Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
.pdf
Примечания и библиография 173
объему ящика и в конце концов (по теореме 1) равномерно заполнят этот
объем. Таким образом, хотя бесстолкновительная сплошная среда демонстрирует необратимое поведение, ее предельные состояния при t → +∞
и при t → −∞ совпадают.
5. Теорема 2 доказана в [83]. Тем же методом можно исследовать
диффузию в динамических системах с интегральным инвариантом на двумерном торе (добавление 7). Эти системы изучались в работах А.Пуанкаре
и А. Н. Колмогорова.
Неравномерная возвращаемость является механизмом диффузии в гамильтоновых системах с линейным по импульсам гамильтонианом (добавление 8).
7. Подробные вычисления Пуанкаре скачков энтропии для одномер-
ного газа носят качественный характер и нацелены главным образом на
доказательство роста энтропии для адиабатических необратимых процессов. Однако (в отличие от нашего примера) величину этих скачков нельзя
сопоставить с предсказаниями феноменологической термодинамики.
8. Демон Максвелла описан Максвеллом в его книге «Theory of Heat»
(1871 г.). Это проворное существо располагается в небольшом отверстии
в перегородке, разделяющей сосуд на две части A и B. Демон пропускает через отверстие быстрые частицы, которые перелетают из A в B,
и медленные частицы, которые перелетают из B в A. В результате через
некоторое время в камере A соберутся, в основном, медленные частицы,
а в камере B — быстрые. В результате возникнет разность температур без
совершения работы в противоречие со вторым началом термодинамики.
Недавно Г. М. Заславский предложил динамическую реализацию демона Максвелла, в основе которой лежит представление об идеальном газе как
бесстолкновительной среде (см. [99–101]). Вообразим себе перегороженный
пополам ящик с небольшим отверстием в перегородке. В одну из половинок поместим окружность, а в другую — овал Кассини, причем эти кривые
ограничивают фигуры равной площади. Частицы свободно двигаются по
камерам, упруго отражаясь от границ и от этих двух кривых (рис. 23).
Если закрыть отверстие, то получим два биллиарда: рассеивающий
биллиард Синая (с кругом) и биллиард Кассини (термин Г.М. Заславского).
Ввиду выпуклости круга, биллиард Синая будет эргодическим и даже с перемешиванием [64]. Эргодические свойства биллиарда Кассини зависят от
174 Примечания и библиография
Рис. 23. Динамический демон Максвелла (из работы [99])
параметров a и c, которые содержатся в уравнении овала: (x2+ y2)2−
− 2c2(x2− y2) − (a4− c4) = 0. При a >√2 c овал выпуклый и поэтому
биллиард будет эргодическим (по теореме Синая). Если a <√2 c, то эрго-
дичности может не быть. Например, при a = 4, 0309525 и c = 3 в отображении Пуанкаре возникает фрактальная структура островов устойчивости,
обнаруженная численно в [101].
Запустим теперь частицу газа и будем следить за долями времени, в течение которого она будет находиться слева
или справа от перегородки. Неожиданный результат Г. М. Заславского состоит
в том, что б´ольшую часть времени частица проводит в левой части, где расположен овал Кассини (несмотря на то,
что площади левой и правой камер совпадают). Разницу в средних временах
Рис. 24. Устойчивые периодические
траектории биллиарда Кассини
можно интерпретировать (по Заславскому) как различие эффективных давлений бесстолкновительного газа в левой
и правой камерах.
Примечания и библиография 175
Кстати сказать, наличие зон устойчивости для биллиарда Кассини
можно доказать аналитически при некоторых ограничениях на параметры
этого биллиарда. Для этого надо рассмотреть простые двузвенные периодические траектории, изображенные на рис. 24. Условие их устойчивости
в линейном приближении легко получить, используя известные результаты
(см. [45]):
d <
√
2
2c
2c2− a
a2− c
2
2
. (4)
Здесь d — половина стороны объемлющего прямоугольника (см. рис. 24).
При этом, конечно, должны быть выполнены неравенства a2> c
и a2< 2c2. Первое из них — условие связности овала Кассини, а второе —
условие его невыпуклости. Как вытекает из результатов КАМ-теории, для
почти всех значений параметров a, c, d, удовлетворяющих неравенству (4),
указанные периодические траектории на самом деле заведомо устойчивы по
Ляпунову (см. [88]). Таким образом, если частицу запустить вблизи такой
траектории, то она будет вечно находиться в ее малой окрестности и никогда не попадет в щель между двумя камерами. Нетрудно проверить, что
численные данные для a, c, d, использованные Заславским, удовлетворяют
условию (4).
9. Содержание этого параграфа имеет определенное отношение
к супераэродинамике (термин Х. Ш. Тзяна) — аэродинамике сильно разреженных газов, когда средний свободный молекулярный пробег становится
много больше размеров движущегося тела. В расчетах с ультраразреженными газами, как правило, продолжают пользоваться распределением Максвелла. При этом появляются существенные расхождения с экспериментальными данными (см. по этому поводу, например, [23]). Характерная цитата
из [23]: «Но поскольку другие данные отсутствуют, будем рассматривать
газ согласно Максвеллу; это, конечно, весьма грубое приближение».
2
Глава II
2–4. Теорема 2 указана в работе [43]. Там же предложен метод исследования слабой сходимости вероятностных мер, основанный на теореме
Стоуна о спектральном разложении группы унитарных операторов.
Биркгофовские средние можно определять (и вычислять) не только
как предел средних арифметических. Сходимость по Чезаро можно заме-
176 Примечания и библиография
нить более общими определениями (например, сходимостью по Вороному
и Риссу). Имеется продвинутая теория, которая связывает общие линейные
методы суммирования расходящихся рядов и последовательностей с эргодическими теоремами. С этим кругом вопросов можно познакомиться,
например, по работе [42], в которой приведена соответствующая библиография.
Доказательство теоремы 2, основанное на формуле Стоуна, приведено
в работе [43].
5–6. Слоистые потоки и ϕω-однородные векторные поля введены
в [47]. Эти объекты тесно связаны с квазиоднородными динамическими
системами. В той же работе [47] установлена теорема 3. Первоначальное ее
доказательство, основанное на теореме Стоуна, воспроизведено в §6. Затем
было найдено другое доказательство, которое использует новую форму статистической теоремы фон Неймана (см. по этому поводу § 8). Именно это
доказательство приведено в [47].
7. Формулу скачка энтропии
S+− S−= ln
+
v
−
(5)
v
для свободного расширения газа в пустоту (Введение, п. 3) можно обосно-
вать не только для сосуда в форме прямоугольногопараллелепипеда (глава I, §7), но
и для сосудов, в которых потоки с отражениями являются эргодическими. Рассмотрим, например, сосуд объема v+с вогну-
тыми стенками (рассеивающий биллиард
Синая). Предположим, что в начальный момент газ находился в тепловом равновесии
и занимал часть сосуда с объемом v−, у которого стенки также вогнуты. Уберем теперь перегородку и дождемся равновесного
Рис. 25. Расширение газа в случае
рассеивающих биллиардов
состояния газа в объеме v+. Легко сосчитать, что ∆S = ln(v+/v−). Здесь используются теоремы 1 и 3, а также тот факт,
что биркгофовское среднее любой суммируемой функции зависит лишь от полной энергии (поскольку биллиард
Синая обладает перемешиванием, а поэтому эргодичен).
Примечания и библиография 177
Для сосудов произвольной формы формула скачка (5), наверное, не
справедлива. Здесь нет ничего неожиданного, поскольку в общем случае
не происходит даже выравнивания плотности газа. С другой стороны, при
традиционном подходе к обоснованию термодинамики (вывод канонического распределения Гиббса) принимают эргодическую гипотезу. Так что
неполноту нашего обоснования формулы скачка энтропии можно считать
относительной.
Мы знаем, что после снятия перегородки больцмановская энтропия на-
чнет возрастать. Но можно ли этот закон возрастания энтропии проверить
экспериментально? По-видимому нет, поскольку во время переходного процесса термодинамические величины газа в целом не определены (например,
давление газа будет разным в разных местах сосуда) и поэтому не имеет
смысла говорить об энтропии всего газа. Как заметил Пуанкаре, « . . . соображения Гиббса, по-видимому, предполагают, что после изменения внешних
условий, до того как изменять их снова, следует подождать, пока установится режим. Это существенное допущение» [55].
График энтропии как функции времени изображен на рис. 26: энтропия
принимает одинаковые значения при конечных значениях t, а при t = −∞
и t = +∞ она имеет неотрицательный скачок. Четность функции t 7→ S(t)
является отражением свойства обратимости уравнений динамики. Этот график полезно сравнить с диаграммой Поппера, иллюстрирующей стрелу
времени по Больцману (стрела времени определяется возрастанием энтропии) (см. [54], гл. 8).
Рис. 26. График энтропии
Глава III
1. Теоремы 1 и 2 отмечены в работе [44]. Теорема 2 напоминает
известную теорему Ли Хуа-Джуна об единственности универсальных инвариантов Пуанкаре для гамильтоновых систем.
178 Примечания и библиография
2–5. Материал этих параграфов взят из работы [81].
В связи с вопросом о массивности вложенных друг в друга пространств
из последовательности (3.1) следует упомянуть классический результат
В. А. Рохлина о том, что в слабой топологии множество всех сильно перемешивающих преобразований имеет первую категорию (см., например, [72]).
6. Реальная атмосфера Земли имеет довольно сложную структуру.
Она разделена на пять концентрических страт, которые отделены друг от
друга узкими переходными зонами. Основная масса всей атмосферы сосредоточена в тропосфере — слое, наиболее близком к поверхности Земли. В среднем температура в тропосфере уменьшается на 6◦C на километр. Все проявления погоды происходят в тропосфере, хотя из-за турбулентности может оказывать влияние нижняя часть стратосферы. Слово
тропосфера означает «область смешивания» и это название возникло по
причине присутствия в этом слое сильных конвективных потоков воздуха.
Верхняя граница этого слоя имеет высоту 8 км в верхних широтах
и растет до 18 км на экваторе. Она изменяется по сезонам: наибольшая
летом и наименьшая зимой.
Стратосфера — второй по значимости страт в атмосфере. Он расположен в интервале высот 10–50 км над поверхностью Земли. Температура
воздуха в стратосфере остается относительно постоянной до высоты 25 км,
а затем она начинает возрастать с высотой. При этом конвекции нет и атмосферные условия стабильны.
Далее идет мезосфера — слой, простирающийся от 50 до 80 км и характеризующийся падением температуры с высотой. На высоте 80 км она
достигает 180◦K.
Термосфера расположена выше мезосферы. Температура в термосфере увеличивается с высотой вплоть до 1000–1500 градусов Кельвина. Это
увеличение обусловлено поглощением интенсивного солнечного излучения
ограниченным количеством оставшегося молекулярного кислорода. На таких высотах молекулы газа находятся на большом расстоянии друг от друга
и понятие температуры становится условным.
Наконец, экзосфера — самая дальняя от земной поверхности часть ат-
мосферы. Верхняя граница этого слоя, вероятно, достигает 1000 км и достаточно неопределенна.
На рисунках 27 и 28 приведены графики зависимости температуры
и плотности от высоты места. Интересно отметить, что в диапазоне вы-
Рис. 27. Зависимость плотности от высоты
Примечания и библиография 179
180 Примечания и библиография
Рис. 28. Зависимость температуры от высоты
Примечания и библиография 181
сот от 10 до 20 км (где температура не меняется) плотность убывает по
экспоненциальному закону (в соответствии с (6.1)).
Интегральное уравнение (6.11) выведено в работе [37]; там же указан способ его явного решения. В этой же работе рассмотрено распределение (6.13) и показано, что после усреднения получаются классические
уравнения состояния для идеального газа.
7. Теоремы 3 и 4 приведены в работе [41]. Если потенциал не сводится
к тригонометрическому многочлену, то нахождение условий существования
дополнительных полиномиальных по импульсам первых интегралов существенно усложняется. Природа трудностей показана в дополнении 5, где
рассмотрен наиболее простой случай двух степеней свободы. Любопытно
проследить, как из предположения о наличии дополнительного полиномиального интеграла рождаются дискретные симметрии спектра потенциала.
Однако, при рассмотрении конкретных гамильтоновых систем бесконечность спектра не является серьезным препятствием. В качестве примера
укажем систему взаимодействующих частиц на окружности (с периодическим потенциалом). Она описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом
H =
n
X
1
2
i=1
X
2
y
+
i
f(xi− xj),
i<j
где f (·) — четная аналитическая функция. Эта система всегда имеет два
интеграла: H и F =Pyi. Как показано в работе [38], если f 6= const, то
полного набора (в количестве n) независимых полиномиальных интегралов не существует. При n = 3 речь идет о существовании одного дополнительного интеграла в виде полинома по импульсам с периодическими
и аналитическими по x1, x2, x3коэффициентами.
Если потенциал f имеет сингулярности, то задача о дополнительных
интегралах усложняется. Как правило, в задачах такого сорта применяются численные расчеты или же доказываются более слабые результаты об
отсутствии дополнительных мероморфных интегралов в комплексифицированном пространстве. В дополнении 10 рассмотрена система с потенциалом
Дайсона, когда f = ln sin.
Интересно отметить, что в случае тригонометрического многочлена
f 6= const из теоремы 3 при всех n > 3 вытекает более сильное утверждение
об отсутствии одного дополнительного полиномиального интеграла, независимого вместе с функциями H и F (добавление 6). Было бы интересным
182 Примечания и библиография
распространить этот результат на случай произвольного аналитического потенциала f без сингулярностей.
В связи с обсуждаемым кругом вопросов следует упомянуть работу [24], в которой указаны препятствия к существованию дополнительного
аналитического интеграла многомерных динамических систем, основанные
на детальном исследовании гомоклинических структур.
Глава IV
1. Круг вопросов, связанных с доказательством существования термодинамического предела, является существенной частью современной статистической механики. На этом пути получены глубокие результаты, представление о которых дают, например, книги [8] и [60]. Правда, ценность
этих результатов снижается из-за недоказанности (или даже отсутствия)
свойства эргодичности соответствующих гамильтоновых систем.
По-видимому, впервые с этой проблемой столкнулись Ферми, Паста
и Улам [70], численно исследуя динамику цепочки нелинейно взаимодействующих сосредоточенных масс. Она описываются гамильтонианом
n
X
1
H =
2
p
i
2
i=1
Здесь используются граничные условия q0= q
n+1
X
µ
2
+
(q
2
i−1−qi
i=1
)2+
n+1
X
µ
4
(q
4
i−1−qi
i=1
)4, µ2, µ4> 0. (6)
= 0 (концы цепочки
n+1
закреплены) и предполагается, что n четно (в [70] рассматривался случай
n = 64). Численная проверка эргодической гипотезы привела к неожидан-
ному для авторов результату: вопреки ожиданию энергия не распределялась
по различным модам колебаний, а система регулярно возвращалась к начальному состоянию.
Интересно отметить, что работа [70] опубликована в 1955 году, спустя
год после публикации знаменитой работы А. Н. Колмогорова [48], давшей
начало КАМ-теории и из которой можно, в частности, вывести отсутствие
эргодичности в системах с гамильтонианом вида (6).
Вместе с тем гамильтонова система с гамильтонианом (6) не допускает дополнительного аналитического первого интеграла, независимого от
полной энергии H. Этот результат установлен в [97] с помощью техники,
развитой в работах С. Л. Зиглина и Х.Иошиды.
Кстати сказать, метод работы [97] позволяет доказать, что для почти
всех потенциалов четвертой степени V4(x) гамильтонова система с гамиль-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]