются неадекватными.
При исследовании сложных процессов, на которые воздействует
большое число факторов, обычно заранее не известно, какие из этих
факторов следует считать доминирующими. В сложных промышленных процессах, особенно в так называемых больших системах, число
различных факторов может быть очень большим – от десятков до
нескольких сотен. Степень же влияния этих факторов весьма различна. Как правило, лишь небольшое число факторов оказывает
существенное влияние на выходную величину, а остальные воздействуют на нее незначительно. Задача заключается в том, чтобы
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]