Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика теория вероятностей. Практикум
.pdf
M
N
PA
() .
21
12 6
Задача 1.2. Брошены два игральных кубика. Найти вероятность
того, что сумма выпавших очков равна 7.
Решение
Число возможных исходов при бросании двух игральных кубиков
равно N = 6
6 = 36. Выпишем благоприятные исходы: (1, 6); (2, 5);
(3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1). Значит M = 6 и Р(А) = 6/36 = 1/6.
Задача 1.3. Случайно открывают книгу, в которой 185 страниц. Най-
ти вероятность того, что номер страницы оканчивается на цифру «2».
Решение
M = 18 + 1 = 19, N = 185, P(A) = 19/185.
Задача 1.4. Брошены 3 игральных кубика. Найти вероятность то-
го, что на них выпадет одинаковое количество очков.
Решение
Число возможных исходов при бросании трех игральных кубиков
равно N = 6
6 6 = 216. Выпишем благоприятные исходы: (1, 1, 1);
(2, 2, 2), ..., (6, 6, 6), поэтому M = 6 и Р(А) = 6/216 = 1/36.
Задачи для самостоятельного решения
3.1. На десяти карточках написаны цифры 0, 1, 2, ..., 9. 3 карточки
выбирают случайным образом и раскладывают в порядке выбора. Найти вероятность того, что полученное при этом число (от 012 до 987) делится на 36.
3.2. Брошены две игральных кости (кубика). Найти вероятность
того, что на одной из них число выпавших очков на 3 больше, чем на
другой.
3.3. Найти вероятность того, что в наугад выбранном трехзначном
числе (от 100 до 999) все цифры разные.
3.4. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 кубиков
одинакового размера. Все получившиеся кубики перемешаны. Найти
вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь три
окрашенных грани.
3.5. В урне 4 черных и 6 белых шаров. Из урны, не глядя, выни-
мают 2 шара. Найти вероятность того, что они разного цвета.
11
1.4. Геометрическое определение вероятности
D
D
Вероятность случайного события в классической модели (1.1) находится в предположении, что множество исходов опыта конечно.
На практике встречаются задачи, в которых множество исходов опыта бесконечно (континуально). Примером может служить число точек на отрезке прямой; число точек, принадлежащих области на
плоскости, области в пространстве. Аналогичная ситуация возникает,
когда в результате
щаяся величина, например, масса, температура, время. Один из под-
ходов к описанию таких ситуаций – геометрическая вероятность.
Пусть внутри ограниченной области
некоторая область D. В область
точка». Пусть вероятность попадания точки в любую часть области
будет пропорциональна площади этой части и не будет зависеть ни
от ее расположения, ни от ее формы. Тогда вероятность попадания
точки в область D находится по формуле
S
где
– площадь области D;
S
– площадь области .
эксперимента фиксируется непрерывно меняю-
на плоскости расположена
наудачу бросается «случайная
S
PD
()
, (1.2)
S
При аналогичных предположениях можно утверждать следующее.
Если отрезок а составляет часть отрезка L и на отрезок L наудачу
бросается «случайная точка», то вероятность попадания этой точки в
отрезок а равна
Pa l l
aL
где
l
– длина отрезка а,
a
l
– длина от-
L
() / ,
резка L.
Если внутри трехмерной области
область
наудачу бросается «случайная точка», то вероятность по-
падания этой точки в область G равна
V
области G ,
– объем области .
расположена область G и в
() /
PG V V
G
, где
V
– объем
G
Задача 1.5. Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка.
Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в
круг квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в
квадрат пропорциональна площади квадрата и не зависит от его расположения относительно круга.
12
Решение
Площадь круга
равна
2R . Тогда площадь квадрата
SR
круга
2
=
. Сторона вписанного в круг квадрата
2
2SR= . Вероятность попа-
кв
дания «случайной точки» в квадрат согласно формуле (1.2)
S
кв
P
S
круга
2
22
R
R
.
2
Задача 1.6. Отрезок KВ разделен точкой С в отношении 2:1.
На отрезок наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что эта
точка окажется правее точки С.
Решение
Если длина отрезка СВ равна одной единице длины, то длина все-
го отрезка равна трем единицам длины. Вероятность искомого события равна отношению длины отрезка СВ к длине отрезка KВ:
l
1
CB
P
l
KB
.
3
Задача 1.7. В куб наудачу помещают точку. Найти вероятность
того, что она попадет в пирамиду, вершина которой совпадает с центром верхнего основания куба, а основание пирамиды совпадает с
основанием куба.
Решение
Сформулируем событие А = {точка, случайным образом разме-
щенная в кубе, окажется внутри пирамиды}, тогда
где S
11
V
пир
()
pPA
V
– площадь основания пирамиды;
осн
33
куба
Sh aa
осн
33
aa
2
1
,
3
h – высота пирамиды;
а – длина ребра куба.
Геометрическая вероятность позволяет решать многие задачи, на
первый взгляд не имеющие никакого отношения к геометрии.
13
Задача 1.8. (Задача о встрече.) Два студента договорились встре-
D
титься между 13 и 14 часами, причем пришедший первым ждет другого не более 15 мин, после чего уходит. Какова вероятность того,
что встреча состоится, если время прихода каждого заранее неизвестно и равновозможно в любой момент времени из указанного
промежутка?
Решение
Пусть х (ч) – время прихода первого студента после 13 ч, аналогично y (ч) – время прихода второго; 0 1; 0 1.xy Встреча со-
стоится, если
мин = 0,25 ч. Изобразим на координатной
15xy
плоскости x0y множество
жество
множеств D
DD
12
и D2 (рис. 1.1).
1
, где
0,25Dxy
y
1
0,25
0
Рис. 1.1. Изображение множества D
1
01;01xy
. Множество D является объединением
В
С А
0,25
;0,25;Dyxyx
1
Тогда вероятность встречи по формуле (1.2) равна
12
S
( ) 1 0,75 0,4375.
PD
D
S
S
ABC
2
1
– квадрат и мно-
2
;0,25Dyxyx
.
Задача 1.9. Числа p и q выбраны случайным образом из отрезка
[0; 2]. Какова вероятность, что квадратное уравнение
2
имеет действительные корни?
14
0xpxq
Решение
p
p
p
Множество – квадрат на плоскости p0q со стороной длиной 2,
поэтому
тельные корни, если его дискриминант
Изобразим на координатной плоскости p0q параболу
2
24S (рис. 1.2). Квадратное уравнение имеет действи-
2
40pq , откуда
q
q
2
. Инте-
4
2
ресующая нас область D:
q
заштрихована на рис. 1.2. Найдем
4
ее площадь с помощью определенного интеграла:
2
23
Sdp
q
2
1
pp
D
412123
0
Ω
2
0
82
.
q =
2
p
4
2
.
4
D
0
Рис. 1.2. Изображение множества D
Тогда вероятность
S
2/3 1
PD
( ) 0,1667.
D
S
2
46
p
Задача 1.10. (Задача Бюффона.) На плоскости нанесено беско-
нечное множество параллельных прямых, расстояние между любыми
соседними одинаково и равно 1 см. Какова вероятность, что брошенная наугад на плоскость иголка длиной l,
см, пересечет какую-
1l
нибудь прямую?
15
Решение
B
C
Пусть иголка АВ длиной l пересечет какую-нибудь прямую L.
Обозначим через h,
01h
седней (нижней) прямой (рис. 1.3), через
прямой L,
0
. Построим
, расстояние от ее нижнего края А до со-
– угол между иголкой и
;.
CLACL
Из прямоугольного
треугольника АВС:
sin sinBC AB l
α
α
A
h
Рис. 1.3. Расположение иголки на плоскости
.
B
L
Иголка пересекает прямую L в том и только в том случае, если
;
1hBC
1sinhl
, обозначим это множество через D.
sin 1hl
На рис. 1.4 изображена координатная плоскость
– прямоугольник:
и
1sinhl
. Область D заштрихована. Очевидно, ее площадь равна
0, 01h
Sl d l l
h
sin cos 2 .
D
0
; графики функций
;
0h
0
, область
sinhl
16
1
D
l
0
Рис. 1.4. Изображение области D
h = 1 – l sinα
h = l
α
π
sinα
Тогда искомая вероятность равна
AB
A
B
S
l
2
PD
() .
D
S
Задачи для самостоятельного решения
4.1. На пульт управления в течение 1 мин в случайные моменты
времени должны поступить 2 сигнала, причем они регистрируются
только в том случае, если между моментами их поступления проходит не менее 3 сек. Найти вероятность того, что сигналы будут зарегистрированы.
4.2. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых
не превышает 1. Найти вероятность того, что
1; 0 , 0 9xy xy
.
4.3. Стержень случайным образом разломан на 3 части. Найти ве-
роятность того, что из полученных кусков можно составить треугольник.
1.5. Расчет вероятностей с помощью теорем
сложения и умножения вероятностей
Совмещением (или произведением) двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном наступлении как события А, так
и события В. Это событие будем обозначать АВ или
Аналогично, совмещением нескольких событий, например А, В и
С, называется событие D = ABC, состоящее в совместном наступле-
нии событий А, В и С.
Суммой (или объединением) двух событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В
значается так: С = А + В или
(либо одно из них, либо оба вместе). Это событие обо-
.
B
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Запись D = A + В + С означает, что
событие D есть сумма событий А, В и С.
Пусть А и В – два несовместных события, причем в п испытаниях
событие А произошло т
раз, а событие В произошло т2 раз. Тогда
1
частоты событий А и В соответственно равны ()A
()
= т2/п. Так как события А и В несовместны, то событие А + В в
данной серии опытов произошло т
+ m2 раз. Следовательно,
1
.
= m1/n,
17
mm mm
B
B
A
()
AB
12 1 2
()A+()
.
nnn
Таким образом, частота события А + В равна сумме частот собы-
тий А и В. Но при больших п частоты ()A , ()
и ()AB
мало
отличаются от соответствующих вероятностей Р(А), Р(В) и Р(А + В).
Поэтому естественно принять, что если А и В – несовместные события, то
Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (1.3)
Правило сложения вероятностей для двух случайных событий по
индукции легко распространяется на сумму любого конечного числа
, , ...,
случайных событий: если случайные события
AA
12
попарно
n
несовместны, то вероятность их суммы, т.е. вероятность появления хотя бы одного из этих событий, равна сумме их вероятностей:
n
(...)()
PA A A PA
12
ni
i
1
. (1.4)
Задача 1.11. Мишень состоит из центрального круга – «яблочка»
и двух концентрических колец. Вероятности попадания в «яблочко»
и кольца соответственно равны 0,2; 0,25; 0,35. Найти вероятность
попадания в мишень (событие D).
Решение
Событие А1 = {попадание в «яблочко»}, А
из колец} попарно несовместны и D = A
жения вероятностей Р(А
+ А2 + А3) = Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) = 0,2 +
1
1
= {попадание в одно
2,3
+ A2 + A3. По правилу сло-
+ 0,25 + 0,35 = 0,8.
События А
, А2, ..., АN образуют полную группу, если они попарно
1
несовместны и одно из них обязательно должно произойти при рассматриваемом испытании, т.е. их сумма
AA A
12
...
есть досто-
N
верное событие.
Примеры. Пусть X – число очков, выпадающее на верхней грани
игральной кости. События X = 1, X = 2, X = 3, X = 4, X = 5, X = 6 образуют полную группу. Точно так же полную группу образуют и события X четно, X нечетно или события X 2, X 3.
18
Из этих примеров видно, что из системы событий, связанных с
A
A
A
данным испытанием, можно различным образом конструировать
полные группы событий.
, , ...,
Теорема. Если случайные события
AA
12
образуют полную
n
группу, то сумма их вероятностей равна единице.
, , ...,
Доказательство. Так как события
группу, то событие
( ... ) 1
PA A A
12
AA A
n
12
; в то же время попарная несовместность рас-
...
n
AA
12
образуют полную
n
является достоверным, поэтому
сматриваемых событий позволяет здесь применить формулу (1.4),
что дает требуемое соотношение
n
i
1
PA
()1
. (1.5)
i
Два события А и
называются противоположными, если они
образуют полную группу (т.е. появление одного из них равносильно
непоявлению другого). Так как
() () 1PA PA
, то по вероятности
одного из противоположных событий можно находить вероятность
другого:
()1(),()1()PA PA PA PA
. (1.6)
Во многих задачах приходится находить вероятность совмещения
событий А и В, если известны вероятности событий А и В.
Условной вероятностью Р(В/А) будем называть вероятность события В при условии осуществления события А.
Теорема умножения. Вероятность совмещения событий А и В
равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие
осуществилось, т.е.
()()(/)PAB PA PBA
. (1.7)
Доказательство. Докажем справедливость соотношения (1.7),
опираясь на классическое определение вероятности. Пусть возмож-
, , ...,
ные исходы
CC C
12
данного опыта образуют полную группу
N
равновероятных попарно несовместных событий, из которых собы-
19
тию А благоприятствуют М исходов, и пусть из этих М исходов
M
N
N
L исходов благоприятствуют событию В. Очевидно, что совмещению
событий А и В благоприятствуют L из N возможных результатов испытания, Это дает
() ; ( ) ; ( / )
PA PAB PB A
LL
.
NM
Таким образом,
() ()(/)
PAB PA PB A
LML
.
NM
Поменяв местами А и В, аналогично получим
()()(/)PAB PB PAB
. (1.8)
Из формул (1.7) и (1.8) имеем
() (/ )PB PAB
() (/)PA PBA
. (1.9)
Задача 1.12. Студент знает правильный ответ на 20 экзаменаци-
онных вопросов из 30. Какова вероятность того, что он:
а) знает ответ на два заданных ему вопроса;
б) не знает ответа на оба заданных ему вопроса?
Решение
Пусть событие А = {студент знает ответ на первый вопрос},
В = {студент знает ответ на второй вопрос}.
Р(А) = 20/30. Р(В/А) = 19/29 (из 29 оставшихся вопросов студент зна-
ет ответ на 19, так как на один из известных ему вопросов он уже ответил). Тогда Р(А В) = Р (студент знает два
20 19 38
=
30 29 87
0,437
.
вопроса) = Р(А) Р(В/А) =
Пусть событие С = {студент не знает ответ на первый вопрос},
D = {студент не знает ответ на второй вопрос}.
Р(С) = 10/30. Р(С/D) = 9/29 (из 29 оставшихся вопросов студент не
знает ответ на 9, так как на один из вопросов он уже не ответил). Тогда Р(А В) = Р (студент не
10 9
=
30 29 87
9
0,103
.
знает два вопроса) = Р(А) Р(В/А) =
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]