Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
.pdf
§ 4. Некоторые обобщения 283
§ 4. Некоторые обобщения
1. Условие невырожденности квадратичной формы H0= (Ay, y)/2
в теореме 2 можно заменить более слабыми условиями:
i) Am 6= 0 для всех целочисленных векторов m 6= 0,
ii) векторы Aα и Aβ линейно независимы.
Отметим, что если det A = 0, то условия i)–ii) могут выполняться одновременно лишь при n > 3.
Приведем простой пример. Если
0 1√2
1 0 0
A =
√
2 0 0
то матрица A вырождена, однако условия i) и ii) выполнены.
2. Отметим, что теорема 2 несправедлива в том случае, когда коэффициенты Фурье возмущающей функции H1зависят от y. Приведем поучительный контрпример:
, α = (1, 0, 0)T, β = (1, −1, 0)T,
H = a2y
2
+ aby1y2+ b2y
1
2
2
+
ay1− by
ε
(sin x1− sin x2).
2
Гамильтонова система с таким гамильтонианом интегрируется методом разделения переменных: аналитические функции
F1= a3y
3
− ay1H + εsin x1, F2= b3y
1
3
− by2H + εsin x
2
2
составляют полный набор независимых интегралов.
В этой задаче α = (1, 0)T, β = (0, 1)Tи поэтому неравенство (0.11)
принимает вид: b/a 6= −m/2 при всех целых m > 0. «Предельная» прямая
hα, yi = 2ay1+ by2= 0 не совпадает с прямой ay1− by2= 0, в точках
которой не определен гамильтониан (ср. с теоремой 3). Однако, интегрируемость имеет место для всех (в том числе и иррациональных) значений
отношения b/a.
Пусть α0, α00, . . . — элементы множества M, расположенные между
вершинами α и β (относительно лексикографического порядка ≺ в Zn). Ясно, что каждый из векторов α0, α00, . . . линейно зависим с α. Модифицируя
рассуждения § 1, можно доказать справедливость теорем 2–3 и в том случае,
00
0
, . . . , hβпостоянны (при этом остальные
когда коэффициенты hα, h
, h
α
α
284 Добавление 6
коэффициенты Фурье могут быть непостоянными аналитическими функциями от переменных y1, . . . , yn).
3. Если возмущающая функция H1, не является тригонометрическим
полиномом, то задача о наличии дополнительных интегралов гамильтоновой системы существенно упрощается: неинтегрируемость возмущенной
системы, как правило, удастся установить после конечного числа шагов
теории возмущенийx.
Рассмотрим для определенности случай двух степеней свободы. Итак,
пусть H = H0+ εH1, где
2
H0=
X
1
aijy1yj, H1=
2
i,j=1
X
m∈Z
2
hme
i(m,y)
, hm= const.
Если вековое множество B1состоит из бесконечного числа прямых на
плоскости R2= {y1, y2}, то неинтегрируемость возмущенной гамильтоновой системы вытекает из обобщенной теоремы Пуанкаре [6]. Поэтому
предположим, что количество «резонансных» прямых, составляющих множество B1, конечно. На множестве (R2\B1)×T2можно выполнить первый
шаг теории возмущений. Интегрируемость возмущенной системы будет теперь зависеть от структуры векового множества B2. Опишем его. Для этого
рассмотрим тригонометрический ряд
X
0
i(k,x)
h
(y)e
k
, h
X
0
=
k
τ+σ=k
hτ, σihτh
hy, τ ihy, σi
σ
. (4.1)
Коэффициенты этого ряда определены в R2\B1. Используя формулы (1.2),
легко показать, что множество B2состоит из точек y ∈ R2\B1, удовлетворяющих условиям
i) hy, ki = 0 для некоторого k ∈ Z2, k 6= 0,
0
ii) h
(y) 6= 0.
k
В типичной ситуации множество B2содержит бесконечное множество различных прямых, проходящих через начало координат. Это в свою очередь
влечет отсутствие дополнительного формального интеграла с аналитическими в R2× T2коэффициентами (см. §2).
4. В качестве применения замечаний, содержащихся в предыдущем
пункте, докажем
Предложение 2. Пусть n = 2 и вековое множество B1, состоит всего
из двух прямых. Тогда уравнения Гамильтона имеют дополнительный фор-
§ 4. Некоторые обобщения 285
мальный интеграл тогда и только тогда, когда эти прямые ортогональны
(в метрике h, i).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДОСТАТОЧНОСТИ. Так как B1состоит из двух прямых,
то в формуле (4.1) τ = λτ0и σ = µσ0, где τ0, σ0∈ Z2, λ, µ — целые
числа. Ортогональность прямых, составляющих множество B1, означает
ортогональность векторов τ0и σ0. Покажем, что в этом случае гамильтонова
система интегрируется методом разделения переменных. Действительно,
пусть τ0= (τ1, τ2), σ0= (σ1, σ2). Положим
X1= (τ1x1+ τ2x2), X2= (σ1x1+ σ2x2).
Это однородное преобразование угловых координат однозначно продолжается до однородного канонического преобразования y, x 7→ Y, X . В новых
переменных
H =
1
2
(A11Y
2
+ 2A12Y1Y2+ A22Y
1
2
) + ε(f(X1) + g(X2)),
2
где Aij= const, f, g — аналитические 2π-периоднческие функции. Так
как hτ0, σ0i = 0, то A12= 0. Следовательно, гамильтонова система имеет
два линейных по ε интеграла
1
2
A11Y
2
+ εf (X1),
1
1
2
A22Y
2
+ εg(X2).
2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕОБХОДИМОСТИ. Рассмотрим сначала случай, когда
возмущающая функция H1— тригонометрический полином. В качестве вершин множества M можно взять векторы α = ±λ∗τ0и β = ±µ∗σ0, где λ
и µ∗— некоторые положительные целые числа. Пусть hα, αi > 0 (случай,
когда hα, αi 6 0, рассматривается аналогично). Если hα, βi 6= 0, то без
ущерба общности можно считать, что hα, βi > 0 (в противном случае заменим β на −β). Но тогда mhα, αi+ 2hα, βi > 0 при всех целых m > 0. Следовательно, если гамильтонова система имеет дополнительный интеграл,
то по теореме 2 hα, βi = 0. Последнее условие, очевидно, эквивалентно
условию hτ0, σ0i = 0.
Рассмотрим теперь оставшийся случай, когда функция H1не является
многочленом. Воспользуемся замечаниями п. 3. Так как τ0и σ0линейно
независимы, то при фиксированном k = λτ0+ µσ0числа λ и µ определяются однозначно. По условию, функция H1, не полином, следовательно,
среди чисел λ и µ бесконечно много различных. Если hτ0, σ0i 6= 0, то из
∗
286 Добавление 6
формулы (4.2) вытекает, что B2состоит из бесконечного числа различных
прямых и поэтому является множеством единственности для класса функций, аналитических в R2= {y1, y2}. Для завершения доказательства отсутствия формального интеграла осталось воспользоваться рассуждениями § 2.
Предложение доказано.
5. Предложение из п. 4 допускает (с некоторыми уточнениями) обобщение на системы с n > 2 степенями свободы. Предположим, что все
точки множества M расположены на l 6 n прямых, проходящих через
начало координат, причем их направляющие векторы линейно независимы.
Тогда можно утверждать, что гамильтонова система с функцией Гамильтона
H0+ εH1, имеет n однозначных аналитических интегралов, независимых
при всех достаточно малых значениях ε, тогда и только тогда, когда эти
l прямых попарно ортогональны (в метрике h, i). При l = 1 система, оче-
видно, интегрируема.
В качестве примера рассмотрим гамильтонову систему с гамильтониа-
ном
H =
n
X
1
2
y
+ ε[f (x1− x2) + .. . + f(x
s
2
s=1
− xn)], (4.2)
n−1
где f — вещественная аналитическая 2π-периодическая функция. Эта система описывает динамику «непериодической» цепочки n частиц на прямой. Оказывается, если n > 2 и f 6= const, то система с гамильтонианом (4.2) не имеет полного набора независимых интегралов. Действительно, в этом случае l = n − 1 и соответствующие прямые определяются векторами (1, −1, 0, . . . , 0)T, . . . , (0, . . . , 1, −1)T, которые не все
попарно ортогональны. Если мы «замкнем» цепочку, добавив в гамильтониан (4.2) слагаемое εf (xn−x1), то сформулированное выше утверждение
будет уже неприменимо: l = n прямых расположены в гиперплоскости,
ортогональной вектору (1, 1, . . . , 1)T. Интегрируемость «периодической»
цепочки существенно зависит от конкретного вида потенциала взаимодействия f.
6. Укажем еще один путь обобщения теоремы 2. Речь пойдет о существовании аналитических комплекснозначных интегралов как функций
вещественных канонических переменных (y, x) ∈ Rn× Tn. В выражениях (0.2) и (0.3) для функции Гамильтона коэффициенты aijи hmсчитаются комплексными числами (при этом совсем не обязательно требовать
комплексной сопряженности hmи h−m). Нетрудно понять, что теорема 2
справедлива и в этой, более общей, ситуации.
§ 4. Некоторые обобщения 287
Поясним идею на примере обобщенных непериодических цепочек Тоды (см. [2]). Интересующий нас класс гамильтоновых систем — это системы
с взаимодействием экспоненциального вида с функцией Гамильтона
H =
n
X
1
y
2
s=1
l
X
2
+ ε
s
k=1
cke
(ak,x)
, (4.3)
где l 6 n, ck= const 6= 0, a1, . . . , an— набор линейно независимых
векторов в Rn. Системы с гамильтонианами (4.3) формально не подходят
под наше рассмотрение ввиду непериодичности экспоненты. Если, однако,
выполнить линейное каноническое преобразование x 7→ ix, y 7→ y/i, то
получится гамильтонова система с гамильтонианом
H = −
2
y
+ εXcke
s
2
(iak,x)
. (4.4)
X
1
Совершая еще одно линейное преобразование x 7→ X по формулам
Xs= (as, x), s 6 l, Xs= xs, s > l,
и дополняя его до канонического преобразования во всем фазовом пространстве, мы приходим к функции Гамильтона вида (0.2), 2π-периодической по отношению к X1, . . . , Xn. К такой системе уже можно применять
теорему 2.
Известно [2, 9], что если векторы a1, . . . , alобразуют систему простых корней простой алгебры Ли, то уравнения Гамильтона с гамильтонианом (4.3) вполне интегрируемы. Можно показать, что независимые коммутирующие интегралы, представленные в новых переменных, обладают
свойством периодичности по переменным X . Об интегрируемости обобщенной цепочки Тоды в общем случае мало что известно. Мы сейчас найдем необходимые условия существования полного набора интегралов, периодических по X. Как будет видно, эти условия фактически приведут нас
к системам простых корней. Так как l 6 n, то (в переменных y, x) в качестве
вершин α и β множества M = {a1, . . . , al} можно взять любую пару векторов ajи ak(j 6= k). Согласно теореме 2 необходимым условием интегрируемости является следующее (см. (0.11)): величины 2(aj, ak)/(aj, aj) =
= 2hα, βi/hα, αi являются целыми неположительными числами. Таким об-
разом, матрица
2(aj, ak)
(aj, aj)
(4.5)
288 Добавление 6
является матрицей Картана некоторой корневой системы. Остается неясным, однако, является ли полученное условие достаточным для интегрируемости обобщенной цепочки Тоды. Работы [2,9] не дают полного ответа на
этот вопрос.
О. И. Богоявленским ранее было отмечено необходимое условие интегрируемости системы с гамильтонианом (4.3) в некотором неформальном
смысле [2]. Оно заключается в конечности группы Кокстера, порожденной
отражениями относительно гиперплоскостей, ортогональных векторам ai.
В работе [18] найден критерий алгебраической интегрируемости системы с функцией Гамильтона (4.3), в которой l = n+ 1. В предположении,
что каждые n векторов из совокупности a1, a2, . . . , a
линейно неза-
n+1
висимы, условием алгебраической интегрируемости является картановость
матрицы (4.5).
Наблюдения этого пункта развиты в работах [7,8].
7. Как было отмечено во введении, препятствием к полной интегрируемости гамильтоновой системы (0.1) является разрушение инвариантных
торов Tn= {x mod 2π, y = y0} невозмущенной системы, расположенных
на гиперплоскостях hmα + β, y0i = 0. Рассмотрим более подробно вопрос
о бифуркациях этих резонансных торов для систем с двумя степенями свободы.
Предложение 3. Пусть α, β — векторы из M, удовлетворяющие усло-
виям теоремы 2, а y06= 0 — точка из R2, расположенная на одной из
прямых hmα + β, y0i = 0, m = 0, 1, 2, . . . , причем компоненты целочис-
ленного вектора mα + β взаимно просты. Тогда гамильтонова система
с функцией Гамильтона H0+ εH1, при малых значениях ε > 0 имеет два
аналитических по ε периодических решения таких, что
(1) их траектории расположены на фиксированном положительном
уровне интеграла энергии,
(2) при ε = 0 они совпадают с парой периодических решений, лежащих
на инвариантном торе T
2
= {x mod 2π, y = y0},
0
(3) их характеристические показатели ±µ разлагаются в сходящийся
ряд по степеням√ε, причем
µ = µ
√
m+1
ε
0
+ o
(4) одно из этих решений эллиптическое (µ
лическое (µ
2
0
> 0).
√
m+1
ε
, µ06= 0,
2
< 0), а другое — гипербо-
0
§ 5. Условия существования дополнительного интеграла, полиномиального . . . 289
При малых фиксированных значениях ε > 0 предложение 3 гарантирует в общем случае существование большого (но конечного) числа различных
невырожденных периодических решений (для которых µ 6= 0). Когда ε → 0,
их количество неограниченно возрастает. Применяя замену переменных,
обратную к (0.5), это утверждение можно переформулировать для системы
с гамильтонианом H0+H1: для каждого большого значения h > 0 на уровне
интеграла энергии H0+ H1= h имеется много невырожденных коротко-
периодических решений. При h → ∞ их число неограниченно возрастает.
Известно, что на траекториях невырожденных периодических решений первые интегралы зависимы (см. [5,12]). Из этого факта и предложения 3 можно
вывести теорему 2 (ср. с [5]). Доказательство предложения 3 основывается на применении обобщенного варианта теоремы Пуанкаре о рождении
периодических решений, доказанного в работе [8].
В многомерном случае следует рассматривать задачу о бифуркациях
семейств (n − 1)-мерных торов с несоизмеримыми частотами, на которые
расслаиваются типичные резонансные торы невозмущенной системы. Многомерный аналог предложения 3 найден Д. В. Трещ¨евым [14]. Правда, методами теории возмущений удается найти гиперболические (следовательно,
неустойчивые) (n − 1)-мерные торы с сильно несоизмеримыми наборами
частот. Однако, наличие такого большого числа невырожденных инвариантных торов препятствует полной интегрируемости возмущенной гамильтоновой системы.
§ 5. Условия существования дополнительного интеграла,
полиномиального по импульсам
Оказывается, результаты § 1 о строении векового множества возмущенной гамильтоновой системы с функцией Гамильтона (0.2) позволяют указать
условия существования одного полиномиального по импульсам первого интеграла, независимого от интеграла энергии.
Сначала отметим простое утверждение, аналогичное предложению 1.
Предложение 4. Пусть система с гамильтонианом H0+ H1име-
ет дополнительный аналитический и полиномиальный по импульсам интеграл. независимый от функции Гамильтона. Тогда система с гамильтонианом H0+ εH1допускает интеграл в виде ряда
F = F0+ εF1+ ε2F2+ . . . (5.1)
290 Добавление 6
с аналитическими коэффициентами, причем функции H0и F0независимы
(точнее, независимы почти всюду).
Наличие интеграла возмущенной системы в виде ряда (5.1) доказывается точно также, как и в предложении 1. После этого существование
интеграла вида (5.1) с независимыми «старшими» членами H0и F0легко
доказывается методом Пуанкаре ([11], гл V; см. также [5]).
Заметим еще, что поскольку невозмущенная система с гамильтонианом (0.2) предполагается невырожденной, то F0зависит лишь от переменных действие: F0= F0(y) (см. [11], п. 81).
Лемма 20. Пусть Πα= {hα, yi = 0} — гиперплоскость в Rn= {y}
из множества B. Тогда в точках Π
∂H
0
∂y
, α=
α
∂F
0
, α= 0. (5.2)
∂y
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Παлежит в Bmпри некотором m > 1. Согласно §1, после подходящего канонического преобразования функция Гамильтона станет равной
K0(u) + εK1(u) + . . . + ε
m−1
K
(u) + εmKm(u, v) + . . . , (5.3)
m−1
причем K0(u) ≡ H0(u), а интеграл (5.1) примет вид степенного ряда
Φ0(u) + εΦ1(u, v) + . . . , Φ0(u) ≡ F0(u). (5.4)
Здесь u, v mod 2π — новые канонические переменные.
Функции (5.3) и (5.4) находятся в инволюции. Их скобка Пуассона —
ряд по степеням ε. Приравнивая нулю m первых членов этого ряда, приходим к цепочке уравнений
{K0, Φ1} = 0, {K0, Φ2} + {K1, Φ1} = 0, . . . ,
{K0, Φm} + {K1, Φ
} + .. . + {Km, Φ0} = 0.
m−1
(5.5)
Первое уравнение показывает, что Φ1— интеграл невозмущенной интегрируемой гамильтоновой системы с невырожденной функцией Гамильтона K0. Следовательно (ср. с [11], п. 81), Φ1не зависит от новых угловых координат v. Тогда {K1, Φ1} ≡ 0 и второе уравнение (5.5) имеет вид
{K0, Φ2} = 0. Следовательно, Φ2будет зависеть лишь от переменных u.
§ 5. Условия существования дополнительного интеграла, полиномиального . . . 291
Аналогично доказывается, что все функции Φk(k < m) не зависят от угловых переменных v.
В итоге последнее уравнение (5.5) упрощается:
{K0, Φm} + {Km, Φ0} = 0. (5.6)
Пусть
Km=Xkλ(y)e
i(λ,k)
, Φm=Xϕλ(y)e
i(λ,x)
— разложения Фурье функций Kmи Φm; λ ∈ Zn. Подставляя эти ряды
в (5.6) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, получаем
серию соотношений
∂K
∂u
0
, λϕλ=
∂Φ
0
, λkλ. (5.7)
∂u
Пусть теперь u ∈ Πα, где Πα— одна из гиперплоскостей в Rn= {u},
лежащая в множестве Bm. Тогда (согласно § 1)
∂K
0
, α= hα, ui = 0, kα(u) 6≡ 0.
∂u
Из (5.7) вытекает, что
∂K
0
, α=
∂u
∂Φ
∂u
0
, α= 0
в точках Πα. Что и требовалось.
Пусть имеется n−1 гиперплоскостей Πλ, Πµ, . . . с линейно независи-
мыми векторами λ, µ, . . . из Zn. Их пересечения
l
= Πλ∩ Πµ∩ . . . (5.8)
λ,µ,...
будут прямыми в Rn= {y}.
Предложение 5. Предположим, что объединение пересечений (5.8) яв-
ляется множеством единственности для класса функций, аналитических
в Rn= {y}. Тогда уравнения Гамильтона с гамильтонианом H = H0+ H
не допускают полиномиальных интегралов, независимых от интеграла
энергии.
1
292 Добавление 6
Действительно в точках каждой прямой l
дифференциалы функ-
λ,µ,...
ций H0и F0линейно зависимы, поскольку в этих точках (согласно (5.2))
∂H
0
, λ=
∂u
∂F
0
, λ=
∂u
∂H
0
, µ= . . . = 0,
∂y
∂F
0
, µ= . . . = 0
∂y
и n − 1 векторов λ, µ, . . . линейно независимы. Остается воспользоваться
предположением об аналитичности первых интегралов.
Это утверждение позволяет сразу же доказать теорему 3 из главы III.
Действительно, в предположениях теоремы 3 (с учетом утверждений § 3)
в качестве плоскостей Πλможно рассматривать гиперплоскости hλ, yi = 0,
λ = kα + β (k > 0), где α — вершина многогранника(M), а β — точка
из M, лежащая на примыкающем к вершине α положительном ребре(M).
При k → ∞эти гиперплоскости стремятся к гиперплоскости hα, yi = 0. Согласно предположению, добавление β смещает прямую пересечения (5.8).
Структура объединения прямых (5.8) ясна из рис. 1 (где они изображены
точками). Видно, что это объединение является множеством единственности для класса аналитических функций (хотя оно и не всюду плотно).
Рис. 1. Строение пересечений гиперплоскостей из векового множества
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]