Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
.pdf
Ветвление решений и полиномиальные интегралы уравнений динамики 233
формулами ([14], гл. 22)
2k2− 1
cn(ζ + iK0) = −
dn(ζ + iK0) = −
kζ
i
ζ
i
+
+
2 − k
6k
2
iζ + O(ζ3),
6
iζ + O(ζ3),
находим вычет. Он равен −i/(2k) и, следовательно, отличен от нуля. Таким
образом, задача о движении тяжелой частицы по наклоненному эллипсоиду,
действительно, не имеет дополнительного голоморфного интеграла в виде
полинома по скорости.
4. Необратимые системы. Результаты разд. 1 можно перенести на
более общий случай, когда на систему действуют дополнительные гироскопические силы Γy, линейные по импульсам. Компоненты матрицы Γ =
= kγijk предполагаются голоморфными функциями на комплексном многообразии Mn.
Пусть снова Φ — набор s независимых интегралов задачи о движении
по инерции. Производную (1.2) следует заменить на
X
i,j
∂Φ
γijyj. (4.1)
∂y
i
˙
Φ =
Можно показать, что теоремы 1 и 2 останутся справедливыми после замены (1.2) на (4.1). Доказательство использует подстановку
x 7→ x, y 7→ y/ε, t 7→ εt.
Уравнения (1.1) не изменят своей формы, только действующая на систему
сила будет иметь вид εΓy+ ε2F . Полиномиальные по импульсам интегралы
перейдут в многочлены относительно ε.
В качестве примера рассмотрим задачу о движении частицы единичной массы
по эллипсоиду (3.5), который вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг
оси y. Производная (4.1) от интеграла (3.6) невозмущенной задачи имеет вид
˙
Φ = −ωy ˙z.
Как и в п. 3.3, рассмотрим замкнутую геодезическую, отвечающую меридиональному сечению x = 0. Если a 6= b, то с точностью до несущественного постоянного множителя 1-форма y ˙z dt имеет явный вид:
cn2ζ dn ζ dζ.
234 Добавление 4
Интеграл от этой формы по малой окружности, охватывающей точку iK0,
отличен от нуля. Следовательно, при a 6= b рассматриваемая задача не допускает
однозначного полиномиального интеграла, независимого от интеграла энергии.
Литература
[1] Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты
классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ. 1985.
[2] Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. М.; Л.: Гостехиздат, 1941.
[3] Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных
уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
[4] Денисова И. В. О полиномиальных интегралах и ветвлении решений
обратимых динамических систем на сфере // Вестн. МГУ. Сер. Математика, Механика. 1995. №2. С. 79–82.
[5] Зиглин С. Л. Ветвление решений и несуществование первых интегра-
лов в гамильтоновой механике. I; II // Функц. анализ и его приложения.
1982. Т. 16. №3. С. 30–41; 1983. Т. 17. №1. С. 8–23.
[6] Зиглин С. Л. О полиномиальных первых интегралах гамильтоновых
систем с экспоненциальным взаимодействием // Функц. анализ и его
приложения. 1991. Т. 25. № 3. С. 88–89.
[7] Зиглин С. Л. Расщепление сепаратрис, ветвление решений и несуще-
ствование интеграла в динамике твердого тела // Тр. Моск. мат. об-ва.
1980. Т. 41. С. 287–303.
[8] Зиглин С. Л. Самопересечение комплексных сепаратрис и несущество-
вание интегралов в гамильтоновых системах с полутора степенями
свободы // ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 3. С. 564–566.
[9] Козлов В. В. Ветвление решений и полиномиальные интегралы в обра-
тимой системе на торе // Мат. заметки. 1988. Т. 44. № 1. С. 100–104.
[10] Козлов В. В. Несуществование дополнительного аналитического инте-
грала в задаче о движении несимметричного тяжелого твердого тела
вокруг неподвижной точки // Вестн. МГУ. Сер. Математика, Механика.
1975. № 1. С. 105–110.
Литература 235
[11] Козлов В. В. Несуществование однозначных интегралов и ветвление
решений в динамике твердого тела // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 3.
С. 400–406.
[12] Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой ме-
ханике. Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1995.
[13] Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: Гостехиздат, 1937.
[14] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Т. 2.
М.: Физматгиз, 1963.
[15] Bountis T., Segur H., Vivaldi F. Integrable Hamiltonian systems and Painlev´e
property // Phys. Rev. A. 1982. V. 25. № 3. P. 1257–1264.
[16] Ercolani N., Siggia E. D. Painlev´e property and integrability // Phys.
Letters A. 1986. V. 119. № 3. P. 112–116.
[17] Yoshida H. Necessary condition for the existence of algebraic first integrals.
I; II // Celest. Mech. 1983 №4. V. 31. Р. 363–399.
ДОБАВЛЕНИЕ 5
Полиномиальные интегралы обратимых
механических систем с конфигурационным
пространством в виде двумерного тора
§ 1. Введение
Рассматриваются натуральные механические системы с двумя степенями свободы, конфигурационным пространством которых является двумерный тор, допускающие дополнительный полиномиальный первый интеграл
по импульсам. Такие системы, очевидно, вполне интегрируемые. Полиномиальные интегралы представимы в виде суммы однородных многочленов
по импульсам с гладкими и однозначными коэффициентами на конфигурационном пространстве.
В работе [2] Биркгоф исследовал локальную задачу о наличии линейных и квадратичных интегралов, являющихся полиномами по скоростям.
Оказалось, что наличие условного линейного интеграла связано с существованием «скрытой» циклической координаты, а наличие условного квадратичного интеграла позволяет разделить канонические переменные. В работах [5, 14] приведены глобальные варианты этих утверждений для случая,
когда конфигурационным пространством системы является двумерный тор.
Задача о полиномиальных интегралах степени 6 2 рассматривалась также
в работах [1,10].
В работе [8] изучена задача о полиномиальных интегралах геодезических потоков на двумерном торе для метрики, у которой конформный
множитель является тригонометрическим многочленом. Установлено, что
если геодезический поток допускает дополнительный неприводимый интеграл, полиномиальный по импульсам, то его степень не превосходит двух.
Этот результат был уточнен в [5].
1
Это — статья Н.В. Денисовой и автора, опубликованная в «Математическом сборнике»,
2000, Т. 191, № 2, С. 43-63.
1
§ 1. Введение 237
В [9] рассматривалась задача о наличии полного набора независимых
полиномиальных интегралов системы с торическим пространством положений Tm= {x1, . . . , xmmod 2π}, кинетической энергией
m
X
1
T =
aij˙xi˙xj, aij= const (1.1)
2
i,j
и потенциалом V : Tm→ R в виде тригонометрического многочлена. Ока-
залось, что полный набор полиномиальных интегралов существует тогда
и только тогда, когда спектр тригонометрического многочлена V лежит на
k 6 m прямых, попарно ортогонально пересекающихся в начале координат. Показано, что тогда обязательно существуют m независимых интегралов, степени которых 6 2. По теореме Вейерштрасса, тригонометрические
многочлены всюду плотны в пространстве всех гладких функций на торе.
Однако, метод работы [9] не применим к системам с потенциалом общего
вида.
В [4] отмечено, что натуральная механическая система на двумерном
торе с кинетической энергией
1
2
T =
( ˙x
2
2
+ ˙x
) (1.2)
1
2
не может иметь неприводимых интегралов третьей и четвертой степени:
в этом случае обязательно имеются интегралы первой и второй степени
соответственно. Этот результат получил известность и часто цитируется
(см., например, [3,7, 11], где обсуждается этот круг вопросов). Однако, в [4]
доказательство приведено лишь для интеграла третьей степени. К тому
же оно содержит пробел, к счастью, не столь существенный для метрики
вида (1.2). Однако, для метрики общего вида (1.1) заполнение этого пробела
требует дополнительных усилий (подробнее об этом в §4). Для интегралов
четвертой степени метод работы [4] не проходит уже в самом простом
случае с метрикой (1.2).
Полиномиальные интегралы для систем взаимодействующих частиц,
когда потенциал имеет вид
X
f(xi− xj), (1.3)
i<j
изучались в работе [12]. Во всех найденных интегрируемых случаях периодическая функция f обязательно имеет полюсы на вещественной оси.
238 Добавление 5
В работе [6] показано, что для периодических потенциалов парного взаимодействия без сингулярностей система с потенциальной энергией (1.3) не
может быть вполне интегрируемой.
Ниже рассматривается задача о полиномиальных интегралах n-ой степени системы с кинетической энергией общего вида (1.1) и произвольным аналитическим потенциалом. Получено обобщение теоремы Бялого
для n = 3, а при n = 4, 5, 6 аналогичный результат доказан при некоторых
дополнительных предположениях о спектре потенциала.
§ 2. Вспомогательные утверждения
Итак, рассмотрим гамильтонову систему, конфигурационное пространство которой является двумерный тор T2= {q1, q2mod 2π}. Функция Га-
мильтона имеет вид
2
ap
+ 2bp1p2+ cp
H =
1
2
где потенциал W — 2π-периодическая функция по q1и q2; a, b и c — вещественные постоянные, причем a > 0, ac − b2> 0. Будем искать потен-
циал W , при котором существует полиномиальный по импульсам интеграл
n-ой степени F с 2π-периодическими коэффициентами, независимый от
интеграла энергии H.
Пусть сумма
+∞
X
W =
[W ]
−∞
будет рядом Фурье функции W . Спектром функции W назовем (вообще
говоря, бесконечное) подмножество целочисленной решетки
w1w
2
2
+ W (q1, q2), (2.1)
i(w1q1+w2q2)
e
2
S = {w = (w1, w2) ∈ Z2: [W]
w1w
6= 0}.
2
Оно переходит в себя при отражении w 7→ −w.
Пусть имеется полиномиальный по импульсам интеграл n-ой степени
F = Fn+ F
n−1
+ F
+ . . . + F0.
n−2
где Fk— однородный полином по импульсам степени k, коэффициенты
которого являются гладкими функциями от q1и q2. Заметим, что скобка Пуассона двух однородных полиномов по p1, p2степени r и s будет
§ 2. Вспомогательные утверждения 239
однородным полиномом степени r + s − 1. Отсюда вытекает следующий
факт: если F — интеграл гамильтоновой системы с гамильтонианом (2.1),
то функции
Φ1= Fn+ F
+ . . . , Φ2= F
n−2
n−1
+ F
n−3
+ . . .
также будут интегралами этой системы. Поэтому будем считать F суммой
однородных полиномов только четных или только нечетных степеней.
Условия существования линейных и квадратичных интегралов хорошо известны [2, 5, 14]. При n = 1 спектр потенциала W лежит на одной
прямой, проходящей через начало координат. При n = 2 спектр лежит на
двух прямых, ортогональных во внутренней метрике, порожденной кинетической энергией. Отметим, что для метрик общего вида такая ситуация не
типична: нет двух ортогональных прямых, проходящих через точки целочисленной решетки.
Пусть спектр потенциала лежит на одной прямой. Тогда W = f (mq1+
+ nq2), где m, n — взаимно простые целые числа, а f — 2π-периодическая
функция. В этом случае имеется линейный по импульсам интеграл F1=
= mp2− np1.
Пусть теперь спектр W лежит на двух прямых, ортогонально пересекающихся в начале координат. Тогда
W = f1(m1q1+ n1q2) + f2(m2q1+ n2q2),
условие ортогональности имеет вид
am1m2+ b(m1n2+ m2n1) + cn1n2= 0,
а функции f1и f2, разумеется, 2π-периодические. В этом случае имеется
квадратичный интеграл
F2+ F0= (a(r1+ r2) + 2b)p
+ 2(c − ar1r2)p1p2− (c(r1+ r2) + 2br1r2)p
2
+
1
2
+ 2(r1− r2)(f1− f2),
2
где ri= mi/ni.
Пусть натуральная механическая система (2.1) допускает дополнительный независимый интеграл F , степень которого n > 3. Если n четное, то
F = Fn+ F
+ . . . + F2+ F0.
n−2
240 Добавление 5
где F0является функцией от q1и q2. Если n нечетное, то
F = Fn+ F
+ . . . + F3+ F1.
n−2
Кинетическую энергию удобно привести к диагональному виду с по-
мощью линейного преобразования
x
1
= Γ
x
2
q
1
T
, |Γ| 6= 0.
q
2
Перейдем к новым переменным x1и x2, которые являются конформными
координатами на накрывающей тор плоскости. Расширим это преобразование до канонического q, p 7→ x, y, где
y
1
y
2
= Γ
−1
p
1
.
p
2
Тогда
2
2
y
+ y
1
H = H2+ V (x1, x2), H2=
+∞
X
V =
−∞
[W ]we
i(ΓTw,x)
=
+∞
X
−∞
[W ]we
i(w,q)
2
,
2
, w ∈ Z2.
(2.2)
Ясно, что в общем случае Γ−1w /∈ Z2. После указанной подстановки спектр
потенциала W будет лежать в узлах решетки параллелограммов.
Пусть
Fn=
n
X
i=0
[n]
n−i
b
i
F
n−4
i
y
y
, F
2
1
n−4
X
i=0
[n−4]
b
i
=
n−2
y
=
n−4−i
1
n−2
X
i=0
y
[n−2]
b
i
i
, . . . .
2
n−2−i
y
1
i
y
,
2
(2.3)
Как показал Пуанкаре ( [13], см. также [7]) функции Fnи H2можно
считать независимыми. В противном случае найдется интеграл меньшей
степени. Как показано в [10], функции Fnи H2зависимы тогда и только
тогда, когда
[n]
[n]
b
− b
0
[n]
+ b
2
− . . . = 0, b
4
[n]
1
− b
[n]
3
+ b
[n]
− . . . = 0.
5
§ 3. Доказательство основной теоремы 241
Суммы в левых частях этих равенств будем называть суммами Биркгофа
(см. [2]). Они получаются как действительная и мнимая части Fn, если
положить y1= 1 и y2= i.
С помощью метода Пуанкаре доказываются следующие утверждения
(см. [7, гл. IV]). Во-первых, коэффициенты b
[n]
старшего полинома Fnпо-
i
стоянны (не зависят от координат x1, x2). Далее, пусть спектр потенциала
2
содержит точку с координатами m1, m2, причем m
∂F
y
2
∂y
∂F
n
− y
1
n
= 0, если m1y1+ m2y2= 0. (2.4)
1
∂y
2
1
+ m
2
6= 0. Тогда
2
Эквивалентное утверждение: многочлен
m
∂F
n
1
∂y
1
+ m
∂F
n
2
∂y
2
делится нацело на m1y1+ m2y2. Частное от деления этих многочленов
обозначим G
; это — однородный многочлен степени n − 2.
m1m
2
Наш основной результат составляет
Теорема 1.
m
1
∂G
m1m
∂y
2
1
+ m
2
∂G
m1m
2
= 0 (2.5)
∂y
2
на прямой m1y1+ m2y2= 0.
Это утверждение дополняет классический результат Пуанкаре (2.4).
Чтобы лучше понять смысл условий (2.4) и (2.5), рассмотрим частный
случай, когда точки спектра потенциала лежат на вертикальной прямой
(m1= 0). Тогда условие Пуанкаре (2.4) эквивалентно условию b
а условие (2.5) переходит в равенство b
ЗАМЕЧАНИЕ. Естественно предположить, что справедливо более общее утверждение о равенстве нулю коэффициентов многочлена Fnсо всеми нечетными номерами. Ксожалению, это утверждение нам не удалось доказать. Однако, оно все равно
не позволило бы дать полное доказательство гипотезы о неприводимых интегралах,
о которой говорилось во введении (см. §5).
[n]
3
= 0.
[n]
1
= 0,
§ 3. Доказательство основной теоремы
Из уравнения {F, H} = 0 получим соотношения на коэффициенты интеграла F . Выпишем группу уравнений при мономах y
j
i
y
, где i + j = n + 1.
1
2
242 Добавление 5
Она состоит из n + 2 уравнений
∂b
∂x
[n]
j
1
[n]
∂b
j−1
+
= 0, j = 0, . . . , n + 1, b
∂x
2
[n]
−1
= b
[n]
= 0. (3.1.n)
n+1
Как уже говорилось, решениями данных уравнений являются постоянные;
пусть
[n]
b
Приравнивая нулю коэффициенты при разных мономах y
[n]
= a
i
= const, i = 0, . . . , n.
i
i
1
y
j
, где
2
i + j = n − 1, получим следующую группу n уравнений
∂b
[n−2]
j
∂x
1
[n−2]
∂b
j−1
+
∂x
= (n − j)a
2
j = 0,. . . , n − 1, b
[n]
j
∂V
∂x
1
[n−2]
−1
+ (j + 1)a
[n−2]
= b
n−1
[n]
j+1
= 0.
∂V
, (3.1.n − 2)
∂x
2
Аналогично выглядят остальные уравнения
∂b
[n−4]
j
∂x
1
[n−4]
∂b
j−1
+
= (n − 2 − j)b
∂x
2
j = 0,. . . , n − 3, b
[n−2]
j
∂V
∂x
[n−4]
−1
1
+ (j + 1)b
[n−4]
= b
n−3
[n−2]
j+1
= 0.
∂V
, (3.1.n − 4)
∂x
2
. . . . . .. .. .. . . . .. .. . . . .. . . . . . .. . . . .. .. . . . .. . . . . . .. . . . .. .. . . . .. .. .. . . . . . . ..
[n−2l]
∂b
j
∂x
1
j = 0,. . . , n − 2l + 1, b
[n−2l]
∂b
j−1
+
∂x
=
2
= (n − 2(l −1) −j)b
[n−2(l−1)]
j
[n−2l]
= b
−1
∂V
∂x
1
[n−2l]
n−2l+1
+ (j + 1)b
[n−2(l−1)]
j+1
∂x
= 0. (3.1.n − 2l)
∂V
,
2
. . . . . .. .. .. . . . .. .. . . . .. . . . . . .. . . . .. .. . . . .. . . . . . .. . . . .. .. . . . .. .. .. . . . . . . ..
Далее, если n четное, то последняя группа состоит из двух уравнений:
∂b
∂x
[0]
0
1
= 2b
[2]
0
∂V
∂x
[2]
∂V
+ b
1
1
∂x
2
[0]
∂b
,
∂x
[2]
0
2
= b
∂V
1
∂x
1
+ 2b
[2]
2
∂V
∂x
. (3.1.0)
2
Если n нечетное, то последнее уравнение имеет вид
0 = b
[1]
0
∂V
∂x
[1]
∂V
+ b
1
. (3.1. − 1)
1
∂x
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]