Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Химические реакторы. Учебное пособие
.pdf
Подставляя выражение для 2с в условия сшивки, получим
(),Acb
uA uc b D b
() ().
dc
dx
Из полученных уравнений следует
() 0dcb
dx
– это граничное условие на выходе из реактора.
Полученные граничные условия при х = 0 и х = b называются граничными условиями Данквертса.
Уравнения и граничные условия для реактора с частичным перемешиванием имеют вид:
dc d c
uD rc
dx
uc с D
0
2
dx
(0) (0),
(),
2
dc
dx
dc
() 0.
bdx
Можно показать, что в предельных случаях (D → 0 и D → ∞) уравнения переходят в уравнения для РИВ и РИП.
При D → 0 получим уравнения для РИВ:
dc
urc
(),
dx
(0) 0.с c
0
Для случая D → ∞ запишем уравнение в виде
11
urc
Ddx D
21
2
dc d c
2
dx
().
При D → ∞ получим
2
dc
2
dx
0,
отсюда следует
dc
const
. Используя граничное условие
dc
dx
dc
получим
и с = const =
0
dx
.c
1
Запишем теперь исходное уравнение в интегральной форме, проинтегрировав его от нуля до b:
dc dc
ucb c D b rcdx
() (0) () (0) () .
⎛⎞
⎜⎟
dx dx
⎝⎠
b
∫
0
Преобразуем уравнение, используя граничные условия:
dc
() 0,
bdx
uc с D
(0) (0).
0
dc
dx
Получим
b
() (0) (0) () ,
ucb c uc с rcdx∫
() ( ) () ( ),
ucb c uc c rcdx rc b ∫
010 1
0
0
b
0
() 0
bdx
,
((,))uc c rc b
10 1
b
c c rc rc
01 1 1
() ().
u
В результате получили уравнение, характерное для РИП.
Подбирая значение эффективного коэффициента диффузии, можно
добиться удовлетворительного описания экспериментальных данных.
22
Первая лабораторная работа будет посвящена расчету профилей
x
D
концентраций в реакторе с частичным перемешиванием на основе
диффузионной модели для реакции первого порядка А → В. Рассмотрим уравнение и метод его решения.
Уравнения и граничные условия имеют вид:
dc d c
uD kc
dx
2
dx
2
,
0.
dc
dx
uc с D
(0) (0),
0
dc
bdx
Чтобы решение имело общий характер, запишем уравнения и граничные условия в безразмерном виде. Введем безразмерные переменные:
y – безразмерная концентрация реагента А,
ξ – безразмерная продольная координата,
yc ;
c
0
;
b
kb
– безразмерный параметр,
0
Pe – число Пекле,
Pe
ub
Подставляя выражения
0
;
u
.
ccy и x = bξ в уравнения и гранич-
0
ные условия, получим
2
1
dy d y
d
1(0) (0) ,
y
Pe
2
d
1
dy
Pe
d
,
y
0
dy
(1) 0 .
d
23
Так как уравнение является линейным с постоянными коэффициентами, будем искать решение в виде экспоненты:
exp ( ).yA
Подставляя выражение для y в уравнение, после дифференцирова-
ния и сокращения на A и экспоненту, получим квадратное уравнение
относительно λ. Решая уравнение символьно, находим
и 2. После
1
этого общее решение уравнения запишется в виде
exp( ) exp( ).yA A
1122
Для записи граничных условий нам понадобится производная
:
dyd
Константы А
dy
и А2 находим, используя граничные условия. После
1
exp ( ) exp ( ).
AAd
11 1 2 2 2
подстановки общего решения в граничные условия получим систему
уравнений для двух неизвестных А
(1)Pe , AA A A
12 1122
exp ( ) exp ( ) 0. AA
11 1 2 2 2
и А2:
1
Данную систему решаем также символьно с помощью функции
Given-Find.
В лабораторной работе заданы значения параметров Ре и
,
,
,А
Вычисляя
1
2
,А
1
строим графики y(ξ), используя общее
2
.
0
решение.
Для сравнения полученного решения с зависимостями для РИП
и РИВ запишем для них решения в безразмерном виде:
для РИП
cb
yy
cku
111
, , .
11
00
b
k
1
u
xkbx
k
для РИВ
c
yeeee
c
0
kt
uub
0
.
24
Контрольные вопросы
R
s
А
1. Какие основные свойства РИП и РИВ?
2.
Какие модели используются для описания процессов в реакторе
с частичным перемешиванием?
3.
Как записываются граничные условия для диффузионной модели
реактора?
Задачи
1. Имеется каскад РИП с временем контакта τ, в которых проводится реакция первого порядка А → В с константой скорости реакции k.
Концентрация реагента А на входе в реактор
чтобы обеспечить концентрацию реагента А на выходе из каскада
На поверхности шара радиусом
2.
акция первого порядка А → В, .
.()
cc Найти sc и скорость расходования реагента на шаре J.
0
3.
На пористую пластину (x < 0) натекает из + ∞ поток с концен-
rkc Коэффициент диффузии D,
.с Найти число реакторов,
0
1
протекает поверхностная ре-
0
.с
трацией с = 0 и скоростью u (поток движется справа налево). Вблизи
поверхности пластины поддерживается постоянная концентрация
0
Коэффициент диффузии D. Найти с(х) при х > 0.
.с
Задание 1. Расчет профилей безразмерной концентрации
реагента в реакторе с частичным перемешиванием
Профиль концентрации реагента в реакторе при протекании реакции первого порядка A → B в безразмерных переменных описывается
уравнением
2
dy d y
d
где y – безразмерная концентрация реагента А; ξ – безразмерная продольная координата реактора;
– безразмерный параметр; Pe – число
0
Пекле.
25
1
y
0
Pe
,
2
d
Граничные условия в безразмерных переменных записываются
в виде
1
1 при 0,
y
Pe d
dy
0 при 1.
dyd
Решить уравнение аналитически и построить графики безразмерной концентрации при
1 и Pe = 0,1, 1 и 10 на одном графике.
0
Для построения аналитического решения использовать символьные
вычисления в Mathcad.
26
f
f
Лекция 3. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ
В ХИМИЧЕСКИХ РЕАКТОРАХ (РЕАКТОР
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ КОНТАКТА)
В лекции 2 мы рассмотрели три гидродинамических режима: идеальное перемешивание, идеальное вытеснение и режим с частичным
перемешиванием. Для режима с частичным перемешиванием рассмотрели две модели: каскадную и диффузионную. Режим с частичным перемешиванием является промежуточным между режимами с идеальными вытеснением и перемешиванием, но в предельных случаях он
включает в
Более общий подход к анализу гидродинамического режима в реакторе основан на модели с распределенным временем контакта или временем пребывания. Рассмотрим реактор идеального вытеснения (РИВ).
В РИВ все элементы реакционной смеси находятся в реакторе одинаковое время, которое равно времени контакта τ = Q/V. А
ставим, что реактор состоит из нескольких параллельно расположенных РИВ с разным временем контакта (рис. 4).
Пусть i – номер реактора,
с
– концентрация реагента на выходе из i-го реактора,
1i
тока, поступающая в i-й реактор,
выходных потоков из каждого реактора концентрация реагента на вы-
ходе будет
себя и эти режимы.
теперь пред-
Q – расход смеси через i-й реактор,
i
– доля по-
i
/.
QQ Тогда после смешения
ii
cQ
∑
1
с cf
вых 1
ii
∑
∑
Q
i
27
ii
,
Q1
c11
Q, c0
Q2
c12
c1n Qn
Q, c1
Рис. 4. Схема параллельно расположенных реакторов
идеального вытеснения
Можно также рассмотреть непрерывное распределение потока по
времени контакта, вводя функцию распределения потока по времени
пребывания f(τ). Смысл этой функции следующий. Интеграл
2
()fd
∫
1
дает долю объемного потока с временем контакта
12
. Функ-
ция f(τ) удовлетворяет условию нормировки
() 1.fd
∫
0
Для непрерывного варианта концентрация на выходе из реактора
будет вычисляться через интеграл
∫
вых 1
0
() .()ссfd
Оказывается, функцию f(τ) можно определить экспериментально.
Пусть в реакторе нет химической реакции, подадим в реактор так
называемую «ступеньку». Концентрацию на входе в реактор
дадим по следующему закону:
0c при t ˂ 0 и 0 1 c при t ≥ 0. Опре-
0
делим, как будет меняться концентрация на выходе из реактора.
28
()ct за-
0
Но прежде чем рассматривать функцию отклика для общего слу-
f
чая, получим функцию отклика для РИВ.
Функция отклика
()с t для РИВ будет равна нулю при t < τ (сту-
вых
пенька еще не вышла из реактора) и единице при t > τ (ступенька вышла из реактора).
Для произвольного реактора к моменту времени t из реактора выйдет ступенька с потоками, у которых τ ˂ t, и их концентрация на
выходе
будет равна единице. В потоках с τ ˃ t ступенька еще не выйдет
и концентрация будет равна нулю. При смешении всех потоков концентрация на выходе будет
tt
c t fd fd fd
вых
1 () 0 () () .()
∫∫∫
00
t
Функция
()с t называется функцией отклика. Если ее продиф-
вых
ференцировать по времени, то получим функцию распределения потока по времени контакта
d
() .()
tct
вых
dt
Таким образом, имея экспериментальную зависимость функции отклика от времени, путем ее дифференцирования по времени можно
получить функцию распределения потока по времени контакта.
Вычислим функции отклика и распределения для трех типов реакторов: РИВ, РИП и каскадного реактора.
Функция отклика
()с t для РИВ приведена на рис. 5.
вых
Если эту функцию продифференцировать по t, то f(t) будет равна
нулю во всех точках, кроме t = τ. В точке t = τ функция отклика претерпевает скачок, и для производной это особая точка. На бесконечно
малом промежутке времени функция имеет конечное изменение и можно
считать f(τ) = ∞. Функция с такой особенностью называется δ-функцией. Ее свойства следующие: δ(t) равна нулю при t < 0 и при t > 0,
а в точке t = 0 равна ∞. Определенный интеграл по отрезку, включающему точку t = 0, равен единице. Для РИВ функция f(t) будет равна δ(t – τ).
29
C
(t)
вых
1
t
τ
Рис. 5. Функция отклика для реактора
идеального вытеснения
Рассмотрим проточный РИП.
Нестационарное уравнение для РИП имеет вид
где
dc
VQctc
dt
()с t – зависимость входной концентрации от времени, которая
0
() ,
0
равна ступеньке.
() 1с t
Используя τ = Q/V и
0
при t ˃ 0, уравнение преобразуется
к виду
dc
1.
c
dt
Начальное условие с(0) = 0.
Решение уравнения можно построить методом разделения переменных:
dc dt
1
,
c
ct
dc dt
∫∫
1
c
00
ln (1 ) ,
30
,
t
c
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]