Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ исходных данных при статистической обработке результатов научных исследований. Учебное пособие
.pdf
с помощью соответствующих методов выделить и идентифицировать
существенные, доминирующие факторы на «шумовом фоне» всех
остальных факторов. Если попытаться учесть в модели технологического процесса все действующие факторы, это приведет к необходимости выполнить очень большое число опытов (220–230 для 20–
30 факторов при варьировании факторов на двух уровнях). Это практически невозможно, да и не нужно.
Определение факторов, в наибольшей степени влияющих на изуча-
емый процесс (объект), возможно с помощью следующих методов:
выбор факторов, отвечающих требованиям, предъявляемым к
их идентификации;
априорное ранжирование (см. п. 4.2.3);
дисперсионный анализ;
отсеивающие эксперименты с помощью сверхнасыщенных и
насыщенных планов (методы случайного баланса, планы Плаккета –
Бермана, симплекс-планы первого прядка и др.).
4.3.2. Требования к факторам
При планировании эксперимента факторы должны удовлетворять
следующим требованиям:
управляемость – способность фактора сохранять заданное зна-
чение (уровень) в течение эксперимента;
операциональность – наличие списка операций по поддержа-
нию фактора на определенном уровне и его точному измерению;
возможно высокая точность измерения;
однозначность (независимость) – возможность изменения фак-
тора независимо от других;
совместимость – все комбинации факторов должны быть осу-
ществимы и безопасны.
После исключения факторов, не удовлетворяющих указанным
требованиям, следует провести ранжирование оставшихся факторов.
Для этого могут быть использованы перечисленные в п. 4.3.1
методы.
Рассмотрим их основные принципы.
Методика априорного ранжирования была описана в п. 4.2.3.
4.3.3. Отбор наиболее существенных факторов с помощью
дисперсионного анализа
Идея дисперсионного анализа заключается в оценке существенности доли дисперсии параметра оптимизации, вызванной влиянием
какого-либо фактора А.
61
Если эта доля
ϕ()или:
ϕ= −Nk
ϕ>
Nk>
ϕ=0�
Nk=
ϕ<0
Nk<
ii
=
2
np
зации
2
S
y
является существенной (проверка осуществляется с по-
2
по сравнению с дисперсией параметра оптими-
S
A
мощью критерия Фишера), значит, фактор А существенно влияет на
параметр оптимизации.
Методика дисперсионного анализа описана в [20] (п. 8.10.2). Бо-
лее подробно метод дисперсионного анализа рассмотрен в [9] (п. 6.9).
4.3.4. Методы планирования отсеивающих экспериментов
Цель отсеивающих экспериментов – качественная принципиальная оценка степени влияния каждого из рассматриваемых факторов
на параметр оптимизации при минимально возможном числе опытов. Задачи получения математической модели и оценки ее адекватности при этом не ставят.
Минимальное число опытов имеет место при использовании насыщенных и сверхнасыщенных планов эксперимента. Под планом
эксперимента понимается схема проведения опытов, в которой указываются число опытов и уровни факторов в каждом опыте. Обычно
факторы изменяются на двух уровнях. Верхний уровень обозначают
«+», нижний – «–». Степень насыщенности плана определяется
числом степеней свободы
f
(4.26)
,
где N – число опытов; k – число искомых параметров (коэффициентов уравнения регрессии).
Если
и
0
т.е. число проведенных экспериментов пре-
,
вышает число оцениваемых параметров, планы называют ненасыщенными. В этом случае возможна проверка адекватности модели.
При
адекватности здесь уже не остается степеней свободы. При
и
планы называют насыщенными. Для проверки
и
планы называют сверхнасыщенными.
Распространенным методом сокращения числа опытов является
использование дробных факторных планов (см. [20] п. 5.2). Зависимость между параметром оптимизации и факторами здесь принимается в виде линейной модели:
n
ya ax
=+
0
(4.27)
,
∑
1
i
где n – число факторов; i – номер фактора.
Вид зависимости (4.27) предполагает, что эффекты взаимодействия факторов равны нулю. Насыщенные регулярные дробные
факторные планы типа
−
(здесь p – число линейных эффектов,
приравненных к эффектам взаимодействия (см. [20] п. 5.2), содержат
62
число точек эксперимента N (на уровнях +1 и –1), равное числу ис-
kn N=+=1.
aa
�
рa
ϕν=−
()
1.
±tS
�
комых параметров k. Для линейной модели типа (4.27)
Расчет параметров
зависимости (4.27) по результатам дроб-
,
i0
(4.28)
ного факторного эксперимента производится так же, как и для полного факторного эксперимента (см. [20] п. 5.1.3).
Значимость этих параметров (а следовательно, и факторов
xi,
с
которыми эти параметры связаны) проверяется с помощью
t-критерия. При этом проверяется справедливость неравенства
atS
≥⋅�� ,
iк
(4.29)
i
где tкр – критическое значение распределения Стьюдента для задан
ного уровня значимости α и соответствующего числа степеней свободы ϕ оценки дисперсии;
– среднее квадратическое отклонение
S
ai
N
(4.30)
ai;
В формуле (4.30) ν – число повторений наблюдений в каждой
точке плана.
Если нулевое значение
для некоторого параметра
aiкр
признается несущественным, т.е. не оказывающим влияния на
x
i
попадает в доверительный интервал
a
i
то соответствующий фактор
xi,
целевую величину y.
Насыщенный план эксперимента можно получить также методом
Плаккета – Бермана [5, 12, 13, 19].
Для формирования плана по этому методу используют предложенную авторами метода таблицу (табл. 4.8), в которой приведены
первые строки планов для различного числа факторов n. В каждой
строке указано число последовательно расположенных верхних (+)
или нижних (–) уровней данного фактора в первой строке плана.
-
Таблица 4.8. Комбинации знаков, используемых для построения насыщенных планов
n
+ – + – + – + – + – + – + – + – + – +
3
1
7
3
11
2
15
4
19
2
23
5
27
1
31
1
35
1
Плаккета – Бермана
Комбинации знаков в первой строке плана
1
1
1
1
1
1
2
1
1
4
1
2
3
3
1
1
1
4
1
1
1
4
4
1
1
3
3
1
2
2
1
1
1
2
2
1
3
1
1
5
1
3
1
4
2
2
2
1
2
3
1
3
2
1
1
1
1
3
1
2
3
1
4
4
1
1
2
1
5
2
1
2
1
1
1
1
122
1
2 1 2
63
Чтобы получить новую строку плана, сдвигают все элементы
предыдущей строки на одну позицию вправо (или влево), а на освободившуюся первую (или последнюю) позицию ставят последний
(или первый) элемент. Этот процесс повторяется (N–2) раз. Последняя строка плана состоит из элементов –1. Вместо чисел +1 и –1
можно использовать только знаки «+» и «–».
В качестве примера в табл. 4.9 приведен насыщенный план Плаккета – Бермана для n = 11. Если число анализируемых факторов nj
отличается от чисел, указанных в табл. 4.8, то используют ближайший
насыщенный план с n > nj.
Таблица 4.9. Насыщенный план Плаккета – Бермана для n = 11
u x
1 + + – + + + – – – + –
2 – + + – + + + – – – +
3 + – + + – + + + – – –
4 – + – + + – + + + – –
5 – – + – + + – + + + –
6 – – – + – + + – + + +
7 + – – – + – + + – + +
8 + + – – – + – + + – +
9 + + + – – – + – + + –
10 – + + + – – – + – + +
11 + – + + + – – – + – +
12 – – – – – – – – – – –
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
10
11
Например, если анализируется степень влияния 9 факторов, то
используется насыщенный план для n = 11, в котором отбрасываются
два лишних столбца. Получается насыщенный план с относительно
небольшим избытком опытов (в общем случае не более 3).
Построенный насыщенный план является ортогональным, поэтому расчет коэффициентов уравнения (4.27) и их дисперсии может
быть выполнен по формулам, приведенным в [20] (п. 5.1.3). Значимость коэффициентов регрессии можно проверить с помощью неравенства (4.29).
Для отсеивающего эксперимента можно применять также насыщенные симплекс-планы первого порядка, точки которых размещаются
в вершинах симплекса.
Симплексом называется простейшая геометрическая фигура, имеющая в n-мерном факторном пространстве (n + 1) вершину. Для n =
= 2 это треугольник, для n = 3 – треугольная пирамида и т.д. Симплекс-планы для нормированных факторов при n = 4, 5 и 6 приведены в табл. 4.10 [13].
64
Таблица 4.10. Симплекс-планы первого порядка
jn
,,
SN
22
�
δ
n План Константы
*
4 u
5 u x
6 u x
x
1
–1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
1
0
–a
a
a
–1
–1
1
–a
a
–1
–1
a
–a
1
a
a
x
1
1
0
–1
–a
2
a
2
x
1
–1
2
–1
1
–a
a
1
a
3
x
1
–1
a
–a
1
1
2
a
–1
3
a
x
2
3
0
–1
1
–a
2
2
2
2
a
2
x
3
–1
1
–a
1
a
1
2
–1
2
a
3
2
1
3
3
x
3
a
1
–a
2
1
2
a
3
–1
–1
a
–a
–1
–1
–a
–1
–1
x
4
–a
–a
–a
1
1
1
1
a1 = 0,666667
a2 = 0,707107
δ1 = δ2 = δ3 = 1,290994
δ4 = 1,224746
1
x
4
1
1
a
2
a
3
x
4
2
1
a
3
a
1
a
–1
–1
–a
x
5
–a
1
a
2
–1
–1
1
a
3
x
x
5
6
1
a
3
a
–1
3
–1
a
1
a
–a
1
1
2
a
a
2
a1 = 0,181920
a2 = 0,384324
a3 = 0,797596
δj = 1,253767
a1 = 0,654694
a2 = 0,591235
a3 = 0,140923
a = 0,795618
δj = 1,253767
* u – номер опыта.
При использовании указанных планов расчет коэффициентов
регрессии производят по формуле
а дисперсии оценок коэффициентов регрессии – по формуле
В формуле (4.31) Yu – функция отклика в u-м опыте;
табл. 4.10, в формуле (4.32)
перимента, ее определяют с помощью дублирующих опытов.
Для построения сверхнасыщенных планов отсеивающих экспериментов при большом числе факторов используют метод случайного
баланса [12, 13].
Предполагается, что число значимо влияющих факторов xj, их
парных взаимодействий xj xh значительно меньше, чем число коэффициентов регрессии модели типа
N
1
b
jjj
2
=
��
δ ,,
∑
N
1
u
=
Sb
() ,=δ
2
S
в
Yx
()
jj
=
12
u
2
(4.32)
/
в
(4.31)
– из
j
– дисперсия воспроизводимости экс-
65
n
+≠
��
,.
Yb bx bxxh j
=+
∑∑
0
11
j
==
jj
n
j
jh jh
(4. 33)
�
Планы отсеивающих экспериментов в данном случае являются
сверхнасыщенными, где число опытов меньше числа факторов и их
парных взаимодействий (т.е. числа рассматриваемых эффектов влияния). Число опытов N в сверхнасыщенном плане выбирается в зависимости от общего числа факторов n и количества эффектов вли-
яния nэ:
n 8 10 12 14
N 8 16 32 64
n
36 55 78 105
э
План строится следующим образом. В зависимости от числа рассматриваемых факторов выбираются две
одинаковые полуреплики от полного
факторного плана, строки которых
смешиваются случайным образом: из
каждой полуреплики отбирается по
одной строке случайным образом, и
эти строки объединяются в одну с n
элементами. Эта операция выполняется N раз. В табл. 4.11 приведена для
примера полуреплика для n = 8, а в
табл. 4.12 – полученный с помощью
Рис. 4.5. Диаграммы рассеивания
этой полуреплики сверхнасыщенный
план. Обработка результатов экспери-
мента, реализованного согласно сверхнасыщенному плану, проводится с помощью диаграммы рассеяния значений отклика для отдельных эффектов. В качестве примера на рис. 4.5 приведены диаграммы рассеяния значений отклика по уровням пяти факторов.
Таблица 4.11. Полуреплика для n = 8
u x
1 – – – –
2 + – – +
3 – + – +
4 + + – –
5 – – + +
6 + – + –
7 – + + –
8 + + + +
66
1
x
2
x
3
x
4
Таблица 4.12. Сверхнасыщенный план для n = 8
uu
()
=
ν
u x
1 – + – + + + + +
2 + + + + – – – –
3 + – + – + – – +
4 – – – – – + – +
5 + + – – – – + +
6 + – – + + – + –
7 – – + + – + + –
8 – + + – + + – –
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
На каждой диаграмме нанесены все точки по N результатам отсеивающего эксперимента. Эти точки разбиты на две группы: одна
из них характеризует те опыты, где соответствующий фактор был на
верхнем уровне (+), а вторая группа относится к опытам, в которых
тот же фактор был на нижнем уровне (–).
Значимые факторы выделяются прежде всего визуально при сравнении разностей медиан, нанесенных на диаграмме рассеивания.
Медианой называется значение отклика Yм, которое делит совокупность опытных точек, полученных при верхнем (или нижнем)
уровне рассматриваемого фактора, на две равные по числу вариантов
части. Значимыми будут те факторы, у которых разница между медианами достаточно велика. В случае, изображенном на рис. 4.5, это
факторы x1 и x2.
Для приближенной количественной оценки влияния выделенных
факторов строятся вспомогательные таблицы с n входами. Вспомогательная таблица представляет собой матрицу полного факторного
эксперимента 2n. В качестве условного отклика в этой таблице
вычисляется
Z
u
p
u
1
=
p
u
(4.34)
Y
,
∑
u
ν
=
1ν
где
условный отклик для u-й строки вспомогательной таблицы;
Z
u
pu – частота значений исходного отклика Yi, приходящаяся на u-ю
строку вспомогательной таблицы.
В качестве примера на основании данных рис. 4.5 построена
вспомогательная таблица с двумя входами для x1, x2 (табл. 4.13).
Во вспомогательной таблице производятся также вычисления построчной дисперсии.
p
u
S
u
P
u
∑
1=−
1
YZ
ν
1
2
2
−
(4.35)
.
67
Таблица 4.13. Вспомогательная таблица
uu
()
()
=
()
=
Sq
22
()=()
/,
()
=−
=
tt
нк
>
u x1x
1 – – 55; 69; 80; 91; 99 5 78,8 1220,8 305,2
2 + – 105; 115; 125 3 115 200 100
3 – + 50; 60; 65 3 58,3 116,7 58,4
4 + – 25; 84; 96; 110; 120 5 97 1352 338
2
Y
un
p
u
Z
u
∑
Y–Z
2
n
2
S
u
S16
Коэффициенты регрессии приближенной модели для выделенных
факторов определяются по формулам:
q
1
b
=
j
b
=
jh
xZ
∑
q
u
1
q
1
xxZ
∑
q
u
=
1
(4.36)
;
j
u
(4.37)
jh
,
u
где q – количество строк вспомогательной таблицы.
Для проверки значимости полученных приближенных коэффи-
циентов регрессии необходимо определить дисперсию их оценок:
q
2
1
−
()
p
u
q
u
1
−
1
(4.38)
;
∑
p
u
u
1
=
=
(4.39)
o
где
2
S
о
22
Sb Sb
2
– остаточная дисперсия.
S
о
Sp
∑
u
1
u
=
=
q
∑
()
1
u
jjh
Наблюдаемое значение критерия Стьюдента
Критические значения критерия
нию 6 при выбранной доверительной вероятности P и условном числе
опытов:
Если
эффект являются статиcтически значимыми.
68
b
t
н
то коэффициент регрессии и соответствующий ему
,
р
j
=
sbbsb
()
j
q
� �mpq
∑
u
u
1
jh
=
t
u
(4.40)
.
jh
определяются по Приложе-
кр
(4.41)
+
1.
Обработка данных табл. 4.13 указанным методом дала следующие
>
≤
()
=
1,
результаты: b1 = 18,7; b2 = –9,6; b12 = 0,63; S(bj) = 4,01; t
= 2,4; t
= 0,12; mu = 13.
н
12
Критическое значение критерия Стьюдента для P = 0,95 и m = 13,
= 4,68; t
н
1
=
н
2
согласно Приложению 6, tкр = 2,179. Следовательно, статистически
значимыми будут эффекты x1 и x2, а эффект взаимодействия x1x2
статистически незначим.
Статистический анализ данных вспомогательной таблицы воз-
можен только в тех случаях, когда
Если
p
2.
u
то необходимо
p
2,
u
уменьшить число входов вспомогательной таблицы, исключив фактор с меньшим вкладом (с меньшей разностью медиан).
На следующем этапе анализа для оценки влияния эффектов, которые не были выделены на первом этапе, корректируют отклик в
матрице планирования отсеивающего эксперимента по формуле
n
=− +
YY bx
′
uu
∑
k
kuk
1
(4.42)
где n – количество выделенных факторов; k – индекс выделенного
фактора; u – номер строки сверхнасыщенного плана.
На следующих этапах строятся диаграммы рассеяния и для факторов, и для их парных взаимодействий.
Если предполагается малое число значимых эффектов и их взаимо-
действий, для построения сверхнасыщенного плана отсеивающего
эксперимента может быть использован метод последовательного
отсеивания [13].
Сущность метода легко понять из следующего примера. Допустим,
в программу исследования включено девять неизвестных факторов
х1, х2, …, х9, которые варьируются на двух уровнях. Нужно выделить
несколько эффектов среди 45 возможных (9 линейных и 36 парных
взаимодействий).
Независимые факторы случайным образом группируются в блоки.
В случае 9 факторов их следует разделить на 3 блока, по 3 фактора в
каждом. Случайность выбора можно обеспечить с помощью таблицы
случайных чисел. В результате получились следующие блоки: x8x6x2,
x1x3x5, x7x9x4.
Затем составляется матрица отсеивания из 12 опытов, в каждом
из которых только три фактора находятся на верхнем уровне,
а остальные – на нижнем (табл. 4.14).
Эту матрицу строят следующим образом. Вначале на верхнем
уровне поочередно поддерживаются факторы, сгруппированные в
блоки (первые три опыта). Затем поочередно объединяют на верхнем
уровне каждый фактор первого блока с первым, вторым и третьим
элементами второго и третьего блоков.
69
Таблица 4.14. Матрица последовательного отсеивания
u x
1 + + + – – – – – – Y
2 – – – + + + – – – Y
3 – – – – – – + + + Y
4 + – – + – – + – – Y
5 + – – – + – – + – Y
6 + – – – – + – – + Y
7 – + – + – – – + – Y
8 – + – – + – – – + Y
9 – + – – – + + – – Y
10 – – + + – – – – + Y
11 – – + – + – + – – Y
12 – – + – – + – + – Y
x
x
x
x
x
x
x
8
6
2
1
3
5
7
x
9
Y
4
u
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
В матрице последовательного отсеивания каждый из факторов
случайным образом 4 раза поддерживается на верхнем уровне и
8 раз – на нижнем. Каждое из 36 парных взаимодействий типа xjxh
1 раз испытывается в комбинации «+ +», 5 раз в комбинации «– –»
и по 3 раза в комбинациях «+ –» и «– +».
Допустим, что после реализации матрицы планирования только
значения Y2, Y6, Y9, Y11 и Y12 существенно отличаются от остальных
(больше или меньше). Эти значения вместе с определяющими их
факторами, находящимися в экспериментах на верхнем уровне, выписываем в таблицу анализа (табл. 4.15).
Таблица 4.15. Таблица анализа
Y Выделяющий блок Возможная причина эффекта
Y
2
Y
6
Y
9
Y
11
Y
12
x1x3x
x8x5x
x6x5x
x2x3x
x2x5x
5
4
7
7
9
x
5
x
5
x
5
x2x3, x2x7, x3x
x
5
7
Поскольку в экспериментах 2, 6, 9 и 12 фактор x5 был на верхнем
уровне, то линейный эффект от действия этого фактора можно считать значимым.
Другие факторы не могут быть причиной выделения отклика в
этих опытах, так как в экспериментах, где они также были на верхнем уровне, существенного различия в значениях отклика не
наблюдалось.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]