Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ исходных данных при статистической обработке результатов научных исследований. Учебное пособие
.pdf
Для подсчета коэффициента b1 в зависимости (6.22) используется
by
=
вектор-столбец x1, а для подсчета b2 – вектор-столбец x2 в табл. 6.3.
При расчете b0 вводится, как и в МНК, вектор-столбец фиктивной
переменной x0, которая принимает во всех опытах значение +1.
Это было уже учтено в записи формулы (6.23), где j принимало значения от 0 до k. Таким образом,
.
0
Поскольку расчет коэффициентов регрессии для каждого фактора ведется независимо от других факторов, значения каждого
коэффициента указывают на силу влияния данного фактора. Чем
больше численная величина коэффициента, тем большее влияние
оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак «плюс», то с
увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если «минус», то уменьшается. Значение коэффициента
соответствует вкладу данного фактора в величину параметра оптимизации при переходе фактора с нулевого уровня на верхний или
нижний.
Иногда удобно оценивать вклад фактора при переходе от нижнего уровня к верхнему уровню. Вклад, определенный таким образом, называется эффектом фактора (иногда его называют основным или главным эффектом). Он численно равен удвоенному коэффициенту. Для качественных факторов, варьируемых на двух
уровнях, основной уровень не имеет физического смысла. Поэтому
понятие «эффект фактора» является здесь естественным. Примерами качественных факторов могут быть оператор, станок, сорт
металла, СОЖ и т.п.
Планируя эксперимент, на первом этапе мы стремимся получить
линейную модель. Однако у нас нет гарантии, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью.
Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем,
что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится
другой фактор. В этом случае говорят, что имеет место эффект взаимодействия двух факторов.
Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценивать эффекты взаимодействия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух
факторов. При вычислении коэффициента, соответствующего эффекту взаимодействия, с новым вектор-столбцом можно обращаться
так же, как и с вектор-столбцом любого фактора. Очень важно, что
при добавлении столбцов эффектов взаимодействия все рассмотренные свойства матриц планирования (см. п. 2.7) сохраняются.
Для ПФЭ 22 матрица планирования эксперимента с учетом эффекта взаимодействия факторов представлена в табл. 6.5.
101
Таблица 6.5. Матрица планирования эксперимента с учетом эффекта взаимодествия
yy
34
11
+
()
+−
()
++
()
+−
()
−
()
!!
1212244
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
==
!!
факторов для ПФЭ 2
2
Номер
опыта
x
x
0
1 +1 +1 +1 +1 y
2 +1 –1 +1 –1 y
x2x1x2y
1
Номер
опыта
1
2
x
x
0
1
3 +1 –1 –1 +1 y
4 +1 +1 –1 –1 y
x2x1x2y
3
4
Теперь модель выглядит следующим образом:
yb bx bx bxx=+ ++
011221212
(6.24)
.
Коэффициент b12 вычисляется обычным путем по формуле (6.23):
yy
11
=
b
12
12
4
.
Столбцы x1 и х2 задают планирование – по ним непосредственно
определяются условия опытов, а столбцы x0 и x1x2 служат только для
расчета коэффициентов b0 и b12.
С ростом числа факторов число возможных взаимодействий быстро растет.
Эффект взаимодействия двух факторов называется эффектом
взаимодействия первого порядка. Эффект взаимодействия трех факторов называется эффектом взаимодействия второго порядка. Вообще, эффект взаимодействия максимального порядка в полном
факторном эксперименте имеет порядок, на единицу меньший числа
факторов. Довольно часто применяются синонимы: парные эффекты
взаимодействия (x1x2, x2x3…), тройные (x1x2x3, x2x3x4…) и т.д.
Полное число всех возможных эффектов, включая b0, линейные
эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов полного факторного эксперимента.
Чтобы найти число возможных взаимодействий некоторого порядка, можно воспользоваться обычной формулой числа
сочетаний:
где m – число элементов во взаимодействии; k – число факторов.
Так, для плана 24 число парных взаимодействий равно 6:
102
С
m
С
k
4221234
!
2
4
=
mk m
!
k
(6.25)
,
6==
.
6.5. Порядок составления плана и обработки
∆
jj
�()
zz
jj
+
21
zz
jj
21
2
zz
−
результатов полного факторного эксперимента
Перед проведением опытов необходимо на основании априорной
информации о процессе, возможностей аппаратуры и целей, преследуемых постановкой данного эксперимента, установить граничные значения каждого фактора
(или основного уровня) и интервал варьирования.
Основной уровень
и интервал варьирования
z
jo
тывают по формулам:
и
z
j1
координаты центра плана
z
j2
рассчи-
j
� z
=
j
о
(6.26)
;
2
−
Значения
��j
==
∆
jj
ij j
� x
=
ij
и
z
находят по формулам (6.26), (6.27). После этого
j
jo
j
j
j
(6.27)
;
o
(6.28)
.
производят кодирование переменных по формуле (6.28).
Все сведения, необходимые для постановки эксперимента по
статистическому плану, заносят в специальную таблицу (табл. 6.6).
После заполнения табл. 6.6 составляют план эксперимента, в который вносят также результаты n параллельных опытов (табл. 6.7).
Число n составляет 2–5.
Таблица 6.6. Натуральные значения факторов
Наименование z
Основной уровень
Интервал варьирования
z
jo
∆
j
Верхний уровень (+1) z
Нижний уровень (–1) z
1
z
о1
∆
1
21
11
Таблица 6.7. План эксперимента
Номер
точки
x
x
1
x
2
… x
3
1 +1 +1 +1 … +1 y
2 +1 –1 +1 … +1 y
… … … … … … … … … …
m –1 –1 –1 … –1 y
z
2
z
о2
∆
2
z
22
z
12
k
z
3
z
о3
∆
3
z
23
z
13
Параллельные опыты
y
y
1
11
21
m1
2
y
12
y
22
y
m2
… z
… z
…
… z
… z
… y
… y
… y
k
оk
∆
k
2k
1k
n
1n
2n
y
mn
103
На практике обычно оказывается достаточной постановка двух
параллельных опытов, так как для проверки адекватности уравнения
регрессий используют среднюю дисперсию воспроизводимости.
При проведении исследований приходится иметь дело с тремя вариантами дублирования опытов:
1) эксперимент проведен при равномерном дублировании опытов,
когда все строки матрицы планирования имеют одинаковые числа
параллельных опытов;
2) эксперимент выполнен при неравномерном дублировании,
когда числа параллельных опытов неодинаковы в разных строках
матрицы планирования;
3) эксперимент поставлен без дублирования опытов.
Характер дублирования опытов влияет на содержание математической обработки результатов наблюдений. Рассмотрим порядок этой
обработки с учетом вида дублирования опытов. Обработка результатов наблюдений производится по следующей схеме [20].
1. Для каждой строки матрицы планирования вычисляют среднее
арифметическое значение
сию
2
S
.
i
2. Проверяют однородность дисперсии
параметра оптимизации и его диспер-
y
i
2
опытов. При равно-
S
i
мерном дублировании опытов для этого используют критерий Кохрена, при неравномерном дублировании – критерий Бартлета.
При отсутствии дублирования опытов этапы 1 и 2 отсутствуют. Критические значения критерия Кохрена приведены в Приложении 8.
3. Если дисперсии опытов однородны, то вычисляют дисперсию
воспроизводимости эксперимента (формула (6.33)).
4. Вычисляют коэффициенты уравнения регрессии (формула
(6.23)), их дисперсии (формулы (6.31), (6.32)) и оценивают значимость
этих коэффициентов (формулы (6.29), (6.30)).
5. Проверяют гипотезу адекватности модели (формула (6.44)).
Табличные значения критерия Фишера приведены в При ложении 9.
Если линейная модель адекватна, переходят к поиску значений
независимых переменных, обеспечивающих экстремальную величину (минимум или максимум в зависимости от постановки задачи)
функции отклика, т.е. переходят к решению задачи оптимизации.
Среди экспериментальных методов оптимизации наиболее развитым
и распространенным является метод крутого восхождения.
Крутое восхождение эффективно тогда, когда все коэффициенты
при факторах значимы. Незначимость некоторых коэффициентов
может возникнуть вследствие неудачно выбранных интервалов варьирования, включения факторов, не влияющих на параметр оптимизации, большой ошибки опыта. Принятие решения в данной
ситуации зависит от того, какая из трех гипотез выбрана. Если принята первая гипотеза, то изменяют интервал варьирования по не-
104
значимым факторам и ставят новую серию опытов. Если принята
∆
ib
=± ⋅
tt
nN
()
вторая гипотеза, то невлияющие факторы стабилизируют и исключают из опытов. Если принята третья гипотеза, то увеличивают число
параллельных опытов или повышают точность измерений.
6.6. Оценка значимости коэффициентов регрессии
Проверку значимости коэффициентов можно производить двумя
способами: 1) сравнением абсолютного значения коэффициента с
доверительным интервалом; 2) с помощью t-критерия из таблицы
критических значений критерия Стьюдента.
При проверке значимости коэффициентов первым способом доверительный интервал для коэффициента
формуле
btS
(6.29)
,
кр
вычисляют по
b
i
где
– среднеквадратичное отклонение коэффициентов
S
b
;
–
b
t
i
кр
определяется по таблице критических значений критерия Стьюдента
(см. Приложение 6).
При принятой доверительной вероятности Р (часто Р = 0,95) коэффициент значим, если его абсолютная величина
верительного интервала
ентов вторым способом вычисляют
и сравнивают его с критическим
для принятого уровня значимости. Значение
>
pасч кр
При проверке значимости коэффици-
∆bi.
-критерий по выражению
t
pасч
b
i
�t
pасч
(6.30)
=
i
S
b
Коэффициент значим, если
tкр.
больше до-
bi�
принимают
t
кр
по таблице критических значений критерия Стьюдента (см. Приложение 6).
Статистически незначимые коэффициенты могут быть исключены из уравнения. При этом, если уравнение получено с помощью
планирования эксперимента, оставшиеся коэффициенты пересчитывать не надо.
Методика расчета
зависит от способа получения уравнения
S
b
регрессии. Если оно получено с использованием планирования эксперимента, то
2
где
число опытов в матрице планирования; n – число параллельных
– дисперсия воспроизводимости эксперимента; N – общее
S
y
�S
2
S
y
()
2
=
b
(6.31)
,
опытов в каждой точке матрицы при равномерном дублировании
опытов. При отсутствии дублирования опытов n = 1.
105
При равномерном дублировании все строки матрицы планирова-
()
=
()
=
()
()
yy
=
()
()
ϕ−= Nn(),1
ϕ−
=+
Sr
yx
=+ +
SR
yy
SR
yy
ния имеют одинаковые числа параллельных опытов. Для каждой
строки матрицы планирования вычисляют дисперсию
2
опыта по
S
i
данным n параллельных опытов:
n
1
где
– значение функции отклика в i-й строке и-го опыта.
y
iu
Если значения
2
�S
i
n
2
опытов однородны, то дисперсию
S
i
∑
1=−
u
yy
iu i
1
производимости эксперимента вычисляют по выражению
N
1
�S
2
y
()
=
∑
N
i
2
−
S
1
(6.32)
,
2
(6.33)
,
i
2
вос-
S
y
где N – число опытов или число строк матрицы планирования.
При отсутствии дублирования опытов для вычисления дисперсии
2
воспроизводимости эксперимента выполняют
S
�
y
опытов при средних значениях всех независимых факторов (в нулевой точке плана). По результатам этих опытов вычисляют
n
0
где
– значение функции отклика в u-м параллельном опыте.
y
u
При равномерном дублировании число степеней свободы при расчете
при отсутствии дублирования опытов
2
, следовательно,
S
y
S
2
()
1
=
y
S
b
∑
1
n
−
0
1
u
находится по выражению
−
u
= n01.
2
(6.34)
,
параллельных
n
0
2
S
y
:
В случае, если коэффициенты уравнения регрессии получены без
планирования эксперимента (по результатам пассивного эксперимента), среднеквадратичные отклонения для коэффициентов регрес
сии определяются следующим образом.
Для парной регрессии
Для регрессии трех переменных
yabx
�S
=
b
:
2
−1
y
(6.35)
Sn
.
x
yabx cz
:
-
106
�S
=
b
Srn
xxz
�S
=
c
Srn
zxz
−
1
2
−⋅
1
−
1
2
−⋅
1
2
.
xz
(6.36)
;
2
.
xz
(6.37)
.
Для регрессии многих переменных
kk
=+ +++
12
−⋅
,.
()
()
−
()
=+
SR
�S
b
1
yyxx x
=
1
SR n
xyxx x
1
yb bx bx bx
01122
2
−
. ...
k
2
. ...
1
12
(6.38)
.
k
... :
Аналогичные формулы могут быть записаны для расчета
SS S
,,
bb b
регрессии выполняется по формулам (формулы (6.29), (6.30)).
Дальнейшая проверка значимости коэффициентов
k23
6.7. Оценка адекватности уравнения регрессии
В зависимости от наличия сведений о дисперсии воспроизводимости параметра оптимизации
регрессии можно производить по двум схемам.
2
проверку адекватности уравнения
S
y
Первая схема применяется при отсутствии оценки для дисперсии
воспроизводимости, что характерно при выполнении пассивного
эксперимента, и состоит из следующих этапов.
1. Вычисление дисперсии относительно среднего значения параметра оптимизации (остаточной дисперсии для уравнения нулевого
порядка):
N
yy
∑
1
i
=
2
=
�S
y
0
N
2
−
i
(6.39)
.
1
2. Расчет дисперсии, характеризующей отклонение экспериментальных точек от найденных по уравнению регрессии. Если порядок
уравнения заранее известен, то в случае многофакторного пространства имеет смысл начинать с уравнения первого порядка
N
yy
∑
1
=
где
– значение параметра оптимизации, вычисленное по уравне-
y
i
22
�SS
==
ад
11
i
y
нию регрессии для условий i-го опыта;
−
i
f
fNq=–
2
i
(6.40)
,
– число степеней
свободы; q – число коэффициентов регрессии.
Число коэффициентов регрессии может быть вычислено по сле-
дующим формулам:
для линейного уравнения:
qk
(6.41)
1;
107
для неполного квадратного уравнения, включающего члены
jj
ij
()
2
()
2
()
FF
()
()
��
<
()
()
типа
и
bx
bxx
:
ij
для полного квадратного уравнения:
q
q
kk=+
kk=+
1
+
3
+
(6.42)
1;
(6.43)
1,
где k – число факторов.
3. Вычисление опытного значения величины отношения
дисперсий:
� F
Затем F0 сравнивают с критическим
Если окажется, что
0≤кр
то пользоваться уравнением регрессии
,
2
S
y
0
. (6.44)
=
0
2
S
ад
1
F
(см. Приложение 8).
ffкр
�
12
первого порядка не имеет смысла, так как в изученном интервале
изменения факторов оно описывает систему не лучше, чем уравнение
нулевого порядка.
Далее вычисляют уравнение второго порядка, рассчитывают
2
S
y
и величину
F
0
=
1
а потом проверяют значимость этого отноше-
,
2
S
ад
2
2
S
ад
2
ния по F-критерию. Процедуру повторяют до тех пор, пока не будет
выполнено условие
предпоследнего полинома.
Вторая схема применяется при наличии дисперсии воспроизводимости
ватности по формуле (6.40), а затем вычисляют опытное значение
2
В этом случае вначале рассчитывают дисперсию адек-
S
.
y
FF
≥
r
кр
Индекс r соответствует степени
.
ff
12
F-критерия:
2
S
F
pасч
ад
=
(6.45)
.
2
S
y
()
Если значение
Значения
определяют по формуле (6.33) или (6.34).
FF
pасч
2
в зависимости от характера дублирования опытов
S
y
кр
то модель считают адекватной.
,
ff
12
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблица П1
Необходимое число измерений для получения случайной ошибки e с надежностью a
e =
∆
S
x
0,5 0,7 0,9 0,95 0,99 0,999
a
1,0 2 3 5 7 11 17
0,5 3 6 13 18 31 50
0,4 4 8 19 27 46 74
0,3 6 13 32 46 78 130
0,2 13 29 70 100 170 280
0,1 47 110 270 390 700 1100
0,05 180 430 1100 1500 2700 4300
0,01 4500 1100 27 000 38 000 66 000 110 000
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Критические значения коэффициента корреляции r
Число
степеней
свободы
f = n – 2
0,1 0,05 0,02 0,01 0,001
Уровень значимости a
1 0,988 0,997 0,999 1,000 1,000
2 0,900 0,950 0,980 0,990 0,999
3 0,805 0,878 0,934 0,950 0,992
4 0,729 0,811 0,882 0,917 0,974
5 0,669 0,754 0,833 0,874 0,951
6 0,621 0,707 0,789 0,834 0,925
7 0,582 0,666 0,750 0,798 0,898
8 0,549 0,632 0,716 0,765 0,872
9 0,521 0,602 0,685 0,735 0,847
10 0,497 0,576 0,658 0,708 0,823
11 0,476 0,553 0,634 0,684 0,801
12 0,457 0,532 0,612 0,661 0,780
13 0,441 0,514 0,592 0,641 0,760
14 0,426 0,497 0,574 0,623 0,742
15 0,412 0,482 0,558 0,606 0,725
16 0,400 0,468 0,543 0,590 0,708
17 0,389 0,456 0,528 0,575 0,693
18 0,378 0,444 0,516 0,561 0,679
Таблица П2
кр
109
Окончание табл. П2
Число
степеней
свободы
f = n – 2
0,1 0,05 0,02 0,01 0,001
Уровень значимости a
19 0,369 0,433 0,503 0,549 0,665
20 0,360 0,423 0,492 0,537 0,652
25 0,323 0,381 0,445 0,487 0,597
30 0,296 0,349 0,409 0,449 0,554
35 0,275 0,325 0,381 0,418 0,519
40 0,257 0,304 0,358 0,393 0,490
45 0,243 0,287 0,338 0,372 0,465
50 0,231 0,273 0,322 0,354 0,443
60 0,211 0,250 0,295 0,325 0,408
70 0,195 0,232 0,274 0,302 0,383
80 0,183 0,217 0,256 0,283 0,357
90 0,173 0,205 0,242 0,267 0,337
100 0,164 0,195 0,230 0,254 0,321
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Критические значения t-критерия (tкр = t
Число
степеней
свободы f*
Уровень значимости a
0,1 0,05 0,01 0,1 0,05 0,01
Число
степеней
свободы f
1 6,31 12,7 63,66 16 1,75 2,12 2,92
2 2,92 4,30 9,93 17 1,74 2,11 2,90
3 2,35 3,18 5,84 18 1,73 2,10 2,88
4 2,13 2,78 4,60 19 1,73 2,09 2,86
5 2,02 2,57 4,03 20 1,73 2,08 2,85
6 1,94 2,45 3,71 21 1,72 2,08 2,83
7 1,90 2,37 3,50 22 1,72 2,07 2,82
8 1,86 2,31 3,36 23 1,71 2,07 2,81
9 1,83 2,26 3,25 24 1,71 2,06 2,80
10 1,81 2,23 3,17 25 1,71 2,06 2,79
11 1,80 2,20 3,11 26 1,71 2,06 2,78
12 1,78 2,18 3,06 27 1,70 2,05 2,77
13 1,77 2,16 3,01 28 1,70 2,05 2,76
14 1,76 2,15 2,98 29 1,70 2,05 2,76
15 1,75 2,13 2,95 30 1,70 2,04 2,75
∞
)
1–a/2
Уровень значимости a
1,64 1,96 2,58
Таблица П3
*
f = k–2, где k – число факторов при оценке значимости коэффициентов ранговой
корреляции при экспертной оценке роли факторов в рассматриваемом процессе.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]