Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ исходных данных при статистической обработке результатов научных исследований. Учебное пособие
.pdf
Кроме того, планирование эксперимента позволяет значительно со-
,,,.
()
=
()
,,
кратить его объем и повысить точность получаемых результатов.
Основа методов статистического планирования эксперимента –
использование упорядоченного плана расположения опытных точек
в факторном пространстве и перехода к новой системе координат.
В технических задачах показатель y эффективности процесса,
объекта (параметр оптимизации) зависит от большего числа факторов
следования, когда при определении влияния нескольких факторов
проводят последовательные опыты, в каждом из которых изменяется
лишь один фактор, а остальные остаются постоянными, для установления зависимости
опытов. Например, для исследования влияния семи факторов на
какой-нибудь параметр, беря четыре уровня факторов при обычном
однофакторном эксперименте, требуется провести 47 = 16 384 опыта.
И это в случае, если нам известна ошибка опыта, т.е. не нужно повторять опыты в каждой точке. Применение планирования экспериментов позволяет резко сократить число опытов (в данном случае
оно составит 27 = 128 опытов), повысить их точность, установить как
роль отдельных факторов, так и их взаимодействие. При планировании многофакторного эксперимента применяется план эксперимента, в котором регламентируются значения факторов в каждом опыте,
число опытов и порядок их проведения. Реализация плана позволяет
получить модель процесса (объекта) и оценить ее адекватность.
xx x
При использовании классического метода ис-
k12
yfxx x
,
12
требуется большое число
k
2.4. Требования к планам экспериментов
Развитие теории эксперимента привело к созданию критериев и
методов формирования оптимальных планов многофакторных экспериментов. В соответствии с принципом оптимальности плана он
должен обладать некоторыми оптимальными свойствами с точки
зрения определенного, заранее выбранного критерия или группы
критериев. Критерии оптимальности плана эксперимента, целью
которого является построение математической модели объекта, можно разбить на три группы. К первой группе критериев относят критерии, связанные с точностью оценок коэффициентов регрессии, ко
второй – связанные с ошибкой в оценке самой модели, к третьей –
связанные с трудоемкостью обработки результатов эксперимента.
К первой группе относятся критерии A, D и E. План называется
A-оптимальным, если сумма дисперсий оценок коэффициентов регрессии будет минимальной; D-оптимальным – если определитель
информационной матрицы плана будет минимальным, т.е. при этом
минимизируется обобщенная оценка коэффициентов регрессии;
21
Е-оптимальным – если план минимизирует максимальное значение
дисперсии оценок коэффициентов
регрессии. Связь между данными
критериями для двухмерной задачи
показана на рис. 2.4. На нем изображен эллипсоид рассеяния оценок
коэффициентов регрессии. Согласно критерию А минимизируется сум-
ма квадратов сторон описанного прямоугольника, т.е. диагональ
прямоугольника, согласно крите-
Рис. 2.4. Эллипсоид рассеяния оценок
коэффициента регрессии
рию D минимизируется площадь
эллипса рассеяния; согласно критерию Е – его большая ось.
Ко второй группе критериев относятся критерии G и Q. План называется G-оптимальным, если он минимизирует максимальную
дисперсию предсказанных моделью значений отклика; Q-опти-
мальным – если он соответствует минимуму средней дисперсии значений отклика по отношению к предсказанным моделью.
К третьей группе критериев относится критерий ортогональности
плана, который требует такого выбора точек факторного пространства для измерений отклика, чтобы процедура вычисления оценок
параметров модели данного вида была самой простой.
В таком случае значения каждого параметра модели вычисляются
независимо от значений других параметров.
К планам могут предъявляться и другие требования, например
композиционности, униформности и ротатабельности.
Композиционность – это свойство плана, позволяющее разделить
эксперимент на несколько этапов и постепенно переходить от простых моделей к более сложным, используя результаты предыдущих
наблюдений. Например, сначала составляется и реализуется план
для оценки коэффициентов регрессии полинома первого порядка.
В случае необходимости на втором этапе к имеющемуся плану добавляется несколько измерений в определенных точках факторного
пространства так, что все измерения вместе дают возможность оценить коэффициенты регрессии модели второго порядка, и т.д.
Униформность – критерий, требующий, чтобы дисперсия предсказания отклика в некоторой области вокруг центра эксперимента
была практически постоянной.
План называется ротатабельным, если дисперсия предсказания
отклика может быть представлена как функция расстояния до центра
плана. Выполнение этого условия делает любое направление от центра плана равнозначным в смысле точности оценки отклика.
22
При планировании эксперимента используется принцип рандоми-
зации плана, позволяющий свести эффект некоторого неслучайного
фактора, который не поддается учету и контролю, к случайной ошибке.
Этот фактор можно рассматривать как случайную величину и учитывать или нейтрализовать его влияние статистически. Рандомизация
плана предполагает случайный порядок реализации опытов (строк
матрицы плана), что позволяет устранить в математической модели
смещения, вызванные действием неконтролируемых неслучайных
факторов. При других статистических исследованиях рандомизация
предусматривает случайный выбор анализируемых элементов из общей
совокупности, подлежащей изучению. Тем самым обеспечивается представительность полученной выборки, т.е. гаран тируется возможность
с помощью измерения свойств конечного набора элементов высказать
обоснованное суждение обо всей совокупности в целом [4, 5, 6].
Эксперименты проводят для решения оптимизационной или ин-
терполяционной задачи. В обоих случаях стремятся получить модель
процесса (объекта). С ее помощью при решении первой задачи определяют значения факторов, при которых функция отклика получает
экстремальное значение (max или min). При решении второй задачи
с помощью модели получают значения функции отклика при значениях факторов, отличных от изученных.
2.5. Задачи выбора условий выполнения
многофакторных экспериментов
Перед проведением многофакторного эксперимента необходимо
решить следующие задачи.
1. Выбрать параметр(ы) оптимизации – показатель(и) работы
объекта или характеристику(и) процесса, наиболее полно описывающие их свойства.
2. Уменьшить число параметров оптимизации.
3. Установить факторы, влияющие на изучаемый процесс или
объект.
4. Выбрать факторы, в наибольшей степени влияющие на изучаемый процесс или объект.
5. Уменьшить число факторов, включаемых в модель процесса
(объекта).
6. Определить область изменения каждого фактора, внутри которой функция отклика принимает экстремальное значение.
В гл. 4 рассмотрены некоторые методы решения указанных задач.
Ранее в п. 2.2 были рассмотрены задачи выбора условий однофакторного эксперимента. Задачи 3–6 стоят и при планировании
многофакторных экспериментов. Их необходимо решить для каждого из выбранных независимых переменных (факторов).
23
2.6. Развитие методов планирования
многофакторных экспериментов
Рассмотрим основные этапы развития методов планирования
многофакторных экспериментов [7].
Создание статических методов планирования эксперимента связано с именем английского биолога Р.А. Фишера. В начале 1920-х гг.
он предложил решать задачу селекции растений закладкой одновременно большого числа участков, на которых высевались различные варианты скрещивания растений. Им также были предложены
методы обработки и анализа результатов. В 1935 г. Р. Фишер опубликовал монографию «Планирование эксперимента», давшую название
новому методу исследования. Планирование эксперимента применялось Р. Фишером в задачах с дискретными факторами, решаемых
с помощью дисперсионного анализа. Исследование «поверхности
отклика» и механизма явлений с непрерывными факторами стало
возможным только после 1951 г., когда появилась работа Г. Бокса и
К. Уилсона [1]. Развитие современных идей планирования эксперимента для оценивания параметров моделей с помощью регрессионного анализа связано с именем американского математика Д. Кифера
[2]. Следующим этапом развития теории планирования экспериментов стало создание им принципов оптимального эксперимента [3].
Построенный Р. Фишером дисперсионный анализ (1918–1925)
был первым методом планирования эксперимента. Исследования
Р. Фишера, проводившиеся в связи с работами в агробиологии, знаменуют начало первого этапа развития методов планирования.
Далее Р. Фишер разработал метод факторного планирования.
Ф. Ятс предложил для этого метода простую вычислительную схему.
Факторное планирование также получило широкое распространение.
Особенностью полного факторного эксперимента является необходимость ставить сразу большое число опытов. Это вполне пригодно
в агробиологии, но связано со значительными трудностями в технических приложениях.
Г. Хотеллинг в 1941 г. обратил внимание на то, что многие практические, особенно технические, задачи можно рассматривать как
экстремальные. Он предложил находить экстремум по экспериментальным данным с использованием степенных разложений и градиента (подробно для случая одной независимой переменной). Проблемы, поставленные Второй мировой войной, привели к интенсификации исследований в этом направлении.
В 1945 г. П.Д. Финней ввел дробные реплики от факторного эксперимента. Это позволило резко сократить число опытов и открыло
дорогу техническим приложениям планирования. Другая возмож-
24
ность сокращения необходимого числа опытов была описана в 1946 г.
Р.Л. Плаккеттом и Д.П. Берманом, которые ввели насыщенные факторные планы.
Следующим важным этапом стало введение принципа последовательного шагового экспериментирования. Этот принцип, высказанный
в 1947 г. М. Фридманом и И.Д. Сэвиджем, позволил распространить
на экспериментальное определение экстремума известный в математике прием – итерацию. Идейно работа примыкает к работам А. Вальда
по последовательному анализу, сформировавшемуся в 1943–1950 гг.
Чтобы построить современную теорию планирования эксперимента, не хватало одного звена – формализации объекта исследования. Это звено появилось в 1947 г. после создания Н. Винером кибернетики. Кибернетическое понятие «черный ящик» играет в планировании важную роль. Кроме того, кибернетика стимулировала
развитие вычислительной техники, дав в руки исследователей инструмент, позволяющий быстро решать возникающие при планировании математические задачи.
В 1951 г. работой американских химиков Г.Е.П. Бокса и К.Б.Д. Уилсона начался второй этап развития планирования эксперимента [1].
Эта работа подытожила предыдущие. В ней ясно сформулирована и
доведена до практических рекомендаций идея последовательного
экспериментального определения оптимальных условий проведения
процессов с использованием оценки коэффициентов степенных разложений методом наименьших квадратов, движения по градиенту и
отыскания интерполяционного полинома (степенного ряда) в области
экстремума функции отклика («почти стационарной» области).
В 1954–1955 гг. Г.Е.П. Бокс, а затем Г.Е.П. Бокс и П.В. Юл показали, что планирование эксперимента можно использовать при исследовании физико-химических механизмов процессов, если априори высказаны одна или несколько возможных гипотез. Здесь планирование эксперимента пересекалось с исследованиями по
химической кинетике. Интересно отметить, что кинетику можно
рассматривать как метод описания процесса с помощью дифференциальных уравнений, традиции которого восходят к Ньютону. Описание процесса дифференциальными уравнениями, называемое
детерминистическим, нередко противопоставляется статическим
моделям. Указанные работы наметили конкретный путь сближения
этих подходов. Тем не менее, если кинетическая модель уже известна,
возникает вопрос о планировании эксперимента для уточнения полученных ранее констант. Это направление также получило развитие,
в частности в работах Н.П. Клепикова и С.Н. Соколова, в связи с
задачами ядерной физики.
Если для первого этапа развития планирования эксперимента характерны полевые и лабораторные агробиологические исследования,
25
то второй этап – это этап лабораторных, главным образом химических, исследований. Хоть развитие этого направления еще не закончено, но уже можно говорить о третьем этапе – этапе промышленных
экспериментов. Он начался в 1957 г., когда Г.Е.П. Бокс модифицировал свой метод, приспособив его для использования в промышленности. Этот метод стал называться эволюционным планированием.
Почти одновременно с эволюционным планированием
Г.Е.П. Бокс и В.Г. Хантер сформулировали принцип ротатабельности
для описания «почти стационарной» области, развивающийся к настоящему времени в важную ветвь теории планирования эксперимента. В той же работе показана возможность планирования с разбиением на ортогональные блоки, указанная ранее Де Бауном Р.
Дальнейшим развитием этой идеи было планирование, ортогональное к неконтролируемому временному дрейфу, которое следует рассматривать как важное открытие в экспериментальной технике –
значительное увеличение возможностей экспериментатора.
Слабым местом было отсутствие метода оценки риска, связанного
с тем, что в рассмотрение не включен какой-либо важный фактор.
Для преодоления этой трудности в 1957–1959 гг. Ф.Е. Сатерзвайтом
был развит метод «случайного баланса». Этот метод возник не в связи
с общим ходом развития статистических идей, а скорее как прием
формализации психо-физиологических методов решения сложных
задач человеком. Поэтому он вызвал острую дискуссию.
В 1958 г. Г.Д. Шеффе предложил новый метод планирования эксперимента для изучения физико-химических диаграмм состав – свойство. В этом методе, названном симплексной решеткой,
используется то обстоятельство, что состав многокомпонентной
системы дается точкой в правильном симплексе.
Здесь произошло пересечение с химической топологией, созданной Н.С. Курнаковым.
Симплексы оказались пригодными и для построения ротатабельных планов, что было показано в 1960 г. Г.Е.П. Боксом и Д.В. Бенкеным. С. Адельманом в 1961 г. обобщена идея П.Д. Финнея о дробных
репликах. Им построены нерегулярные дробные реплики, которые
в ряде случаев позволяют существенно сократить число опытов.
С развитием средств автоматизации и вычислительной техники
возник вопрос о возможности использования какого-либо алгоритма
планирования при автоматическом управлении процессом с помощью вычислительной машины. Этот вопрос был теоретически решен
в 1962 г. В. Спендлейем, Д. Хекстом и Г. Химсворстом; Г.Е.П. Боксом
и Д. Чанмугамом; Г.Е.П. Боксом и Г.М.Д. Дженкинсом, создавшими
основы теории адаптационной оптимизации.
В этой теории сочетаются идеи планирования, симплекс-планы
и теории случайных функций.
26
Большой вклад в развитие методов планирования экспериментов
xN
il≠ .
внесли российские ученые В.В. Налимов, Ю.П. Адлер, Н.А. Чернова,
Ю.В. Грановский и др.
Следует отметить, что имеется ряд научных концепций, развивающихся параллельно с планированием эксперимента и оказывающих
влияние на его развитие. К их числу кроме уже упоминавшихся относятся теория принятия решений, теория игр, линейное, нелинейное и динамическое программирование, правдоподобные рассуждения, введенные Д. Пойа. Планирование эксперимента входит как
составная часть в более общие концепции: исследование операций
и системотехнику, теорию управляющих систем.
Итак, планирование эксперимента – это определенная методологическая концепция, прошедшая уже в своем развитии интересный путь.
2.7. Свойства и критерии планов эксперимента
Планы эксперимента, ставящего своей целью отыскание линейной модели процесса (часто в виде полиномы первой степени), называют планами первого порядка.
Для матриц таких экспериментов характерны следующие свойства.
1. Свойство симметричности относительно центра эксперимента – алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора
равна нулю:
x
=10,
∑
ij
jN=
где N – число опытов в матрице; j – номер опыта; і – номер
фактора.
2. Свойство нормировки – сумма квадратов элементов каждого
столбца равна числу опытов:
N
2
= .
∑
ij
j
1=
3. Свойство ортогональности – сумма построчных произведений
элементов любых двух столбцов равна нулю:
xx
ij lj
=10.
∑
jN=
где i, l – номера факторов, причем
Ортогональность является одним из наиболее важных свойств
матрицы. Ортогональность матрицы позволяет оценить все коэффициенты уравнения регрессии независимо друг от друга, т.е. величина любого коэффициента не зависит от того, какие величины
имеют другие коэффициенты. Если тот или иной коэффициент
27
регрессии окажется незначимым, его можно отбросить, не пере-
()
()
*/
()
()
считывая остальных.
4. Свойство ротатабельности: точки в матрице планирования подбирают так, что математическая модель, полученная по результатам
полного или дробного факторного эксперимента, способна предсказывать значения параметра оптимизации с одинаковой точностью
в любых направлениях на равных расстояниях от центра эксперимента. Это очень важное свойство матрицы, так как, начиная эксперимент, исследователь не знает, в каком направлении предстоит
двигаться в поисках оптимума.
Американский ученый Джек Кифер рассмотрел несколько различных критериев оптимальности и установил связь между некоторыми из них. Оказалось, что для отдельных видов регрессии одни и
те же планы могут отвечать сразу нескольким критериям оптимальности. Мы остановимся здесь подробно на одном из них – на критерии D-оптимальности. Это критерий совместно эффективных
оценок параметров уравнения регрессии. Естественно выбирать
планирование, обеспечивающее минимальный объем эллипсоида
рассеяния оценок параметров при постановке опытов в заданной
области. План, отвечающий такому требованию, называется
D-оптимальным.
Чтобы удовлетворить требованию D-оптимальности, нужно на
множестве всех планов Х в заданной области пространства выбрать
такой, который максимизирует определитель информационной матрицы
XX N*
1
.
/
Можно сформулировать и ряд других критериев оптимальности,
учитывающих также поведение дисперсий оценок. Перечислим эти
критерии.
План называется А-оптимальным, если он минимизирует сумму
квадратов главных полуосей эллипсоида рассеяния оценок. На языке
матричной алгебры это означает минимизацию следа (суммы диагональных элементов) ковариационной матрицы уравнения регрессии
XX N
.
Е-оптимальный план минимизирует максимальную ось эллипсоида рассеяния, что эквивалентно минимизации максимального характеристического значения ковариационной матрицы уравнения
регрессии.
Наконец, план называется G-оптимальным, если он обеспечивает
наименьшую, по всем планам максимальную величину дис персии
предсказанных значений функции отклика в области пла нирования
эксперимента. Если обобщить понятие плана и ввести непрерывные
1 X*
обозначает матрицу, транспонированную по отношению к матрице X. Протранспонировать матрицу – это значит столбцы исходной матрицы сделать строками транспонированной матрицы, сохранив их последовательность.
28
планы, задаваемые вероятностной мерой (не приводящей после
умножения на N к целочисленным значениям), то можно доказать
следующую очень важную теорему (Д. Кифер, Г. Вольфковиц): план
D-оптимален тогда и только тогда, когда он G-оптимален и когда
максимальная дисперсия предсказанного значения функции отклика
равна числу неизвестных параметров.
Концепция Д. Кифера служит естественным продолжением одного из основных направлений современной математической статистики – теории эффективных оценок Р. Фишера. В этой теории
эффективность оценок задается только оптимальным способом обработки результатов наблюдений. В концепции Д. Кифера эффективность обусловливается еще и оптимальным расположением точек в
пространстве независимых переменных. Если в эмпирико-интуитивном подходе Г. Бокса использовались сравнительно простые математические средства – линейная алгебра, то Д. Кифер применяет
уже достаточно сложную современную математику, включая такие
ее разделы, как функциональный анализ и теория множеств.
Строгая теория Д. Кифера в отличие от интуитивного подхода
Г. Бокса долго не находила практического применения. Планы, построенные в соответствии с концепцией D-оптимальности, требовали
слишком много наблюдений, например при числе независимых переменных k = 5 требовалось более 1000 наблюдений. В лаборатории
статистических методов МГУ с помощью ЭВМ были построены
квази-D-оптимальные планы с достаточно малым числом экспериментальных точек. При этом эффективность эксперимента резко
повысилась за счет использования всего пространства независимых
переменных, отведенного для эксперимента. Далее с позиций
D-оптимальности удалось провести сравнение ранее предложенных
композиционных планов второго порядка.
В общем виде план эксперимента можно считать оптимальным,
если при минимальном числе опытов он обеспечивает максимальную
точность результатов.
2.8. Содержание и задачи эксперимента
Методы предпланирования экспериментов являются частью теории планирования экспериментов.
Эксперимент в ходе развития науки всегда выступал мощным
средством исследования явлений природы и технических объектов.
Но лишь сравнительно недавно он стал предметом исследования.
Пристальное внимание ученых и инженеров к тому, как лучше и эффективнее проводить эксперимент, возникло не случайно, а является
следствием достигнутого уровня и масштаба экспериментальных
29
работ на современном этапе развития науки и техники. Этот этап с
рассматриваемой точки зрения характеризуется ростом общего числа
проводимых экспериментальных работ; увеличением количества
специалистов, занимающихся экспериментальной деятельностью;
существенным усложнением объектов исследования и используемого
экспериментального оборудования; тенденцией к удлинению среднего времени экспериментирования и удорожанию исследований; настоятельной необходимостью всемерного увеличения эффективности
и улучшения качества проводимых исследований; начавшимся процессом внедрения средств и систем автоматизации эксперимента.
Из всего сказанного понятна закономерность появления нового научного направления: теории планирования эксперимента как методологической основы современных экспериментальных исследований.
Известно, что новая наука может возникнуть, если существует
объективная необходимость ее появления и имеется предмет новой
науки, представляющий общенаучный интерес. Сказанное в полной
мере относится и к теории планирования эксперимента. Предмет
исследования этого научного направления очевиден – эксперимент.
Однако особенности планирования, постановки эксперимента рассматриваются и в физике, и в химии, и в прикладных науках. Для того
чтобы эксперимент стал предметом исследования отдельного научного направления, необходимо, чтобы он характеризовался некоторыми чертами, общими для любого эксперимента независимо от того,
в какой конкретной области знаний эксперимент проводится. Такими
общими чертами эксперимента является необходимость:
осуществлять предпланирование эксперимента, включающее
минимизацию числа зависимых и независимых переменных, предварительный анализ исходных данных, определение области изменения каждого фактора, внутри которой функция отклика принимает
экстремальное значение, выбор интервалов между уровнями независимых факторов, порядка проведения опытов при выполнении
пассивного эксперимента и др.;
контролировать любой эксперимент, т.е. исключать влияние
внешних переменных, не принятых исследователем по тем или иным
причинам к рассмотрению;
определять точность измерительных приборов и получаемых
данных;
составлять план проведения эксперимента, наилучший с той
или иной точки зрения;
проверять правильность (приемлемость) полученных результа-
тов и их точность;
выбирать способ обработки экспериментальных данных и фор-
му представления результатов;
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]