Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика теория вероятностей. Практикум
.pdf
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
44
Найдем интеграл
(, )dx x y dy
Cdx
=
Вычислим отдельно интеграл
dx
x
1
=
2
a
dx
0
dx
=
dx
2
x
1
0
+
lim arctg
a
b
+
lim (arctg arctg 0)
db
Аналогично
Поэтому
C
(, )dx x y dy
dy
22
(1 )(1 )
dx
1
x
1dyy
dx
2
b
=
0
= .
2
+
0
dx dy
22
11
= 1.
dx dy
C
=
y
lim
=
a
lim (arctg 0 arctg )
aa
=
2
= С
11
0
dx
+
2
1
a
+
=.
2
2
.
lim
b
y
22
b
0
.
y
dx
=
2
1
+
Из условия нормировки
2
С
= 1; С = 1/2.
2) Вероятность р попадания случайной точки М(X, Y) в квадрат
{0 < x < 1, 0 < y < 1} согласно формуле (1.60) равна
11
1
pxydxdy
1
=
2
(, )
(arctg ) (arctg )
11
00
y
dxdy
22 2
(1 )(1 )
1
=
(arctg1 arctg0) (arctg1 arctg 0)
2
1
=
2
=
16
=
y
1
.
dx dy
222
11
00
=
y
=
81
3) Использовав соотношение (1.61), находим функцию распреде-
x
x
x
x
x
x
x
x
xy
x
ления F (х, у):
y
x
(, )
dx x y dy
=
1
2
F(x, у) = Р [(Х < х), (Y < у)] =
y
x
dx
=
lim arctg
a
=
dy
22 2
(1 )(1 )
lim
a
x
1
a
y
1
2
lim arctg
a
b
dx
x
1
=
y
2
11
y
lim
2
y
=
b
b
1
b
1
arctg
2
y
dx dy
22
dy
=
2
y
x
2
=
=
y
arctg
y
4) Плотность распределения случайной величины X находим по
формуле (1.63):
()
1
=
(, )xydy
=
dy
22 2
(1 )(1 )
1
=
y
(1 )
.
2
Аналогичным образом, используя формулу (1.64), получаем
.
2
=
1
y
(1 )
.
2
()y
2
Легко убедиться в том, что случайные величины X и Y независимы, так как
()
(, )
=
2()y
1
.
Задача 1.57. Деталь имеет форму цилиндра радиусом r = 1 см и вы-
сотой h = 10 см. При изготовлении цилиндра на эти размеры допускаются отклонения: радиус равен R = r + = 1 + , а высота
H = h + = 10 + , причем и – случайные ошибки, которые незави-
симы и распределены равномерно соответственно в симметричных
интервалах [–;
] и [–; ]. Найти среднее значение объема цилиндра.
Решение
Объем цилиндра – случайная величина V:
22
VRH
() ((1)(10 )) (10(12 ) (1));
MV M M
82
(1 ) (10 );
222
в силу независимости и найдем
( ) [10(1 2 ( ) ( ) ( ) (1 ) ]MV M M M M .
22
Далее, в силу равномерного распределения и
22
2
Поэтому
()0; () /3; ()0.MM M
() 10(1 /3)MV .
Задача 1.58. Случайные величины Х и Y независимы и распределены
равномерно: Х – в интервале (0, 1), Y – в интервале (1, 2). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = X Y.
Решение
Используя свойства равномерного распределения, имеем
01 1 12 3 1
() ; () ; ( ) ;
MX MY MX xdx
22 22 3
2
22
() .MY ydy
1
7
3
1
22
0
Тогда вследствие независимости случайных величин Х и Y и соот-
ветственно случайных величин Х
()()() ;( ) ;
MXY MX MY MX Y
()(())(()) .
DX Y M XY M XY
2
и Y2 (см. (1.38)):
13 3 17 7
22
22 4 33 9
22
79 31
916144
Задача 1.59. Случайные величины Х, Y распределены равномерно
в квадрате D {0 < X < 1, 0 < Y < 1}, величина Т есть модуль их разности Т = |X – Y|. Вычислить М(Т) и вероятность Р(Т < M(T)).
Решение
Равномерность распределения в квадрате D означает, что плот-
ность (х, y) равна 0 вне квадрата D и постоянна внутри него:
(х, y) = С = 1 при (х, у) D. С учетом симметрии области D и по-
дынтегральной функции относительно прямой y = x (рис. 1.26) вычисляем по формуле (1.65):
1
x
() 2 ( )
MT M X Y x ydxdy dx x ydy
D00
1
.
3
83
Рис. 1.26. Распределение случайных величин X и Y
Далее областью интегрирования является заштрихованная область
на рис. 1.26.
PT M T P X Y dxdy S
(()) 12 1
125
ABC
339
xy
1
3
2
.
1.14. Понятие о центральной предельной теореме.
Интегральная теорема Лапласа
Часто приходится иметь дело с такими случайными величинами,
которые являются суммами большого числа независимых случайных
величин. Оказывается, что при некоторых весьма общих условиях
закон распределения суммы этих величин чрезвычайно близок к
нормальному закону распределения. Установление таких условий и
составляет содержание центральной предельной теоремы, которая
была доказана русским математиком А.М. Ляпуновым
не будем формулировать полностью теорему Ляпунова, формулировка весьма сложна и требует значительных пояснений. Остановимся лишь на ряде частных случаях и общем смысле теоремы.
Если слагаемые суммы независимы, имеют произвольное, но одинаковое распределение, то теорема справедлива, т.е. распределение
суммы достаточно большего числа слагаемых близко
Причем, чем больше слагаемых в сумме, тем распределение ближе к
нормальному (говорят, что оно имеет асимптотически нормальное
распределение).
Теорема остается справедливой и в том случае, когда слагаемые суммы независимы, имеют произвольные и различные между собой распределения. Но в этом случае распределения слагаемых должны удовлетворять ряду условий
. Смысл этих условий грубо можно описать так: вклад
каждой случайной величины в рассеяние суммы должен быть мал (сильно не выделяться по сравнения с вкладом остальных слагаемых).
Частным случаем центральной предельной теоремы является ин-
тегральная теорема Лапласа.
в 1900 г. Мы
к нормальному.
84
Теорема. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из
x
x
p
которых вероятность наступления события А одна и та же и равна р
(0 < p < 1). Пусть m – число появлений события А в n опытах. Тогда
случайная величина Х = m имеет биномиальное распределение
(см. п. 1.8). Но при достаточно больших n распределение случайной
величины Х близко
к нормальному с параметрами ()aMX np
,
()DX npq (q = 1 – p).
Из интегральной теоремы Лапласа следует, что при достаточно
больших n вероятность того, что случайная величина Х, т.е. число
(, )
наступлений события А в n опытах, принадлежит интервалу
x
12
можно приближенно вычислить по формуле (1.57):
np x np
Px X x
()
12
21
npq npq
, (1.66)
где Ф(х) – интеграл вероятностей.
Условие применения: n велико, а р и q – не очень малы, так что
20.
npq
Запишем еще два следствия из теоремы Лапласа.
1) Вероятность отклонения числа m наступления события А от ма-
тематического ожидания np определяется по формуле
2Pm np
2) Вероятность отклонения относительной частоты события
. (1.67)
npq
m
от
n
его вероятности р находится по формуле
mn
Pp
n
2
q
. (1.68)
Задача 1.60. При установившемся технологическом режиме завод
выпускает в среднем 80 % продукции первого сорта. Определить вероятность того, что из 1000 изделий число первосортных:
а) заключено между 780 и 830;
б) больше 815.
85
Решение
Здесь p = 0,8; q = 1 – p = 0,2; n = 1000; np = 0,8 1000 = 800;
1000 0,8 0, 2 160npq 12,65.
Используя формулу (1.66) и значения интеграла вероятностей из
приложения, получаем
а) Р(760 < X < 830) = Ф
12,65
780 800
– Ф
12,65
=
830 800
= Ф(2,37) – Ф(–1,58) = Ф(2,37) + Ф(1,58) = 0,4911 + 0,4429 = 0,934;
б) Р(X > 815) = Р(815 < X < 1000) = Ф
12,65
815 800
– Ф
12,65
=
1000 800
= Ф(15,8) – Ф(1,19) = 0,5 – 0,383 = 0,117.
Ответ: а) 0,934; б) 0,117.
Задача 1.61. В партии 400 деталей. Вероятность того, что деталь
стандартна, равна 0,8. Найти границы, в которых с вероятностью
0,9544 заключена доля стандартных деталей.
Решение
Воспользуемся формулой (1.68). Для данной задачи событие А –
деталь стандартная; n = 400; p = 0,8; q = 0,2; – величина отклонения
относительной частоты (доли) m/n от вероятности р. Р = 0,9544, величину нужно найти. Записываем для уравнение:
400
0,9544 =
2
0,8 0, 2
;
Ф(50) = 0,4772.
По таблице значений интеграла вероятностей (приложение) находим
Ф(2) = 0,4772;
50 = 2; = 0,04.
Таким образом,
/0,80,04mn
и 0,76 < m/n < 0,84.
Ответ: 0,76 < m/n < 0,84.
Очень важную роль центральная предельная теорема играет в
теории ошибок.
Когда мы производим некоторое измерение, то на его результат
влияет большое количество факторов, которые порождают ошибки
86
измерений. Ошибки измерений в основном можно подразделить на
три группы: 1) грубые ошибки; 2) систематические ошибки; 3) случайные ошибки.
Грубые ошибки возникают от невнимательности при чтении пока-
зателей прибора, неправильной записи показаний, неправильном использовании прибора. Эти ошибки могут быть исключены соблюдением правил измерений.
Систематические ошибки искажают обычно результат измерения
в определенную
сторону. Они происходят, например, от несовершенства приборов, от личных качеств наблюдателя и могут быть устранены соответствующими поправками.
Случайные ошибки вызываются большим числом отдельных при-
чин, не поддающихся точному учету и действующих в каждом отдельном случае различным образом. Эти ошибки возникают от незаметных механических причин, из-за
изменения параметров измерительных приборов, зависящих от метеорологических условий, и т.д.
Каждая из этих причин в отдельности порождает при измерении малую ошибку v
ную ошибку v = v
. Складываясь, эти малые ошибки порождают суммар-
i
, которой уже нельзя пренебречь. Эта суммарная
i
ошибка v есть случайная величина, являющаяся суммой огромного
числа незначительных, независимых друг от друга случайных величин и имеет, согласно теореме Ляпунова, нормальное распределение.
Предполагая измерение свободным от грубых и систематических
ошибок, можно считать, что возможный результат измерения есть
случайная величина Х = а + v, математическое
ожидание которой
равно истинному значению а измеряемой величины: М(Х) = а, а математическое ожидание суммарной ошибки равно нулю М(v) = 0. Так
как суммарная ошибка v подчиняется нормальному закону распределения, то возможный результат измерения Х = а + v также подчиняется нормальному закону распределения. В этом заключается основ-
ной закон ошибок.
Задачи
для самостоятельного решения
14.1. Случайная величина X – размер диаметра детали, изготов-
ленной на некотором станке, распределяется по нормальному закону с М(Х) = 5 см и D(X) = 0,25 см
2
. Найти вероятность того, что
диаметр наудачу взятой детали колеблется от 4 до 7 см.
14.2. В некоторой партии 300 изделий. Вероятность того, что из-
делие стандартно, равна 0,75. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий стандартных окажется больше 240.
87
14.3. По статистическим данным за 2000 г. средний рост мужчин
(в возрасте от 18 до 59 лет) в Москве равен 172,5 см. Предположив, что
рост является случайной величиной, распределенной по нормальному
закону и приняв среднее квадратическое отклонение приближенно равным 6 см, найти вероятность того, что рост наудачу выбранного мужчины будет составлять от 168 до 170 см
.
14.4. В некоторой партии 100 изделий. Вероятность того, что из-
делие стандартно, равна 0,8. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий стандартных окажется от 70 до 85.
14.5. Заряд охотничьего пороха взвешивается на весах, имеющих
среднюю квадратическую ошибку взвешивания 0,15 г (систематическая
ошибка взвешивания отсутствует). Номинальный вес порохового заряда 2,3 г. Найти вероятность повреждения ружья, если максимально
допустимый вес порохового заряда составляет 2,5 г.
1
4.6. Вероятность точной сборки прибора на некотором производ-
стве постоянна и равна 0,9. Найти вероятность того, что в партии
продукции, состоящей из 3000 единиц, число неточных приборов
окажется от 270 до 280.
14.7.
Длина втулки, изготовленной некоторым автоматом, является
случайной величиной, распределенной по нормальному закону
с М(Х) = 20 см и D(X) = 0,09 см
2
. Какова вероятность того, что длина
втулки, наудачу выбранной из большой партии, будет меньше 19,5 см?
14.8. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероят-
ность того, что среди 1000 новорожденных окажется от 485 до
515 мальчиков.
14.9. Сколько осветительных ламп нужно подключить в городе N,
чтобы с вероятностью 0,9 быть уверенным в том, что число исправных ламп к концу гарантийного срока будет не менее 250, если вероятность бесперебойной работы лампы в течение гарантийного срока
равна 0,8.
88
2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
2.1. Типовой расчет
«Дискретные случайные величины»
Содержание типового расчета
Типовой расчет состоит из двух задач. В каждой из них задана
дискретная случайная величина. Требуется:
1. Найти распределение этой случайной величины.
2. Провести контроль расчетов, сложив полученные вероятности.
Их сумма должна быть равна единице.
3. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и
среднее квадратическое отклонение (Х) случайной величины Х.
4. Вычислить вероятность Р события, сформулированного в ус-
ловии задачи.
5. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
Примеры выполнения задач типового расчета
Задача 1.
более четырех раз. Вероятность попадания при одном выстреле
р = 0,6. Дискретная случайная величина Х – число затраченных патронов. Найти распределение вероятностей величины Х, вычислить
М(Х), D(X), (Х). Определить вероятность Р того, что стрелок израсходует не менее трех патронов
построить ее график.
Стрелок стреляет в мишень до первого попадания, но не
. Найти функцию распределения F(x) и
Решение. Все расчеты приведены в табл. 2.1. Случайная величина
Х принимает значения Х = n (n = 1, 2, 3, 4). Подсчитаем их вероятно-
сти. Пусть вероятность промаха q = 1 – p = 0,4. Очевидно, Р(Х = 1) = р
(стрелок попал с первого раза), Р(Х = 2) = qp (стрелок первый раз промахнулся, а во второй раз попал), Р(Х = 3) = q
махнулся, а в третий раз попал), Р(Х = 4) = q
2
p (стрелок два раза про-
3
p + q4 (стрелок три раза
промахнулся, а в четвертый раз попал; или четыре раза промахнулся, но
и в этом случае Х = 4, так как стрелок стреляет не более четырех раз).
89
Таблица 2.1
M
M
F
x
Распределение вероятностей случайной величины X
Х P ХP Х
1 0,6 0,6 0,6 0
2
3
4
0,4 0,6 = 0,24
2
0,4
0,6 = 0,096
0,43 0,6 + 0,44 = 0,064
1,000 1,624 3,448
0,48 0,96 0,6
0,288 0,864 0,84
0,256 1,024 0,936
2
P F(x)
Расчет математического ожидания случайных величин X и Х2
также приведен в табл. 2.1 по формулам (1.26), (1.32):
N
() ;
Xxp
i
ii
1
В столбцах XP и Х
()
Xxp
2
P записаны значения произведений хi pi и х
N
22
i
1
ii
;
() ( ) ()DX MX MX
2
2
.
2
pi.
i
В последней строке – суммы элементов соответствующих столбцов.
M(X) = 1,624; M(X
2
) = 3,448; D(X) = 3,448 – 1,6242 0,81; 0,9.
Вероятность того, что стрелок израсходует не менее трех патро-
нов, соответствует вероятности события X 3:
P(X 3) = P (X = 3) + P (X = 4) = 0,096 + 0,064 = 0,16.
Функцию распределения F(х) находим по формуле (1.20) как
функцию накопленных вероятностей
() ( )
xPXx
xx
i
i
, где сум-
мирование распространяется на все значения индекса i, для которых
x
. Полученные значения функции распределения записаны в
i
последнем столбце табл. 2.1.
Искомая функция распределения имеет вид
x
x
x
x
x
.
Fx
()
0, 1
0,6, 1 2
0,84, 2 3
0,936, 3 4
1, 4
График функции распределения представлен на рис. 2.1.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]