Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
.pdf
§ 10. Резонансы 163
Хорошо известно, что {
,
} — производная от
0
1
системы дифференциальных уравнений с гамильтонианом
n
X
s=1
,
}. Кроме того, по формуле (9.2),
0
1
∂f
{Hs,
∂H
s
ный смысл имеет скобка Пуассона {
,
{
} =
0
1
в силу канонической
1
. Аналогич-
0
}. (10.5)
1
Ограничим теперь равенство (10.4) на инвариантный тор Tn. Ясно,
что {
} равно производной ограничения функции
0
1
на Tnв силу
1
,
системы дифференциальных уравнений (8.4). Пусть Ψ : Tn→ R — ограни-
чение
на Tnи
1
Ψ =
X
ψkexp i(k, ϕ) (10.6)
n
k∈Z
— ее ряд Фурье. В точках ϕ ∈ Tnлевая часть (10.4) принимает вид
X
i(k, ω)ψkexp i(k, ϕ). (10.7)
n
k∈Z
С учетом формул (10.2) и (10.5) правая часть соотношения (10.4) в точ-
ках инвариантного тора равна
X
k∈Z
∂f
i
n
k1ω1+ . . . +
∂H
1
∂f
∂H
n
knω
ϕkexp i(k, ϕ). (10.8)
n
Сопоставляя (10.7) и (10.8), получаем цепочку равенств
(k, ω)ψk= (ξ1k1ω1+ . . . + ξnknωn)ϕk, k ∈ Zn; ξj= ∂f/∂Hj. (10.9)
Пусть теперь Tn— это тор Пуанкаре. Полагая k равным u, v, . . . , w
получим, что ω как вектор n-мерного пространства ортогонален гиперплоскости Π, порожденной линейно независимыми векторами u, v, . . . , w. Поскольку (u, ω) = . . . = (w, ω) = 0, a ϕu6= 0, . . . , ϕw6= 0, то из (10.9)
получаем n − 1 линейных соотношений:
u1(ξ1ω1) + . . . + un(ξnωn) = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
w1(ξ1ω1) + . . . + wn(ξnωn) = 0.
Отсюда вытекает, что вектор с компонентами ξ1ω1, . . . , ξnωnортогонален
гиперплоскости Π и поэтому коллинеарен вектору ω = (ω1, . . . , ωn). Следовательно, ξ1= .. . = ξn.
164 Глава IV
Таким образом, в точках множества Пуанкаре производные
∂f /∂H1, . . . , ∂f /∂Hnравны между собой, что, очевидно, означает зави-
симость функций
ЗАМЕЧАНИЕ. Поскольку функции Φ и Ψ считаются лишь один раз непрерывно
дифференцируемыми, то ряды Фурье (10.2), (10.6)–(10.8) могут оказаться расходящимися. В этом случае соотношения (10.9) можно вывести по-другому. Для этого
умножим производную по времени
и
.
0
0
∂Φ
˙
Φ =
∂ϕ
1
ω1+ . . . +
на exp i(k, ω), применим операцию усреднения по
1
(·) dϕ1. . . dϕ
n
(2π)
n
∂Φ
∂ϕ
ω
n
n
n
n
и воспользуемся интегрированием по частям. В результате получим левую часть
соотношения (10.9) с точностью до множителя −i. Аналогично получается правая
часть (10.9).
Введем еще условие
В) Множество Пуанкаре P всюду плотно в каждом параллелепипеде Ki.
Из предложения 3 вытекает
Следствие. Если выполнены условия А и В, то функции
и
0
всюду
0
зависимы.
Отсюда немедленно вытекает, что в каждом параллелепипеде Kiимеет
место следующее представление:
0
= Fi(
), (10.10)
0
где Fi— некоторая непрерывно дифференцируемая функция.
Действительно, вводя вместо H1, . . . , Hnновые переменные H1, . . . ,
H
n−1
= ΣHs, формулу (9.2) можно записать по-другому:
,
0
= fi(H1, . . . , H
0
Поскольку функции
и
0
n−1
зависимы, то правая часть этого равенства на
0
самом деле не зависит от H1, . . . , H
,
− H1− . . . −H
0
.
n−1
n−1
).
§ 11. Распределение ансамбля при исчезающем взаимодействии 165
§ 11. Распределение ансамбля при исчезающем
взаимодействии
Устремим теперь ε к нулю. В пределе получается n несвязанных друг
с другом подсистем, которые движутся независимо: изменение начальных
данных p
стемы. Чтобы быть последовательными, при ε = 0 также следует предположить, что пребывание s-ой подсистемы в фиксированном состоянии
(s)
(p
распределения Гиббса играет следующее естественное условие
С) Эти случайные события независимы.
s-ой подсистемы, а
— плотность распределения вероятностей в исходной системе с гамильтонианом (7.1) то при ε → 0 из условия С и правила умножения вероятностей
независимых событий получим:
Равенство (11.1) называется еще гипотезой Гиббса о сохранении термодинамического равновесия подсистем при исчезающем взаимодействии.
(l)
(l)
, q
при l 6= s никак не скажется на динамике s-ой подси-
(s)
, q
) ∈ Γ является случайным событием. Ключевую роль при выводе
(s)
Если ρ(p
(s)
, q
), 1 6 s 6 n — плотность распределения вероятностей
ρ(P, Q, ε) = ρ0(P, Q) + O(ε)
ρ0= ρ1. . . ρn. (11.1)
Теорема 3. Пусть выполнены условия А, В и С. Тогда
H
s
−
ρs= cse
kτ
, cs= const > 0 (11.2)
для всех 1 6 s 6 n.
В частности, согласно (11.1),
0
kτ
ρ0= c0e
, c0= c1, . . . , cn.
Из (11.1) видно, что все отдельные подсистемы распределены одинаково.
Множители csразумеется, находятся из условия нормировки
Z
ρsdnp dnq = 1.
Γ
166 Глава IV
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ. Отметим сначала, что ρs— функция только
от гамильтониана Hs, непрерывно дифференцируемая в каждом из открытых интервалов
(a1, a2), (a2, a3), . . . , (ar, ∞). (11.3)
Точнее, таких функций ровно столько, сколько связных компонент имеет
поверхность уровня Σ
, когда энергия hsизменяется в каждом из интер-
h
s
валов (11.3). Некоторые их этих функций могут совпадать.
Действительно, для почти всех hs> a1на энергетических поверхностях Σ
гамильтонова система с гамильтонианом Hsимеет всюду плот-
h
s
ное множество невырожденных периодических траекторий. В противном
случае из-за идентичности отдельных подсистем не будет выполнено условие А. Далее, как заметил еще Пуанкаре [56], точки невырожденных периодических траекторий являются стационарными для ограничения любого
первого интеграла на Σ
. Ввиду непрерывности, первые интегралы га-
h
s
мильтоновой системы с функцией Гамильтона Hsпостоянны на связных
компонентах Σ
. Остается заметить, что ρs— первый интеграл и исполь-
h
s
зовать рассуждения § 9 (в упрощенном варианте).
Вернемся теперь к уравнению (11.1), справедливому в каждом параллелепипеде Ki:
ρ0(H1+ . . . + Hn) = ρ1(H1) . . . ρn(Hn). (11.4)
Это функциональное уравнение легко решается. Продифференцируем (11.4)
последовательно по H1, . . . , Hnи разделим на произведение ρ1. . . ρn. В
результате получаем серию уравнений
0
ρ
1
ρ
1
= . . . =
ρ
ρ
0
n
n
= −β.
Здесь β — некоторая постоянная, не зависящая от номера s. Отсюда
−βH
ρs= cse
s
, cs− const. (11.5)
Постоянная β имеет размерность, обратную размерности энергии. Обычно
полагают β = (kτ)−1, где τ — абсолютная температура, a k — постоянная
Больцмана.
Следует иметь ввиду, что формула (11.5) может зависеть от выбора
мультииндекса i = (i1, . . . , in). Более точно, коэффициенты β и csв (11.5)
.
свои для каждой связной компоненты множества
⊂
i
§ 11. Распределение ансамбля при исчезающем взаимодействии 167
Однако, легко показать, что постоянная β имеет универсальный ха-
рактер. Действительно, пусть для некоторой связной компоненты обла-
сти
при некотором i постоянные β в формуле (11.5) принимают зна-
i
чения β1, . . . , βn. Тогда, согласно (11.1), в этой области
ΣβsH
ρ0= c0e
s
. (11.6)
Если не все βsравны между собой, то функции (11.6) и
= ΣH
0
будут независимыми. Однако это противоречит следствию из предложения 3.
Это рассуждение имеет прозрачный физический смысл: при термодинамическом равновесии все составные части системы имеют одинаковую
температуру.
Остается еще возможность, что постоянные csв формуле (11.5) разные для разных интервалов значений энергии (11.3). Но эта возможность
на самом деле не реализуется ввиду свойства непрерывности функций
ρs: Γ → R.
Теорема полностью доказана.
В заключение сделаем одно важное замечание. Из теории Гиббса ниоткуда не вытекает, что плотности распределения вероятностей ρ1, . . . , ρ
должны быть непрерывными функциями в Γ. Можно рассматривать более
общую ситуацию и предположить, например, что функции ρsнепрерывно
дифференцируемы лишь в областях фазового пространства Γ, в которых
энергия заключена между ее соседними критическими значениями
ar< Hs< a
(r = 1, . . . , p; a
r+1
= ∞). (11.7)
p+1
Естественность такого предположения видна уже на примере математического маятника: сепаратрисы на фазовом цилиндре разделяют области с принципиально различным типом движений (колебания и вращения).
Применяя развитый выше метод, мы снова приходим к формуле (11.2),
только постоянные csпринимают разные значения в разных областях (11.7).
Более того, эти константы могут быть разными для разных связных компонент областей (11.7). Вполне возможно, что такое обобщенное разрывное
распределение Гиббса может оказаться полезным при рассмотрении конкретных термодинамических систем.
Предположим, например, что в фазовом пространстве Γ имеется всего две области Γ+и Γ−вида (11.7). В областях Γ±мы имеем плотнос-
s
n
168 Глава IV
ти распределения
H
−
kτ
c±e
.
Постоянные c+и c−находятся из условия нормировки
Z
H
−
kτ
e
c
+
Γ
+
dnp dnq + c
Z
H
−
kτ
e
−
Γ
−
dnp dnq = 1.
Если задана разность ∆ = c+−c−, то из этого равенства коэффициенты c
находятся однозначно:
Z
H
−
kτ
c
+
Γ
Z
c
−
Γ
dnp dnq = 1 + ∆
e
H
−
kτ
dnp dnq = 1 −∆
e
Z
H
−
kτ
dnp dnq,
e
Γ
−
Z
H
−
kτ
dnp dnq.
e
Γ
+
Поскольку c±> 0, то правые части этих равенств должны быть положи-
тельными. Это заведомо так, если скачок ∆ удовлетворяет неравенству
|∆| <
"
Z
H
−
kτ
e
dnp dnq
Γ
#
−1
.
±
Можно ли распределение вероятностей с кусочно-гладкой функцией
распределения получить методом Дарвина – Фаулера?
Примечания и библиография
Глава I
1. Материалы дискуссии по проблеме необратимости (в которой кроме
Больцмана приняли участие Лошмидт, Цермело, Лармор и другие ученые)
опубликованы в книге [13].
2. Автору известна лишь одна работа на русском языке, в которой упоминаются результаты Пуанкаре по кинетике бесстолкновительной среды.
Это — неоконченная книга Н. С. Крылова по обоснованию статистической
механики [49]. Н. С. Крылов дает весьма критический анализ текста Пуанкаре, из которого становится ясным, что он также не понял точку зрения
Пуанкаре по поводу статистического смысла второго начала термодинамики
(подробнее об этом в гл. II).
Отчасти здесь имеется «вина» и самого Пуанкаре. В. И. Арнольд однажды заметил: «К сожалению, бесхитростные тексты Пуанкаре трудны для
математиков, воспитанных на теории множеств. Видимо поэтому многие
его идеи остались незамеченными ближайшими к нему поколениями». Наверное, такое же замечание можно отнести не только к математикам, но
и к физикам (некоторые считают, что работы Пуанкаре по релятивистской
теории тоже написаны не очень ясно).
В текстах Пуанкаре иногда встречаются действительно странные вещи:
в разных местах одной и той же работы могут содержаться различные точки
зрения по одному и тому же вопросу! Так во введении к своей книге «Теория вероятностей» (1912 г.) он обсуждает вопрос о влиянии формы сосуда
на стремление бесстолкновительного газа к равномерному распределению.
Пуанкаре замечает, что этого заведомо не случится, если сосуд сферический или имеет форму прямоугольного параллелепипеда (ввиду свойства
интегрируемости биллиардов в этих областях). С другой стороны, книга
заканчивается фразой о том, что бесстолкновительный газ в прямоугольном
параллелепипеде независимо от закона начального распределения в конце
концов равномерно заполнит этот сосуд.
170 Примечания и библиография
3. Теорема 1 сформулирована и доказана в работе [83]. Это утверждение справедливо и при некоторых других ограничениях на функции f и g.
Например, пусть f (ω, x) — абсолютно суммируемая по Лебегу функция,
причем при каждом значении ω она суммируема с квадратом как функция
на Tn. Функция g(x) считается суммируемой с квадратом. Если
|g−m|
Z
|fm(ω)|dmω < ∞, (1)
n
R
X
m
то предел K(t) при t → ±∞ существует и равен hfig.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зафиксируем сначала значения ω и t. Так как функ-
ции f(ω, x − ωt) и g(x) принадлежат классу L2(Tn), то
Z
f(ω, x −ωt)g(x) dnx =
n
T
X
fm(ω)g−ωe
m
−i(m,ω)t
. (2)
Поскольку |f| ∈ L1(Rn× Tn), то (по теореме Фубини) функции fmинтегрируемы на Rn. Ввиду условия (1) ряд
X
|fm(ω)g−m|
m
сходится к некоторой интегрируемой функции (теорема Леви). Отсюда
в свою очередь вытекает (по теореме Леви), что сумма ряда (2) представляет
интегрируемую функцию в Rnи
K(t) =
X
m
Z
−m
n
R
fm(ω)e
g
−i(m,ω)tdn
ω. (3)
Поскольку fm— интегрируемая функция, то (согласно теории преоб-
разования Фурье)
Z
n
R
fm(ω)e
−i(m,ω)tdn
ω → 0
при t → ∞, когда m 6= 0.
Из условия (1) вытекает равномерная сходимость ряда (3) по t. Следовательно, для любого ε > 0 найдется такое N (ε), что сумма его членов
с номерами |m| > N будет меньше ε/2 при всех значениях t. С другой
Примечания и библиография 171
стороны, сумма конечного числа оставшихся членов с номерами m 6= 0
стремится к нулю при t → ∞. Поэтому при t > T (ε) она будет меньше ε/2
(T зависит, конечно, от N). Так как
Z
(2π)ng
f0(ω) dnω = hfi
0
n
R
g,
то |K(t) −hfig| < ε при всех t > T (ε). Что и требовалось доказать.
При доказательстве этого утверждения (как и теоремы 1) использовался следующий факт: если f — интегрируемая функция в Rn= {ω}
и m ∈ Zn\ {0}, то
Z
F (t) =
n
R
f(ω)e
−i(m,ω)tdn
ω → 0
при |t| → ∞. На всякий случай приведем его доказательство.
Можно считать, что m = km0, где k — целое, а числа (m
0
, . . . , m
1
0
n
) =
= m0взаимно просты. Из алгебры известно, что найдутся n − 1 целочис-
ленных векторов s, . . . , p, таких, что
0
m
, . . . , m
1
s1, . . . , s
. . . . . . . . . . . .
p1, . . . , p
0
n
n
= 1.
n
Выполним линейную замену переменных ω 7→ m0по формулам
0
ω
0
= m
1
ω
ω1+ . . . + m
1
0
= s1ω1+ . . . + snωn,
2
0
n
ωn,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
ω
= p1ω1+ . . . + pnωn.
n
Якобиан этой подстановки равен единице. Поэтому
F (t) =
Z
n
R
f(ω0)e
ikω
g =
R
0
1
n−1
tdω0
Z
. . . dω
1
f(ω0) dω
0
n
0
2
Z
=
−∞
. . . dω
∞
0
g(ω
1
0
.
n
)e
−ikω
0
tdω0
1
,
1
172 Примечания и библиография
По теореме Фубини, функция g интегрируемая. Функция F (t/k) будет фурье-преобразованием функции g. Если g — кусочно-постоянная функция,
то, очевидно, F (t) → 0 при t → ±∞. Остается заметить, что кусочно-постоянные функции всюду плотны в L1.
Пуанкаре в [55] предполагал, что g имеет суммируемую производную
и что g(x) → 0 при x → ±∞. В этом случае
∞
Z
F (t) =
1
ikt
−∞
g0(x)e
−ikxt
dx
стремится к нулю как 1/t.
4. В связи с теоремой о стремлении газа к равномерному заполнению
прямоугольного ящика с зеркальными стенками возникает желание привести следующий «контрпример». Предположим, что в начальный момент газ
сосредоточен в половине ящика, и все его частицы имеют одну и ту же
скорость v0, направленную вдоль ребра ящика. Тогда газ будет совершать
периодические колебания между стенками, вовсе не стремясь равномерно
распределиться по всему объему.
В этом случае формулу (4.2) надо заменить на следующую:
f(ω, x) = λ(x)δ(v − v0).
Сразу видно, что здесь нет никакого распределения частиц по скоростям.
Плотность f даже не функция и уж заведомо f /∈ L1.
Обсудим еще один вопрос, восходящий к Лошмидту и связанный с обращением скоростей всех частиц газа. Предположим, что прямоугольный
ящик поделен перегородкой на две половины и бесстолкновительный газ
долгое время находился в одной из них. По теореме 1, такой газ будет равномерно распределен по половине объема ящика. В момент времени t = 0
резко уберем перегородку. Тогда газ начнет растекаться по всему объему
ящика. Через большой промежуток времени t = t0он практически равномерно заполнит обе половины с уменьшенной вдвое плотностью. Обратим
теперь в момент t0скорости всех частиц газа. Тогда частицы будут двигаться по своим траекториям в обратную сторону и через время t0весь
газ снова соберется в первой половине ящика. Если в этот момент поставить заслонку, то газ окажется в первоначальном равновесном состоянии.
Если же перегородку не ставить, то частицы газа будут двигаться по всему
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]