Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
.pdf
§ 7. Статистическая динамика системы связанных маятников 133
Рис. 19. Система связанных маятников.
Если граф ∆ не связен, то рассматриваемая система маятников распадается на несколько связанных подсистем, которые колеблются независимо
друг от друга.
Мы будем рассматривать гамильтоновы системы несколько более общего вида. Пусть Tn= {x1, . . . , xnmod 2π} — конфигурационное про-
странство,
T =
X
1
aijyiyj, aij= const
2
— кинетическая энергия, V : Tn→ R — потенциальная энергия, которую бу-
дем считать тригонометрическим многочленом. Функция Гамильтона H —
это полная энергия T + V .
Согласно предположению, ряд Фурье потенциала V
X
vme
i(m, x)
, m = (m1, . . . , mn) ∈ Z
n
содержит конечное число гармоник. Конечное множество целочисленных
векторов
S = {m ∈ Zn: vm6= 0}
назовем спектром потенциала V . Ясно, что S инвариантно при отражении m 7→ −m.
134 Глава III
Кинетическая энергия T задает скалярное произведение в Rn: если
ξ = (ξ1, . . . , ξn) и η = (η1, . . . , ηn), то
hξ, ηi =Xaijξiηj.
Если Rnможно разложить в прямую сумму подпространств W1, W2, ортогональных относительно скалярного произведения h, i, и спектр S лежит
в объединении W1, W2, то система с гамильтонианом H распадается на две
независимые подсистемы с числом степеней свободы dim W1и dim W2.
В этом случае исходная система будет иметь два дополнительных квадратичных первых интеграла, которые являются гамильтонианами отдельных
подсистем. Если такое разложение невозможно, то систему будем называть
связанной.
Согласно Гиббсу, пребывание системы в определенном состоянии
считается случайным событием. Таким образом, в фазовом пространстве Tn× Rnвозникает плотность распределения вероятностей ρ(x, y),
которая неотрицательна и однозначная всюду в Tn× Rn. Гиббс заметил,
что ρ удовлетворяет уравнению Лиувилля и поэтому в случае гамильтоновых систем является первым интегралом.
Рассмотрим задачу о дополнительных интегралах системы с торическим конфигурационным пространством и гамильтонианом H = T + V .
Более точно, изучаются условия существования новых интегралов в виде
полиномов по импульсам с однозначными на Tn= {x mod 2π} коэффици-
ентами. Отметим, что все известные интегралы обратимых механических
систем – полиномы по импульсам, либо функции от этих полиномов. Этот
факт используется в п. 4, хотя в полном объеме он не доказан (частичные
результаты в этом направлении указаны в [40, гл. II]).
Пусть Σ — выпуклая оболочка спектра S потенциала V . Ясно, что Σ —
выпуклый многогранник. Пусть α и β — вершины Σ, соединенные ребром σ.
Назовем это ребро положительным, если hα, βi > 0. Положительные ребра
видны из начала координат под острым углом.
Теорема 3. Пусть W — гиперплоскость, содержащая начало коорди-
нат и n − 1 линейно независимых вершин Σ. Если к каждой из этих вершин
примыкает положительное ребро, не лежащее целиком в W , то гамильтонова система не допускает полиномиального интеграла, независимого от
энергии H.
Это утверждение доказано в добавлении 6. Достаточные условия отсутствия новых полиномиальных интегралов можно ослабить. По-видимому,
§ 7. Статистическая динамика системы связанных маятников 135
теорема 3 справедлива для связанных гамильтоновых систем, о которых
шла речь выше. При n = 2 этот результат установлен в [46]. Не исключено, что при n > 3 связанные системы транзитивны на энергетических
многообразиях
H = h > max V. (7.1)
Это — одна из точных формулировок гипотезы о диффузии в гамильтоновых системах. Более простая задача: доказать отсутствие непостоянных
непрерывных интегралов на энергетических поверхностях (7.1).
Из теоремы 3 просто выводится
Теорема 4. Связанная система маятников не допускает однозначного
полиномиального интеграла, независимого от полной энергии.
На рис. 20 изображен многоугольник Σ
и прямая W для системы из двух связанных
маятников.
Применим теорему 4 для вывода канонического распределения Гиббса для системы маятников, соединенных упругими пружинами. С этой целью рассмотрим две связанные системы маятников с гамильтонианами H1и H2. Предположим, что некоторые
маятники из систем 1 и 2 связаны между собой одной (или несколькими) упругими пружинами с очень малым коэффициентом упругости ε. Тогда гамильтониан системы 1 + 2
Рис. 20. Спектр системы двух
связанных маятников.
будет иметь вид
= H1+ H2+ εH12,
ε
где εH12— малая потенциальная энергия взаимодействия систем 1 и 2.
При каждом сколь угодно малом ε 6= 0 система маятников 1 + 2
будет связанной. Следовательно, по теореме 4, плотность распределения
вероятностей в фазовом пространстве этой системы будет зависеть лишь
от
: ρ(
ε
). Отметим, что эта функция может еще явно зависеть от
ε
параметра ε; но для дальнейшего это не существенно.
Устремим теперь ε к нулю. В пределе получим две независимые системы с гамильтонианами H1и H2. Согласно общей идее Гиббса, следует
ввести плотности распределения вероятностей ρ1и ρ2. По теореме 4 снова
получаем, что ρ1и ρ2зависят только от H1и H2соответственно.
136 Глава III
Применяя правило умножения для вероятностей независимых событий,
получаем при ε = 0 равенство
ρ(H1+ H2) = ρ1(H1)ρ2(H2). (7.2)
Это равенство называется еще гипотезой Гиббса о термодинамическом рав-
новесии при исчезающем взаимодействии [22]. Хорошо известно, что решения функционального уравнения (7.2) — гладкие функции, нигде не обращающиеся в нуль. Последнее вытекает из условия нормировки. Из (7.2)
получаем равенство
ρ
ρ
2
1
=
= −β, β = const > 0. (7.3)
ρ
1
2
0
0
ρ
Отсюда вытекает формула Гиббса ρ = cexp(−βH) для системы с гамильтонианом
. Поскольку β зависит лишь от температуры, то (7.3) проясняет
0
физический смысл гипотезы Гиббса: температуры подсистем 1 и 2 остаются
одинаковыми и при ε → 0.
Если имеется только одна связанная система маятников, то мы можем
лишь утверждать, что ее плотность распределения вероятностей зависит
от полной энергии этой системы. Как показано в § 1, усреднение по такой
инвариантной мере в общем случае не совместимо с аксиомами равновесной термодинамики. Причина понятна: у нас нет возможности определить
температуру этой системы, сравнивая ее с температурами других систем.
Напротив, если имеется две связанные системы 1 и 2, соединенные
между собой, то по истечении большого промежутка времени между ними
установится термодинамическое равновесие. Это равновесие не нарушится, если мы бесконечно медленно и долго будем уменьшать взаимодействие между системами 1 и 2. В пределе системы 1 и 2 окажутся независимыми, но будут иметь равные температуры. Каждую из них можно
бесконечно медленно присоединить к третьей связанной системе с гамильтонианом H3и плотностью распределения вероятностей ρ3(H3). Условие
сохранения термодинамического равновесия при таком соединении состоит
в том, что ρ
0
/ρ3равно аналогичным отношениям из равенства (7.3).
3
ГЛАВА IV
Каноническое распределение Гиббса
и термодинамика механических систем
с конечным числом степеней свободы
§ 1. Введение
Классический подход к обоснованию термодинамики, как известно,
основан на использовании канонического распределения Гиббса
Z
ρ(x, y) = e
Здесь x и y — канонические координаты и импульсы соответственно,
H(x, y) — функция Гамильтона механической системы, β = const. Функ-
ция ρ трактуется как стационарная плотность распределения вероятности.
Более точно, предполагается, что пребывание системы в заданном состоянии — случайное событие, причем вероятность обнаружения системы в области D фазового пространства равна
−βH
Z
ρ(x, y) dx dy.
D
−βH
e
dx dy. (1.1)
Параметр β определяется из равенства
E =ZHρ dx dy, (1.2)
где E — средняя энергия системы. Обычно полагают β = 1/kτ , где τ — абсолютная температура, k — постоянная Больцмана. Интегралы (1.1) и (1.2),
распространенные на все фазовое пространство, предполагаются сходящимися.
138 Глава IV
Обоснование распределения Гиббса — одна из ключевых задач статистической механики. Для этой цели обычно рассматривают N неразличимых
систем с гамильтонианами
(α)
(α)
, y
), α = 1, . . . , N, (1.3)
где x
(α)
H(x
(α)
, y
(1 6 i 6 n) — канонические координаты системы с номером α.
Подчеркнем, что n и H не зависят от α.
Введем объединенное фазовое пространство размерности 2nN с каноническими переменными
(X, Y ) = (x
, y
(1)
, . . . , x
(N)
, y
(N)
)
(1)
и функцию Гамильтона
N
(X, Y ) =
ε
X
α=1
H(x
(α)
(α)
, y
) + εH1(X, Y, ε), (1.4)
где ε — некоторый малый параметр, который затем будет устремлен к нулю.
Система с функцией Гамильтона (1.4) описывает динамику N слабо взаимодействующих друг с другом подсистем с гамильтонианами (1.3), причем
функция εH1имеет смысл энергии взаимодействия подсистем.
Ключевой идеей при выводе распределения Гиббса является предположение об эргодичности системы с гамильтонианом (1.4) при ε 6= 0 на
поверхности уровня
= NE. Пусть f — интегрируемая функция на фа-
ε
зовом пространстве системы с n степенями свободы. В соответствии с принципом неразличимости, в статистической механике рассматривают только
такие функции от X и Y , которые не меняются при перестановках групп
(α)
переменных x
(α)
, y
F (X, Y ) =
. Положим
N
X
1
(α)
f(x
α
(α)
, y
). (1.5)
Такие функции часто называют сумматорами. Используя эргодическую гипотезу, для среднего по времени (1.5) в пределе при ε → 0 получают формулу
hF i =Zf(x, y)ρN(x, y) dx dy.
Явное выражение для плотности ρNможно найти в [8]. При некоторых дополнительных предположениях [8] можно доказать, что ρN→ ρ
§ 1. Введение 139
при N → ∞ и для среднего от функции f вдоль решений системы с гамильтонианом (1.3) справедлива формула
hfi =Zfρ dx dy.
Описанный выше предельный переход при N → ∞ обычно называется
термодинамическим, а возникающие в результате этого предельного перехода величины — термодинамическими пределами.
На этом пути возникает ряд затруднений принципиального характера.
Основным среди них является обоснование эргодической гипотезы. Поскольку распределение Гиббса (1.1) не зависит от вида энергии взаимодействия H1, то Ф. А. Березин [8] высказал идею ослабить эргодическую гипотезу: достаточно потребовать эргодичности системы с гамильтонианом (1.4)
при ε 6= 0 для всюду плотного множества функций H1. Однако, если энергия
взаимодействия H1не имеет сингулярностей и поверхности уровня энергии
= NE компактны, то эргодическая гипотеза (даже в ослабленном
ε
варианте) опровергается КАМ-теорией.
ПРИМЕР. Рассмотрим, следуя [8], систему с гамильтонианом
X
1
=
2
(x
2
+ ω2y
α
2
) + εV4(x), (1.6)
α
где ω = const 6= 0, V4> 0 — полином 4-ой степени по координатам
x1, . . . , xN, ε > 0. Такие системы играют существенную роль в теории
теплоемкостей твердых тел [27]. Коэффициенты неотрицательных полиномов 4-ой степени образуют некоторое множество A в конечномерном
пространстве коэффициентов всех многочленов 4-ой степени от N переменных. Ф. А. Березин [8] поставил следующий вопрос: верно ли, что для
почти всех точек A система с гамильтонианом (1.6) эргодична? Ответ на
него отрицательный. Действительно, рассмотрим многочлены вида
X
V4=
4
aαx
+ W4(x), aα> 0,
α
α
и коэффициенты полинома W4малы. Если W4= 0, то система с гамильтонианом (1.6) интегрируется разделением переменных. Если перейти к переменным действие-угол Iα, ϕαв системе с одной степенью свободы
hα= (x2+ ω2y2)/2 + εaαx4,
140 Глава IV
то
µα= ∂hα/∂Iα> 0, λα= ∂2hα/∂I
2
> 0. (1.7)
α
В последнем неравенстве существенно используется предположение, что
εaα> 0.
Пусть H0=Phα(Iα). Если
∂2H
∂I
∂H
∂I
0
2
0
∂H
0
∂I
6= 0, (1.8)
0
то, согласно КАМ-теории [5], при малых W4(когда коэффициенты W4лежат в некоторой малой окрестности нуля) система с гамильтонианом (1.6)
не эргодична на каждом положительном уровне энергии: б´ольшая часть
этой поверхности расслоена на N-мерные инвариантные торы с условнопериодическими траекториями. В нашем случае определитель (1.8) равен
−λ1. . . λn(a
2
/λ1+ . . . + a
1
2
/λn),
n
что отлично от нуля ввиду (1.7).
Следует еще добавить, что при указанном выше подходе к выводу
распределения Гиббса (восходящему к Дарвину и Фаулеру) выражение для
плотности вероятности (1.1) не зависит от взаимодействия подсистем. Между тем в действительности оно всегда присутствует.
В этой главе развивается иной подход к обоснованию формулы
для плотности вероятности, восходящий к классическим работам Гиббса
и основывающийся на теории интегрируемости гамильтоновых систем.
§ 2. Основная теорема
Статистическое рассмотрение динамических систем предполагает отказ от рассмотрения отдельных траекторий. Вместо этого в фазовом пространстве системы
˙x = v(x) (2.1)
вводится плотность распределения вероятности ρ(x, t) > 0, в общем случае
зависящая явно от времени. Пусть D — любая измеримая область фазового
§ 2. Основная теорема 141
пространства, gt— фазовый поток системы (2.1), который можно представлять себе как стационарное течение жидкости. Поскольку область gt(D)
состоит из одних и тех же движущихся фазовых точек, то естественно считать, что вероятность обнаружения системы в области gt(D) не зависит от t.
Следовательно, эта вероятность
Z
ρ(x, t) dx
gt(D)
будет интегральным инвариантом системы (2.1). Но тогда плотность вероятности удовлетворяет уравнению Лиувилля:
∂ρ/∂t + div(ρv) = 0.
Если div v = 0, то ρ — первый интеграл системы (2.1). Это условие,
очевидно, выполнено для гамильтоновых систем дифференциальных уравнений. Для автономных систем естественно рассматривать стационарные
распределения, когда ρ не зависит явно от t. Подробное обсуждение этих
вопросов содержится во Введении (п. 5).
Локально, в малой окрестности неособой точки, динамическая система (2.1) имеет полный набор (в количестве m −1, где m — размерность фазового пространства) независимых первых интегралов. Однако в типичной
ситуации они не продолжаются до однозначных интегралов, определенных
во всем фазовом пространстве. Плотность вероятности по своему определению — однозначная функция на фазовом пространстве. В общем случае
гамильтоновы системы с компактными поверхностями уровня не допускают
интегралов, независимых от гамильтониана H, хотя они и не являются эргодическими (на энергетических уровнях) [40]. Это обстоятельство позволяет
в ряде важных случаев сразу утверждать, что
ρ = f(H), (2.2)
и свести задачу к нахождению вида функции f .
Однако в физической литературе распространена противоположная
точка зрения на возможность существования дополнительных интегралов
(см., например, [32], где подход к обоснованию распределения Гиббса, основанный на формуле (2.2), назван «спекулятивным»).
Чтобы продемонстрировать возможности нового подхода, рассмотрим
гамильтонову систему с n степенями свободы, гамильтониан которой имеет
142 Глава IV
вид (1.4):
H = H0+ εH1+ o(ε), H0=Xhi(xi, yi),
(2.3)
H1= H1(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn).
При ε = 0 система распадается на n независимых подсистем с одной степенью свободы. Примером может служить система связанных маятников.
Предположим, что в каждой одномерной системе с гамильтонианом h
(1 6 i 6 n) можно ввести канонические переменные действие-угол Ii,
ϕimod 2π [5]. Например, для системы с гамильтонианом hαиз примера § 1
такие переменные определены во всем фазовом пространстве. В случае маятника цилиндрическое фазовое пространство разделяется сепаратрисами
на три области, в каждой из которых можно ввести переменные действиеугол. В этих переменных
hi= hi(Ii), 1 6 i 6 n. (2.4)
Будем считать, что функции (2.4) непрерывны и монотонно возрастают.
Естественность этого предположения вытекает из определения переменной
действие как нормированной площади на фазовой плоскости, заключенной
внутри фазовой кривой hi= const. Тогда переменная Iiбудет однозначной
функцией от энергии hi.
Указанные предположения не выполняются в случае, когда потенциальная энергия системы имеет несколько локальных минимумов. Однако эти
условия носят технический характер и их можно существенно ослабить.
Итак, в переменных действие-угол функция Гамильтона (2.3) имеет вид
n
X
H =
hi(Ii) + εH1(I1, . . . , In, ϕ1, . . . , ϕn) + o(ε). (2.5)
i=1
i
Она 2π-периодична по каждой угловой переменной ϕ1, . . . , ϕn.
Плотность распределения вероятностей ρ для системы с гамильтонианом (2.3) — однозначная положительная функция от x, y, зависящая еще
от параметра ε. Будем предполагать, что ρ — функция из класса C2(она
имеет вторые непрерывные производные по совокупности 2n + 1 переменных x, y, ε). При малых значениях ε ее можно представить в виде
ρ = ρ0(x, y) + ερ1(x, y) + o(ε), (2.6)
где ρ0и ρ1— функции из классов C2и C1соответственно.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]