Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
.pdf
Литература 303
Литература
[1] Аносов Д. В. Об аддитивном гомологическом уравнении, связанном с эр-
годическим поворотом окружности // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1973.
Т. 37. №6. С. 1259–1274.
[2] Каток А. Б. Спектральные свойства динамических систем с интеграль-
ным инвариантом на торе // Функц. анализ и его прил. 1967. Т. 1. № 4.
С. 75–85.
[3] Козлов В. В. Об интегралах квазипериодических функций // Вестн.
Моск. ун-та. Сер. Матем., механ. 1978. № 1. С. 106–115.
[4] Колмогоров А.Н. О динамических системах с интегральным инвариан-
том на торе // ДАН СССР. 1953. Т. 93. № 5. С. 763–766.
[5] Кочергин А. В. Об отсутствии перемешивания у специальных потоков
над поворотом окружности и потоков на двумерном торе // ДАН СССР.
1972. Т. 205. № 3. С. 515–518.
[6] Пуанкаре А. Теория вероятностей. Ижевск: Ред. журнала «Регулярная
и хаотическая динамика». 1999.
[7] Шкловер М. Д. О классических системах на торе с непрерывным спек-
тром // Известия вузов. Мат. 1967. № 10. С. 113–124.
ДОБАВЛЕНИЕ 8
О диффузии в гамильтоновых системах
1. Согласно Пуанкаре основной задачей динамики является исследо-
вание уравнений Гамильтона
1
dx
dt
k
∂H
=
∂y
dy
k
,
dt
k
= −
∂H
; k = 1, . . . , n,
∂x
k
H = H0(y) + εH1(x, y). (1.1)
Здесь x = (x1, . . . , xn) mod 2π — угловые канонические координаты, y =
= (y1, . . . , yn) — канонические импульсы, ε — малый параметр. Гамиль-
тониан H 2π-периодичен по каждой угловой координате x1, . . . , xn. При
ε = 0 имеем вполне интегрируемую систему, причем переменные y, x являются переменными действие-угол этой системы.
В соответствии с КАМ-теорией при возмущении системы с невырожденным гамильтонианом
det
∂2H
∂y
0
6= 0 (1.2)
2
большинство (в смысле меры Лебега) инвариантных торов
x mod 2π, y = y
0
не исчезает, а лишь слегка деформируется. Такие сохраняющиеся торы называются колмогоровскими. При n = 2 колмогоровские торы разделяют
трехмерную поверхность уровня интеграла энергии H = const на инвариантные области и поэтому переменные действие y при малых значениях ε
не эволюционируют. Как показал на модельном примере В. И. Арнольд [1],
при n > 2 система может дрейфовать в связной щели между колмогоровскими торами. При этом переменные действие y могут изменяться на
конечную величину. Такое явление называется диффузией Арнольда. Механизмы диффузии в многомерных гамильтоновых системах пока еще до
конца не ясны.
1
Это — работа автора и Н. Г. Мощевитина, опубликованная в Вестнике Моск. ун-та, сер. Ма-
тем., механика. 1997. № 5. С. 49–52.
О диффузии в гамильтоновых системах 305
Н. Н. Нехорошев [7] нашел оценку скорости диффузии Арнольда для
аналитических систем с крутым гамильтонианом (условие крутизны является требованием более сильным, чем неравенство (1.2)): найдутся такие
положительные постоянные ε0, a, b, что при всех
0 6 t 6
1
ε
exp
, 0 < ε < ε
a
ε
0
(1.3)
1
справедливо неравенство
|y(t) − y(0)| < εb. (1.4)
Постоянные a и b зависят лишь от невозмущенного гамильтониана H0.
В настоящей работе мы приведем примеры гамильтоновых систем, для
которых скорость диффузии существенно больше, чем экспоненциально
малая. Однако системы будут сильно вырождены (т.е. не будет выполнено
условие (1.2)).
Чтобы лучше понять оценки (1.3), (1.4), рассмотрим случай (который фактически нам встретится ниже), когда приращение переменных действие y(t) −y(0) равно ε ln t. Если, например, в формуле (1.4) оказывается,
что b = 1/2, то получаем неравенство
|y(t) − y(0)| <
√
ε,
справедливое на интервале экспоненциально большой длины
0 6 t < exp
√
1
.
ε
Если же оказывается, что b = 0, то приращение переменных действие становится равным 1 на несколько большем интервале времени
1
0 6 t < exp
.
ε
Отметим еще, что оценки вида (1.3), (1.4) впервые были получены Дж. Литлвудом [10, 11] в ограниченной круговой задаче трех тел. Правда, в этом
случае n = 2 и КАМ-теорема дает более сильный результат о вечной устойчивости переменных действие.
2. Рассмотрим модельную гамильтонову систему с гамильтонианом
n
H = H0(y) + εH1(x), H0=
X
ωkyk, (2.1)
k=1
306 Добавление 8
где ω1, . . . , ωn— рационально несоизмеримые вещественные числа, а H1—
аналитическая функция на n-мерном торе Tn= {x mod 2π}. Фазовым про-
странством служит прямое произведение тора Tn= {x mod 2π} и Rn=
= {y}. Эта система допускает полный набор коммутирующих многозначных
интегралов
ωnx1− ω1xn, ω
n−1x1
− ω1x
, . . . , ω2x1− ω1x2, H
n−1
и поэтому явно интегрируется. Однако, как мы увидим ниже, вопрос об
эволюции переменных действие упирается в достаточно сложную проблему,
связанную с малыми знаменателями.
Канонические уравнения с гамильтонианом (2.1) имеют следующий
явный вид:
dx
dt
k
= ωk,
dy
k
= εfk(x), k = 1, . . . , n, fk=
dt
∂H
∂x
1
. (2.2)
k
Первая группа уравнений определяет условно-периодическое движе-
ние по n-мерному тору
xk= ωkt + xk(0), 1 6 k 6 n.
Числа ω1, . . . , ωn— несоизмеримые частоты условно-периодическогодвижения, а x1(0), . . . , xn(0) — начальные фазы. Переменные действие являются интегралами от условно-периодических функций:
t
Z
yk(t) = yk(0) + ε
fk(ωτ + x(0)) dτ.
0
Поскольку фазовые средние fkпо тору Tnравны нулю, то (по теореме
Г. Вейля) yk(t) −yk(0) = o(t), t → ∞. Однако эта оценка скорости диффузии является слабым результатом ввиду его большой общности (теорема
Вейля справедлива для непрерывных и даже интегрируемых по Риману
функций). Отметим, что в случае гладких функций fkоценка теоремы Вейля равномерна по начальным фазам x(0).
Системы с гамильтонианом (2.1) рассматривались в [9] с точки зрения условий существования однозначных интегралов. Установлено, что при
n = 2 можно указать такое иррациональное число ω1/ω2и такую аналити-
ческую функцию H1: T2→ R, что уравнения (2.2) допускают независимый
О диффузии в гамильтоновых системах 307
от H интеграл из класса Cdи при этом не существует никакого дополнительного интеграла класса C
d+1
. Подробные доказательства даны в рабо-
те [4]. В [5] обсуждается аналогичный результат при произвольном n > 2.
Прежде чем формулировать результаты настоящей работы, отметим,
что разность y(t) −y(0) при фиксированном значении времени t зависит
только от начальных фаз xk(0), k = 1, . . . , n. Определим
Yk(T ) = max
16t6T
max
|yk(t) −yk(0)|, Y (T ) = max
x(0)
k=1, ..., n
Yk(T ).
Теорема 1. Пусть n = 2, ω1/ω2иррационально и функция H1анали-
тическая. Тогда
(i) существует последовательность tν↑ ∞, такая, что расстояния между точками (x(tν), y(tν)) и (x(0), y(0)) (в стандартной метрике на T2× R2) стремятся к нулю равномерно по начальным данным
при ν → ∞;
(ii) существуют постоянная c > 0 и последовательность Tν↑ ∞,
такие, что
Y (Tν) < εc ln Tν, ∀ν.
Заключение (i) фактически доказано в [2]. Оно устанавливает равномерную возвращаемость фазовых траекторий системы (2.1). Заключение (ii)
доказывается разбором двух случаев: А и Б. В силу аналитичности функции f имеем
X
fk(x) =
m∈Z2\{0}
fk(m) exp(ihm, xi),
|fk(m)| 6 γ1exp(−γ2|m|), |m| = |m1| + |m2|.
Случай А. Если для всех m 6= 0 выполнено |hm, ωi| > exp(−γ0|m|)
с некоторым γ0∈ (0; γ2), то Y (T ) = O(ε) при T → ∞ и все доказано.
Случай Б. Если имеется бесконечно много целочисленных векторов
mν= (pν, qν) ∈ Z2, qν> 0, таких, что
|hmν, ωi| = |ω1pν+ ω2qν| < exp(−γ0(|pν| + qν)),
то с некоторым γ00> 0 выполнено
qν/ω
2
Z
y1(qν/ω2) −y1(0) = ε
f1(ωτ + x(0))dτ = O(ε exp(−γ00qν)),
0
308 Добавление 8
и в силу того, что
qν/ω
2
Z
λ−1
y1(λqν/ω2)−y1(0) = ε
X
l=0
f1(ωτ + ξl) dτ = O(ελ exp(−γ00qν))+ O(ε),
0
имеем
y1(λqν) = O(ελ exp(−γ00qν)) + O(ε), ∀λ
и, следовательно,
y1(t) = O(ελ exp(−γ00qν)) + O(εqν), ∀t ∈ (0; λqν).
Выбирая λν= exp(−γ00qν) и Tν= λνqν, получаем
Y1(Tν) = O(ε ln Tν).
Остается вспомнить, что имеет место интеграл энергии H = ω1y1+ ω2y2+
+ εH1(x) = const, и заключение (ii) теоремы 1 можно считать доказан-
ным.
Перед формулировкой теорем 2, 3 еще раз напомним, что разность
yk(t) −y(0) зависит (при фиксированном t) только от начальных фаз x(0).
Теорема 2. При n = 2 для любой заданной наперед, положительно-
значной, монотонно возрастающей функции g(t), такой, что g(t) = o(t),
t → ∞, найдутся иррациональное число ω1/ω2и аналитическая функ-
ция H1: T2→ R, такие, что
(i) при каждом значении h система (2.2) транзитивна на уровне энер-
гии H = h;
(ii) существуют постоянная c > 0 и последовательность tν↑ ∞,
такие, что выполнено
Z
|yk(tν) −y(0)|2dx(0)
2
T
!
1/2
> εcg(tν).
Свойство транзитивности означает наличие траектории, всюду плотно заполняющей трехмерную поверхность H = h. Этот результат установлен в работе [2]. Таким образом, здесь изменение переменных действие неограниченно и можно говорить о диффузии в гамильтоновой сис-
О диффузии в гамильтоновых системах 309
теме (2.2), однако свойство (ii) не обеспечивает быстрой диффузии. Ввиду
свойства возвращаемости такую диффузию можно назвать мерцающей. Оба
заключения теоремы 2 доказываются стандартным образом с использованием простых свойств цилиндрических каскадов, порожденных рассматриваемой гамильтоновой системой (см. [8]).
Случай n > 3 существенно отличается от случая n = 2.
Теорема 3. Пусть n = 3 и g(t) — произвольная положительная функ-
ция, возрастающая при t → ∞ и такая, что g(t) = o(t). Тогда найдутся такие несоизмеримые частоты ω1, ω2, ω3и аналитическая функция H1: T3→ R, что при любом t выполнено
Z
|y1(t) −y1(0)|2dx(0)
3
T
!
1/2
> εg(t). (2.3)
Таким образом, при k = 3 уже нет свойства равномерной возвращаемости, хотя индивидуальная возвращаемость каждого yk(t) в отдельности,
как доказано в [3], по-прежнему имеет место. Теорема 3 является следствием одного общего результата об интегралах условно-периодических
функций [6]. По-видимому, можно указать примеры гамильтоновых систем
с тремя степенями свободы, удовлетворяющих теореме 3 и транзитивных
на энергетических уровнях H = const, однако это связано с тонкими конструкциями теории диофантовых приближений.
В качестве примера положим в теореме 3 g(t) = tα, 0 < α < 1. Из
неравенства (2.3) получаем оценку
max
|y1(t) −y1(0)| > 1, (2.4)
x(0)
справедливую при любом
t ε
−1/α
. (2.5)
Оценки (2.4), (2.5) показывают, что изменение переменных действие на конечную величину происходит на коротких интервалах времени порядка ε−β,
β > 1. Таким образом, скорость диффузии будет уже не экспоненциально
малой, а нарастать по степенному закону. Примеры систем с крутым гамильтонианом H0и возрастанием переменной действие по степенному закону
указаны в работе [7]. Однако там речь шла об отдельных траекториях, в то
время как оценка (2.3) справедлива в целом.
310 Добавление 8
Литература
[1] Арнольд В. И. О неустойчивости динамических систем со многими
степенями свободы // Докл. АН СССР. 1967. 156, № 1. 9–12.
[2] Козлов В. В. Об одной задаче Пуанкаре // Прикл. матем. и механ. 1976.
40, вып. 2. 352–355.
[3] Мощевитин Н. Г. О возвращаемости интеграла гладкой трехчастотной
условно-периодической функции // Матем. заметки. 1995. 58, вып. 5.
723–735.
[4] Мощевитин Н.Г. О существовании и гладкости интеграла гамильтоно-
вой системы определенного вида // Матем. заметки. 1991. 49, вып. 5.
80–85.
[5] Мощевитин Н. Г. О существовании и гладкости интеграла одной мно-
гочастотной системы уравнений Гамильтона // Задачи исследования
устойчивости и стабилизации движения. М., 1995. 45–52.
[6] Мощевитин Н. Г. Распределение значений линейных функций и асим-
птотическое поведение траекторий некоторых динамических систем //
Матем. заметки. 1995. 58, вып. 3. 394–410.
[7] Нехорошев Н. Н. Экспоненциальная оценка времени устойчивости га-
мильтоновых систем, близких к интегрируемым // Успехи матем. наук.
1977. 32, вып. 6. 5–66.
[8] Gottschalk W., Hedlund G. Topological Dynamics // AMC Col. № 36.
N.Y., 1955.
[9] Kozlov V. V. Phenomena of Nonintegrability in Hamiltonian systems // Proc.
Int. Congr. Math. Berkeley, California, USA. 1986. 1161–1170.
[10] Littlewood J. E. On the equilateral configuration in the restricted problem
of three bodies // Proc. London Math. Soc. 1959. 3, № 9. 343–372.
[11] Littlewood J. E. The Lagrange equilateral configuration in celectial
mechanics // Proc. London Math. Soc. 1959. 3, №9. 525–543.
ДОБАВЛЕНИЕ 9
Слабая сходимость вероятностных мер
и круговая модель Каца
1. Наш подход к изучению теплового равновесия
можно проиллюстрировать на примере круговой моде-
ли Каца, которая упоминалась в § 1 главы I. Напомним
кратко суть дела. В вершинах правильного n-угольника
расположены белые и черные шары. Выделено некоторое
фиксированное множество M вершин; оно играет ключе-
вую роль в динамике модели Каца. Рис. 1 иллюстрирует
случай, когда n = 6, а множество M состоит всего из
одной вершины. Движение заключается в циклической
перестановке всех шаров против часовой стрелки. Причем шар изменяет свой цвет только в том случае, если
он находился в множестве M.
Фазовым пространством (пространством состояний) Γ служат 2nнаборов n белых и черных шаров. Описанный выше сдвиг g — это взаимно-однозначное отображение Γ на себя. Его степени {gt}, t ∈ Z — фазовый поток
на Γ. Имеется естественная вероятностная мера на Γ, которая инвариантна относительно действия {gt}: вероятность каждого состояния равна 2−n.
Это простое наблюдение можно рассматривать как аналог теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема. Нас интересует динамика числа белых
и черных шаров при итерациях отображения g.
Положим N = 2nи обозначим состояния системы символами
x1, . . . , xN. В соответствии с подходом Гиббса в начальный момент t = 0
надо задать некоторое распределение вероятностей — набор неотрицательных чисел
p(x1), . . . , p(xN),
Рис. 1. Состояние
системы
сумма которых равна единице. Затем это распределение начинает переноситься потоком {gt}. Пусть pt(xi) — вероятность нахождения системы в состоянии xiв момент времени t. Ясно, что p0(xi) = p(xi) для
312 Добавление 9
всех 1 6 i 6 N и
pt(xi) = p
(g−1(xi)).
t−1
Отсюда выводится простое правило переноса:
pt(xi) = p(g−t(xi)).
Оно является аналогом формулы (5.6) из Введения для общего решения
уравнения Лиувилля. Нас интересует поведение распределения вероятностей pi(xi), 1 6 i 6 N при t → ±∞.
2. В соответствии с общей с общей идеей Гиббса естественно ожидать,
что {pt} сходятся в каком-то смысле к «микроканоническому» распределе-
нию, когда вероятности всех состояний одинаковы. Тогда в предельном
стационарном состоянии число белых шаров было бы распределено по би-
номиальному закону
P (m) = C
m
/2n, m = 0, 1, . . . , m.
n
После надлежащей нормировки это распределение при n → ∞ стремится
к нормальному распределению (теорема Муавра – Лапласа), которое служит
естественным аналогом канонического распределения Гиббса. Однако, как
легко понять, вероятности pt(xi) осциллируют как функции t и вообще не
имеют предела в обычном смысле.
Заменим обычную сходимость сходимостью в слабом смысле. Речь
идет об исследовании сумм следующего вида
K(t) = pt(x1)ϕ(x1) + . . . + pt(xN)ϕ(xN),
где ϕ — некоторая функция на Γ. Однако функция K(t) (ввиду ее периодичности по t) также не имеет предела при t → ±∞. В этом состоит существенное отличие рассматриваемой системы от гамильтоновых систем,
которые являются основным объектом нашего анализа (как говорят немцы,
каждое сравнение хромает). Тем не менее, легко понять, что функция K(t)
сходится по Чезаро при t → ±∞ к некоторому пределу
p(x1)ϕ(x1) + . . . + p(xN)ϕ(xN),
где p(xi) > 0 иPp(xi) = 1 (эргодическая теорема фон Неймана).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]