Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
.pdf
§ 3. Первая теорема о диффузии 53
расслоено на инвариантные торы ω = (ω1, . . . , ωn) = const, которые заполнены условно-периодическими траекториями с частотами ω1, . . . , ωn.
Для почти всех ω ∈ Rnэти траектории всюду плотны (и даже равномерно
распределены) на торе ω = const.
Такая картина вообще характерна для вполне интегрируемых гамильтоновых систем с компактными энергетическими поверхностями [5].
В окрестности инвариантных торов можно ввести переменные дейст-
вие-угол x mod 2π, y, в которых уравнения Гамильтона принимают вид:
˙ys= 0, ˙xs= ωs(y); 1 6 s 6 n. (3.1)
В невырожденном случае, когда
∂(ω1, . . . , ωn)
∂(y1, . . . , yn)
6= 0,
от переменных y можно перейти к новым переменным ω. В этих координатах уравнения (3.1) принимают вид (2.2). Таким образом, уравнения (2.2) представляют универсальный вид уравнений движения невырожденных вполне интегрируемых систем.
Пусть f(ω, x) — интегрируемая по Лебегу функция, 2π-периодическая
по каждой из координат x1, . . . , xn. Пусть функция g: Tn→ R интегриру-
ема по Риману; в частности, она ограничена. Введем функцию времени
Z
Z
K(t) =
f(ω, x − ωt)g(x) dnx dnω. (3.2)
n
n
R
T
Так как функция f(ω, x −ωt) интегрируема по Лебегу при всех значениях t,
а g — измеримая и ограниченная функция, то интеграл (3.2) корректно
определен.
Функция K(t) имеет прозрачную интерпретацию. Прежде всего заметим, что x−ωt = x0= const ввиду уравнений (2.2). Пусть, согласно Гиббсу,
f > 0 — плотность распределения интегрируемых систем в Γ (плотность
вероятностной меры), а g — характеристическая функция измеримой по
Жордану области D на Tn. Ясно, что
Z
hfi =
Rn×T
f dnx dnω = 1.
n
54 Глава I
Нетрудно понять, что тогда K(t) равно доли всех систем, фазы которых
(т. е. координаты x точек на Tn) принадлежат области D.
Изучим поведение функции K(t) при t → ∞.
Теорема 1. Существует
lim
K(t) = hf ig, (3.3)
t→±∞
где
(·) =
1
(2π)
n
Z
n
T
(·) dnx.
Вернемся к случаю, когда f — плотность распределения вероятностной меры, а g — характеристическая функция измеримой области D. Тогда
соотношение (3.3) переходит в равенство
lim
t→±∞
K(t) =
mes G
mes T
. (3.4)
n
Следовательно, независимо от начального распределения при неограниченном возрастании времени система оказывается равномерно распределенной
по фазам. Этот результат свидетельствует о наличии необратимой диффузии
в невырожденных интегрируемых системах.
Доказательство теоремы 1 разобьем на несколько пунктов. Поскольку интегрируемую по Лебегу функцию можно представить в виде разности двух неотрицательных интегрируемых функций, то будем считать, что
f > 0.
1) Пусть g(x) = g = const. Тогда
Z
f(ω, x − ωt)g dnx dnω = hfig
Γ
по формуле замены переменных в кратных интегралах.
2) Пусть g(x) = exp i(m, x), m ∈ Znи m 6= 0. Полагая u = x − ωt,
получим
K(t) =
где
f−m=
Z
f−m(ω)e
n
R
Z
n
T
f(ω, u)e
i(m,ω)tdn
i(m,u)dn
ω,
u
§ 3. Первая теорема о диффузии 55
— коэффициент Фурье функции f как функции на Tn, умноженный на (2π)n.
По теореме Фубини функция f−m: Rn→ R интегрируема по Лебегу. Сле-
довательно (согласно теории преобразования Фурье), K(t) → 0 при t → ∞.
3) Из п.п. 1 и 2 вытекает, что теорема 1 справедлива для любого три-
гонометрического полинома g.
4) Воспользуемся теперь известным утверждением из теории интеграла
Римана (ср. с [18]). Пусть функция g : Tn→ R интегрируема по Риману.
Тогда для любого ε > 0, найдутся два тригонометрических многочлена g
и g2, таких, что
(a) g1(x) 6 g(x) 6 g2(x) для всех x ∈ Tn,
(b)
g2− g1< ε.
Доказательство этого утверждения использует аппроксимационную теорему
Вейерштрасса.
5) Положим
Z
Kj(t) =
f(ω, x − ωt)gj(x)dnx dnω; j = 1, 2.
Γ
Поскольку f > 0, то для всех t
K1(t) 6 K(t) 6 K2(t).
Согласно п. 3 при t → ∞ разность K2(t) −K1(t) стремится к
1
hfi(g2− g1) < hfiε. (3.5)
Здесь использовано свойство (b) из п. 4.
Таким образом, неравенство (3.5) имеет место для всех t > T1(ε).
6) Согласно п. 3, для любого ε > 0 найдется T2(ε) такое, что для всех
t > T2(ε) имеем
|Kj(t) −hf igj| < ε. (3.6)
С другой стороны, по свойству (a) и с учетом неравенства f > 0 имеем
hfig16 hfig 6 hfig2. (3.7)
Из (3.5)–(3.7) вытекает, что при t > max(T1(ε), T2(ε))
|K(t) − hf ig| < 3hfiε,
что и требовалось доказать.
56 Глава I
Эти рассуждения напоминают доказательство теоремы Вейля о равномерном распределении [18]. Собственно говоря, у Пуанкаре нет точной
формулировки утверждения о предельном равномерном распределении по
фазам. Он ограничился рассмотрением п. 2 в частном случае, когда n = 1,
в предположении, что функция f непрерывно дифференцируема по ω.
§ 4. Выравнивание плотности
Пусть f (ω, x) > 0 — плотность распределения частиц газа в фазовом
пространстве при t = 0, а g(z) — характеристическая функция измеримой
области G в Πn. По определению плотности hfi = 1. С другой стороны,
используя явные формулы 2n-листного накрытия Tn→ Πn, получим
Z
g =
1
l1. . . l
n
n
Π
g(z) dnz =
Следовательно, по теореме 1,
lim
K(t) =
t→±∞
Таким образом, с течением времени t доля частиц газа, находящихся
в области G ⊂ Π, пропорциональна объему G. Итак, приходим к следующему результату (сформулированному в работе Пуанкаре [55]): независимо
от вида начального распределения f при t → +∞ и t → −∞ произойдет
необратимое выравнивание плотности газа в сосуде Π. Подчеркнем еще раз,
что диффузия бесстолкновительной среды обусловлена неравномерностью
возвращаемости ее частиц по начальным данным.
Поскольку разность K(t) −mes G/ mes Π стремится к нулю, то флуктуации плотности идеального газа неограниченно убывают с ростом времени.
Для газа Больцмана – Гиббса, состоящего из конечного числа частиц, прежде
всего надо дать строгое определение выравнивания плотности. К сожалению, до настоящего времени в этом направлении нет точных теоретических
результатов. Однако в любом случае (ввиду теоремы Пуанкаре о возвращении) выравнивание плотности газа Больцмана– Гиббса должно сопровождаться незатухающими флуктуациями. Вопросы численного моделирова-
ния газа Больцмана– Гиббса обсуждаются, например, в работе [92].
Чтобы оценить скорость выравнивания плотности идеального газа, рассмотрим простой пример. Будем считать, что по скоростям частицы газа
mes G
mes Π
mes G
. (4.1)
mes Π
.
§ 4. Выравнивание плотности 57
распределены по нормальному закону:
2
ω
f(ω, x) =
ω2= ω
λ(x)
(√2πσ)
2
+ . . . + ω
1
−
2
2σ
e
n
, (4.2)
2
.
n
Здесь λ — неотрицательная измеримая функция на Tn, причем
Z
λ(x) dnx = 1. (4.3)
n
T
Если интерпретировать (4.2) как плотность распределения Максвелла, то
дисперсия σ2пропорциональна абсолютной температуре τ.
В рассматриваемом случае имеет место равенство
2
ω
−
2σ
e
(√2πσ)
2
e
n
i(m,ω)tdn
ω, (4.4)
K(t) −
mes G
mes Π
∞
X
0
=
gmλ
m
Z
−m
−∞
где gm— коэффициент Фурье поднятия функции g(z) на Tn, а (2π)nλm—
коэффициент Фурье функции λ: Tn→ R. Согласно (4.3), имеем простую
оценку |λm| 6 1. С другой стороны, с учетом формулы (4.1) имеем следу-
ющее неравенство:
mes G
|gm| 6
mes Π
.
Следовательно, из (4.4) получаем неравенство
K(t) −
mes G
mes Π
mes G
6
mes Π
m6=0
X
σ2t2(m,m)
−
e
2
. (4.5)
Ряд справа сходится при всех t > 0 (если, конечно, σ 6= 0) и его сумма
чрезвычайно быстро стремится к нулю, когда t → ±∞.
Сумма мажорирующего ряда
σ2t2(m,m)
X
−
2
e
m6=0
(4.6)
58 Глава I
выражается через тэта-функции. Она равна
[θ3(0, q)]n− 1,
где q = exp(−σ2t2/2), а третья тэта-функция определяется рядом
∞
X
2
n
i2πnv
q
e
θ3(v, q) =
−∞
.
Ясно, что θ3(v, q) → 1 при q → 0.
Оценка (4.5) универсальна в том смысле, что в нее не входит функция λ. В частности, в качестве λ можно взять δ-функцию Дирака. В этом
случае газ в начальный момент будет сосредоточен в одной точке (что,
кстати сказать, не противоречит гипотезе о бесстолкновительности среды).
Так как σ2пропорционально τ , то ряд (4.6) зависит на самом деле от комбинации t
√
τ. Поэтому время выравнивания плотности убывает с ростом
температуры как 1/√τ.
Отметим, что в отличие от модели Каца (и обычных представлений
о механизме теплового равновесия в газах) выравнивание плотности происходит без предварительного усреднения по состояниям и детерминированно.
§ 5. Вторая теорема о диффузии
Пусть функции f, g : Rn×Tn→ R интегрируемы вместе со своим квад-
ратом(из класса L2(Γ)). Ясно, что при всех значениях t функция f(ω, x−ωt)
также принадлежит L2. Поэтому корректно определена функция
Z
K(t) =
f(ω, x −ωt)g(ω, x) dnx dnω.
Γ
Теорема 2. При указанных предположениях
Z
lim
t→±∞
K(t) = (2π)
n
fg dnω. (5.1)
n
R
Этот результат, конечно, не вытекает из теоремы 1 (впрочем, как и теорема 1 не является следствием теоремы 2). В работе Пуанкаре [55] формула (5.1) не упоминается.
§ 5. Вторая теорема о диффузии 59
Прежде чем доказывать теорему 2, укажем одно вспомогательное
утверждение. Пусть
X
fm(ω)e
i(m,x)
X
и
gm(ω)e
i(m,x)
(5.2)
— ряды Фурье функций f и g при фиксированном значении ω. По теореме
Фубини, эти ряды определены для почти всех ω ∈ Rn. Более того, для почти
всех ω функции f и g принадлежат L2(Tn). Следовательно,
Z
f(ω, x − ωt)g(ω, x) dnx = (2π)
n
T
n
X
m
fmg−me
−i(m,ω)t
. (5.3)
Так как f, g ∈ L2, то функции |fmg−m| интегрируемы в Rnпри всех
m ∈ Zn. Положим g
0
= gmexp[i(m, ω)t]. Ясно, что g
m
0
m
g
0
−m
= gmg−m.
Лемма 1.
X
m
Z
0
|fmg
−m
n
R
+ fmg
0
|dnω <
m
Z
(f2+ g2) dnx dnω. (5.4)
Γ
Это — вариант неравенства Бесселя. Оно показывает, в частности, что
ряд в левой части неравенства (5.4) сходится равномерно по t ∈ R.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ. Воспользуемся очевидным неравенством
|fmg
0
−m
+ f−mg
0
| 6 fmf−m+ gmg−m.
m
Поскольку fmи f−mкомплексно сопряжены, то fmf−m> 0. Аналогично,
gmg−m> 0.
Теперь нам осталось доказать неравенство
X
m
Z
n
R
fmf−mdnω 6
Z
f2dnx dnω. (5.5)
Γ
Аналогичное неравенство имеет место и для функции g.
Действительно, пусть fN— конечная сумма членов ряда Фурье (5.2),
таких, что |m| < N . Тогда
Z
0 6
(f −fN)2dnx dnω =
Γ
Z
f2dnx dnω −
Γ
X
|m|<N
Z
fmf−mdnω.
n
R
60 Глава I
Следовательно, неравенство (5.5) справедливо для любой частичной суммы
ряда в левой части (5.3). Переходя к пределу при |m| → ∞, получаем
требуемое.
Докажем теперь теорему 2. По лемме 1 (с учетом известных теорем
Леви и Лебега) ряд (5.3) сходится для почти всех ω и его можно почленно
интегрировать. Интегрируя обе части равенства (5.3) по всему Rn, приходим
к соотношению
K(t) = (2π)
Z
n
fgdnω + (2π)
n
R
n
X
m6=0
Z
fm(ω)g−m(ω)e
n
R
−i(m,ω)tdn
ω.
Так как функции fmg−mинтегрируемы по Лебегу, то каждый член ряда
в правой части стремится к нулю, когда t → ±∞. Согласно лемме, этот ряд
сходится равномерно по t. Поэтому для любого ε > 0 найдется N(ε), такое,
что сумма членов ряда с номерами |m| > N(ε) будет меньше ε/2 при
всех значениях t. Конечная сумма остальных слагаемых стремится к нулю,
когда t → ±∞. Следовательно, найдется T (ε) (зависящее на самом деле
от N (ε)) такое, что при |t| > T (ε) эта сумма будет меньше ε/2. Итак, при
|t| > T(ε) сумма указанного ряда оказывается меньше ε, что доказывает
теорему.
Отметим одно простое следствие теоремы 2. Пусть h(ω) — плотность
распределения вероятностей в Rn= {ω}, а f и g — функции из L2(Tn).
Тогда при t → ±∞
n
h(ω)
"
Z
f(x + ωt)g(x) dnx#dnω →
n
T
Z
R
1
(2π)
Z
n
T
f(x) dnx
n
Z
g(x) dnx.
n
T
Таким образом, в среднем функции f(x + ωt) и g(x) при больших |t|становятся статистически независимыми: интеграл от произведения равен произведению интегралов.
Теорема 2 позволяет ответить на вопрос об эволюции плотности распределения f при неограниченном возрастании времени. На первый взгляд
кажется, что плотность f (ω, x − ωt) осциллирует условно-периодически
и поэтому вообще не имеет предела при t → ∞. Однако плотность распределения вероятностей «существует» не сама по себе, а только при усреднении некоторой фиксированной функции из L2. Поэтому эволюцию f при
t → ∞ следует понимать в обобщенном смысле, как это обычно делается
в теории обобщенных функций (см., например, [2]).
§ 5. Вторая теорема о диффузии 61
Чтобы понять, как интегрируемая система (2.2) распределена в фазовом пространстве Γ при t → ∞, введем характеристическую функцию g
следующего множества
G = {x mod 2π, ω : x
0
6 xs6 x
s
00
, ω
s
0
6 ωs6 ω
s
00
, 1 6 s 6 n}.
s
Ясно, что
hgi =
(2π)
−n
n
Y
s=1
(x
00
0
− x
), если ω06 ω 6 ω00,
s
s
0 для остальных ω.
Утверждается, что при t → ∞ функция f (ω, x−ωt) стремится в слабом
смысле к
f. Предельная плотность f — интегрируемая неотрицательная
функция на Rn, причем hfi = 1.
Действительно, по теореме 2, при t → ∞
Z
f(ω, x − ωt)g(ω, x) dnx dnω → (2π)
Γ
n
Y
s=1
(x
00
− x
s
=
00
ω
Z
0
)
s
ω
00
ω
1
n
Z
f dω1. . . dωn.
. . .
0
0
ω
n
1
Z
n
n
R
fg dnω =
Но точно такой же результат получается при непосредственном вычислении
среднего значения предельной плотности f по области G.
В качестве примера рассмотрим невырожденную гамильтонову систему с одной степенью свободы и покажем, что любая функция распределения
из L2слабо сходится к функции, зависящей лишь от полной энергии. Напомним определение невырожденности. Будем предполагать, что все фазовое
пространство состоит из конечного числа кусков, инвариантных относительно фазового потока, в каждом из которых можно в целом ввести переменные действие-угол y, x mod 2π. Переход от обычных канонических
переменных p, q к переменным x, y является симплектическим преобразованием: его якобиан равен единице. В новых переменных гамильтониан H(p, q) зависит лишь от y. Система называется невырожденной, если
d2H
6= 0 (5.6)
2
dy
62 Глава I
в каждом из инвариантных кусков. Можно проверить, что этим условиям
удовлетворяет, например, обычный маятник в поле силы тяжести.
В переменных действие-угол уравнения Гамильтона
∂H
˙p = −
принимают вид
˙x = ω(y), ˙y = 0, (5.7)
где ω = dH/dy — частота периодического движения.
Согласно (5.6), dω/dy 6= 0. Следовательно, ω — монотонная функция
от y и поэтому в каждом инвариантном куске можно перейти от переменной y к частоте ω. Тогда уравнение (5.7) примет универсальный вид
и мы можем воспользоваться теоремой 2: начальная плотность f слабо сходится к «равновесному» пределу f, зависящему только от ω. В частности,
предельная плотность есть функция от y и, следовательно, от H.
Еще Гиббс предпринимал попытки доказать, что при t → ∞ распределение вероятностей стремится (в каком-то смысле) к стационарному состоянию, которое отвечает тепловому равновесию [22] (гл. XII). По мнению
М. Каца [30] (гл. III), идея о том, что вероятность следует вводить в механику только посредством начальной плотности, кажется, конечно, очень
привлекательной. Но, вообще говоря, эта точка зрения, по-видимому, несостоятельна и вероятность в механике должна появляться и разными другими
путями.
На наш взгляд теоремы 1 и 2 о диффузии в интегрируемых системах
демонстрируют плодотворность подхода Гиббса и указывают на то, что его
идеи еще до конца не реализованы.
, ˙q =
∂q
˙x = ω, ˙ω = 0
∂H
∂p
§ 6. Давление, внутренняя энергия и уравнение состояния
Теорема 1 устанавливает закон выравнивания плотности идеального газа в прямоугольном параллелепипеде. Теорема 2 позволяет доказать выравнивание давления и плотности энергии идеального газа, указать формулы
для предельных значений этих величин и тем самым получить уравнение
состояния газа в тепловом равновесии.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]