Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
.pdf
§ 2. Основная теорема 143
Устремим теперь ε к нулю. Тогда ρ0будет плотностью распределения
вероятности для системы с гамильтонианом
H0= h1(x1, y1) + . . . + hn(xn, yn).
Эта система с n степенями свободы распадается на n независимых систем
с одной степенью свободы. Ключевое свойство независимости означает, что
движение каждой из таких подсистем однозначно определяется любым ее
начальным состоянием.
Если последовательно придерживаться идеи статистического описания
динамических систем, то следует ввести стационарные плотности распределения вероятностей
p1(x1, y1), . . . , pn(xn, yn)
для каждой из одномерных систем. Ввиду свойства независимости, по теореме умножения вероятностей получим формулу
ρ0= p1···pn. (2.7)
Это равенство называют гипотезой Гиббса о термодинамическом равнове-
сии.
ЗАМЕЧАНИЕ. Не следует думать, что любое разделение переменных приводит
к независимым системам с одной степенью свободы. Вот простой пример:
2H0= y
2
2
+ x
2
2
(y
+ x
2
1
2
1
)/2
2
.
Переменные x2, y2совершают гармонические колебания, частота которых равна
энергии колебаний первой подсистемы (описываемой каноническими координатами x1, y1).
Для дальнейшего существенную роль играет множество Пуанкаре P [40]. Разложим возмущающую функцию H1в кратный ряд Фурье:
H1=XH
(m)
(I1, . . . , In) exp[i(m1ϕ1+ . . . + mnϕn)],
m = (m1, . . . , mn) ∈ Zn.
Пусть ωi= dhi/dIi(1 6 i 6 n) — частоты невозмущенной задачи; положим ω = (ω1, . . . , ωn). По определению множество P состоит из тех
144 Глава IV
точек I = (I1, . . . , In) ∈ Rn, для которых найдутся такие n − 1 линейно
независимых целочисленных векторов α, α0, . . . ∈ Zn, что
1) (ω, α) = (ω, α0) = . . . = 0;
2) H
(α)
(I) 6= 0, H
(α0)
(I) 6= 0, . . . .
В типичной ситуации множество P всюду плотно заполняет область возможных значений I ∈ Rn[40].
Наш основной результат составляет
Теорема 1. Предположим,что системы с гамильтонианамиh1, . . . , h
невырождены (d2hi/dI
2
6= 0), множество Пуанкаре всюду плотно и вы-
i
полнено условие (2.7). Тогда
−βH
ρ = ce
0
(1 + O(ε)), (2.8)
где c > 0, β — некоторые постоянные.
Константа c несущественная: результат усреднения по мере (2.8)
Z
hfi =Zfρ dx dy
ρ dx dy
от нее не зависит. При ε = 0 формула(2.8) дает каноническое распределение
Гиббса (1.1).
ЗАМЕЧАНИЕ. Подчеркнем, что формула (2.8) справедлива при фиксированном
числе степеней свободы n
распределения Гиббса, вообще не использующий анализ взаимодействия подсистем
и формально пригодный для случая n = 1. Этот подход основан на принципе «максимальной статистической независимости», который представляется искусственным
предположением.
2. А. А. Власовым [19] развивался подход к выводу
§ 3. Вывод канонического распределения Гиббса
Доказательство теоремы 1 основано на применении метода Пуанка-
ре [56] в форме, указанной в [40].
Полагая в формуле (2.6) ε = 0, получаем, что ρ0— первый интеграл
вполне интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом
n
H0=
n
X
k=1
hk(Ik).
§ 3. Вывод канонического распределения Гиббса 145
Поскольку невозмущенная система невырождена, т. е.
n
det k∂2H0/∂I2k =
Y
d2hk/dI
k=1
2
6= 0, (3.1)
k
то в переменных действие-угол I, ϕ mod 2π функция ρ0зависит только от
I1, . . . , In. Действительно, пусть
X
m
(m)
P
(I)e
i(m, ϕ)
, m ∈ Z
n
— ряд Фурье функции ρ0, 2π-периодической по ϕ. Производная от ρ0в силу
невозмущенной гамильтоновой системы имеет следующий вид:
X
˙ρ0=
(m)
P
i(m, ω)e
m
i(m, ϕ)
.
Приравнивая нулю это выражение и используя единственность разложения
Фурье, получаем цепочку равенств
(m, ω(I))P
(m)
(I) ≡ 0, m ∈ Zn. (3.2)
Заметим, что уравнение (m, ω(I)) = 0 (m 6= 0) задает замкнутую регулярную гиперповерхность πmв Rn= {I}. Действительно, градиент функ-
ции (m, ω) имеет компоненты
m
1
d2h
dI
d2h
2
dI
2
, . . . , m
2
2
1
, m
2
1
n
d2h
dI
n
.
2
n
Согласно условию (3.1), хотя бы одно из этих чисел отлично от нуля (если,
конечно, m = (m1, . . . , mn) 6= 0).
Итак, в силу (3.2) коэффициент Фурье P
вне гиперповерхности πm. По непрерывности, P
вательно, ρ0= P
(0)
(I).
(m)
, m 6= 0 обращается в нуль
(m)
(I) ≡ 0, m 6= 0. Следо-
Это утверждение можно еще доказать по-другому. Сначала заметим,
что функция ρ0постоянная на траекториях невозмущенной системы, которые в свою очередь расположены на n-мерных инвариантных торах. Так как
ρ непрерывна, то (по теореме Кронекера) она постоянна на нерезонансных
торах. Далее, ввиду предположения (3.1) о невырожденности, нерезонансные торы всюду плотны в фазовом пространстве невозмущенной системы.
146 Глава IV
Следовательно, ρ0принимает постоянные значения на инвариантных торах
и поэтому она зависит только от переменных действие I.
Далее, поскольку ρ — первый интеграл канонической системы дифференциальных уравнений с гамильтонианом H, то их скобка Пуассона равна
нулю: {ρ, H} = 0. Продифференцируем это равенство по ε и положим затем
ε = 0. Поскольку ρ и H предполагаются функциями класса C2, то диффе-
ренцирования по фазовым переменным и по параметру ε перестановочны.
В результате приходим к равенству
{ρ0, H1} + {ρ1, H0} = 0. (3.3)
Пусть
X
m
H
(m)
(I)e
i(m,ϕ)
X
,
(m)
P
m
(I)e
i(m,ϕ)
,
— ряды Фурье функций H1и ρ1. Подставляя эти разложения в (3.3) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, получаем цепочку
равенств
X
∂ρ
∂I
0
m
H
j
j
(m)
X
=
∂H
∂I
0
j
m
(m)
P
j
, (3.4)
где (m1, . . . , mn) = m ∈ Zn. С учетом введенных ранее обозначений равенства (3.4) можно записать короче:
∂ρ
∂I
0
, mH
(m)
= (ω, m)P
(m)
.
Пусть теперь I ∈ P. Тогда найдутся n − 1 линейно независимых целочисленных векторов α, α0, . . . таких, что
∂ρ
0
, α=
∂I
∂ρ
∂I
0
0
= .. . = 0.
, α
Следовательно, в этой точке вектор ∂ρ0/∂I , как и вектор частот ω =
= ∂H0/∂I , ортогонален гиперплоскости, натянутой на векторы α, α0, . . . .
В частности, в точках множества Пуанкаре P векторы ∂ ρ0/∂I и ∂H0/∂I
коллинеарны. Это означает, что функции ρ0(I1, . . . , In) и Ho=Phk(Ik)
зависимы во всех точках множества Пуанкаре P. Согласно предположению,
это множество всюду плотно в области изменения переменных действие I.
Следовательно, в силу непрерывности, функции ρ0и H0зависимы всюду.
§ 3. Вывод канонического распределения Гиббса 147
Ввиду сделанного в § 2 предположения о свойствах переменных действие-угол, переменные Iiможно представить как однозначные функции
от hi. Тогда ρ0= ρ0(h1, . . . , hn) и H0=Phi. Поскольку эти функции
зависимы, то ρ0— гладкая функция от H0.
Действительно, условие зависимости ρ0и H0дает соотношения
∂ρ0/∂hi= ∂ρ0/∂hj, (3.5)
справедливые для всех значений i, j. Подставляя hn= H0−h1− . . . −h
n−1
в выражение для ρ0, получим
ρ0= f(H0, h1, . . . , h
n−1
) = ρ
h1, . . . , h
0
n−1
, H0−
Однако эта функция на самом деле не зависит от h1, . . . , h
n−1
X
h
k
k=1
, поскольку
n−1
.
∂f /∂hi= ∂ρ0/∂hi− ∂ρ0/∂hn= 0, i < n
ввиду (3.5).
Плотности вероятностей p1, . . . , pn— интегралы одномерных систем с
гамильтонианами h1, . . . , hn. Следовательно, в переменных действие-угол,
pi— гладкие функции только от Ii. Но тогда pi— однозначная дифферен-
цируемая функция от энергии hi.
Таким образом, равенство (2.7) можно представить в следующем виде:
ρ0(h1+ . . . + hn) = p1(h1) ···pn(hn).
Дифференцируя это соотношение последовательно по h1, . . . , hnи используя положительность функций p1, . . . , pn, получаем равенства
0
p
/p1= ··· = p
1
0
/pn= −β,
n
где β — некоторая постоянная. Следовательно,
и поэтому
Теорема доказана.
pi= cie
ρ0= ce
−βh
i
, ci= const > 0, (3.6)
−βH
0
, c = c1···cn> 0.
148 Глава IV
ЗАМЕЧАНИЕ. Как видно из (3.6), постоянная β одна и та же для всех подсистем.
Это означает, что слабо взаимодействующие подсистемы находятся в термодинамическом равновесии (и в пределе, когда ε → 0), поскольку их температуры τ = 1/βk
одинаковы. Таким образом, при ε → 0 статистическая независимость подсистем эквивалентна их термодинамическому равновесию. В этом и заключается физический
смысл гипотезы Гиббса.
§ 4. Аналитический случай
В приложениях гамильтониан (2.3) — аналитическая функция по фазовым переменным и параметру ε. В этом случае плотность вероятности (2.6)
также естественно считать аналитической функцией относительно x, y, ε.
Условие всюду плотности множества Пуанкаре можно ослабить: достаточно потребовать, чтобы P было ключевым множеством для клас-
са аналитических функций. Это означает следующее: если аналитическая
функция f (I ) равна нулю в точках P, то f ≡ 0. Простым примером не
плотного ключевого множества служит набор гиперплоскостей {kI1= I2},
k = 1, 2, 3, . . . . В частности, если аналитические функции зависимы в точ-
ках P, то они зависимы всюду.
Теорема 2. Предположим,что системы с гамильтонианами h1, . . . , h
невырождены, множество Пуанкаре — ключевое множество для класса
аналитических функций и выполнено равенство (2.7). Тогда аналитическая плотность распределения вероятностей для системы с гамильтонианом (2.3) имеет вид
−βH
ρ = ce
[1 + εg(H, ε)], (4.1)
где c > 0, β 6= 0 — некоторые постоянные, g — аналитическая функция от
энергии H и параметра ε.
Функцию g можно представить в виде ряда по степеням ε, коэффициенты которого зависят лишь от энергии H . Слагаемое εg в формуле (4.1)
вполне аналогично ряду Грама– Шарлье в теории распределения случайных
величин, мало отличающихся от нормально распределенных (см., например, [68]).
Докажем теорему 2. Разложим плотность вероятности в ряд по степеням ε:
ρ = ρ0+ ερ1+ ε2ρ2+ · ·· .
n
§ 4. Аналитический случай 149
Ввиду невырожденности невозмущенной системы, ρ0— аналитическая
функция только от переменных действие I. Так как ρ0и H0зависимы
в точках I ∈ P и P — ключевое множество, то ρ0и H0зависимы всюду.
Следовательно, с учетом гипотезы Гиббса (2.7),
−βH
ρ0= ce
0
; c, β = const,
(см. §3). Поскольку ρ0> 0, то c > 0. Постоянная β отлична от нуля, так как
в противном случае ρ0не будет плотностью вероятностной меры (объем
всего фазового пространства бесконечен).
Далее, аналитическая функция
ρ/[c exp(−βH )]
— интеграл уравнений Гамильтона с гамильтонианом (2.7). Разложим ее
в ряд по степеням ε: 1 + εG0+ ε2G1+ · ··. Ясно, что ряд
G0+ εG1+ · ·· (4.2)
будет интегралом той же системы. С помощью метода § 3 можно доказать,
что G0— аналитическая функция от H0: G0= g0(H0). Ясно, что степенной
ряд
[G0+ εG1+ · ·· −g0(H)]/ε = F0+ εF1+ · ··
снова будет первым интегралом. Следовательно, F0— аналитическая функция H0: F0= g1(H0). Продолжая неограниченно эту процедуру, получаем,
что ряд (4.2) на самом деле имеет следующий вид:
g0(H) + εg1(H) + · ·· .
Обозначая эту функцию g(H, ε), приходим к искомой формуле (4.1).
ЗАМЕЧАНИЕ. Введем функцию K(H, ε), полагая
−βK
ρ = ce
где плотность ρ определяется формулой (4.1). Функцию K можно разложить в степенной ряд K0+ εK1+ · · · , где
K0= H0, K1= H1− g0(H0)/β, . . . .
Уравнения Гамильтона с гамильтонианами H и K имеют одни и те же траектории,
только времена движения по этим траекториям разные. Формула (4.3) задает каноническое распределение Гиббса для слегка измененной гамильтоновой системы.
. (4.3)
150 Глава IV
§ 5. Приложение к системе слабо связанных маятников
Рассмотрим n одинаковых математических маятников массы m и длины l, последовательно связанных друг с другом упругими пружинами с малой жесткостью κ. Для простоты будем считать, что точки подвеса маятников совпадают. Эта система с n степенями свободы описывается каноническими дифференциальными уравнениями с функцией Гамильтона H0+εH1,
где
n
X
H0=
2
y
/(2ml2) −mgl cos xi, H1=
i
i=1
ε = −κl2/4 — малый параметр. Для маятника переход к переменным дей-
ствие-угол осуществляется с помощью эллиптических функций (см. , например, [40]). Можно показать, что ряд Фурье для возмущающей функции
по угловым переменным ϕ1, . . . , ϕnmod 2π имеет следующий вид:
H1=
+
X
m1, m
X
m
n−1
2
, m
h
m1, m
n
h
m
2
n−1
(I1)e
, m
2i(m1ϕ1+m2ϕ2)
(In)e
n
Суммирование ведется по всем целым m1, . . . , mnот −∞ до +∞. Коэффициенты в этом разложении можно представить в явном виде с помощью
известных разложений эллиптических функций sn2, cn2и sn cn в ряды Фурье [67]; все они отличны от нуля.
Множество Пуанкаре P в этой задаче определяется как множество точек I = (I1, . . . , In), удовлетворяющих n − 1 уравнениям
n−1
X
i=1
2i(m
n−1ϕn−1+mnϕn
cos(xi− x
+ · ··+
),
i+1
)
.
m1ω1(I1) + m2ω2(I2) = . . . = m
причем либо m1m2···m
n−1
n−1ωn−1(In−1
6= 0, либо m2m3···mn6= 0. При выпол-
) + mnωn(In) = 0,
нении одного из двух последних условий векторы (m1, m2, 0, . . . , 0),
(0, m2, m3, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , m
, mn) линейно независимы.
n−1
Можно показать, что множество P, состоящее из бесконечного числа кривых, всюду плотно заполняет область определения переменных действие
{I1> 0, . . . , In> 0}.
Таким образом, для цепочки связанных маятников справедливы заключения теорем 1 и 2. Если убрать одну из пружин, то система распадется на
§ 6. Термодинамика механических систем 151
две несвязанные цепочки, гамильтонианы которых будут первыми интегралами полной системы. В этом случае плотность распределения вероятностей уже не будет функцией только полной энергии системы, и поэтому она
не будет подчиняться распределению Гиббса.
§ 6. Термодинамика механических систем
Рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом H, причем плотность распределения вероятностей определяется формулой Гиббса (1.1).
Согласно теореме 1, это может быть система с n степенями свободы, составленная из независимых одномерных подсистем, либо одна из таких
подсистем. Покажем, следуя Гиббсу [22], что с этой механической системой можно естественным путем связать некоторую термодинамическую
систему.
Предположим, что функция Гамильтона H зависит не только от канонических переменных x, y, но еще от нескольких параметров λ1, . . . , λm.
В качестве такого параметра можно принять, например, длину маятника.
Параметры λ можно рассматривать как обобщенные координаты некоторой
системы с n+m степенями свободы, а постоянство λ — как наложение голономных связей. Итак, пусть H∗(x, y, λ, µ) — гамильтониан системы с n+m
степенями свободы, µ1, . . . , µm— канонические импульсы, сопряженные
с дополнительными координатами λ1, . . . , λm. Динамика расширенной системы описывается каноническими уравнениями
˙x = ∂H∗/∂y, ˙y = −∂H∗/∂x,˙λ = ∂H∗/∂µ, ˙µ = −∂H∗/∂λ. (6.1)
Наложим теперь на эту систему m независимых связей λ1, . . . , λm=
= const. Следовательно,˙λi= 0, и из уравнений
∂H∗/∂µ1= ··· = ∂H∗/∂µm= 0 (6.2)
можно найти импульсы µ как функции от x, y и постоянных параметров λ.
Достаточное условие разрешимости уравнений (6.2) относительно µ сводится к неравенству
det k∂2H∗/∂µi∂µjk 6= 0.
Оно заведомо выполнено, если H∗— положительно определенная квадратичная форма по n + m импульсам y, µ.
152 Глава IV
Если подставить найденные выражения для µ в последнюю группу
уравнений (6.1), то получим дополнительные соотношения на канонические переменные x, y, которые в общем случае, разумеется, не будут выполняться. Поэтому необходимо ввести дополнительные силы — реакции
связей R1, . . . , Rm— и заменить последнее уравнение (6.1) на следующее:
˙µ = −∂H∗/∂λ + R. (6.3)
Пусть µ = µ(x, y, λ) — решение алгебраической системы (6.2). Положим
H(x, y, λ) = H∗(x, y, λ, µ(x, y, λ)).
Ввиду (6.2),
∂H/∂x = ∂H∗/∂x, ∂H/∂y = ∂H∗/∂y, ∂H/∂λ = ∂H∗/∂λ.
Следовательно, при постоянных значениях λ переменные x, y изменяются
в соответствии с уравнениями Гамильтона с гамильтонианом H, а уравнение (6.3) можно заменить на следующее:
˙µ = −∂H/∂λ + R. (6.4)
Пусть x(t, x0, y0), y(t, x0, y0) — решения канонических уравнений
с функцией Гамильтона H. Предположим, что для каждого такого решения
µ(t)/t → 0 при t → +∞. Тогда временное среднее ˙µ равно нулю. Это пред-
положение заведомо выполнено, если конфигурационное пространство {x}
компактно: ввиду наличия интеграла энергии функция µ(t) будет ограниченной.
Усредним сначала обе части равенства (6.4) по времени, а затем по мере
ρ(x0, y0) dx0dy0, где ρ определяется (1.1). Согласно эргодической теореме
Биркгофа– Хинчина, полученное соотношение эквивалентно следующему:
hRi = h∂H/∂λi. (6.5)
Здесь h i — среднее по мере Гиббса (1.1).
ЗАМЕЧАНИЕ. Обычно [32, 8] соотношение (6.5) выводится из упрощенного
соотношения (6.4), в котором отсутствует производная ˙µ.
Соотношение (1.2) определяет «внутреннюю» энергию E как функцию от параметров λ1, . . . , λmи β (напомним, что β−1= kτ). Положим
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]