Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
.pdf
Литература 193
[96] Tolman R. The Principles of Statistical Mechanics. Oxford. Univ. Press.
1938.
[97] Umeno K. Non-perturbative Non-integrability of Non-homogeneous
Nonlinear Lattices Induced by Non-resonance Hypothesis // Phys. D. 1996.
V. 94. P. 116-139.
[98] Yoshida H. A criterion for the non-existence of an additional integral in
Hamiltonian systems with homogeneous potential // Phys. D. 1987. V. 29.
P. 128–142.
[99] Zaslavsky G. M. Chaotic Dynamics and the Origin of Statistical Laws //
Physics Today. 1999, Aug. Part 1. P. 39–45.
[100] Zaslavsky G. M. From Hamiltonian Chaos to Maxwell’s Demon //
CHAOS. 1995. V. 5. № 4. P. 653–661.
[101] Zaslavsky G. M., Edelman M. Maxwell’s demon as a dynamical model //
Physical Review E. 1997. V. 56. № 5. P. 5310–5320.
ДОБАВЛЕНИЕ 1
О существовании интегрального инварианта
гладких динамических систем
Рассматривается задача о существовании у динамической системы на
цилиндрическом фазовом пространстве интегрального инварианта с гладкой
плотностью. Известная теорема Крылова – Боголюбова гарантирует существование инвариантной меры у любой системы на компактном пространство (обсуждение этих вопросов см. в [4, 7]). Однако эта мера зачастую
сосредоточена на инвариантных множествах малой размерности и в общем
случае не является интегральным инвариантом с суммируемой плотностью.
Для содержательных применений эргодической теории, а также в теории
интегрирующего множителя Эйлера – Якоби полезно иметь инвариантную
меру в виде интегрального инварианта с гладкой плотностью. Ниже предложены эффективные критерии существования таких мер у гладких динамических систем. Результаты общего характера проиллюстрированы примерами
из неголономной механики.
§ 1. Постановка задачи
1
Рассмотрим цилиндрическое фазовое пространство Mn= Rk× T
n−k
с координатами x1, . . . , xn, среди которых k линейных и n − k угловых.
Пусть v — гладкое векторное поле на Mn. Ему отвечает дифференциальное
уравнение
˙x = v(x). (1.1)
Рассмотрим задачу о существовании у системы (1.1) интегрального
инварианта
mes(D) =
Z
f(x) dnx (1.2)
D
с гладкой положительной плотностью f : Mn→ R.
1
Опубликовано в журнале «Прикладная математика и механика». 1987. Т. 51. Вып. 4.
С. 538–546.
§ 1. Постановка задачи 195
Критерием существования интегрального инварианта (1.2) является
уравнение Лиувилля div(fv) = 0, которое с учетом положительности функции f можно переписать в виде
˙w = −div v, w = ln f. (1.3)
Ясно, что w — гладкая функция на Mn.
По теореме о выпрямлении траекторий, в малой окрестности неособой
точки системы (1.2) имеется целое семейство интегральных инвариантов.
Следовательно, задачу об интегральном инварианте имеет смысл рассматривать или в окрестности положений равновесия, или же в достаточно больших областях фазового пространства, где траектории обладают свойством
возвращаемости.
Известно, что уравнения движения голономных механических систем
всегда имеют естественную инвариантную меру (форма объема па пространстве кокасательного расслоения пространства положений). Как отмечено в [3], неголономные системы могут вообще не иметь инвариантной
меры с интегрируемой плотностью.
Укажем два примера неголономных систем, которые будут использованы для иллюстрации результатов.
1◦. Задача о качении тяжелого твердого тела с выпуклой поверхно-
стью по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Чаплыгин
нашел инвариантную меру в случае, когда поверхность ограничена сферой
и центр масс тела совпадает с ее геометрическим центром [8]. Можно доказать существование инвариантной меры и в том случае, когда твердое тело
обладает осевой симметрией (как геометрической, так и динамической).
2◦. Задача Суслова о вращении по инерции твердого тела вокруг
неподвижной точки с неголономной связью: обращается в нуль проекция угловой скорости на некоторое неподвижное в теле направление [6].
Пусть Ox1x2x3— подвижная ортогональная система осей, p, q, r — проекции угловой скорости на эти оси, матрица инерции твердого тела
A D E
D B F
E F C
, (1.4)
α, β, γ — направляющие косинусы неподвижной вертикали относительно
осей x1, x2, x3. Уравнение неголономной связи примем в виде r = 0.
196 Добавление 1
Поворотом осой x1и x2можно добиться выполнения соотношения D = 0.
В переменных p, q, α, β, γ уравнения вращения тела имеют вид [6]
A ˙p = Epq + F q2, B ˙q = −Fpq − Ep2,
(1.5)
˙α = −qγ,˙β = pγ, ˙γ = qα − pβ.
Было показано [3], что эти уравнения имеют интегральный инвариант
тогда и только тогда, когда E = F = 0. В этом случае ось x3является
собственной для матрицы инерции (1.4).
§ 2. Условия существования интегрального инварианта
Теорема 1. Пусть x : R → Mn— решение системы (1.1) с компакт-
ным замыканием его траектории. Если система (1.1) имеет интегральный
инвариант, то существует
s
Z
1
lim
s→∞
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть x(t) ∈ D0и D0— компактная подобласть
в Mn. Согласно (1.3)
s
Z
1
lim
s→∞
div v dt = lim
s
0
s
(div v)
0
s→∞
dt = 0. (2.1)
x(t)
w(x(0)) −w(x(s))
s
= 0
так как непрерывная функция w ограничена снизу и сверху на множестве D0.
Следствие. Пусть x = 0 — равновесное решение нелинейной систе-
мы ˙x = Xx + . . . . Если trX 6= 0, то эта система не имеет в окрестности
точки x = 0 интегрального инварианта с гладкой плотностью.
Действительно в этом случае (div v)
= tr X . Остается воспользо-
x=0
ваться формулой (2.1) для равновесного решения x(t) ≡ 0.
Интересно отметить, что условие tr X = 0 означает сохранение стандартной формы объема в Rnфазовым потоком линейной системы ˙x = Xx.
Таким образом, если линейная система с постоянными коэффициентами
§ 2. Условия существования интегрального инварианта 197
имеет хотя бы один интегральный инвариант, то она обязательно имеет
стандартную инвариантную меру.
В неавтономном случае уравнение Лиувилля имеет вид ∂f /∂t +
+ div(fv) = 0. Если f > 0, то, полагая w = ln f, снова приходим к ра-
венству (1.3). Известно, что решения f(x, t) неавтономного уравнения Лиувилля всегда существуют. Они однозначно определяются, например, значениями плотности f при t = 0. Следовательно, в этой ситуации естественно
рассматривать задачи о существовании интегральных инвариантов специального вида. Пусть, например, ˙x = X(t)x + . . . — нелинейная ω-перио-
дическая система, имеющая тривиальное решение x(t) ≡ 0. Можно показать, что необходимым условием существования интегрального инварианта
с ω-периодической плотностью является равенство
ω
Z
tr X(t) dt = 0.
0
Известно, что экспонента от левой части этого равенства равна произведению мультипликаторов линеаризованной системы.
Для положений равновесия неголономных систем сумма характеристических чисел равна нулю. Таким образом, необходимое условие существования интегрального инварианта выполнено. Однако для стационарных
движений (относительных равновесий) это уже не так.
Приведем соответствующие примеры.
1◦. При качении тяжелого твердого тела но горизонтальной шероховатой плоскости существуют стационарные движения, когда одна из центральных осей инерции вертикальна, а тело вращается с постоянной угловой
скоростью, касаясь плоскости одной и той же точкой O. Из вида характеристического уравнения можно сделать вывод, что сумма характеристических
чисел пропорциональна (с ненулевым коэффициентом) sin α cos α, где α —
угол между главными направлениями поверхности тела в точке O и двумя
другими горизонтальными центральными осями инерции. Таким образом,
если эти оси не совпадают, то уравнения качения не имеют интегрального
инварианта. Несовпадение динамических и геометрических осей — характерное свойство так называемых кельтских камней (см. [2]).
2◦. Уравнения движения в задаче Суслова (1.5) имеют стационарное
решение, при котором
p = −kF, q = kE, α = lp, β = lq, γ = 0. (2.2)
198 Добавление 1
Здесь k и l — постоянные, такие, что (kl)2(E2+F2) = 1. Решения (2.2)
существуют лишь при очевидном условии E2+ F26= 0.
След матрицы линеаризованной системы равен k(E2/A + F2/B). Та-
ким образом, согласно следствию из теоремы 1, интегральный инвариант
для системы (1.5) существует лишь при условии E = F = 0. Этот вывод
получен в [3] из геометрических соображений.
§ 3. Интегральный инвариант в окрестности положения
равновесия
Рассмотрим нелинейную систему
X
(s)
xr+
1
a
xixj+ . . . . (3.1)
ij
2
n
X
(s)
a
.
sj
s=1
˙xs=Xλ
(s)
r
Вопрос о существовании интегрального инварианта сводится к вопросу
о разрешимости уравнения (1.3). Положим
w = w0+ (a, x) + . . . ; w0∈ R, q ∈ Rn.
Вычислим дивергенцию правой части системы (3.1):
−div v = trΛ + (b, x) + . . . ,
Λ = ||λ
(s)
||, b = (b1, . . . , bn)T, bj=
r
В рассматриваемом случае уравнение (1.3) имеет следующий явный
вид:
(a, Λx) + . . . = −tr Λ −(b, x) −. . . . (3.2)
Отсюда получаем серию равенств: tr Λ = 0, ΛTa = b, . . . . Первое
из них уже было ранее получено в п. 2. Положим X = ΛT, Y = ||X, b||.
Матрица Y имеет размер n ×(n + 1).
Теорема 2. Если rank X < rank Y , то система (3.1) не имеет инте-
грального инварианта в окрестности точки x = 0.
Действительно, всегда rank X 6 rank Y и равенство рангов является
условием разрешимости линейной системы ∆Ta = b относительно a. Это
условие заведомо выполнено в случае, когда матрица Λ невырождена.
§ 4. Принцип усреднения 199
Отметим, что постоянную w0в разложении Маклорена функции w
можно считать произвольной. Это соответствует тому факту, что плотность
инвариантной меры определена с точностью до положительного постоянного множителя. Условием разрешимости уравнения (3.2) в первом приближении является совпадение рангов матриц X и Y . Если оно выполнено, то можно определить (возможно, неоднозначно) линейные по x слагаемые в разложении функции w. Приравнивая коэффициенты при членах
второй степени в уравнении (3.2), получим линейную систему алгебраических уравнений для отыскания квадратичных слагаемых в разложении
функции w. В эту систему линейно входят компоненты вектора a. Условием ее разрешимости является известное условие совпадения рангов Кронекера– Капелли. Аналогично, при анализе разрешимости уравнения (3.2)
в высших приближениях возникают условия на ранги матриц, элементы
которых выражаются через коэффициенты правых частей системы (3.1).
В качестве примера применения теоремы 2 снова рассмотрим систему (1.5) задачи Суслова. Так как на твердое тело не действуют силы, то любое ее положение является положением равновесия.
Пусть α0, β0, γ0— значения направляющих косинусов в равновесном состоянии. Дивергенция векторного поля (1.5) равна qE/A − pF/B, поэтому
b = (−F/B, E/A, 0, 0, 0)T. Выпишем нетривиальную ненулевую часть
матрицы Y :
0 γ0−β
−γ00 α
0
0
−F/B
E/A
.
Вертикальная черта отделяет элементы матрицы X. Пусть γ0= 0.
Тогда rankX = 1. Если
Eβ0/A − F α0/B 6= 0, (3.3)
то rank Y = 2. Пусть E2+ F26= 0. Тогда можно подобрать значения α
2
и β0(α
0
2
+ β
= 1) так, чтобы выполнялось условие (3.3). В этом случае,
0
как уже отмечалось в п. 1, уравнения не имеют интегрального инварианта.
§ 4. Принцип усреднения
Рассмотрим системы нормального вида, которые часто встречаются
в приложениях:
˙
Ik= εFk(I, ϕ) + . . . , ˙ϕs= ωs(I) + εGs(I, ϕ) + . . . . (4.1)
0
200 Добавление 1
Здесь I = (I1, . . . , Im) — декартовы координаты в Rm, ϕ =
= (ϕ1, . . . , ϕn) — набор угловых координат на n-мерном торе Tn, ε —
малый параметр. Функции Fs, Gs, . . . предполагаются 2π-периодическими
относительно угловых переменных ϕ1, . . . , ϕn. При ε = 0 система (4.1),
очевидно, имеет семейство инвариантных мер, плотности которых — произвольные гладкие положительные функции от переменных I1, . . . , Im.
Исследуем задачу о наличии у системы (4.1) интегрального инварианта
с плотностью в виде ряда
f0(I, ϕ) + εf1(I, ϕ) + . . . (4.2)
с гладкими и однозначными на Rm×Tnкоэффициентами fα(α = 0, 1, . . .).
Ясно, что f0> 0.
Невозмущенная система (4.1) легко интегрируется: переменные I , являющиеся первыми интегралами, нумеруют инвариантные торы, заполненные условно-периодическими движениями с частотами ω1, . . . , ωn. Инвариантный тор I = I0называется нерезонансным, если (ω(I0), k) 6= 0 для
всех целочисленных векторов k 6= 0. Фазовые траектории всюду плотно
заполняют нерезонансные торы. Невозмущенную систему назовем невырожденной, если нерезонансные торы всюду плотно заполняют фазовое
пространство Rm× Tn.
Теорема 3. Предположим, что невозмущенная система невырождена
и уравнения (4.1) имеют интегральный инвариант с плотностью (4.2).
Тогда усредненная система
˙
Jk= εFk(J), k = 1, . . . , m (4.3)
имеет интегральный инвариант с плотностью f0.
Здесь черта означает, как обычно, результат применения оператора
усреднения по угловым переменным ϕ. Переход от полной системы (4.1)
к усредненной (4.3) является стандартным приемом теории возмущений.
Отметим одно из следствий теоремы 3: если k = 1 и функция F имеет
изолированный нуль, то полная система (4.1) не имеет инвариантной меры
с плотностью в виде ряда (4.2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3. Так как f0> 0, то при малых значе-
ниях ε в окрестности каждого инвариантного тора невозмущенной системы функцию w = ln f также можно представить в виде ряда по степе-
§ 5. Интегральный инвариант систем нормального вида 201
ням ε: w = w0(I, ϕ) + . . . . В рассматриваемой задаче уравнение (1.3) име-
ет следующий вид:
X
∂w
∂ϕ
0
ωs+ ε
s
X
∂w
∂I
0
k
Fk+
X
∂w
∂ϕ
1
ω
s
= −ε
+ . . . =
s
X
k
∂F
∂I
∂G
∂ϕ
s
s
+ . . . .
X
k
+
k
s
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε, получим це-
почку уравнений для последовательного нахождения функций w0, w1, . . . :
X
∂w
0
ωs= 0, (4.4)
∂ϕ
s
X
∂w
∂I
0
k
Fk+
X
∂w
∂ϕ
1
ωs= −
s
X
∂F
∂I
X
k
k
∂G
−
s
. (4.5)
∂ϕ
s
Из (4.4) следует, что w0— интеграл невозмущенной системы. Так
как эта система невырождена, то w0не зависит от угловых переменных
(ср. с [5], гл. V). Усредняя (4.5) по переменным ϕ, приходим к равенству
X
∂w
∂I
0
Fk= −
k
X
∂
∂I
F
k
.
k
Следовательно, функция f0= exp w0> 0 также не зависит от ϕ и является плотностью инвариантной меры усредненной системы.
Теорема 3 обобщается на случай систем, рассмотренных в [1]: при
ε = 0 фазовое пространство расслоено на интегральные многообразия.
Невырожденность невозмущенной системы означает всюду плотность инвариантных многообразий, на которых динамическая система эргодична.
§ 5. Интегральный инвариант систем нормального вида
Ниже будут указаны более точные условия существования интегрального инварианта системы (4.1). Разложим функции Fkи Gkв кратные ряды
Фурье
Fk=
X
α
(k)
(I)e
i(α,ϕ)
, Gs=
F
α
X
α
(k)
G
i(α,ϕ)
(I)e
α
; α ∈ Zn.
202 Добавление 1
Ключевым множеством системы (4.1) назовем множество всех то-
чек I ∈ Rm, таких, что:
1) (ω(I), ξ) = . . . = (ω(I), ζ) = 0 с некоторыми целочисленными
векторами ξ, . . . , ζ ;
2) rank X < rank Y , где
F
. . . . . . . . . . . . . . .
X =
F
ξ
ζ
(1)
(1)
. . . F
. . . F
(m)
ξ
(m)
ζ
, Y =
X
(k)
∂F
P
ξ
+ iPξsG
∂I
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(k)
∂F
P
ζ
+ iPζsG
∂I
k
(s)
ξ
(s)
ζ
.
Подчеркнем, что в этом определении не предполагается линейная неза-
висимость векторов ξ, . . . , ζ .
Теорема 4. Если невозмущенная система невырождена и ключевое
множество непусто, то система (4.1) не имеет интегрального инварианта
с плотностьюPfsεs.
Это утверждение доказывается методом Пуанкаре ( [5], гл. V). Будем
исходить из уравнения (4.5), в котором w0— неизвестная гладкая функция
переменных I1, . . . , Im. Положим
w1=XWα(I)e
i(α, ϕ)
.
По методу Фурье из уравнения (4.5) получаем серию равенств
X
∂w
∂I
0
(k)
F
+ i(α, ω)Wα= −
α
k
X
∂F
α
∂I
(k)
− iXαsG
k
(s)
; α ∈ Zn.
α
Пусть теперь точка I принадлежит ключевому множеству. Полагая α
равным ξ, . . . , ζ, получим серию алгебраических уравнений относительно
производных ∂w0/∂I1, . . . , ∂w0/∂Im. Условием ее разрешимости является
равенство рангов матриц X и Y .
Рассмотрим простой пример. Пусть точка I0— положение равновесия
векторного поля
F = (F
0
(1)
, . . . , F
Тогда rank X = 0, a rank Y = 1, если при I = I0суммаP∂F
(m)
) и целочисленный вектор α = 0.
0
(k)
0
/∂Ik—
дивергенция усредненной системы, линеаризованной в окрестности точки I0— отлична от нуля. В этом случае ключевое множество содержит
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]