Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
.pdf
Слабая сходимость вероятностных мер и круговая модель Каца 313
При этом распределение числа белых шаров в предельном стационарном состоянии в общем случае будет отличаться от биномиального распределения. Однако, математическое ожидание этого числа равно n/2 и асимптотически при n → ∞ белые и черные шары распределяются почти поровну (закон больших чисел).
Легко понять, что
s
X
p(xi) = lim
s→∞
1
pt(xi).
s
t=1
Эта простая формула является аналогом формулы (2.1) главы II.
3. Продемонстрируем сказанное на простом примере, когда n = 6,
а множество M состоит всего из одной вершины (рис. 1). В этом случае фазовое пространство Γ (из 26= 64 элементов) разбивается на шесть
непересекающихся периодических орбит фазового потока {gt}; обозначим
их а, б, в, г, д, е. Число точек Γ в орбитах а-д равно 12, а орбита е состоит
из четырех точек (5 · 12 + 4 = 64). Отметим, что 12 = 6 · 2 — это период
отображения g. Представители этих орбит указаны на рис. 2.
Рис. 2. Точки периодических орбит
Таким образом, отображение g : Γ → Γ не эргодическое и поэтому изучение динамики сводится к изучению отдельных замкнутых орбит. Возьмем, например, орбиту а и пусть точки Γ занумерованы так, что x1, . . . , x
12
составляют как раз эту орбиту. Поскольку отображение g циклически представляет эти точки, то легко сообразить, что
12
X
p1(x1) = . . . = p(x12) =
1
12
p(xi).
i=1
Предельные распределения числа белых шаров на каждой из орбит
указаны на рис. 3. Все они отличаются от «нормального». Предельное рас-
314 Добавление 9
Рис. 3. Распределение белых шаров
пределение белых шаров в целом получается «смешением» этих частных
распределений. Легко проверить, что всегда математическое ожидание числа белых шаров равно 3 = n/2.
ДОБАВЛЕНИЕ 10
Неинтегрируемость системы
взаимодействующих частиц с потенциалом
Дайсона
1. Динамика системы n взаимодействующих частиц равной массы опи-
сывается гамильтоновой системой с гамильтонианом
Здесь x1, x2, . . . , xn— координаты, y1, y2, . . . , yn— импульсы частиц, V —
потенциальная энергия взаимодействия. Мы будем, следуя Дайсону [7], рассматривать случай, когда
лизом статистических свойств уровней энергии одномерного классического кулоновского газа. Аналогично ситуации, отмеченной Калоджеро для
системы точечных вихрей на плоскости [5], положения равновесия системы (1.1), (1.2) определяют стационарные коллинеарные конфигурации на
сфере (точечные вихри располагаются в экваториальной плоскости, равномерно вращающейся вокруг некоторой оси, также лежащей в этой плоскости).
Поскольку функция V 2π-периодична (она даже π-периодическая), то
можно считать, что частицы движутся по окружности. Система с гамильтонианом (1.1) всегда допускает два интеграла
1
H =
X
1
2
X
2
y
+
i
V (xi− xj). (1.1)
i<j
V (z) = ln |sin z|. (1.2)
H, F =Xyi.
1
Это — работа А. В. Борисова и автора, опубликованная в Докладах Академии наук. 1999.
Т. 366. № 1. С. 30–31.
316 Добавление 10
Отысканию условий на потенциал V , при котором рассматриваемая система
вполне интегрируема (допускает набор из n независимых интегралов, полиномиальных по импульсам y1, y2, . . . , yn), посвящено большое число работ
(см. обзоры в [3,5]). Если V — непостоянная аналитическая периодическая
функция без сингулярностей, то при n > 3 система с гамильтонианом (1.1)
не может быть вполне интегрируемой [2,4]. Потенциал Дайсона (1.2) имеет
вещественную логарифмическую особенность. Задача об интегрируемости
этой системы обсуждалась в работе [6].
Как отметил Дайсон, система с потенциалом (1.2) допускает семейство
равновесий
0
x
j
= x0+
πj
, j = 1, 2, . . . , n, x0∈ R. (1.3)
n
Частоты малых колебаний, вычисленные в [9],
2
ω
= 2s(n − s), s = 1, 2, . . . , n. (1.4)
s
Равенство ωn= 0 связано с неизолированностью равновесий (1.3).
2. Рассмотрим простейший нетривиальный случай, когда n = 3.
С помощью интеграла момента F можно понизить число степеней
свободы на единицу. Для этого перейдем к неинерциальной барицентрической системе отсчета с помощью канонического преобразования
x, y 7→ q, p:
y1= p1+ p3, y2= −p1+ p2+ p3, y3= −p2+ p3,
q1= x1− x2, q2= x2− x3, q3= x1+ x2+ x3.
С учетом равенства p3= 0 и четности потенциала гамильтониан редуцированной системы имеет вид
2
p
− p1p2+ p
1
Эта система имеет устойчивое равновесие q1= q2=
частотами малых колебаний ω1= ω2= 2 (согласно (1.4)). Вычитая из по-
тенциала ln
равна нулю.
√
3
, можно считать, что в состоянии равновесия полная энергия
2
2
+ V (q1) + V (q2) + V (q1+ q2). (2.1)
2
π
c равными
3
Естественно ожидать, что при малых положительных значениях полной
энергии h система с потенциалом (1.2) будет демонстрировать интегрируемое поведение. Ситуация здесь точно такая же, как и в известной системе
Хенона – Хейлеса ( [9], см. также [3]). Применяя метод нормальных форм
с учетом резонанса ω1= ω2, можно найти квазиинтеграл, который очень
Неинтегрируемость системы взаимодействующих частиц . . . 317
медленно меняется со временем в окрестности положения равновесия (для
системы Хенона – Хейлеса такую функцию вычислил Густавсон [8]).
3. Численные расчеты подтверждают это предположение. На рис. 1а
показано почти интегрируемое поведение системы при H = 10. Для больших H система хаотизируется в окрестности сепаратрис. При этом формальные ряды, определяющие квазиинтеграл, расходятся, и для больших H
он не аппроксимирует поведение системы. Рисунки 1б, 1в соответствуют
значениям энергии H = 20 и H = 22, при которых начинается реальная
стохастизация системы.
4. К задаче об интегрируемости системы взаимодействующих частиц
с потенциалом Дайсона можно подойти с более простой точки зрения, считая канонические координаты x и y и время t комплексными переменными. Будем разыскивать первые интегралы в виде полиномов по импульсам
с однозначными аналитическими коэффициентами (см. [2]). Ввиду логарифмической особенности потенциалов энергия H ветвится в комплексном
фазовом пространстве, а функция F, конечно, будет однозначной.
Оказывается, интеграл момента F — единственный полиномиальный
интеграл с однозначными коэффициентами в системе Дайсона. Это утверждение доказывается с помощью результатов работы [1].
Действительно, пусть Fj= yj, 1 6 j 6 n, — полный набор независимых интегралов в задаче о движении частиц по окружности без взаимодействия. Вычислим производные этих функций в силу гамильтоновой
системы с гамильтонианом (1.1), (1.2):
n
X
˙
Fj=
ctg(xj− xk), 1 6 j 6 k. (4.1)
k=1
Подставим теперь в правую часть этих равенств какое-нибудь решение «свободной» системы, например
x1=
π
, . . . , x
n
n−1
(n − 1)π
=
n
, xn= t.
Тогда правые части (4.1) будут мероморфными функциями на плоскости
комплексного времени, причем n − 1 точек t =
π
, . . . , t =
n
(n − 1)π
n
будут
простыми полюсами. Вычисляя вычеты в этих точках для функции (˙F )t,
нетрудно заметить, что они (как векторы Cn) линейно-независимы. Следовательно, согласно [1], рассматриваемая система может иметь только один
однозначный полиномиальный первый интеграл.
318 Добавление 10
Рис. 1. Сечение Пуанкаре для энергии H = 10 (а), H = 20 (б), H = 22 (в).
Литература 319
Литература
[1] Козлов В. В. Ветвление решений и полиномиальные интегралы уравне-
ний динамики // ПММ. 1998. Т. 62. № 1. С. 3–11.
[2] Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой меха-
нике. Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1995.
[3] Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973.
[4] Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и ал-
гебры Ли. М.: Наука, 1990.
[5] Calogero F. Integrable many-body problems. In: Lect. NATO Advanced
Study Institute on Nonlinear Equations in Physics and Mathematics. Istanbul,
1977. P. 3–53.
[6] Calogero F., Perelomov A. M. Properties of certain matrices related to the
equilibrium configuration of the one- dimensional many-body problems with
the pair potentials v1(x) = −log |sin x| and v2(x) = 1/ sin2x // Communs.
Math. Phys. 1978. V. 59. P. 109–116.
[7] Dyson F. J. Statistical theory of the energy levels of complex systems. I, II,
III // J. Math. Phys. 1962. V. 3. № 1. P. 140–156; P. 157–165; P. 166–175.
[8] Gustavson F. On the constructing formal integrals of a Hamiltonian system
near an equilibrium point // Astron. J. 1966. V. 71. P. 670–686.
[9] H´enon M., Heiles C. The applicability of the third integral of motion; some
numerical experiments // Astron. J. 1964. V. 69. P. 73–79.
Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой
или электронной почтой:
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через наш
Интернет-магазин:
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ФТИАН, Нахимовский проспект, д. 36/1, к. 307,
тел.: 332–48–92 (почтовый адрес: Нахимовский проспект, д. 34).
2. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414, тел. 135–54–37.
3. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 15 этаж).
4. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
«Библиоглобус» (м. Лубянка, ул. Мясницкая, 6)
С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
subscribe@rcd.ru
http://shop.rcd.ru
Козлов Валерий Васильевич
ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ ПО ГИББСУ И ПУАНКАРЕ
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерный набор и верстка Д. К. Князев
Корректор М. А. Ложкина
Подписано в печать 22.01.19. Формат 60 × 841/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 18,6. Уч. изд.л. 18,23.
Гарнитура Times. Бумага офсетная №1.
Тираж 500 экз. Заказ №14.
АНО «Институт компьютерных исследований»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]