Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
.pdf
§ 2. Термодинамика биллиардов 113
f(x) = xe
−3x
. Здесь снова a = b. Стоит отметить, что f (βH ) > 0, если,
конечно, β > 0.
Напомним в заключение, что для распределения Гиббса (1.1) форму-
лы (1.2) и (1.3) можно представить в следующем виде
где
E = −
Z(β, λ) =
∂ ln Z
∂β
, Λi=
Z
Γ
−βHdn
e
1
∂ ln Z
β
, (1.9)
∂λ
i
x dny (1.10)
— статистический интеграл. Ясно, что βω = dS, где энтропия вычисляется по формуле
S = lnZ −β
∂ ln Z
, (1.11)
∂β
имеющий прямое отношение к преобразованию Лежандра.
§ 2. Термодинамика биллиардов
Биллиард — это материальная частица, совершающая движение по
инерции в области D трехмерного евклидова пространства и упруго отражающаяся от ее границы ∂D. Можно рассматривать более общий случай,
когда имеется n идентичных частиц в области D, которые не взаимодействуют между собой (в частности, они не сталкиваются друг с другом).
Такая система является признанной моделью разреженного идеального газа.
Пусть qi= (xi, yi, zi) — набор декартовых координат i-ой частицы
единичной массы с импульсом pi= ( ˙xi, ˙yi, ˙zi). Динамика системы частиц
в области D определяется гамильтонианом
n
X
1
H =
2
p
.
i
2
i=1
Так как эта функция не содержит какой-либо информации о геометрии области D, соотношения (1.2) и (1.3) неприменимы непосредственно.
В этом случае можно воспользоваться следующим приемом: вначале вычисляем статистический интеграл (1.10), а затем используем соотношения (1.9).
114 Глава III
Ясно, что
Z
Z =
Z
−βHd3
e
n
3n
D
R
p1. . . d3pnd3q1. . . d3qn=
3n
2
2π
β
vn, (2.1)
где v — объем области D. Таким образом, единственным внешним параметром λ служит объем v, а сопряженная переменная Λ — давление p газа
внутри области D. Учитывая (2.1), из (1.9) получаем хорошо известные
уравнения идеального газа
E =
3
kτ, p =
2
nkτ
. (2.2)
v
Биллиарды, будучи системами с односторонними связями, являются
идеализацией обычных механических систем с гладкими гамильтонианами.
Когда частица ударяется в стенку сосуда, стенка деформируется и при этом
возникает большая упругая сила, которая толкает частицу обратно внутрь
области D. Эта упругая сила моделируется потенциалом Vν(q): он равен
нулю в D и νf2(q)/2 вне D. Здесь f — гладкая функция, которая задает
уравнение границы ∂D: f (q) = 0. Большой постоянный множитель ν играет роль коэффициента упругости. Предполагается, что граница не содержит
критических точек функции f; в частности, граница ∂D есть гладкая регулярная поверхность. Как показано в [45], при ν → ∞ решения канонических
уравнений Гамильтона с гамильтонианом
2
p
H =
+ Vν(q) (2.3)
2
стремятся к движениям системы с упругими отражениями в области D.
Применение гамильтониана (2.3) дает поправки в выражение для статистического интеграла, которые зависят от площади σ границы области D.
Таким образом, площадь σ следует также рассматривать в качестве внешнего параметра идеального газа как термодинамической системы; давление
будет функцией не только объема и температуры, но также и площади поверхности сосуда.
Суть поправки заключается в том, что объем v в (2.1) заменяется на
3
−
2
(2.4)
v +
r
π
2νβ
σ + Oν
§ 2. Термодинамика биллиардов 115
при условии, что функция f не имеет критических точек вне области D.
С учетом этого факта выражение для внутренней энергии E остается тем
же самым, а уравнение состояния (2.2) заменяется уравнением
p =
nkτ
v +√κτ σ
, κ =
. (2.5)
2ν
Поскольку σ — новый термодинамический параметр, мы должны вве-
сти сопряженную переменную
√
κτ
η =
1β∂ ln Z
∂σ
nkτ
=
v +√κτ σ
. (2.6)
Соотношения (2.5) и (2.6) составляют полную систему уравнений состояния.
Укажем вывод формулы (2.4). Для этого используем очевидное соотно-
шение
Z
−βV
ν
e
d3q = v +
3
R
Z
f>0
2
βνf
−
2
e
d3q.
В соответствие с методом седловой точки, основной вклад в асимптотику
второго интеграла при ν → ∞ дают критические точки потенциала Vν. Согласно предположению, df 6= 0 при f > 0. Следовательно, множество кри-
тических точек совпадает с границей ∂D = {f = 0}. Неизолированность
критических точек приводит к некоторым затруднениям при использовании
метода седловой точки. Введем (локально) в окрестности границы полугео-
дезические координаты u1, u2, u3, где u1≡ f [58]. В этих переменных
евклидова метрика имеет вид
du
2
1
+ a du
2
+ 2b du2du3+ c du
2
2
,
3
где a, b, c — гладкие функции от us. Рассматриваемый интеграл имеет ту
же асимптотику, что и интеграл
2
βνu
1
−
2
du1, (2.7)
, G = ac − b2> 0.
где
g =
ZZ
∂D
Z
u1>0
√
G du
g(u1)e
2du3
116 Глава III
После этого с использованием стандартного метода [15], мы получаем асимптотику интеграла (2.7)
3
−
2
.
g(0)
r
π
2νβ
+ Oν
Остается заметить, что g(0) = σ.
§ 3. Классы распределения вероятностей
Общепринятый строгий вывод канонического распределения Гиббса
развит только для случая исчезающего взаимодействия индивидуальных
подсистем. Классический метод Дарвина – Фаулера дает асимптотический
(при n → ∞) вывод распределения Гиббса из общих принципов динамики
в предположении о справедливости эргодической гипотезы. Как заметил
Хинчин [75], этот подход фактически повторяет более ранние математические результаты, связанные с предельными теоремами теории вероятностей.
Мы предлагаем другой подход к выводу распределения (1.1). Он основан на том обстоятельстве, что плотность распределения вероятностей гамильтоновых систем является однозначным первым интегралом. С помощью метода Пуанкаре выводятся условия, при которых уравнения движения
взаимодействующих подсистем не допускают интегралов из классов гладкости C2, независящих от интеграла энергии. Эти условия конструктивные
и, очевидно, менее обременительные, чем предположение об эргодичности.
Кроме этого используется естественный постулат Гиббса о сохранении теплового равновесия подсистем при исчезающем взаимодействии. Подробнее
об этом в главе IV.
Статистическим аналогом нашего подхода служит вывод нормального распределения, предложенный Гауссом. Он не использует центральную
предельную теорему, а постулат о том, что выборочное среднее является
оценкой максимума правдоподобия для конечного числа испытаний n > 3
(см. [29, 68]). Другими словами, если дано некоторые число одинаково хороших прямых наблюдений неизвестной величины, то наиболее вероятным
ее значением является их среднее арифметическое.
В связи со сказанным выше, полезно ввести иерархию гамильтоновых
динамических систем в соответствии со степенью их неинтегрируемого
§ 3. Классы распределения вероятностей 117
(хаотического) поведения. Зафиксируем фазовое пространство Γ размерности 2n > 4 со структурой аналитического многообразия и введем в рассмотрение множество
гамильтоновых систем на Γ с аналитическими
гамильтонианами. Конечно, предполагается, что свойство гамильтониана
быть аналитической функцией на Γ согласовано с аналитической структурой самого Γ.
Мы вводим последовательность вложенных друг в друга подмно-
жеств:
⊂⊂⊂
◦
1
⊂
⊂ . . . ⊂
∞
⊂
. (3.1)
Здесь,иобозначают множества систем, которые соответственно
обладают свойствами перемешивания, эргодичности и транзитивности на
s
(2n − 1)-мерных энергетических многообразиях. Далее,
— это множество систем, которые не допускают первых интегралов из класса гладкости Cs(Γ), независящих от интеграла энергии. При этом случай s = 0
отвечает непрерывным интегралам: они локально непостоянны на поверхностях уровня интеграла энергии и принимают постоянные значения на
траекториях гамильтоновых систем. Символобозначает гамильтоновы
системы, которые не допускают дополнительных аналитических интегралов.
Аналогично вводится цепочка вложенных друг в друга множеств для
систем с упругими отражениями.
Прежде всего следует убедиться в том, что соседние множества в це-
почке (3.1) не совпадают друг с другом. Неравенства
◦
6=
проще всего продемонстрировать на примере сохраняющего пло-
6=,6=,
щадь автоморфизме T двумерного тора T2= {x, y mod 2π}. Такой ав-
томорфизм можно трактовать как отображение Пуанкаре сечения уровня
энергии гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Классический
пример перемешивающего преобразования — линейный автоморфизм тора,
задаваемый унимодулярной матрицей
2 1
.
1 1
Сдвиг x 7→ x + a, y 7→ y + b, где числа a, b и 2π рационально несоизмеримы, дает нам известный пример эргодического, но не перемешивающего
преобразования. Таким образом,6=. Значительно сложнее привести
пример транзитивного, но не эргодического преобразования с инвариант-
118 Глава III
ной мерой. Напомним, что свойство транзитивности предполагает наличие
хотя бы одной всюду плотной траектории. С другой стороны, у эргодического преобразования почти все траектории всюду плотны. Первые примеры таких преобразований указаны в работах Л. Г.Шнирельмана (1930)
и А. Безиковича (1937). Они рассматривали непрерывные автоморфизмы
круга. Гладкие модификации таких преобразований указаны в [62].
Чтобы доказать неравенство
6=
, мы вос-
◦
пользуемся примером транзитивного сохраняющего площадь преобразования T квадрата K2, которое оставляет точки границы квадрата неподвижными. Такие примеры построены Окстоби [91] с помощью теории категорий множеств. Возьмем теперь четыре таких квадра-
Рис. 18. К доказательству неравенства6=
◦
та и составим из них один квадрат учетверенной площади (рис. 18). Отождествляя противоположные стороны, мы получим двумерный тор, причем отображе-
.
ние T : K2→ K2естественным образом продолжает-
ся до сохраняющего площадь непрерывного отображения T : T2→ T2. Ясно, что это преобразование тора уже не будет транзитивным: при итерациях отображения T точки тора все время остаются в одном из четырех квадратов. С другой стороны, отображение T не
допускает непостоянных непрерывных интегралов (ввиду транзитивности
T : K2→ K2, непрерывный интеграл будет постоянным на каждом из
квадратов; по непрерывности он сводится к константе на всем торе). Было
бы интересным привести пример аналитического преобразования из клас-
◦
са
\.
Неравенства
s
s+1
6=
(s = 0, 1, . . . , ∞) и6=выводятся
из результатов [85] (см. также добавление 3), где указаны примеры аналитических гамильтоновых систем, которые имеют дополнительный интеграл
класса гладкости Cs(C∞), но в то же самое время не допускают интегралов
из класса C
s+1(Cω
).
Рассмотрим одно из звеньев цепочки включений (3.1), например,
◦
⊂
. Вопрос заключается в следующем: какое из двух множествили
◦
\является более массивным? По-видимому, второе. Однако ответ на
этот вопрос (как и его точная формулировка) зависит от введения топологии
в пространстве
◦
. Аналогичные предположения, вероятно, справедливы
для любой пары соседних множеств в (3.1).
Классы гамильтоновых систем из (3.1) можно погрузить в более ши-
рокий класс систем, которые не допускают дополнительного однозначного
§ 3. Классы распределения вероятностей 119
комплексно-аналитического первого интеграла. Препятствием к существованию однозначных голоморфных первых интегралов является ветвление
решений гамильтоновых систем в плоскости комплексного времени. Обсуждение этого круга вопросов можно найти в книге [40] (а также в добавлении 4).
Если мы остаемся в рамках вещественного анализа, то классдопускает естественное расширение для динамики натуральных механических
систем. Последние описываются гамильтонианами вида H = T +V , где T —
кинетическая энергия (положительно определенная квадратичная форма относительно импульсов), а V — потенциальная энергия (функция на конфигурационном пространстве). Все известные интегралы таких систем — полиномы по импульсам с однозначными коэффициентами на конфигурационном пространстве (либо функции от таких полиномов). В аналитическом
случае эти коэффициенты являются аналитическими функциями. Можно
показать, что существование дополнительного полиномиального интеграла
системы с гамильтонианом H = T + V эквивалентно существованию интеграла системы с гамильтонианом H = T + εV (ε — малый параметр) в виде
ряда по степеням ε.
Эта проблема более простая и со времен Пуанкаре развиты эффективные методы ее решения (см. [40]). Условия существования дополнительного полиномиального интеграла плоского биллиарда получены
с помощью комплексного анализа в работе [11]. Имеется удивительная
связь между степенью неприводимого дополнительного полиномиального
интеграла и топологией конфигурационного пространства (см. добавление 5).
Вопрос о том, принадлежит ли данная гамильтонова система классу,
является более сложным. Однако и в этом вопросе имеются определенные
успехи, особенно в случае малого числа степеней свободы (см. [40]). Трудности нарастают по мере продвижения к началу цепочки (3.1). Так, согласно
М. Кацу [30], вопрос о том, какие гамильтонианы порождают эргодические
системы, — почти неразрешимая задач. Исключение составляют так называемые У-системы (или системы Аносова) с экспоненциально быстрым
разбеганием траекторий; они являются системами с перемешиванием (из
класса). Для геодезических потоков на компактных многообразиях соответствующие условия выражаются геометрически в виде условия отрицательности кривизн (см. [1]).
Следует иметь в виду, что во многих случаях, важных с точки зрения
приложений, эргодическая гипотеза опровергается результатами КАМ-тео-
120 Глава III
рии. Например, как установлено Лазуткиным [50], биллиард на плоскости
с выпуклой границей C2-гладкости не эргодичен. Более того, такой биллиард не обладает даже свойством транзитивности. Отсутствие эргодичности
в пространственном выпуклом биллиарде доказано в [61] при некоторых
дополнительных предположениях. Эти примеры имеют самое прямое отношение к проблеме обоснования распределения Гиббса для идеального
газа.
Для малых возмущений интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, колмогоровские торы делят трехмерные энергетические поверхности. Следовательно, возмущенные системы не могут быть
транзитивными. С другой стороны, как заметил В. И. Арнольд, такие системы допускают непостоянный непрерывный интеграл, который принимает
постоянные значения в щелях между колмогоровскими торами. Не совсем
ясно, существует ли у таких систем локально непостоянные первые интегралы, которые не тождественно постоянны в каждой окрестности каждой
точки трехмерной энергетической поверхности. Более простая задача: допускают ли возмущенные системы общего вида с двумя степеням свободы
непостоянные интегралы из класса C1?
Для систем с n > 3 степенями свободы щель между колмогоровскими торами образует связное множество, всюду плотно заполняющее
(2n − 1)-мерное энергетическое многообразие {H = const}. В этом случае
имеется принципиальная возможность появления свойства транзитивности.
Это — одна из точных формулировок известной гипотезы о диффузии в возмущенных многомерных гамильтоновых системах (обсуждение см. в [5]).
Для целей статистической механики эту гипотезу о диффузии можно сформулировать в более слабой форме: при больших n возмущенная гамильтонова система общего вида не допускает непостоянных непрерывных (или,
что даже более слабо, класса C1) первых интегралов на (2n − 1)-мерных
энергетических поверхностях. Фактически достаточно потребовать, чтобы
это свойство появлялось при достаточно малых значениях возмущающего
параметра ε и больших значениях n числа слабовзаимодействующих подсистем.
§ 4. Обобщенная энтропия
Обзор описанных в предыдущем параграфе результатов показывает
естественность изучения случая, когда плотность распределения вероят-
§ 4. Обобщенная энтропия 121
ностей ρ есть функция от энергии H . Итак, пусть z 7→ f(z) — неотрицательная вещественная функция одного переменного, f0– ее производная. Следуя § 1, рассмотрим распределение вероятностей в Γ с плотностью
ρ =
R
f(βH) dnx dny
. (4.1)
f(βH)
Пусть функция f удовлетворяет условиям (1.6) и (1.7) теоремы 1. Тогда
усреднение динамических величин по мере с плотностью (4.1) согласовано
с аксиомами термодинамики.
Соотношения (1.6) и (1.7) можно представить в следующем виде:
где
∂F
Λ
i
∂λ
Eβ∂F
∂λ
j
i
F =
∂F
= Λ
j
∂λ
= −Λ
∂F
i
∂β
Z
f(βH) dnx dny.
Γ
, (1 6 j, j 6 m), (4.2)
i
, (1 6 i 6 m), (4.3)
По аналогии с распределением Гиббса, функцию F (β, λ) можно назвать
обобщенным статистическим интегралом.
Из (4.2) и (4.3) вытекает существование функции κ(β, λ1, . . . , λm)
такой, что
Λi= −
κβ∂F
∂λ
, E = κ
i
∂F
. (4.4)
∂β
Следовательно, форма притока тепла принимает вид
ω = dκ
∂F
∂β
X
κβ∂F
−
∂λ
dλi.
i
Аксиомы термодинамики накладывают ограничения на вид функции κ:
d(βω) = −dκ ∧dF = 0.
Следовательно, функции κ и F зависимы. Поэтому мы можем записать, что
κ = κ(F ) (по крайней мере локально).
122 Глава III
Пусть Φ — первообразная функции κ(·). Тогда соотношения (4.4) принимают более простой вид
Λi= −
1
β∂Φ∂λ
, E =
i
∂Φ
. (4.5)
∂β
Следовательно,
X
βω = βd
= dβ
= dβ
∂Φ
∂β
∂Φ
∂β
∂Φ
∂β
− Φ.
∂Φ
−
∂Φ
−
∂β
∂λ
dβ −
dλi=
i
X
∂Φ
∂λ
dλi=
i
Функцию
∂Φ
S = β
− Φ (4.6)
∂β
можно назвать обобщенной энтропией.
Вид этой функции наводит на мысль применить преобразование Лежандра по переменной β. Мы будем считать E, λ1, . . . , λmнезависимыми
переменными. Тогда S = S(E, λ) и из (4.6) получаем потенциальную форму основных термодинамических соотношений (4.5):
β =
∂S
, βΛi= −
∂E
∂S
∂λ
i
(1 6 i 6 m).
§ 5. Идеальный газ и проблема моментов
Применим соотношения предыдущего параграфа к идеальному газу
внутри области D трехмерного евклидова пространства; пусть v — объем
области D. Вспомним, что идеальный газ — набор n идентичных и невзаимодействующих частиц, движущихся по инерции внутри области D и упруго отражающихся от ее границы ∂D. Если ввести сколь угодно малое взаимодействие между частицами, то в общем случае мы получим систему
без дополнительных интегралов и поэтому можно считать, что плотность
распределения вероятностей в слабо возмущенной системе есть функция
ее полной энергии. Пусть теперь взаимодействие между частицами стремится к нулю. Тогда после усреднения мы получим простое соотношение
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]