Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Анализ исходных данных при статистической обработке результатов научных исследований. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

анализировать полученные результаты и давать их интерпрета-



цию в терминах той области, где эксперимент проводится.

Конечно, даже при наличии сформулированных общих черт эксперимент не стал бы предметом отдельной науки, если бы задачи, решаемые различными исследователями, не имели ничего общего и полностью определялись спецификой той области знаний, где они работают. Однако это не так. Оказывается, можно выделить типовые задачи исследования, с которыми приходится сталкиваться каждому экспериментатору. К основным, наиболее распространенным типовым задачам исследования обычно относят:

получение некоторых предварительных сведений о процессе



(обработка литературных данных, опросы специалистов и анализ результатов опросов, отсеивающий эксперимент);

получение формульных зависимостей;



проверку гипотез, т.е. некоторых содержательных предположе-



ний о свойствах объекта;

оптимизацию свойств изучаемого объекта (определение опти-



мальных соотношений, слежение за оптимумом и т.д.).

Можно сказать, что теория планирования эксперимента в основном используется для решения типовых задач исследования (применяет типовые приемы для решения типовых задач). Эти задачи не предназначены для получения кардинально новых данных о свойствах природы, совершения научных открытий (хотя такая возможность и не исключается). Теория планирования эксперимента может во многом облегчить работу экспериментатора, повысить ее эффективность при проведении обычных экспериментов, т.е. экспериментов, которые составляют подавляющую часть современной экспериментальной деятельности ученых и инженеров.

Математическим аппаратом теории планирования эксперимента являются теория вероятностей, математическая статистика, а также некоторые разделы прикладной математики («Математическое программирование» и «Численные методы»). Ключевое место здесь, конечно, занимает математическая статистика, иногда рассматриваемая как язык, на котором излагается теория планирования эксперимента.

Таким образом, можно сказать, что если целью эксперимента является изучение природы рассматриваемых процесса или объекта, то целью предпланирования эксперимента является создание условий для проведения эксперимента с наименьшими затратами и наибольшей результативностью. Под результативностью здесь понимается способность эксперимента получить наиболее точную модель изучаемого процесса или объекта, исключить влияние факторов, не связанных с природой самих процесса или объекта.

Глава 3

ε≤

Emc=

=⋅КI

МЕТОДЫ ВЫБОРА УСЛОВИЙ И ТИПОВ ОДНОФАКТОРНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

3.1. Выбор средств измерений

Главным фактором при выборе средства измерения является до-

пускаемая погрешность измерения (ДПИ).

Как известно, измерения классифицируют на три типа: прямые; косвенные; совместные. При переходе от первого типа к третьему растет число факторов, влияющих на конечный результат измерения. Поэтому требования к средствам измерений для третьего типа измерений выше, чем для первого типа измерений.

Заранее определить допускаемую погрешность измерений при научных экспериментах трудно. Можно учитывать ожидаемый вид изучаемой зависимости. Чем она сложнее, тем выше требования к точности измерения.

Желательно, чтобы точность измерений в исследовательских экспериментах была максимально возможной в данных условиях. Это связанно с тем, что установленные закономерности справедливы до той степени точности, с какой были выполнены измерения, положенные в их основу. Например, если бы могли взвешивать с относительной ошибкой

сгорания угля. Однако поскольку таких методов взвешивания нет, указанная формула была экспериментально подтверждена при анализе ядерных процессов.

ДПИ можно получить, если известна точность измеряемого объекта. В технических измерениях погрешность измерения не должна превышать 35% от допуска на контролируемый параметр.

спечения единства измерений. Погрешности, допускаемые при измерении линейных размеров» погрешность измерений может быть определена по формуле

могла бы быть установлена при взвешивании продуктов

При линейно-угловых измерениях представление о значении

Допускаемая по ГОСТ 8.051–81 «Государственная система обе-

известная зависимость Эйнштейна

108–,

где

ряемый параметр.

ДПИ

– коэффициент, равный 0,20…0,35; IT – допуск на изме-

изм

Значение коэффициента

≤02,,

изм

∆

∆lim

∆lim.

∆lim

∆

⋅tS

литета точности измеряемого объекта: для квалитетов 2…5 для квалитетов 6…7 квалитетов 10…16

≤025

≤035

изм

выбирается в зависимости от ква-

изм

для квалитетов 8…9

изм

≤03

При выборе средства измерения должно быть соблюдено

условие

lim≤ДПИ,

для

где ства. Значения

– наибольшая погрешность данного измерительного сред-

приведены в работе «Методические указания. Выбор универсальных средств измерений линейных размеров до 500 мм (по применению ГОСТ 8.051–81)» (РД 50-98-86. М.: Издательство стандартов, 1987).

Сравнение предельной погрешности средства измерения (СИ)

с ДПИ производится без учета знака

Чем ближе значение к значению ДПИ, тем менее трудоемким и затратным будет измерение.

По метрологическим характеристикам выбираемыми параметра-

ми СИ является не только предельная погрешность

но и цена

lim,

деления шкалы СИ. Цена деления шкалы СИ выбирается с учетом заданной точности измерения. Например, если размер задан с точностью до 0,01 мм, то прибор выбирается с ценой деления шкалы 0,01 мм. Принятие более грубой шкалы вносит дополнительные субъективные погрешности, а более точной – удорожает средство измерения.

3.2. Выбор числа наблюдений. Запись результатов

Случайную ошибку прямых измерений можно уменьшить, увеличив число наблюдений n. Полуширина ∆ случайной ошибки измерений может быть найдена следующим образом:

где

– квантиль распределения Стьюдента для уровня значимо-

nα,–1

сти a и числа измерений n; Sx – среднеквадратическое отклонение результатов измерений xi.

При выборе необходимого числа измерений n можно исходить из зависимости (3.1). Случайную ошибку целесообразно уменьшать лишь до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью определяться систематической ошибкой. При этом полуширина доверительного интервала ∆ для истинного значения исследуемой величины от случайных ошибок должна быть существенно меньше

∆=

α,–,1

(3.1)

полуширины доверительного интервала

∆

ε=∆

1–α

∆=kx,

= ,

,,±

85 006 0018,,±

тических погрешностей, т.e. ∆ < выполненным, когда ∆ <

/10 или даже ∆ <

∆

от неучтенных система-

. Это условие можно считать

/3. Учитывая зави-

∆

симость (3.1), n можно определить по формуле

⋅

−α,.1

(3.2)

Применение формулы (3.2) затруднено, поскольку нужно заранее

знать значение

определяемое лишь на основе результатов ис-

Sx,

пытаний. Поэтому пользуются относительными показателями точности измерений. На основании формулы (3.2) n можно определить в зависимости от

и доверительной вероятности

(зна-

чения e приведены в Приложении 1).

Можно пойти и по другому пути. Преобразуем формулу (3.2). Пусть

где k – заданный коэффициент, показы-

вающий долю предельной ошибки от среднего арифметического значения величины; x – среднее арифметическое значение исследуемой величины; w – коэффициент вариации. Тогда

α,–.1

⋅

(3.3)

По этой формуле можно найти необходимое число наблюдений независимо от размерности того или иного объекта измерений. Значения k определяются исходя из практических соображений. В частности, для испытания стойкости режущего инструмента целесообразно принимать среднее значение k = 0,2.

При меньших значениях k существенно увеличивается объем ис- пытаний. Значения w также можно устанавливать исходя из имеющегося опыта подобных испытаний. Например, значения w при стойкостных испытаниях режущих инструментов в зависимости от их вида и условий применения приведены в работе В.М. Башкова, П.Г. Кацева «Испытания режущего инструмента на стойкость» (М.: Машиностроение, 1985).

Результат должен быть записан с учетом погрешностей измерений. Все цифры результата подразделяют на верные, сомнительные, неверные и значащие. Верными считаются цифры, не превышающие единицы разряда погрешности измерений. Например, в результате измерения

357003

быть и нуль. Например, в результате измерения

верными являются цифры 3, 5. Верным может

вер-

ным является значение 85,0.

Зайдель, А.М. Ошибки измерений физических величин / А.М. Зайдель, Л.:

Наука, 1974.

Первая цифра после верной называется сомнительной. Например,

,,±

sin4807431°= ,.

в результате измерения ной. Все цифры приближенного числа, начиная с первой слева, отличной от нуля, и заканчивая сомнительной цифрой, называются значащими. Все цифры правее сомнительной называются неверными.

При записи окончательного результата все неверные цифры отбрасываются с соблюдением правил округления. Если приближенное число входит в расчетную формулу, в нем сохраняют одну неверную цифру – запасную. Например, если результат измерения то окончательный результат записывают так: две неверные цифры, оставлены две верные и одна сомнительная). Если же результат измерения должен войти в вычисления, то его записывают так:

В таблицах математических и физических величин приводятся числа только с верными цифрами и одной сомнительной. За максимальную, предельную ошибку округления принимается половина единицы сомнительной цифры.

Пример: из таблиц можно найти гления принимается равной

1276 002

357003

где цифра 6 – запасная.

цифра 0,07 является сомнитель-

763002

128002

0 00005

(отброшены

Ошибка окру-

3.3.Выбор интервалов между экспериментальными уровнями факторов и порядка проведения опытов

Для сокращения продолжительности и повышения эффективности эксперимента необходимо до его проведения установить интервалы между значениями факторов. Сначала определяют общие пределы изменения независимых факторов, обусловленные их физической природой или возможностями оборудования (примерами таких ограничений являются температура плавления или предел прочности исследуемого металла, предельные значения частот вращения и подач станка и др.). Затем определяют, как следует изменять уровни факторов внутри этих областей.

Существует два основных критерия, на основе которых производится выбор точек, отвечающих условиям проведения опыта: 1) относительная точность данных на различных участках области планирования; 2) характер экспериментальной функции.

Во многих случаях получаемые данные имеют неодинаковую точность на различных участках области экспериментирования. Можно ожидать, например, что для многих механических систем испытания, проводимые при пониженной мощности или малом давлении, напоре, будут наименее точными. Если анализ ошибок показывает, что на каком-то участке области экспериментирования данные вызывают наибольшие сомнения, то стараются заполнить этот участок большим

числом опытных точек. Нельзя установить какое-либо твердое пра-

()

вило, указывающее, сколько дополнительных отсчетов следует сделать при получении сомнительных данных. Однако можно считать, что в этом случае справедливо общее правило, связывающее повышение точности с числом дополнительных отсчетов. Четыре измерения дают вдвое большую, а девять – втрое большую точность, чем одно измерение, и т.д.

Если точность измерений одинакова для всех факторов и функций отклика, желательно, чтобы расстояние между точками на экспериментальной кривой было постоянным на всей ее длине. Зная заранее характер рассматриваемой функции у = f(x), этого можно добиться приведением функции к линейному виду с помощью различных алгебраических преобразований. Рассмотрим примеры таких преобразований.

На графике величины равномерное расположение точек получится, если взять в опытах одинаковые приращения 1/х2.

Для функции у = Аехp(–bx), или lny = lnA – bx, следует построить график ln y = f(х) по точкам, соответствующим одинаковым приращениям x, а для функции у = Aln(bx), или у = A(lnb + lnx), – график у = f(lnx), взяв одинаковые приращения lnx.

Как было показано ранее (см. п. 2.1), порядок проведения опытов может быть последовательным или рандомизированным (случайным). Напомним, что проведение последовательного эксперимента целесообразно лишь в следующих случаях:

если известно, что эксперимент является невоспроиз водимым;



если испытуемая система (объект, процесс) имеет особенности,



которые можно обнаружить лишь при получении данных в регулярной последовательности;

если продолжительность, стоимость или сложность экспери-



ментов таковы, что рандомизация эксперимента нецелесообразна.

Следовательно, для большинства экспериментов, не отвечающих указанным условиям, целесообразен рандомизированный порядок проведения опытов.

Далее рассмотрим методы рандомизации экспериментов. Они могут применяться как для однофакторных экспериментов, так и для многофакторных.

уА

��

являющейся функцией 1/x2,

/2,

3.4. Методы рандомизации экспериментов

Рандомизация плана эксперимента может быть достигнута с помощью: таблицы случайных чисел, приводимой во многих работах, в частности в [8, 9]; «игрового» метода; введения специальных блочных планов.

Пусть, например, требуется рандомизировать во времени шесть опытов, обозначаемых цифрами I...VI. Поставим им в соответствие любые шесть последовательных чисел, взятых в любой строке или любом столбце таблицы случайных чисел. Если при этом встретятся повторяющиеся числа, то их следует отбросить. Например, могут быть получены следующие группировки: I – 60, II – 12, III – 05, IV – 15, V – 34, VI – 30. Расположив случайные числа в порядке возрастания (убывания), получаем искомую последовательность реализации опытов: III, II, IV, VI, V, I (или I, V, VI, IV, II, III).

«Игровой» метод предполагает, что выбранные комбинации условий можно пронумеровать, а номера вытаскивать, как при жеребьевке. Если имеются две или большее число игральных костей различного цвета, то можно, например, вытянуть номера 36, 216 и т.д. Если красная кость дает единицы, а зеленая – десятки, то при выпадении трех очков на зеленой кости и одного очка на красной кости получается номер 31. Комбинации условий можно пронумеровать от 11 до 16, от 21 до 26 и т.д. и план эксперимента составлять путем последовательного бросания игральных костей.

Принципы и пример построения блочных планов будут рассмотрены далее. Даже если рассматривается всего один регулируемый фактор, было бы неправильно не учитывать влияние различных других, нерегулируемых (внешних) условий: состояние испытуемой системы, работоспособность оператора и т.д. Уровни внешних факторов такого рода изменяются непрерывно во времени, и их влияние лучше всего компенсировать путем простой рандомизации плана эксперимента, как было показано ранее.

Внешние факторы могут быть также дискретными (группы людей, станков или приборов, производственные периоды, различные партии материалов, различные дни недели или времена года и т.д.) и оказывать определенные непрогнозируемые воздействия на исход эксперимента.

Поскольку невозможно исключить влияние многих внешних факторов или вычислить поправку на их воздействие, можно путем рандомизации свести к минимуму их эффект за счет более равномерного распределения уровней этих факторов в течение всего эксперимента. В тех случаях, когда дискретные факторы могут быть идентифицированы, выделены, возможно использование рандомизированных блоков [10]. Методику их применения рассмотрим на примере.

Допустим, требуется проверить работу нового резца в производственных условиях. Необходимо определить оптимальную скорость обработки, обеспечивающую максимальный выход продукции, чтобы при этом доля брака не превышала некоторой заданной величины.

Это однофакторный эксперимент, в котором фактором является скорость обработки, а откликом – выход годной продукции R. В таком эксперименте есть один явный внешний фактор – рабочий, обслуживающий станок. Каким образом следовало бы выбрать типичного или среднего представителя для проведения эксперимента из группы, скажем, 20 рабочих? У рабочих могут в значительной мере отличаться уровень мастерства, характер, физическая сила, поэтому выбор единственного «среднего» рабочего для проведения эксперимента не имеет смысла. Tогда каким-либо способом выберем четырех рабочих. Предположим, что каждый из них будет работать полную смену при заданной скорости обработки. Чтобы сбалансировать эксперимент, выберем четыре различные скорости обработки с тем, чтобы каждый рабочий за четыре дня опробовал каждую из них. Результаты, полученные для каждой скорости обработки, можно усреднить. Обозначив скорости цифрами 1, 2, 3 и 4, а рабочих – буквами А, В, С и D, можно получить план, представленный в табл. 3.1.

Таблица 3.1. План эксперимента, учитывающий влияние одного фактора

Рабочий

A 1 2 3 4

B 1 2 3 4 C 1 2 3 4 D 1 2 3 4

Понедельник Вторник Среда Четверг

(рабочий) на результат

Дни недели

Такой план, безусловно, является несовершенным, так как в нем не учтена последовательность изменения условий эксперимента. Энтузиазм, интерес, который вызывает работа с новым инструментом сначала, могут затем ослабнуть, и по этой причине снизится выработка рабочего. И наоборот, может появиться натренированность рабочего, поэтому выработка увеличится. Произведем полную рандомизацию плана эксперимента таким образом, чтобы только один из рабочих производил в данный день обработку деталей на одной из скоростей, используя ее только один день в рассматриваемый период. Такой план может иметь вид, представленный в табл. 3.2.

Таблица 3.2. План эксперимента, учитывающий влияние двух факторов

Рабочий

A 1 2 3 4 B 3 4 1 2 C 2 1 4 3 D 4 3 2 1

(рабочий, день недели) на результат

Дни недели

Понедельник Вторник Среда Четверг

В первой строке цифры расположены в порядке возрастания,

а в столбцах – через строку.

Построен так называемый латинский квадрат, представляющий собой частный план в общем семействе планов факторных экспериментов, хотя факторный эксперимент предполагает не только рандомизацию условий эксперимента, но и анализ результатов с использованием статистических методов. Данный план позволяет в принципе оценить влияние внешних факторов на выход продукции.

Можно еще более усовершенствовать эксперимент, связанный с испытанием резцов. Если каждый рабочий в течение всего эксперимента будет работать на одном станке (а станки могут значительно отличаться друг от друга), то вследствие различий между станками может появиться систематическая ошибка в результатах эксперимента. Обозначая станки буквами W, X, Y, Z, зададим условия их работы таким образом, чтобы каждый рабочий обслуживал данный станок только один день и чтобы на каждой скорости обработки каждый станок работал только один день. В этом случае план имеет вид, представленный в табл. 3.3.

Таблица 3.3. План эксперимента, учитывающий влияние трех фактора

Рабочий

A 1W 2X 3Z 4Y B 3X 4W 1Y 2Z C 2Y 1Z 4X 3W D 4Z 3Y 2W 1X

(рабочий, день недели, станок) на результат

Дни недели

Понедельник Вторник Среда Четверг

Такой план носит название греко-латинского квадрата, он позволяет усреднить влияние трех факторов: день недели, станок, рабочий. Здесь имеет место попарное чередование W, X, Y и Z по столбцам и строкам.

Глава 4

МЕТОДЫ ВЫБОРА УСЛОВИЙ МНОГОФАКТОРНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

4.1. Требования к параметру оптимизации

При оптимизации технологического процесса или свойств объекта важно определить параметр, который нужно оптимизировать. Для этого необходимо четко сформулировать основную задачу оптимизации (повышение производительности процесса, снижение себестоимости, улучшение условий труда, увеличение износостойкости поверхности детали и др.) и выбрать характеристику процесса (объекта), изменение которой позволит наиболее эффективно решить поставленную задачу. Обычно эту характеристику называют параметром оптимизации (зависимой переменной, функцией отклика, целевой функцией). В зависимости от объекта и цели исследования параметры оптимизации могут быть экономическими (прибыль, рентабельность, себестоимость, затраты и др.); технико-экономическими (производительность, надежность, стабильность, коэффициент полезного действия, ресурс работы и др.); техникотехнологическими (твердость, прочность, показатели шероховатости поверхности, остаточные напряжения, износостойкость, усталостная прочность, физические, химические, микробиологические характеристики продукта и др.); прочие (удобство обслуживания, эстетические, психологические и другие свойства продукта).

Обычно техническая задача имеет много путей решения. Например, повышение производительности обработки детали может быть достигнуто уменьшением времени обработки, повышением стойкости инструмента, сокращением времени настройки и поднастройки станка, повышением уровня механизации и автоматизации процесса обработки и др. А движение к оптимуму возможно, если выбран один единственный параметр оптимизации. Какой же можно найти выход из этого положения? Прежде всего попробуем сформулировать требования к параметру оптимизации [7].

1. Параметр оптимизации должен быть количественным, т.е. задаваться числом. Нужно уметь измерять параметр оптимизации при любой возможной комбинации уровней факторов. Областью определения параметра оптимизации будем называть множество его значений. Эти области могут быть непрерывными или дискретными, ограниченными или неограниченными. Например, предел прочности – это параметр оптимизации с непрерывной ограниченной

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]