Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
.pdf
§ 5. Идеальный газ и проблема моментов 123
для внутренней энергии и уравнение состояния; эти уравнения определяют термодинамику упрощенной системы без взаимодействия — идеального
газа.
Примем массу частиц равной единице. Тогда гамильтониан идеального
газа будет равен
H =
X
1
2
p
,
i
2
где pi= ( ˙xi, ˙yi, ˙zi) — импульс i-ой частицы; пусть qi= (xi, yi, zi) — ее
декартовы координаты.
Формула для внутренней энергии имеет вид
P
β
2
2
p
i
2
d3np d3nq
p
i
d3np d3nq
.
E =
R
R
1
2
n
3n
D
R
R
R
3n
D
R
P
n
2
p
f
i
P
β
f
2
Она не зависит от объема v:
a
, (5.1)
bβ
1
2
u
f
i
2
2
u
i
X
d3nu.
2
u
d3nu,
i
где
a =
b =
E(β) =
Z
X
1
2
3n
R
Z
X
1
f
2
3n
R
Координаты p и u связаны простым соотношением: ui=√β pi.
Полагая для простоты записи 3n = m + 2, перейдем от переменных
u1, . . . , u
к сферическим координатам r, u1, . . . , um, ϕ по формулам
m+2
u1= r cos θ1,
u2= r sin θ1cos θ2,
u3= r sin θ1sin θ2cos θ3,
. . . . . .. . . . .. .. . . . .. .. .. . . . . . . .. ..
um= r sin θ1sin θ2. . . sin θ
u
= r sin θ1sin θ2. . . sin θmcos ϕ,
m+1
u
= r sin θ1sin θ2. . . sin θmsin ϕ.
m+2
m−1
cos θm,
124 Глава III
Здесь r > 0, 0 6 θj6 π (1 6 j 6 m) и ϕ mod 2π — угловая координата.
В новых переменных
∞
Z
b =
0
×
m+1
r
Z
0
2
r
f
π
. . .
dr×
2
π
2π
Z
Z
(sin θ1)m(sin θ2)
0
0
m−1
. . . (sin θm) dθ1. . . dθmdϕ =
∞
m
=
1+
2π
Γ1 +
2
m
Z
m+1
r
0
2
2
r
f
dr, (5.2)
2
где Γ — гамма-функция Эйлера. Аналогично,
∞
m
a =
1+
2π
Γ1 +
2
m
Z
r
0
2
m+3
2
2
r
f
dr. (5.3)
2
Вычислим теперь обобщенный статистический интеграл:
Z
Z
F =
β
f
2
n
3n
D
R
X
2
p
d3np d3nq =
i
n
bv
√
. (5.4)
3n
β
В соответствии с (4.4)
∂F
E = κ
∂β
.
Принимая во внимание (5.1) и (5.4), получаем
√
3n
β
2a
κ = −
3nb2v
.
n
Используя первое уравнение (4.4), приходим к уравнению состояния
Λ = −
κβ∂F
∂v
=
2a
3bvβ
.
§ 5. Идеальный газ и проблема моментов 125
Обозначая давление Λ через p (как это принято в термодинамике), получаем
более привычную запись уравнения состояния:
2a
pv =
kτ. (5.5)
3b
Теперь положим f(z) = e−z. Тогда
∞
2
Z
r
b =
1
m + 2
−
m+2
2
dr
e
0
=
2a
m + 2
.
Следовательно,
m + 2
a
=
b
2
3n
=
2
и уравнение состояния (5.5) переходит в классическое уравнение Клапейрона:
pv = nkτ. (5.6)
Зададимся следующим вопросом: если уравнения (5.5) и (5.6) совпадают при любом числе частиц n, то порождает ли функция f распределение
Гиббса, т.е. f (z) = ce−z, c = const? Ответ оказывается отрицательным.
Действительно, (5.5) и (5.6) идентичны, если
3n
m + 2
=
2
, m = 3n − 2 = 1, 4, 7 . . . .
2
a
=
b
С учетом (5.2) и (5.3) эти уравнения принимают следующий вид
∞
Z
0
m+3
r
2
r
f
dr = (m + 2)
2
∞
Z
0
r
m+1
2
r
f
dr. (5.7)
2
Пусть f убывает на бесконечности быстрее любой степенной функции.
Тогда после интегрирования по частям уравнения (5.7) можно представить
в эквивалентной форме:
∞
Z
h
0
2
r
0
f
+ f
2
i
2
r
m+3
r
2
dr = 0 (5.8)
126 Глава III
для всех m + 3 = 3n + 1 = 4, 7, 10 . . . . Если это соотношение было бы
справедливым при всех неотрицательных m + 3, то (согласно классической
теории моментов [6]) выражение в квадратных скобках в (5.8) должно тождественно обращаться в нуль. Тогда f0+ f = 0 и, следовательно, f = ce−z,
c = const. Однако, (5.8) не обращается в нуль для «большинства» целых
значений m +3. Отсюда вытекает, что имеется бесконечномерное пространство плотностей распределения вероятностей, зависящих лишь от полной
энергии, которые приводят к классическим термодинамическим соотношениям для идеального газа.
§ 6. Неэкспоненциальная атмосфера
Хорошо известно, что плотность столба идеального газа в поле силы тяжести, находящегося в тепловом равновесии, убывает с высотой по
экспоненциальному закону:
ρ(z) = ρ0exp−
Здесь m — масса частиц газа, g — ускорение силы тяжести, k — постоянная
Больцмана, τ — абсолютная температура. Предполагается, что при тепловом
равновесии температура не зависит от высоты атмосферы. Как замечает по
этому поводу Зоммерфельд [27], «метеорологи раньше иногда протестовали
против этого утверждения».
Формула (6.1) сразу выводится из условия равновесия идеальной жидкости
grad p = ρF (6.2)
mgz
. (6.1)
kτ
(p — давление, F — плотность внешних сил) с учетом уравнения состояния
идеального газа
k
p =
С другой стороны, соотношение (6.1) можно получить из формулы Гиббса
для плотности канонического распределения вероятностей c exp(−H/kτ )
(c — нормировочный множитель, H — гамильтониан частицы в поле силы
тяжести), усредняя ее по импульсам. После усреднения получается плотность распределения частиц газа по высоте, которая оказывается пропорциональной экспоненте из (6.1). Этот вывод формулы (6.1), полученный
ρτ. (6.3)
m
§ 6. Неэкспоненциальная атмосфера 127
впервые Максвеллом, считается одним их первых достижений равновесной
статистической механики.
Впрочем, еще Лошмидт (см. в кн. [13]) высказывал критические замечания в связи с рассуждениями Максвелла (в том числе и с точки зрения
кинетической теории). Кроме того, в известных стационарных моделях атмосферы Земли (например, международная стандартная модель) плотность
убывает с высотой отнюдь не экспоненциально и температура существенно
зависит от высоты места.
Однако, еще более существенные проблемы возникают при естественном предположении, что Земля имеет форму шара со сферически симметричным распределением масс. Оказывается, Земля вообще не может иметь
атмосферы конечной массы с постоянной температурой. Пусть M — масса
Земли, R — ее радиус, γ — гравитационная постоянная, r — расстояния частиц газа до центра Земли. Решая систему уравнений (6.2)–(6.3) в случае
гравитационного притяжения, приходим к формуле
ρ(r) = c exp
mG
, c = const > 0, G = γM. (6.4)
kτ r
Так как ρ(r) → c > 0 при r → ∞, то масса атмосферы
∞
Z
r2ρ(r) dr (6.5)
4π
R
бесконечна. Можно усложнить задачу, учитывая взаимное притяжение частиц атмосферы. В этом случае плотность при постоянной температуре
находится как решение интегро-дифференциального уравнения
∞
kτ
ρ0r2= −γM + 4π
m
Z
x2ρ(x) dxρ.
R
Оно легко сводится к неавтономному дифференциальному уравнению второго порядка. Интересующее нас решение имеет следующую асимптотику
ρ(r) =
α
2
r
+ o
1
2
r
, α =
kτ
2πmγ
.
Однако и в этом случае интеграл (6.5) расходится.
128 Глава III
Отметим, что соотношение (6.4) формально получается из канонического распределения для ньютоновского притяжения усреднением по импульсам. Однако, ввиду расходимости, с этой плотностью в фазовом пространстве нельзя связать никакой вероятностной меры.
Если считать τ известной функцией z, то согласно уравнениям (6.2)–(6.3) формулу (6.1) надо заменить формулой
z
dx
, c = ρ(0)τ(0). (6.6)
τ(x)
ρ(z) =
c
τ(z)
exp−
mg
k
Z
0
В частности, если температура линейно убывает с ростом z, то атмосфера
находится в стационарном состоянии (если, конечно, считать температуру
поверхности Земли постоянной). Действительно, функция τ (z) гармоническая и поэтому (согласно закону Фурье) поле температур не меняется со
временем.
Если τ = τ0(1−εz), 0 6 z 6 1/ε,τ0= τ(0), то формула(6.6) принимает
вид
ρ(z) = ρ0(1 − εz)
mg
−1
kτ0ε
. (6.7)
В задаче о равновесии атмосферы в ньютоновском гравитационном поле гармонические функции имеют вид a/r + b. Если положить, например,
τ = a/r (a = kτ (R)), то
mG
−
ka
ρ(r) = cr
r
R
, c = const > 0. (6.8)
Интеграл (6.5) будет сходиться при выполнении условия mG/ka > 4. Это
заведомо так, если температура поверхности Земли принимает небольшие
значения.
Наша цель — применить методы статистической механики для вывода
формул плотности типа (6.6)–(6.8). Только здесь каноническое распределение вероятностей в фазовом пространстве приходится заменить другими
распределениями, плотности которых зависят лишь от полной энергии.
Пусть M = {x} — конфигурационное пространство механической системы с n степенями свободы, Γ = T∗M — ее фазовое пространство,
X
1
H =
aijpipj+ V (x)
2
§ 6. Неэкспоненциальная атмосфера 129
— функция Гамильтона. Здесь p1, . . . , pn— канонические импульсы, сопряженные координатам x1, . . . , xn, V — потенциал силового поля.
Пусть g : M → R — неотрицательная функция, задающая вероятност-
ную меру на M:
Z
g(x) dnx = 1.
M
Следуя Гиббсу, зададим плотность распределения вероятностей на Γ в виде
f(βH), где f (·) — неотрицательная функция одного переменного, β — параметр, размерность которого обратна размерности энергии.
Усредняя плотность f по импульсам, приходим к интегральному урав-
нению
Z
f(βH) dnp = g(x). (6.9)
n
R
Функция g считается заданной, а f подлежит определению.
В каждой точке x ∈ M линеной заменой p = Cy кинетическую энер-
гию можно привести к сумме квадратов:
(Ap, p) = (y, y), A = kaijk.
Переходя еще к сферическим координатам в Rn= {y}, уравнение (6.9)
преобразуем к виду
∞
где c = Γ(n/2)/2π
Z
n−1
r
0
n/2
. Отсюда вытекает, в частности, чтоp|A|g является
fhβ
2
r
+ Vidr = c
2
p
|A|g, (6.10)
функцией от потенциала V . Положим для краткости
n−2
ρ(βV ) = cβ
β
2
p
2
|A|g.
Тогда из уравнения (6.10) для функции f получим интегральное уравнение
Вольтерра первого рода
∞
Z
(ζ − ξ)
ξ
n−2
2
f(ζ) dζ = ρ(ξ). (6.11)
130 Глава III
Несущественное отличие от классического случая состоит в том, что интеграл в уравнении (6.11) несобственный.
Вид решения (6.11) зависит от четности размерности n. Пусть n четно
и равно 2s + 2 (s > 0). Тогда
s+1
f(ξ) =
(−1)
(s + 1)!
s+1
d
ρ(ξ). (6.12)
s+1
dξ
При этом, конечно, (s +1)-ая производная функции ρ(ξ) должна достаточно
быстро убывать при ξ → ∞, чтобы обеспечить сходимость несобственного
интеграла в левой части (6.11).
Для нечетных n после нескольких дифференцирований по ξ уравнение (6.11) сводится к интегральному уравнению Абеля и для его решения
можно воспользоваться классической формулой Абеля (см. [66]). Например,
при n = 1
f(ξ) =
∞
Z
ρ(u) du
d
1
π
dξ
√
ξ
u − ξ
.
Чтобы эта формула была корректной, надо потребовать сходимость несобственного интеграла и его непрерывную дифференцируемость по параметру ξ.
Особенно просто решение уравнения (6.11) выглядит при n = 2:
f = −ρ0(формула (6.12) при s = 0). Используя формулу (6.7) для плот-
ности атмосферного столба, получаем
mg
f(βH) = c1 −
εH
mg
−2
kτ0ε
. (6.13)
Здесь τ0— температура вблизи поверхности Земли, c — нормировоч-
2
ный множитель, H = (y
2
+ y
)/2m + mgz — гамильтониан. Ясно, что
1
2
0 6 H 6 mg/ε. Роль параметра β играет множитель ε/mg.
Так как τ = τ0(1 −εz), то при ε → 0 температура не зависит от высоты
и формула (6.13) переходит в классическое распределение Гиббса:
f = c exp−
H
kτ
.
Таким образом, формула (6.13) дает пример распределения вероятностей,
которое при малых значениях параметра ε мало отличается от канонического распределения.
§ 6. Неэкспоненциальная атмосфера 131
Обсудим теперь вид уравнений состояния и зависимости энергии от
термодинамических параметров разреженного газа, подчиненного распределению (6.13). Для этого рассмотрим небольшой замкнутый плоский сосуд
в вертикальной плоскости R2= {x, z}, размеры которого малы по сравне-
нию с высотой z. Пусть v — его объем (точнее, его площадь). Нормировочный множитель c в формуле (6.13) находится из равенства
ZZ
f(βH) d2y dσ = 1,
где dσ — элемент площади в вертикальной плоскости. Из этой формулы
получаем, что
2πvm2g(1 − εz)
c =
ε(α − 1)
α−1
, α =
mg
. (6.14)
kτ0ε
Далее, энергия E газа в сосуде определяется как среднее значение гамильтониана
N
ZZ
Hf d2y dσ,
где N — число частиц в сосуде.
Из (6.13) и (6.14) получаем формулу
E = Nkτ0(1 − εz) + M gz. (6.15)
Здесь M = Nm — масса газа в сосуде. Первое слагаемое в (6.15) имеет
вид N kτ, где τ — температура газа в сосуде. Это — внутренняя энергия
идеального газа, обусловленная движением его молекул.
Чтобы получить уравнение состояния, следует воспользоваться известным соотношением
Λ = −M
ZZ
∂H
∂λ
f d2y dσ.
Здесь λ — термодинамический параметр, Λ — отвечающая ему обобщенная
сила. В нашем случае λ — это объем v газа, а Λ — давление p. Поскольку
зависимость гамильтониана от объема явно не задана, то для вычисления
давления надо преобразовать правую часть (6.16), сведя ее к вычислению
производной по v от некоторого кратного интеграла. Используя (6.14), получаем уравнение состояния
pv = Nkτ0(1 −εz). (6.16)
132 Глава III
С учетом принятой зависимости температуры от высоты это уравнение
очевидно, эквивалентно уравнению состояния идеального газа (6.3).
Выражение для внутренней энергии и уравнение состояния можно
попытаться получить с помощью метода, развитого в § 4 (формулы (4.4)
и (4.5)). Однако таким способом получаются соотношения, которые не совпадают с (6.15) и (6.16). На самом деле здесь нет никакого противоречия,
поскольку в нашем случае параметр β = ε/mg имеет другой физический
смысл (в частности, β не зависит явно от температуры).
§ 7. Статистическая динамика системы связанных
маятников
Рассмотрим n маятников, соединенных упругими пружинами. Для простоты будем считать, что их точки подвеса совпадают (рис. 19). Колебания
отдельно взятого маятника описываются гамильтонианом
2
y
s
hs=
где x — угол отклонения маятника от вертикали, y — сопряженный импульс,
m — масса маятника, J — момент инерции относительно точки подвеса, l —
расстояние от точки подвеса до центра масс, g — ускорение свободного
падения.
Пусть маятники с номерами i и j соединены упругой пружиной. Тогда
потенциальная энергия взаимодействия равна
− msglscos xs,
2J
s
hij= −κijδ2cos(xi− xj) + const.
Здесь κij= κji— коэффициент упругости, δ — расстояние до точек крепления пружины.
Пусть γ — набор номеров (ij), для которых hij6= const; если (ij) ∈ γ,
то (ji) ∈ γ. Множеству γ естественно сопоставляется граф ∆, вершины
которого {1, 2, . . . , n} нумеруют маятники. Вершины i и j соединены ребром, если (ij) ∈ γ. Если граф ∆ связный, то систему маятников назовем
связанной. Динамика системы связанных маятников описывается каноническими дифференциальными уравнениями с гамильтонианом
n
X
H =
s=1
hs+
X
hij.
γ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]